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文档简介
2025年高考数学一轮复习-第七章-第五节空间向量及其运算-课时作业(原卷版)[A组基础保分练]1.(多选)与向量a=(1,-2,1)共线的单位向量为()A.-12,−C.-12,2.(多选)(2024·河南开封)若a,A.a,b-c,b-a-cB.a+b,a-2b+c,b+cC.a-2b,b+c,a+2cD.a-b+c,2b+c,a+b+2c3.如图,设OA=a,OB=b,OC=c,若AN=NB,BM=2MC,则MN=()A.12a+16b-23cB.-12a-1C.12a-16b-13cD.-12a+14.在下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是()A.OM=OA-OB-OCB.OM=15OA+1C.MA+MB+MC=0D.OM+OA+OB+OC=05.已知a=(1,0,1),b=(x,1,2),且a·b=3,则向量a与b的夹角为()A.5π6C.π3D.6.(多选)给出下列命题,其中正确的命题有()A.空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B.已知向量a∥b,则a,b与任何向量都能构成空间的一个基底C.A,B,M,N是空间四点,若BA,BM,BN不能构成空间的一个基底,那么A,B,M,N共面D.已知向量{a,b,c}是空间的一个基底,若m=a+c,则{a,b,m}也是空间的一个基底7.(多选)已知空间三点A(1,0,3),B(-1,1,4),C(2,-1,3).若AP∥BC,且|AP|=14,则点P的坐标为()A.(4,-2,2)B.(-2,2,4)C.(-4,2,-2)D.(2,-2,4)8.已知A,B,C三点不共线,点O为平面ABC外任意一点.若点M满足OM=15OA+45OB+25BC9.已知a=(3,2λ-1,1),b=(μ+1,0,2μ).若a⊥b,则μ=;若a∥b,则λ+μ=.10.如图所示,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,点M,N分别在AC1和BC上,且满足AM=kAC1,BN=kBC(0≤k≤1).判断向量MN是否与向量AB,A[B组能力提升练]11.(2024·贵州六盘水)已知e1,e2,e3不共面,若AB=e1+e2+e3,BC=e1+λe2+μe3,且A,B,C三点共线,则λ+μ=()A.0B.1C.2D.312.如图,在大小为45°的二面角A-EF-D中,四边形ABFE,CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是()A.3B.2C.1D.313.(多选)(2024·山东济南)已知空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),则下列说法正确的是()A.AB与AC是共线向量B.AB的单位向量是(1,1,0)C.AB与BC夹角的余弦值是-55D.平面ABC的一个法向量是(1,-2,5)14.(2024·吉林松原)在我国古代数学名著《九章算术》中,将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图,四棱锥PABCD为阳马,PA⊥平面ABCD,且AB=AD=AP=3,EC=2PE,则AE·DE=()A.-3B.3C.2D.515.(多选)(2024·吉林松原)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为棱A1D1,AA1,CD的中点,则下列直线与B1G垂直的是()A.EFB.BFC.BD1D.AC16.已知空间向量PA,PB,PC的模长分别为1,2,3,且两两夹角均为60°,点G为△ABC的重心.若PG=xPA+yPB+zPC,x,y,z∈R,则x+y+z=,|PG|=.17.如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形,E为棱AB的中点,AF=13AD,AG=2GA1,AC1与平面EFG交于点M,则2025年高考数学一轮复习-第七章-第五节空间向量及其运算-课时作业(解析版)[A组基础保分练]1.(多选)与向量a=(1,-2,1)共线的单位向量为()A.-12,−C.-12,答案:CD解析:由|a|=1+2+1=2,∴与向量a共线的单位向量为12,−22.(多选)(2024·河南开封)若a,A.a,b-c,b-a-cB.a+b,a-2b+c,b+cC.a-2b,b+c,a+2cD.a-b+c,2b+c,a+b+2c答案:ACD解析:对于A,因为a=b-c-b-对于B,假设a+b,a-2b+c,b+c共面,则∃λ,μ∈R,使得a+b=λ(a-2b+c)+μ(b+c),故有λ=1,-2λ+μ=1λ+μ=0,,方程组无解,即a+b,a-2b对于C,a-2b=-2b+c+a+2对于D,a-b+c=-2b+c+a+b3.如图,设OA=a,OB=b,OC=c,若AN=NB,BM=2MC,则MN=()A.12a+16b-23cB.-12a-1C.12a-16b-13cD.-12a+1答案:A解析:由题可知,MN=MB-NB=23CB-12AB=23(OB-OC)-12(OB-OA)=12OA+16OB-24.在下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是()A.OM=OA-OB-OCB.OM=15OA+1C.MA+MB+MC=0D.OM+OA+OB+OC=0答案:C解析:M与A,B,C一定共面的充要条件是OM=xOA+yOB+zOC,x+y+z=1.对于A选项,由于1-1-1=-1≠1,所以不能得出M,A,B,C共面;对于B选项,由于15+13+12≠1,所以不能得出M,A,B对于C选项,由于MA=-MB-MC,则MA,MB,MC为共面向量,所以M,A,B,C共面;对于D选项,由OM+OA+OB+OC=0,得OM=-OA-OB-OC,而-1-1-1=-3≠1,所以不能得出M,A,B,C共面.5.已知a=(1,0,1),b=(x,1,2),且a·b=3,则向量a与b的夹角为()A.5π6C.π3D.答案:D解析:因为a·b=x+2=3,所以x=1,所以b=(1,1,2),所以cos<a,b>=a·b|a||又因为<a,b>∈[0,π],所以a与b的夹角为π66.(多选)给出下列命题,其中正确的命题有()A.空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B.已知向量a∥b,则a,b与任何向量都能构成空间的一个基底C.A,B,M,N是空间四点,若BA,BM,BN不能构成空间的一个基底,那么A,B,M,N共面D.已知向量{a,b,c}是空间的一个基底,若m=a+c,则{a,b,m}也是空间的一个基底答案:ACD解析:选项A,根据空间基底的概念,可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底,所以A正确;选项B,根据空间基底的概念,可得B不正确;选项C,由BA,BM,BN不能构成空间的一个基底,可得BA,BM,BN共面.又由BA,BM,BN过相同点B,可得A,B,M,N四点共面,所以C正确;选项D,由{a,b,c}是空间的一个基底,则基向量a,b与向量m=a+c一定不共面,所以可以构成空间另一个基底,所以D正确.7.(多选)已知空间三点A(1,0,3),B(-1,1,4),C(2,-1,3).若AP∥BC,且|AP|=14,则点P的坐标为()A.(4,-2,2)B.(-2,2,4)C.(-4,2,-2)D.(2,-2,4)答案:AB解析:因为B(-1,1,4),C(2,-1,3),所以BC=(3,-2,-1).因为AP∥BC,所以可设AP=λBC=(3λ,-2λ,-λ).因为|AP|=(3λ)2解得λ=±1,所以AP=(3,-2,-1)或AP=(-3,2,1).设点P(x,y,z),则AP=(x-1,y,z-3),所以x-1=3解得x=4,y=所以点P的坐标为(4,-2,2)或(-2,2,4).8.已知A,B,C三点不共线,点O为平面ABC外任意一点.若点M满足OM=15OA+45OB+25BC答案:属于解析:∵OM=15OA+45OB+25BC=15OA+45OB+25(OC-OB)=15OA+∴M,A,B,C四点共面,即点M∈平面ABC.9.已知a=(3,2λ-1,1),b=(μ+1,0,2μ).若a⊥b,则μ=;若a∥b,则λ+μ=.答案:-35解析:因为a⊥b,则a·b=3(μ+1)+0+2μ=0,解得μ=-35若a∥b,则a=mb,即(3,2λ-1,1)=m(μ+1,0,2μ),故3=m(μ+1),2λ-1=0,1=2mμ10.如图所示,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,点M,N分别在AC1和BC上,且满足AM=kAC1,BN=kBC(0≤k≤1).判断向量MN是否与向量AB,A解:∵AM=kAC1,BN=k∴MN=MA+AB+BN=kC1A+AB+kBC=k(C1A+BC)+AB=k(C1A+B1C1)+AB=kB1A+AB=AB-kAB1=AB-k(∴由共面向量定理知向量MN与向量AB,AA1[B组能力提升练]11.(2024·贵州六盘水)已知e1,e2,e3不共面,若AB=e1+e2+e3,BC=e1+λe2+μe3,且A,B,C三点共线,则λ+μ=()A.0B.1C.2D.3答案:C解析:因为A,B,C三点共线,所以AB=xBC,即e1+e2+e3=xe1+xλe2+xμe3,故x=1解得λ=1所以λ+μ=1+1=2.12.如图,在大小为45°的二面角A-EF-D中,四边形ABFE,CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是()A.3B.2C.1D.3答案:D解析:∵BD=BF+FE+ED,∴|BD|2=|BF|2+|FE|2+|ED|2+2BF·FE+2FE·ED+2BF·ED=1+1+1-2=3-2,故|BD|=3-13.(多选)(2024·山东济南)已知空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),则下列说法正确的是()A.AB与AC是共线向量B.AB的单位向量是(1,1,0)C.AB与BC夹角的余弦值是-55D.平面ABC的一个法向量是(1,-2,5)答案:CD解析:对于A,由题意,AB=(2,1,0),AC=(-1,2,1),因为AB≠λAC,则AB与AC不是共线向量,不正确;对于B,因为AB=(2,1,0),所以AB的单位向量为255,对于C,AB=(2,1,0),BC=(-3,1,1),所以cos<AB,BC>=AB·BC|AB||对于D,设平面ABC的一个法向量是n=(x,y,z),因为AB=(2,1,0),AC=(-1,2,1),所以n·AB令x=1,得y=-2,z=5,所以平面ABC的一个法向量为n=(1,-2,5),D正确.14.(2024·吉林松原)在我国古代数学名著《九章算术》中,将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图,四棱锥PABCD为阳马,PA⊥平面ABCD,且AB=AD=AP=3,EC=2PE,则AE·DE=()A.-3B.3C.2D.5答案:B解析:因为PA⊥平面ABCD,AB,AD⊂平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD.又因为四边形ABCD是矩形,所以AB⊥AD,以A为坐标原点,AB,AD,AP的方向分别为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则D0,3,0,C3,3,所以AE=1,1,2,DE=1,−2,2,所以AE·DE15.(多选)(2024·吉林松原)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为棱A1D1,AA1,CD的中点,则下列直线与B1G垂直的是()A.EFB.BFC.BD1D.AC答案:AB解析:如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,设棱长为2,则A2,0,0,B2,2,0,C0,2,0,因为E,F,G分别为棱A1D1,AA1,CD的中点,可得E1,0,2,F2所以B1G=-2,−1,−2,BF=0,−2,1,EF因为B1G·EF=0,所以B1G⊥EF,所以因为B1G·BF=0,所以B1G⊥BF,所以因为B1G·BD1=2≠因为B1G·AC=2≠0,所以D16.已知空间向量PA,PB,PC的模长分别为1,2,3,且两两夹角均为60°,点G为△ABC的重心.若PG=xPA+yPB+zPC,x,y,z∈R,则x+y+z=,|PG|=.答案:15解析:根据题意得,点G为△ABC的重心,设BC中点为D,则AG=23AD=13(AB+AC),所以PG-PA=13
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