高三数学知识点总结经典版

中学数学学问梳理总汇及复习

第一部分集合和函数

1、在集合运算中确定要分清代表元的含义.

［举例1］已知集P={y|y=x2,xeR},Q={y|y=2*,xeR},求尸CIQ.

2、空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.

［举例］若A={x|/<“},8={x|x>2}且Ad8=0,求a的取值范围.

3、充要条件的判定可利用集合包含思想判定：若A=贝flxeA是xeB的充分条

件；若则xeA是xeB的必要条件；若AqB且A23即A=5,贝!JxeA

是xeB的云要条件.有时利用“原命题”和“逆否而题”等秘，“逆命题”和“否

命题”等价转换去判定也很便利.充要条件的问题要非常细心地去辨析：“哪个

命题”是“哪个命题”的充分(必要)条件；留意区分：“甲是乙的充分条件(甲

=乙)”和“甲的充分条件是乙(乙=甲)”，是两种不同形式的问题.

［举例］设有集合M={(x,y)|/+y2>2},N={(x,y)|y-x>2},则点PeM的

条件是点PwN；点、PGM是点、PwN的条件.

4、驾驭命题的四种不同表达形式，会进行命题之间的转化，会正确找出命题的条

件和结论.能依据条件和结论推断出命题的真假.

［举例］命题：“若两个实数的积是有理数，则此两实数都是有理数”的否命题是

，它是(填真或假)命题.

5、若函数y=/(x)的图像关于直线x=a对称，则有-x)=/(a+x)或

〃2a-x)=/(x)等，反之亦然.留意：两个不同函数图像之间的对称问题不同于

函数自身的对称问题.函数y=/(x)的图像关于直线x=a的对称曲线是函数

y=f(2a-x)的图像，函数y=/(x)的图像关于点(a,6)的对称曲线是函数

y=»-/(2a-x)的图像.

［举例1］若函数y=/(x-1)是偶函数，则y=f(x)的图像关于对称.

［举例2］若函数y=/(x)满意对于随意的xeR有/(2+x)=/(2-幻，且当xN2时

/(x)=x2+x,则当x<2时f(x)-.

6、若函数y=f(x)满意：/(x+a)=/(x-a)(a#O)则/(X)是以2a为周期的函数.留

意:不要和对称性相混淆.若函数y=〃x)满意：/(x+a)=-/(x)(awO)则人幻是

以2a为周期的函数.(留意：若函数/(x)满意，则/(x)也是周期函数)

［举例］已知函数y=f(x)满意：对于随意的xeR有f(x+l)=-/(x)成立，且当

xe［0,2)时，f(x)=2x-l,贝1］/(1)+/(2)+/(3)+3+/(2006)=.

7、奇函数对定义域内的随意x满意/(-x)+/(x)=O；偶函数对定义域内的随意、满

意/(-尤)_/(幻=0.留意：运用函数奇偶性的定义解题时，得到的是关于变量I的

恒等式而不是方程.奇函数的图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称；若

函数y=/(x)是奇函数或偶函数，则此函数的定义域必关于原点对称；反之，若

一函数的定义域不关于原点对称，则该函数既非奇函数也非偶函数.若y=/(x)

是奇函数且/⑼存在，则/(0)=0;反之不然.

［举例1］若函数是奇函数，则实数;

［举例2］若函数代工)==2+(6-2)工+3是定义在区间［勿-1,2-0上的偶函数,则此

函数的值域是.

8、奇函数在关于原点对称的区间内增减性一样，偶函数在关于原点对称的区间内

增减性相反.若函数y=/(X)的图像关于直线X=a对称，则它在对称轴的两侧的

增减性相反；此时函数值的大小取决于变量离对称轴的远近.解“抽象不等式(即

函数不等式)”多用函数的单调性，但必需留意定义域.

［举例］若函数y=/(x)是定义在区间［-3,3］上的偶函数，且在［-3,0］上单调递增，

若实数。满意：/(2«-1)</(a2),求a的取值范围.

9、要驾驭函数图像几种变换：对称变换、翻折变换、平移变换.会依据函数y=/(x)

的图像，作出函数^==/(|x|),y=|/(x)\,y=f(x+a),y=/(x)+a的图像.

(留意：图像变换的本质在于变量对应关系的变换)；要特殊关注

y=/(|x|),y=i/(x)|的图像.

［举例］函数/(x)=|log2|2x-1|-1|的单调递增区间为

10、探讨方程根的个数、超越方程(不等式)的解(特殊是含有参量的)、二次方

程根的分布、二次函数的值域、三角函数的性质(包括值域)、含有确定值的函

数及分段函数的性质(包括值域)等问题常利用函数图像来解决.但必需留意的

是作出的图形要尽可能精确：即找准特殊的点(函数图像和坐标轴的交点、拐

点、极值点等)、递增递减的区间、最值等.

［举例1］已知函数/(x)=J2x-l,g(==ax+l,若不等式/(x)>g(x)的解集不为空

集，则实数，的取值范围是.

［举例2］若曲线V=|x|+1和直线丁=履+8没有公共点，贝心力应当满意的条件

是.

11、曲线可以作为函数图像的充要条件是：曲线和任何平行于y轴的直线至多只

有一个交点.

一个函数存在反函数的充要条件是：定义域和值域中元素须一一对应，反应在

图像上平行于X轴的直线和图像至多有一个交点.单调函数必存在反函数吗？

(是的,并且任何函数在它的每一个单调区间内总有反函数).还应留意的是：

有反函数的函数不确定是单调函数，你能举例吗？

［举例］函数/(x)=/_2办+1,(xe［0,l］U［3,4］),若此函数存在反函数，则实

数a的取值范围是.

12、求一个函数的反函数必需标明反函数的定义域，反函数的定义域不能单从反

函数的表达式上求解，而是求原函数的值域.求反函数的表达式的过程就是解

（关于x的）方程的过程.留意：函数的反函数是唯一的，尤其在开平方过程

中确定要留意正负号的确定.

［举例］函数/（X）=log2（x2+2x+2）,（xe（Y0,—2］）的反函数为

13、原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域；原函数

和反函数的图像关于直线y=x对称；若函数y=/（x）的定义域为A,值域为C,

4—C,则有/（加（力）=瓦度（/（。））=4.方=，（幻0”尸（。）.须要特殊留

意一些复合函数的反函数问题.如），=f（2x）反函数不是y=（2x）.

［举例1］已知函数y=/（x）的反函数是y=/T（x）,贝（I函数y=2/T（3x+4）的反

函数的表达式是.

［举例2］已知/（x）=［2'，x­°，若/T（q）=3,则。=________.

log2（-x）,-2<x<0

14、推断函数的单调性可用有关单调性的性质（如复合函数的单调性），但证明函

数单调性只能用定义，不能用关于单调性的任何性质，用定义证明函数单调性

的关键步骤往往是因式分解.记住并会证明：函数的单调性.

［举例］函数在+8）上是单调增函数，求实数。的取值范围.

15、一元二次函数是最基本的初等函数，要娴熟驾驭一元二次函数的有关性质.一

元二次函数在闭区间上确定存在最大值和最小值，应会结合二次函数的图像求

最值.

［举例］求函数/*）=，—2办+1在区间的最值..

16、一元二次函数、一元二次不等式、一元二次方程是不行分割的三个学问点.解

一元二次不等式是“利用一元二次方程的根、结合一元二次函数的图像、写出

一元二次不等式的解集”，可以将一元二次不等式的问题化归为一元二次方程

来求解.特殊对于含参一元二次不等式的探讨比较便利.还应当留意的是；不等

式解集区间的端点值是对应方程的根（或增根）.

［举例1］已知关于x的不等式|3+3区5的解集是,则实数”的值

为.

［举例2］解关于x的不等式：ax2+2ax+1>0（（ze/?）.

其次部分不等式

17、基本不等式a+b>2^b,ab<（日产要记住等号成立的条件和a,b的取值范围.

2

“一正、二定、三相等”，“积定和有最小值、和定积有最大值”，利用基本不

等式求最值时要考虑到等号是否成立.和函数相关的应用题多有基本不等式的

应用.

［举例］已知正数〃/满意a+26=3,则的最小值为，

18、学会运用基本不等式：\\a\-］b\^a±b\^a\+\b\.

［举例1］若关于x的不等式的解集是R,则实数。的取值范围

是;

［举例2］若关于x的不等式|x-1|+|彳-2|<。的解集不是空集,则实数。的取值范

围是一

19、解分式不等式不能轻易去分母，通常采纳：移项（化一边为零）一通分一转

化为整式不等式f化全部因式中的变量系数为正，（即不等式两边同除以变量

系数，若它的符号不能确定即须要探讨）-“序轴标根”（留意比较各个根的

大小，不能比较时即须要探讨）；解确定值不等式的关键是“去确定值”，通常

有①利用确定值不等式的性质②平方③探讨.特殊留意：求一个变量的范围时,

若分段探讨的也是这个变量，结果要“归并”.

［举例］解关于X的不等式：.

20、求最值的常用方法：①用基本不等式（留意条件：一正、二定、三相等）；②

方程有解法③单调性；④换元法；一般而言：在用基本不等式求最值因“不相

等”而受阻时，常用函数的单调性；求二次函数（自变量受限制）的值域，先

配方、再利用图像、单调性等；求分式函数的值域（自变量没有限制）常用“逆

求”（即判别式法）；求分式函数的值域（自变量受限制）通常分子、分母同除

一个式子，变分子（分母）为常数.

［举例1］已知函数的最大值不大于!，又当时，，求实数”的值.

6

［举例2］求函数在区间［-2,2］上的最大值和最小值.

21、遇到含参不等式（或含参方程）求其中某个参数的取值范围通常采纳分别参

数法，转化为求某函数的最大值（或最小值）；但是若该参数分别不出来（或

很难分别），那么也可以整体探讨函数y=/（a,x）的最值.特殊留意：双变量问

题在求解过程中应把已知范围的变量作为主变量，另一个作为参数.

［举例］已知不等式4、一4.2才+2>0对于xe［-l,+oo）恒成立，求实数a的取值范围.

第三部分三角函数

22、若，则sina<a<吆a；角的终边越“靠近”.v轴时，角的正弦、正切的确定

值就较大，角的终边“靠近”x轴时，角的余弦、余切的确定值就较大.

［举例1］已知若sina-|cosa|>0,则a的取值范围是.

［举例2］方程sinx=x的解的个数为个.

23、求某个角或比较两角的大小：通常是求该角的某个三角函数值（或比较两个

角的三角函数值的大小），然后再定区间、求角（或依据三角函数的单调性比

较出两个角的大小).比如：由/ga〉fg/7未必有尸；由］>尸同样未必有

tga>tgB；两个角的三角函数值相等，这两个角未必相等，如sina=sin£;则

a=2k7r+P；或a=2k兀+兀一0,keZ；若cosa=cos/?,贝!ja=2%万±£,左eZ；若

tga=tgp,则a=%万+£,%wZ.

［举例1］已知a,夕都是第一象限的角，则"&<尸"是"sinavsin^”的---

()

A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必

要条件.

［举例2］已知a>0,0>U,a+0〈兀,则"a<月"是"sina<sin>"的-----()

A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必

要条件.

24、已知一个角的某一三角函数值求其它三角函数值或角的大小，确定要依据角

的范围来确定；能娴熟驾驭由/ga的值求sina,cosa的值的操作程序；给(一个

角的三角函数)值求(另一个三角函数)值的问题，一般要用“给值”的角表

示“求值”的角，再用两角和(差)的三角公式求得.

［举例1］已知a是其次象限的角，且cosa=a,利用a表示fga=；

［举例2］已知Gsin?a+sinacosa-2cos2a=0,a€(乙,万)，求的值.

2

25、欲求三角函数的周期、最值、单调区间等，应留意运用二倍角正(余)弦公

式，半角公式降次即：sin2x=—(1-cos2%),cos2x=—(1+cos2x)；引入协助角(特

22

殊留意J常常弄错)运用两角和、差的正弦、余弦公式(合二为一)，将

所给的三角函数式化为y=Asin(aix+e)+8的形式.函数y=|Asin(ftir+e)|的周

期是函数y=4sin3r+/)周期的一半.

［举例］函数/(x)=2cos?x-2gsinxcosx-l的最小正周期为;最大

值为—;单调递增区间为;在区间［0,2幻上，方程/(x)=l的

解集为—

26、当自变量x的取值受限制时，求函数y=Asin(5+e)的值域，应先确定亚的

取值范围，再利用三角函数的图像或单调性来确定sin(®+0的取值范围，并

留意A的正负；千万不能把x取值范围的两端点代入表达式求得.

［举例］已知函数/(x)=2sinx(sinx+cosx),xe［0,万］,求/(x)的最大值和最小值.

27、三角形中边角运算时通常利用正弦定理、余弦定理转化为角(或边)处理.有

关a,。,c的齐次式(等式或不等式)，可以干脆用正弦定理转化为三角式；当知

道△三边a/c平方的和差关系，常联想到余弦定理解题；正弦定理应记为

三=刍==2R(其中R是△外接圆半径.

sinAsinBsinC

［举例］在△中，a,b,c分别是ZA,NB,NC对边的长.已知a,b,c成等比数列，且

a2-c2=ac-bc,求ZA的大小及的值.

28、在△中：sinA>sinBisin(B+C)=sinA,cos(B+C)=

一cosA，，等常用的结论须记住.三角形三内角A、B、C成等差数列，当且仅当.

［举例1］在△中，若2cosBsinA=sinC,则△的形态确定是-------()

A、等腰直角三角形；B、直角三角形；C、等腰三角形；D、等边三

角形.

29sinx+cosx,sinx-cosx,sinxcosx这三者之间的关系虽然没有列入同角三角比的

基本关系式，但是它们在求值过程中常常会用到，要能娴熟地驾驭它们之间的

关系式：(sinx土cosx)?=l±2sinxcosx.求值时能依据角的范围进行正确的取舍.

［举例1］关于x的方程sin2x+a(sinx+cosx)+2=0有实数根，求实数a的取值范

围.

［举例2］己知［€(0,万),且，则rga=.

30、正(余)弦函数图像的对称轴是平行于y轴且过函数图像的最高点或最低点,

两相邻对称轴之间的距离是半个周期；正(余)弦函数图像的对称中心是图像

和“平衡轴”的交点，两相邻对称中心之间的距离也是半个周期.

函数y=rgx,y=agx的图像没有对称轴，它们的对称中心为.两相邻对称轴之间

的距离也是半个周期.

［举例1］己知函数/(x)=sin2x,且/(x+f)是偶函数，则满意条件的最小正数，=

［举例2］若函数/(x)=asinx+cosx的图像关于点成中心对称，贝(Ja=.

第四部分复数

31、复数问题实数化时，设复数z=a+初，不要遗忘条件“泊eR.两复数Z］=a+bif

z?=c+di,(a,b,c,dG7?),zi=z2的条件是。=c,6=d,这是复数求值的主要依据.

依据条件，求复数的值常常作实数化处理.

［举例］若复数Z满意：，贝l|z=.

32、实系数一元二次方程若存在虚根，则此两虚根互为共舸.若虚系数一元二次方

程存在实根不能用判别式推断.

［举例］若方程x?+6x+2=0(beR)的两根a,月满意|a-£|=2,求实数b的值.

33、|Z「Z21的几何意义是复平面上Z”Z2对应点之间的距离，|z-z0|=厂的几何意义

是复平面上以z。对应点为圆心，「为半径的圆.

［举例］若IZ-2i|+|z-z0|=4表示的动点的轨迹是椭圆，则|z。|的取值范围是_

34、对于复数z,有下列常见性质：（1）z为实数的充要条件是z=5；（2）z为纯

2

虚数的充要条件是z+z=O且ZHO;（3）z-z=|z|；（4）|z,z21=1z,IIz21.

［举例］设复数Z满意：（1）（2）|z-2|=2,求复数z.

第五部分数列和极限

35、等差数列｛*｝中，通项/=d〃+b,前〃项和（d为公差,心）.证明某数

列是等差（比）数列，通常利用等差（比）数列的定义加以证明，即证：a„+l-an

是常数（〃eN）（曝=常数，〃GN）,也可以证明连续三项成等差（比）数列.

a”

即对于随意的自然数"有：4+2-％+1=4+1。.

2a

［举例］数列｛即｝满意：=l,a„+l="（neN）.

4+2

（1）求证：数列｛工｝是等差数列；（2）求｛明｝的通项公式.

即

36、等差数列前n项和、次n项和、再后n项和（即连续相等项的和）仍成等差

数列；等比数列前n项和（和不为0）、次n项和、再后n项和仍成等比数列.

类比还可以得出：等比数列的前n项的积、次n项的积、再后n项的积仍成等

比数列.

37、在等差数列｛%｝中，若m+n=p+q（m,%p,qwN）,贝!］a,”+a”=勺,+%；在等比

数列｛%｝中，若m+n=p+q（m,n,p,qwN），则%,9=q等差（等比）数列

中简化运算的技巧多源于这条性质.

38、等差数列当首项可>0且公差d<0,前n项和存在最大值.当首项q<0且公差

d〉O,前n项和存在最小值.求等差数列前〃项和的最值可以利用不等式组来

确定〃的值；也可以利用等差数列的前"项的和是〃的二次函数（常数项为0）

转化成函数问题来求解.

［举例1］若｛%｝是等差数列，首项q>0,4006+。2007>°，。2006，则⑴

使前〃项和最大的自然数〃是____；（2）使前〃项和S“>0的最大自然数

n=；

39、数列｛%｝是等比数列，其前〃项的和S“是关于q的分段函数

叫q=\

S“=%（1_/），在求和过程中若公比不是详细数值时，则要进行探讨.

-----，q手'

I

［举例1］数列｛册｝是等比数列，前〃项和为S“，且，求为的取值范围.

［举例2］数列｛%｝是等比数列，首项为=1,公比4片-1,求的值.

40、等差数列、等比数列的“基本元”是首项、公差(比)，当觉得不知如何用性

质求解时，可以把问题转化成“基本元”解决.学会用随意两项关系：若｛%｝

是等差数列，则对于随意自然数m,〃有an—am+(n-m)d；若｛%｝是等比数列，

则对于随意的自然数〃?,〃，有在这两关系式中若取机=1,这就是

等差(比)数列的通项公式.

［举例1］已知数列｛许｝是等差数列，首项卬＞0,且3%+5%=0.若此数歹U的前〃

项和为S“，问S”是否存在最值？若存在，〃为何值？若不存在，说明理由.

［举例2］已知正项等比数列｛4｝中，首项4＞1,且•若此数列的前"项

积为T“，问是否存在最值？说明理由.

41、已知数列的前〃项和S.，求数列的通项公式时，要留意分段.当％满意

a„=Sn-S„_1,(〃22)时，才能用一个公式表示.

［举例］已知数列｛%｝的前〃项和S”=(«-2)n2+〃+a.若｛%｝是等差数列，求｛%｝

的通项公式.

42、形如：%“=%+/(〃)的递推数列，求通项用叠加(消项)法；形如：的递推

数列，求通项用连乘(约项)法.

［举例］数列｛册｝满意q=1,*=3"T+*(〃22),求数列｛%｝的通项公式.

43、一次线性递推关系：数列｛6｝满意：%=。,册+1+c,(a,6,c是常数)是最

重要的递推关系式，可以看出当6=1时，此数列是等差数列，当c=0。工0)时,

此数列是等比数列.解决此递推的方法是通过代换(令2=即+幻化成等比数

列求解.

［举例］已知数列伍,｝满意：=1,勺+1=2a“+l,(〃eN),求此数列的通项公式.

44、在解以数列为模型的数学应用题时，要选择好探讨对象，即选择好以“哪一

个量”作为数列的“项”，并确定好以哪一时刻的量为第一项；对较简洁的问

题可干脆找寻“项”和“项数”的关系，对较困难的问题可先探讨前后项之间

的关系(即数列的递推公式)，然后再求通项.

［举例］某企业去年底有资金积累。万元，依据预料，从今年起先以后每年的资

金积累会在原有的基础上增长20%,但每年底要留出8万元作为嘉奖金奖给职

工.企业安排用5年时间使资金积累翻一番，求6的最大值.

1,q=1

45、常见的极限要记牢：lira＜0,\q\＜\,留意limq"存在和

〃一＞00〃一＞8

不存在q|＞峨q=-1

是不相同的；，特殊留意此式的结构形式；若/(〃)*(〃)是关于〃的多

项式函数，要会求.

［举例1］求下列各式的值：（1）；（2）.

［举例2］若，贝（Ja=；b=.

46、理解极限是“无限运动的归宿”.

［举例］已知△的顶点分别是A（O,2）,B（O,-2）,C（4+2,o）（〃eN）,记△的外接圆面积

nnn

为Sn,贝limSn=.

第六部分排列、组合和概率

47、解排列组合应用题是首先要明确须要完成的事务是什么，其次要分清完成该

事务是分类还是分步，另外要有逐一列举思想、先选后排思想、正难则反（即

淘汰法）思想.简洁地说：解排列、组合问题要搞清“做什么？怎么做!”分步

做时要考虑到每一步的可行性和“步”和“步”之间的连续性.尤其是排列问

题，更要留意“特殊元素、特殊位置”之间的关系，一般地讲，从正面入手解

决时，“特殊元素特殊照看，特殊位置特殊考虑相邻问题则用“捆绑”，不

邻问题则用“插空”.特殊提示：解排列、组合问题时防止记数重复和遗漏.

［举例］对于问题：从3位男同学，5位女同学这8位同学中选出3人参与学校

一项活动，求至少有2位女同学的选法种数.一位同学是这样解的：先从5位

女同学中选出2名有《种选法，再在剩下的6位同学中任选一位有种选法,

所以共有种不同的选法.请分析这位同学的错误缘由，并给出正确的解

法.

48、简洁地说：事务A的概率是含有事务A的“个体数”和满意条件的事务的“总

体数”的比值.现行高考中的概率问题事实上是排列、组合问题的简洁应用.

［举例］定义非空集合A的真子集的真子集为A的“孙集”，集合A={1,3,5,79}

的真子集可以作为A的“孙集”的概率是.

第七部分向量

49、向量加法的几何意义：起点相同时适用平行四边形法则（对角线），首尾相接

适用“蛇形法则”，表示△的边的中线向量.向量减法的几何复义：起点相同适

用三角形法则，（终点连结而成的向量，指向被减向量），|而|表示A、B两点

间的距离；以＞、B为邻边的平行四边形的两条对角线分别表示向量£+3、3-B

（或各一〃）.

［举例］已知非零向量a,g满意：|a+Z|=|a-Z|,贝1J向量的关系是-------（）

A、平行；B、垂直；C、同向；D、反向.

50、理解单位向量、平行向量、垂直向量的意义.和非零向量［同向的单位向量，

反向的单位向量.

［举例］已知△，点P满意而=〃"+上）,（/le/?）则点P的轨迹是（）

|A8|\AC\

A、边上的高所在直线；B、边上的中线所在直线；

C、ZA平分线所在直线；D、边上中垂线所在直线.

51、两向量所成的角指的是两向量方向所成的角.两向量数量积

a-b=\a\\b\cos<a,b>;其中Ib|cos<>可视为向量右在向量”上的射影.

［举例1］已知△是等腰直角三角形，NC=90°,==2,则的.前=；

52、向量运算中特殊留意二=仃|2的应用.探讨向量的模常常先转化为模平方再进

行向量运算.

［举例］已知曰|=&，向=1,且的夹角为生，又无=工+3B,砺=2）-九求|而

53、向量的坐标运算是高考中的热点内容，要娴熟驾驭.已知£=入,必},石={超,为}

则

a±b={?±电，丁1土为}，。出=占F+M•若4西，力），5（巧，>2），则A3={%2—

西,约-y}，其坐标眩式中是向量的终於坐标减去起点坐标.请留意：向量的坐

标形式实质上是其分解形式x•；+y•］的“简记”.其中行分别表示和x轴、），轴

正方向同向的单位向量.和向量坐标运算最重要的两个结论：若向量

a={x},yx}Jy={x2,y2］是非零向量则有：a±b<^>xi-x2+yi-y2=0；

Q〃力=X］・,2一天2•M=0.

［举例］设0是直角坐标原点，OA=2i+3j,OB=4i-J,在x轴上求一点P,使

APBP最小，并求此时ZAPB的大小.

54、利用向量求角时，要留意范围.两向量所成角的范围是［0,乃］.特殊留意£%>0不

能等同于所成角是锐角.当同向时也满意1花>0.

［举例口已知△,则“Q・尼<o”是“△为钝角三角形”的-------（）

A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；

C、充分必要条件；D、既不充分又不必要条件.

［举例2］/是过抛物线y2=2px（p>0）焦点的直线，它和抛物线交于A、B两点,

0是坐标原点，则△

是（）

A、锐角三角形；B、直角三角形；C、钝角三角形；D、不确定和

P值有关.

55、关注向量运算和其它学问的联系，和三角函数综合是高考中的常见题型.

［举例］已知向量a={2cosx,l},B={cosx,V^sin2x},xeR.设于（x）=a%.

（1）若f（x）=l-Q且，求X的值；

（2）若函数y=2sin2x的图像按向量平移后得到函数y=/（x）的图像，求实数〃?，〃的

值.

56、关注点、函数图像（曲线）按某向量平移导致的坐标、解析式（方程）的改

变;点M（x,y）按向量a="〃}平移得到点的坐标是W（x+/n,y+〃）；曲线C:

f（x,y）=0按向量a={九〃}平移得至！J曲线C'的方程为f（x-〃）=0.在实际

应用过程中不必要死记公式，可结合图形将函数图像（曲线）按某向量平移的

问题可以先“翻译”成向左（右）、向上（下）平移，再用函数图像变换的规

律操作.

［芋例1］将椭圆对应的曲线按向量「平移后得到的曲线的方程为标准方程，则

a=;

第八部分空间图形

57、平面的基本性质是高考中立体几何的重点内容.要驾驭平面的基本性质，特殊

留意：不共线的三点确定一个平面.考察点和平面的位置关系时，要留意探讨

点在平面的同侧还是两侧，会依据不同的状况作出相应的图形.

［举例1］已知线段长为3,A、B两点到平面a的距离分别为1和2,则所在直

线和平面a所成角的大小为；

［举例2］推断命题：“平面a上有不共线的三点到平面用的距离相等，则平面

a和平面厂是平行平面”的真假.

58、线面关系中三类平行的共同点是“无公共点”;三类垂直的共同点是“成角90°”

线面平行、面面平行，最终化归为线线平行.线面垂直、面面垂直，最终化归

为线线垂直.

［举例］已知平面以〃，直线a力.有下列命题：（1）；（2）

（3）；（4）.其中正确的命题序号是.

59、直线和平面所成角的范围是；两异面直线所成角的范围是•一般状况下，求二

面角往往是指定的二面角，若是求两平面所成二面角只要求它们的锐角（直角）

状况即可.

［举例］设A、B、C、D分别表示下列角的取值范围：（1）A是直线倾斜角的取

值范围；（2）B是锐角；（3）C是直线和平面所成角的取值范围；（4）D是两异

面直线所成角的取值范围.用“三”把集合A、B、C、D连接起来得到

60、立体几何中的计算主要是角、距离、体积、面积的计算.两异面直线所成角、

直线和平面所成角的计算是重点（二面角的计算文科不要求）.求两异面直线

所成角可以利用平移的方法将角转化到三角形中去求解，也可以利用空间向量

的方法（要在便利建立坐标系时用），特殊要留意的是两异面直线所成角的范

围.当求出的余弦值为。时，其所成角的大小应为arccos|a|.

［举例］正方体一ABCD中，E是中点，则异面直线和।所成角的大小

61、直线和平面所成角的求解过程中，要抓住直线在平面上的射影，转化到直角

三角形中去求解.点到平面的距离的求解可以利用垂线法，也可以利用三棱锥

的体积转化.

［举例］正三棱柱一ABG的底面边长是2一和平面A所成角为30°.试求：（1）

三棱柱一ABG的体积；（2）点C到平面।的距离.

62、长方体、正方体是最基本的几何体，要娴熟驾驭它们中的线面关系.长方体的

长、宽、高分别为。也。，对角线长为/,则/2=/+〃+。2.利用这一关系可以

得到下面两个结论：（1）若长方体的对角线和三棱所成角分别为a,£〃，则

cos2a+cos20+cos2y=1；

（2）若长方体的对角线和三面所成角分别为a,（3,r,则

cos2a+cos2P+cos2y=2.

［举例］长方体一ABCD的对角线।和过A点的三条棱所成的角分别为以化

若，则/=----------------------------------（）

A、-；B、-；C、土、D、不确定.

643

63、正方体中线面关系可以说是高考中的重点内容，相当一部分的高考题是以正

方体作为载体进行命题，或是截取正方体的一部分进行命题.请特殊关注正方

体表面按不同形式的绽开图，会由绽开的平面图形想象立体图形.

［举例1］如图是一正方体的平面绽开图，在这个正方体中：

（1）和所在的直线平行；（2）和所在的直线异面；

（3）和成60°角；（4）和所在的直线垂直.

以上四个命题中正确的命题序号是；

64、三棱锥顶点在底面三角形内射影为三角形的外心、内心、垂心的条件要分清

晰.

外心：三侧棱相等或三侧棱和底面所成的角相等（充要条件）；

内心：三侧面和底面所成的二面角相等（充要条件）；

垂心：相对的棱垂直（充要条件）或三侧棱两两垂直（充分条件）.

［举例］“三侧棱和底面所成的角相等且底面是正三角形”是“三棱锥为正三棱

锥”的（）

A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要

条件.

65、关注正棱锥中的几个直角三角形.

（1）高、斜高、底面边心距组成的直角三角形；（2）侧棱、斜高、底面棱长的

一半组成的直角三角形；（3）底面上的边心距、底面外接圆半径、底面棱长的

一半组成的直角三角形.（4）高、侧棱、底面外接圆半径组成的直角三角形.

进一步关注的是：侧棱和底面所成角、侧面和底面所成二面角的平面角都体现

在这些直角三角形中.

66、直线和直线所成的角，直线和平面所成的角，二面角在计算过程中都有射影

定理.两直线所成角余弦值的大小是始终线上的线段在另始终线上的射影长

（过此线段两端点向另始终线作垂线，两垂足之间的线段长，若两直线垂直，

则两垂足重合，射影长为0）和原线段长的比；二面角的平面角（或其补角）

的余弦值等于其中S是一个半平面上的图形面积，是此图形在另一平

面上的射影图形面积.

67、特殊留意有一侧棱和底面垂直且底面为正方形、直角梯形、菱形等四棱锥，

关注四个面都是直角三角形的三棱锥.它们之间的线面关系也是高考命题的热

点内容.

［亲例□如图三棱锥S—中，_L平面，ZACB=90°,则此三棱锥的四个面中的

直角三角形的个数有个.

68、图形的分解、组合是立几命题的新思路，学会平面到空间、空间到平面的转

化.

［举例］下面图形为一四棱锥S一的侧面和底面.

（1）请画出四棱锥S」的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？假如存在的话,

指出是示意图中的哪一条，说明理由.

（2）求出此四棱锥的体积；

（3）设E是最长侧棱的中点，F是底面正方形的边中和最长侧棱异面的边的中点,

求和最短侧棱所成角的大小.

第九部分直线和圆锥曲线

70、直线的倾斜角是直线向上方向和X轴正方向所成的角，当直线是X轴或和X轴

平行时，直线的倾斜角是0°,直线倾斜角的范围是。乃）.当直线和X轴不垂直

时，倾斜角的正切值称为直线的斜率.

［举例］已知直线4的斜率是半，直线4过坐标原点且倾斜角是“顷斜角的两倍，

则直线（的方程为.

分析：由人的斜率是g,知直线人的倾斜角为工，所以直线4的倾斜角为工，

363

则4的斜率为VL所以直线4的议程为>=右-

71、若直线的倾斜角为a,直线的斜率为则a和我的关系是：

TTTT

rga,«e［0,-）U（-,^）［arctgk,k>0

不存在，［^+arctgk,k<Q

［2

［举例］已知直线/的方程为ax+勿+c=0,（"H0）且/不经过其次象限，则直线/的

倾斜角大小

为-----------------------------------------------------------------

（）

A、；B、；C、；D、.

分析：留意到直线/的斜率，又直线不过其次象限，则女〉0,所以此直线的倾

斜角为arctgk,选B.

72、常见直线方程的几种形式及适用范围要熟识：（1）点斜式y-两），

过定点（通,％）和x轴不垂直；（2）斜截式y=kx+b9在），轴上的截距为。和X轴

不垂直；（3）截距式，在x轴y轴上的截距分别为4,6和坐标轴不平行且不过坐

标原点.特殊留意的是当直线过坐标原点（不是坐标轴）时，直线在两坐标轴上

的截距也相等，直线在两坐标轴上的截距相等，则此直线的斜率为-1,或此直

线过原点.

［举例］和圆（》一1）2+（>一02=1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有一一

（）

A、2条；B、3条；C、4条；D、5条.

分析：留意到截距和距离之间的区分，截距指的是曲线（直线）和坐标轴交点的

一个坐标，它有正负（也可以是0）之分.选B.

73、求直线的方程时要特殊留意直线的斜率是否存在的状况，不确定时要留意分

类探讨，漏解确定是斜率不存在的状况.要明确解析几何是“用代数方法解决几

何问题”的道理，所以做解析几何问题不要“忘形”.

［举例］过点P（2,3）和坐标原点距离为2的直线方程是.

分析：若仅用点斜式设出直线方程，再用点到直线的距离来求解，则会漏解，这

是因为在设立方程的时候就解除了斜率存在的状况.考虑到直线x=2满意题义，

故所求直线有两条，其方程为：5x-12y+26=0和尤=2.

74、两直线位置关系探讨的主要依据是两直线的斜率，要留意斜率不存在时的状

况.驾驭点到直线的距离公式、两平行直线之间的距离公式、两直线的夹角公式.

由一般式方程推断两直线之间的关系：直线外Ax+gy+G=O,（4,用不全为0）、

/2:4》+82、+。2=0,（4,32不全为0）.则/］〃/2的充要条件是432-&与=0且

AC2—A2G和与。2-

82G至少有一个木为零；/一，2的充要条件是44+8由2=0；和，2相交的充要

条件是4%-A281Ho.

［举例1］宣线/乩斜率相等是/J〃2的------------------------------------

（）

A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要

条件.

分析：直线/"2斜率相等，两直线可能重合，不确定有4/〃2；又两直线4/〃2,

考虑到特殊状况，若都和X轴垂直，则它们的斜率不存在，就谈不上斜拿相

等了.选D.

［举例2］直线/过点P（2,3）和以A（3,2）,8（-1,-3）为端点的线段有公共点，则直线/倾

斜角的取值范围是.

分析：直线和线段之间的关系可借助于数形结合的方法来解决，先确定出“极限”

位置时直线的倾斜角（斜率），再从旋转的角度进行改变探讨.金人=-1,38=2.若

直线/和线段有公共点，则其斜率/存在时的取值范围是：k—或kN2,或其斜

率不存在.因此直线/倾斜角的取值范围是.

75、点A、B关于直线/对称即/是线段的垂直平分线，垂直是斜率关系，平分说明

的中点在/上.特殊留意：当对称轴所在直线的斜率为1或一1时，对称点的坐标

可用代入的方法求得.即点a。,％）关于直线x+y+。=0的对称点是

-cxc

（-y0-o~）；点（々，为）关于直线x-y+c=0的对称点是（％-c,Xo+c）.

［举例1］将一张画有直角坐标系的图纸折叠使点42,0）和点5。6）重合，若点

C（3,0）和点D重合，则点D的坐标为；

分析：事实上这是一个对称的问题，对称轴是的垂直平分线/：x-2y+5=0,D

点是C点关于直线/的对称点.求点关于直线的对称点的坐标要紧紧抓住垂直（斜

率关系）平分（中点坐标）这两个方面列方程组求解.设D点的坐标为（〃*），则，

且，求得：.

［举例2］抛物线G：/=2x关于直线x—y+2=0对称的抛物线为C2,则C2的焦

点坐标为.

d析：两抛物线关于始终线对称,则它们的焦点也关于此直线对称，只要求焦点

关于此直线的对称点即可.抛物线G的焦点坐标为，所以C2的焦点坐标为.

76、直线和圆的位置关系的推断主要是利用点（圆心）到直线的距离来推断.设圆

C的半径是/•,圆心到直线L的距离是d，当d>厂时，直线L和圆C相离；当"=r

时，直线L和圆C相切；当d</•时，直线L和圆C相交.求直线被圆所截的弦

长可用圆半径、弦心距、弦长一半组成直角三角形来求解.

［举例1］已知点伍向是圆点+/=户外的一点,则直线以+勿=产和圆的位置关

系

是--------------------------------------------------------------------

---()

A、相离；B、相切；C、相交且不过圆心；D、相交且过圆心.

分析：点①⑼在圆一+/=户外，则圆心到直线班+勿=「2的距离，

又dr0.选C.

关注：若点3,份是圆/+/=户上的一点，则直线以+勿=户是圆过此点的切线

方程；若点3/)是圆/+产=户外的一点，则直线数+勿=产是此圆过该点有两

切线的切点弦的方程.

［举例2］若圆0：V+y2=户上有且只有两点到直线/：3%+分一15=0的距离为

2,则圆的半径r的取值范围是____________________.

分析:如图：圆心。到直线/的距离为3,和直线/\卜

距离为2的点的轨迹是和/平行且和/距离为2的两\\

平行直线(图中虚线4，).由题义知直线人和圆O''，、：'、、、

有两不同交点，而/，和圆0没有公共点.因此圆0半广&.

径「的取值范围是l<r<5.UX\、'x

77、确定圆的方程可以利用圆的标准方程(x-a)2+(y-勿2=产，即确定圆心坐标

和半径；也可以利用圆的一般方程，+丫2+m+助+/=(),即确定系数D、E、

F.要留意的是方程.产+产+以+Ey+/=o表示圆的充要条件是£>2+£2-4F>0.

确定一个圆的方程须要三个相互独立的条件(因为标准方程和一般方程中都三

个待定的系数).

［举例1］二次方程4?+而)，+02+m+6+尸=0表示圆的充要条件是

分析：留意到圆的一般方程中没有个这样的项，且二次项系数都为1.则必有

B=0,且4=。#0,此时方程可以化成：》2+>2+2》+色丫+£=0.和圆的