2025年高考数学一轮复习-第七章-第五节 空间向量及其运算-课时作业【含解析】

2025年高考数学一轮复习-第七章-第五节空间向量及其运算-课时作业（原卷版）[A组基础保分练]1.（多选）与向量a＝（1，－2，1）共线的单位向量为（）A.－12,−C.－12，2.（多选）（2024·河南开封）若a，A.a，b－c，b－a－cB.a＋b，a－2b＋c，b＋cC.a－2b，b＋c，a＋2cD.a－b＋c，2b＋c，a＋b＋2c3.如图，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，若AN＝NB，BM＝2MC，则MN＝（）A.12a＋16b－23cB.－12a－1C.12a－16b－13cD.－12a＋14.在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（）A.OM＝OA－OB－OCB.OM＝15OA＋1C.MA＋MB＋MC＝0D.OM＋OA＋OB＋OC＝05.已知a＝（1，0，1），b＝（x，1，2），且a·b＝3，则向量a与b的夹角为（）A.5π6C.π3D.6.（多选）给出下列命题，其中正确的命题有（）A.空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B.已知向量a∥b，则a，b与任何向量都能构成空间的一个基底C.A，B，M，N是空间四点，若BA，BM，BN不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面D.已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底7.（多选）已知空间三点A（1，0，3），B（－1，1，4），C（2，－1，3）.若AP∥BC，且｜AP｜＝14，则点P的坐标为（）A.（4，－2，2）B.（－2，2，4）C.（－4，2，－2）D.（2，－2，4）8.已知A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点.若点M满足OM＝15OA＋45OB＋25BC9.已知a＝（3，2λ－1，1），b＝（μ＋1，0，2μ）.若a⊥b，则μ＝；若a∥b，则λ＋μ＝.10.如图所示，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足AM＝kAC1，BN＝kBC（0≤k≤1）.判断向量MN是否与向量AB，A[B组能力提升练]11.（2024·贵州六盘水）已知e1，e2，e3不共面，若AB＝e1＋e2＋e3，BC＝e1＋λe2＋μe3，且A，B，C三点共线，则λ＋μ＝（）A.0B.1C.2D.312.如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是（）A.3B.2C.1D.313.（多选）（2024·山东济南）已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（－1，3，1），则下列说法正确的是（）A.AB与AC是共线向量B.AB的单位向量是（1，1，0）C.AB与BC夹角的余弦值是－55D.平面ABC的一个法向量是（1，－2，5）14.（2024·吉林松原）在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥PABCD为阳马，PA⊥平面ABCD，且AB＝AD＝AP＝3，EC＝2PE，则AE·DE＝（）A.－3B.3C.2D.515.（多选）（2024·吉林松原）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱A1D1，AA1，CD的中点，则下列直线与B1G垂直的是（）A.EFB.BFC.BD1D.AC16.已知空间向量PA，PB，PC的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为60°，点G为△ABC的重心.若PG＝xPA＋yPB＋zPC，x，y，z∈R，则x＋y＋z＝，｜PG｜＝.17.如图，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形，E为棱AB的中点，AF＝13AD，AG＝2GA1，AC1与平面EFG交于点M，则2025年高考数学一轮复习-第七章-第五节空间向量及其运算-课时作业（解析版）[A组基础保分练]1.（多选）与向量a＝（1，－2，1）共线的单位向量为（）A.－12,−C.－12，答案：CD解析：由｜a｜＝1+2+1＝2，∴与向量a共线的单位向量为12,−22.（多选）（2024·河南开封）若a，A.a，b－c，b－a－cB.a＋b，a－2b＋c，b＋cC.a－2b，b＋c，a＋2cD.a－b＋c，2b＋c，a＋b＋2c答案：ACD解析：对于A，因为a＝b－c－b－对于B，假设a＋b，a－2b＋c，b＋c共面，则∃λ，μ∈R，使得a＋b＝λ（a－2b＋c）＋μ（b＋c），故有λ=1，－2λ＋μ=1λ＋μ=0，，方程组无解，即a＋b，a－2b对于C，a－2b＝－2b＋c＋a+2对于D，a－b＋c＝－2b＋c＋a＋b3.如图，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，若AN＝NB，BM＝2MC，则MN＝（）A.12a＋16b－23cB.－12a－1C.12a－16b－13cD.－12a＋1答案：A解析：由题可知，MN＝MB－NB＝23CB－12AB＝23（OB－OC）－12（OB－OA）＝12OA＋16OB－24.在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（）A.OM＝OA－OB－OCB.OM＝15OA＋1C.MA＋MB＋MC＝0D.OM＋OA＋OB＋OC＝0答案：C解析：M与A，B，C一定共面的充要条件是OM＝xOA＋yOB＋zOC，x＋y＋z＝1.对于A选项，由于1－1－1＝－1≠1，所以不能得出M，A，B，C共面；对于B选项，由于15＋13＋12≠1，所以不能得出M，A，B对于C选项，由于MA＝－MB－MC，则MA，MB，MC为共面向量，所以M，A，B，C共面；对于D选项，由OM＋OA＋OB＋OC＝0，得OM＝－OA－OB－OC，而－1－1－1＝－3≠1，所以不能得出M，A，B，C共面.5.已知a＝（1，0，1），b＝（x，1，2），且a·b＝3，则向量a与b的夹角为（）A.5π6C.π3D.答案：D解析：因为a·b＝x＋2＝3，所以x＝1，所以b＝（1，1，2），所以cos＜a，b＞＝a·b｜a||又因为＜a，b＞∈[0，π]，所以a与b的夹角为π66.（多选）给出下列命题，其中正确的命题有（）A.空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B.已知向量a∥b，则a，b与任何向量都能构成空间的一个基底C.A，B，M，N是空间四点，若BA，BM，BN不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面D.已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底答案：ACD解析：选项A，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以A正确；选项B，根据空间基底的概念，可得B不正确；选项C，由BA，BM，BN不能构成空间的一个基底，可得BA，BM，BN共面.又由BA，BM，BN过相同点B，可得A，B，M，N四点共面，所以C正确；选项D，由{a，b，c}是空间的一个基底，则基向量a，b与向量m＝a＋c一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以D正确.7.（多选）已知空间三点A（1，0，3），B（－1，1，4），C（2，－1，3）.若AP∥BC，且｜AP｜＝14，则点P的坐标为（）A.（4，－2，2）B.（－2，2，4）C.（－4，2，－2）D.（2，－2，4）答案：AB解析：因为B（－1，1，4），C（2，－1，3），所以BC＝（3，－2，－1）.因为AP∥BC，所以可设AP＝λBC＝（3λ，－2λ，－λ）.因为｜AP｜＝（3λ）2解得λ＝±1，所以AP＝（3，－2，－1）或AP＝（－3，2，1）.设点P（x，y，z），则AP＝（x－1，y，z－3），所以x－1=3解得x=4，y＝所以点P的坐标为（4，－2，2）或（－2，2，4）.8.已知A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点.若点M满足OM＝15OA＋45OB＋25BC答案：属于解析：∵OM＝15OA＋45OB＋25BC＝15OA＋45OB＋25（OC－OB）＝15OA＋∴M，A，B，C四点共面，即点M∈平面ABC.9.已知a＝（3，2λ－1，1），b＝（μ＋1，0，2μ）.若a⊥b，则μ＝；若a∥b，则λ＋μ＝.答案：－35解析：因为a⊥b，则a·b＝3（μ＋1）＋0＋2μ＝0，解得μ＝－35若a∥b，则a＝mb，即（3，2λ－1，1）＝m（μ＋1，0，2μ），故3=m（μ+1),2λ－1=0，1=2mμ10.如图所示，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足AM＝kAC1，BN＝kBC（0≤k≤1）.判断向量MN是否与向量AB，A解：∵AM＝kAC1，BN＝k∴MN＝MA＋AB＋BN＝kC1A＋AB＋kBC＝k（C1A＋BC）＋AB＝k（C1A＋B1C1）＋AB＝kB1A＋AB＝AB－kAB1＝AB－k（∴由共面向量定理知向量MN与向量AB，AA1[B组能力提升练]11.（2024·贵州六盘水）已知e1，e2，e3不共面，若AB＝e1＋e2＋e3，BC＝e1＋λe2＋μe3，且A，B，C三点共线，则λ＋μ＝（）A.0B.1C.2D.3答案：C解析：因为A，B，C三点共线，所以AB＝xBC，即e1＋e2＋e3＝xe1＋xλe2＋xμe3，故x=1解得λ=1所以λ＋μ＝1＋1＝2.12.如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是（）A.3B.2C.1D.3答案：D解析：∵BD＝BF＋FE＋ED，∴｜BD｜2＝｜BF｜2＋｜FE｜2＋｜ED｜2＋2BF·FE＋2FE·ED＋2BF·ED＝1＋1＋1－2＝3－2，故｜BD｜＝3－13.（多选）（2024·山东济南）已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（－1，3，1），则下列说法正确的是（）A.AB与AC是共线向量B.AB的单位向量是（1，1，0）C.AB与BC夹角的余弦值是－55D.平面ABC的一个法向量是（1，－2，5）答案：CD解析：对于A，由题意，AB＝（2，1，0），AC＝（－1，2，1），因为AB≠λAC，则AB与AC不是共线向量，不正确；对于B，因为AB＝（2，1，0），所以AB的单位向量为255，对于C，AB＝（2，1，0），BC＝（－3，1，1），所以cos＜AB，BC＞＝AB·BC｜AB||对于D，设平面ABC的一个法向量是n＝（x，y，z），因为AB＝（2，1，0），AC＝（－1，2，1），所以n·AB令x＝1，得y＝－2，z＝5，所以平面ABC的一个法向量为n＝（1，－2，5），D正确.14.（2024·吉林松原）在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥PABCD为阳马，PA⊥平面ABCD，且AB＝AD＝AP＝3，EC＝2PE，则AE·DE＝（）A.－3B.3C.2D.5答案：B解析：因为PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD.又因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD，以A为坐标原点，AB，AD，AP的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则D0，3，0，C3，3，所以AE＝1，1，2，DE＝1,−2，2，所以AE·DE15.（多选）（2024·吉林松原）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱A1D1，AA1，CD的中点，则下列直线与B1G垂直的是（）A.EFB.BFC.BD1D.AC答案：AB解析：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设棱长为2，则A2，0，0，B2，2，0，C0，2，0，因为E，F，G分别为棱A1D1，AA1，CD的中点，可得E1，0，2，F2所以B1G＝－2,−1,−2，BF＝0,−2，1，EF因为B1G·EF＝0，所以B1G⊥EF，所以因为B1G·BF＝0，所以B1G⊥BF，所以因为B1G·BD1＝2≠因为B1G·AC＝2≠0，所以D16.已知空间向量PA，PB，PC的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为60°，点G为△ABC的重心.若PG＝xPA＋yPB＋zPC，x，y，z∈R，则x＋y＋z＝，｜PG｜＝.答案：15解析：根据题意得，点G为△ABC的重心，设BC中点为D，则AG＝23AD＝13（AB＋AC），所以PG－PA＝13