高中数学函数与导数（有答案）

函数与导数

导数专项练习

考试范围：导数与函数；考试时间：90分钟：

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷(选择题)

一、单选题

2

1.曲线y=Inx—-在x=l处的切线的倾斜角为a,则cos2a的值为()

x

A.-B.--C.-D.--

5555

2.函数/(x)=(l-cosx)sinx在[-左,句的极大值点为()

3.英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若

〃五)

数列｛x.｝满足=匕则称数列｛x0｝为牛顿数列.如果函数/(x)=X2-X-2数列｛xn｝为牛顿数

f'M'

x—2

列，设%=lnj7T且q=-l,x”>2,数列｛4｝的前“项和为S,,,则$2(^=()

4+1

A.22021-1B.1-2202,

C.r14D.-2

4.已知函数/(x)=若不等式«对任意的xeR恒成立，则实数火的取值范围是

()

A.(—oo,l]B.[l,+oo)C.[0,1]D.[—1,0]

1?

5.已知〃，匕为正实数，直线y=x-2〃与曲线)，=ln(x+〃)相切，则—+的最小值是()

ab

A.6B.472C.8D.2yli

6.已知“X)是定义在R上的奇函数，其导函数为/'(x),且当x>0时，r(x)Jnx+/>>0,则不等式

任一1)/。)<0的解集为(

A.B.(—co,-1)<J(O,1)

C.(—oo,—l)u(l,+oo)D.(—l,0)u(l,+oo)

ooI

7.已知函数/（x）=x+三，若正实数小枚满足/（m-9）+/（2〃）=2,则*+上的最小值为（）

1+emn

88

A.8B.4C.-D.—

39

8.己知函数=在定义域上单调递增，且关于x的方程/（x）=x+2恰有一个实

数根，则实数。的取值范围为（）

10.目前，我国的水环境问题已经到了刻不容缓的地步，河道水质在线监测COD传感器针对水源污染等

无组织污染源的在线监控系统，进行24小时在线数据采集和上传通讯，并具有实时报警功能及统计分析

报告，对保护环境有很大帮助.该传感器在水中逆流行进时，所消耗的能量为万=H。，其中-为传感器在静

水中行进的速度（单位：km/h）,r为行进的时间（单位：h）,左为常数，如果待测量的河道的水流速度为

3km/h,则该传感器在水中逆流行进10km消耗的能量的最小值为（）

A.60kB.120iC.180A;D.240k

11.已知函数/*）=sinx和直线/:y=x+a,那么“a=0”是“直线/与曲线y=f（x）相切”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

12.函数=卜凡0）U（0,句）的图象大致是（）

%—sinx

13.已知函数/（"=/+依+片+1为偶函数，则“X）在x=l处的切线方程为（）

A.2x-y=0B.2x-y+l=0C.2x-y+2=0D.2x-y-l=0

14.等比数列｛4｝中，4=2,4=4,函数/（%）=列%一48-々）（x-^）,则广（（））=（）

A.212B.29C.28D.26

15.若某函数〃x）的图象过点则函数8（耳=般的递增区间为（）

A.（0,2）B.（—oo,0）（2,+oo）C.（-2,0）D.（-oo,-2>（0,+oo）

16.已知定义域为R的函数/（x）满足/（；）=；/（x）+4x>0,其中尸（x）为/（x）的导函数，则不等式

/(sinx)-cos2x20的解集为()

7T7TTTTT

A.[--4-2/X,—+2^7t],A：eZB.[——+2E,—+2E]入Z

66

TT57r

C.0+2版,,+2E],Z£ZD.亡+2E,=+2E],ZcZ

66

71

17.已知函数/(x)=sinx+cosxfI(x)=f(x)f人(x)=/'(x),力(x)=E(x),…，依此类推，f2020

A.V2B.-y/2C.0D.±^2

18.已知双曲线1-£=l（a>0力>0）的左、右焦点分别为%尸2,过点£且垂直于x轴的直线与该双曲

线的左支交于A,B两点，若aAB名的周长为24,则当”匕2取得最大值时，该双曲线的焦点到渐近线的距离

为（）

A.1B.V2C.2D.272

19.若直线/与曲线产五和N+）a=g都相切，则/的方程为（

)

A.)=2x+lB.y=2x+yC.y=^x+lD.

,22

3Y

20.函数八》）=总的大致图象是（）

2e

21.已知“，匕为正实数，直线》=*一。与曲线y=ln（x+/＞）相切，则?的最小值是

ab

A.2B.472C.4D.242

22.若曲线y=ln（x+a）的一条切线为y=ex-6（e为自然对数的底数），其中a,b为正实数，则,+上的

eab

取值范围是

A.[2,e)B.(e,4]C.[2,+ao)D.

23.函数f（x）=2x2-ln|x|的部分图像大致为（）

24.函数〃力=奴-2与g（x）="的图象上存在关于直线y=x对称的点，则。的取值范围是（）

B.-oo,yC.（-00,e]D.

25.已知(x+1)3(工+2)4=%+++%『，贝|J6+2%+3%++7%=

A.1764B.1806C.1836D,1872

27.已知函数y=/（x）的部分图象如图，则/（X）的解析式可能是（）

B./(x)=x+sin2x

1

D.fM=x——cosx

2

28.已知函数f（x）=lnx——对于函数有下述四个结论：①函数在其定义域上为增函数；②

X-1

对于任意的。＞0,4*1,都有/（“）=-/（£|成立；③/（X）有且仅有两个零点；④若〃为）=0,贝Ijy=lnx

在点（为,lnx°）处的切线与y=/在点，处的切线为同一直线.其中所有正确的结论有

A.①②③B.①③C.②③④D.③④

29.已知。力为正实数，直线y=x—。+2与曲线y=e"“-l相切，则的最小值为（）

ab

A.1B.2

C.4D.8

30.已知函数/（》）=上坐的定义域为（0,1，若对任意的士,七10,1|,以止3＞叫学1恒成

xke\IejXj-x2x}x2

立，则实数加的取值范围为（）

A.（-0°,3]B.（际,4]C.（-co,5]D.（~°°，6]

参考答案:

1.B

【分析】根据已知条件，求出切线斜率tana=3,再根据同角三角函数的基本关系可求出

sina,cosa,从而根据二倍角公式求得结果.

【详解】根据已知条件，/。)=上+彳，因为曲线y=lnx-4在x=l处的切线的倾斜角为

XXX

所以tana=/(I)=1+2=3,

所以0<a<g.因为siYa+cos2a=1，tana=^^=3,

2cosa

31

则解得s】na=F，cosa=-f=

yjlt)v'0f

【分析】求出函数的导数，利用导数确定函数的单调性，即可求出函数的极大值点.

【详解】/z(x)=sinx-sinx4-(l-cosx)cosx=-2cos2x+cosx+l=(-COS^+1)(2COSJ:+1),

.♦.当时，r(x)<0,“X)单调递减，

当彳)时，f^x)>0,f(x)单调递增，

当时，r(x)<o,/(X)单调递减，

，函数/(x)=(l-cosx)sinx在［-乃，句的极大值点为年.

故选：D

3.B

工2—x—2A?2+2

【分析】先由题设得到：％乜从而得到的=2%,即可说明数列

{%}是以-1为首项，2为公比的等比数列，再利用等比数列前〃项和求和公式得到结果.

【详解】解：由题知r(x)=2x—1

2x„-l2x„-l

年+222

.x〃+1-2=2x〃-1=%-2、

x”+i+1—+2+]、+1,

2怎-1

x—2x—2

两边取对数得：In37=2In

%+iT+l%+1

x-2

令”"=m七7即。m=2。“，所以数列｛%｝是以-1为首项，2为公比的等比数列，

Xn+1

小£]2⑼

…02021—[-14

1-7

故选：B

4.C

【分析】作出函数/(x)的图象，由题意可得在y=|x—M的图象的上方，分别讨论％<o、k=o、

k>o,结合图象的平移，以及导数的几何意义即可求解.

【详解】作出函数=的图象，

由不等式"X)w|x-4对任意的xeR恒成立，

可得y=/(x)的图象不在y=|x-M的图象的上方，

且y=|x—M的图象关于直线》=上对称，

当A<0时，由图象可知不满足题意；

当人=0时，/(x)4|x-&|对任意的xeR恒成立，满足题意；

当k>0时，当y=|x—M的图象与y=/(x)的图象相切，即有y=x-k为切线,

由/(x)=lnx可得r(x)=g,

设切点为(丸〃)，可得切线的斜率为r(M='=i,则，〃=1,

m

所以"=ln，〃=0,所以()=1一々，解得：k=l,

则0<A41时,满足题意.

综上可得，实数&的取值范围是[0』.

故选：C.

5.C

【分析】设切点为(相，〃)，求出曲线对应函数的导数，可得切线的斜率，代入切点坐标,

解方程可得〃=0,进而得到20+匕=1,再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值.

【详解】设切点为(加，〃),

y=/n(x+b)的导数为y'=」7，

x+b

由题意可得」7=1,

m-\-b

Xn=m-2afn=ln(〃z+。),

解得〃=0,m=2a,

即有2a+6=l,因为以6为正实数，

1212-c，、八八Z?4。，小历4a

所以一+—=z(一+—)(2。+/?)=2+2+—+—>4+2J-------=8o,

ababab\ab

当且仅当2a=6=；时取等号，

12

故上+］的最小值为8.

ab

故选：C.

6.B

【分析】构造新函数g(x)=/(x)lnx,利用导数确定g(x)的单调性，从而可得x>0时Ax)的

正负，利用奇函数性质得出x<0时/(x)的正负，然后分类讨论解不等式.

【详解】设g(x)=/(x)lnx,则g'(x)=r(x)lnx+&>0,所以g(x)在(0,y)上递增，

x

又g⑴=0,所以x>l时，g(x)=/(x)lnx>g(l)=0,此时lnx>0,所以/(x)>0,

Ovxvl时,g(x)=/(x)Inx<g(l)=0,此时，lnx<0,所以/(x)>0,

所以xe(O,l)U(l,y)时，f\x)>0,

因为/Xx)是奇函数，所以xe(-o),-l)(-1,0)时，/(x)<0,

9_1>0x?_1<0

由。2_1)/(_¥)<0得<"、八或八，所以XC-1或0cxe1.

1/W<o[/(x)>0

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题考查用导数解不等式，关键是构造新函数g(x)=/(x)lnx,利用

导数确定单调性后，得出的解.

7.D

【分析】构造函数g(x)=/(x)-l，由导数结合奇偶性得出g(x)在R上单调递增，进而得出

m+2n=9,最后由基本不等式得出答案.

2

【详解】函数f(x)定义域为R,^^(x)=/(x)-l=x+--1

xxx

h(x)=—2—―11-=e-〃(—x)=1—-e~—=e£_i=_/2(x)

]+ex]+ex\+e'x"+1

2

易知>="口〃(©=；~7-1均奇函数，所以g(x)为奇函数

1+e2x

g'3=

M所以g(x)在R上单调递增

由〃，“-9)+”2〃)=2得”〃L9)-1+/(2〃)-1=0

即g(m-9)=-g(2«)=g(-2n),所以加一9+2〃=(),即m+2n=9

1八8

则藐+厂/+2〃g+%卜矣+2+工+马>-(/4A4)=-

9、+)9

当且仅当，〃=3,〃=，时，取等号

故选：D

【点睛】关键点睛：本题考查点较为综合，解决时关键在于利用导数得出加+2〃=9,进而

由基本不等式得出最值.

8.C

【分析】由f(x)递增，先求出”的范围，再根据/(x)=x+2恰有一个实数根，通过数形结

合进一步缩小范围.

丁=e"+4a在x=0处切线为y-(4，/+l)=x,即y=x+4“+l,

又4«+122故》=》+2与y=e'+4a(x>0)没有公共点

.•.y=x+2与y=2_k)g〃(x+l)有且仅有一个公共点且为(0,2)

二y=2-log“(x+l)在x=0处的切线的斜率必须大于等于1,

I1,1......................................1

y=-7.i\i,k=—、—>1,/.Intz>—1>，

In6/e

综上:—<a<\

e

故选：c.

【点睛】本题需要通过求导，数形结合，利用切线斜率的不等关系解决问题.

9.B

【分析】通过研究函数奇偶性以及单调性，以及由/⑴=e-eT>0排除不正确的选项，从而

得出答案..

【详解】详解：户0,/(—)=二^=-/(犬).•./*)为奇函数，排除A,

=故排除D.

(e*+/)Y-(e*-)2x_(%2)e*+(x+2)

r(x)

当x>2时，所以/*)在(2,+00)单调递增，所以排除C；

故选：B.

10.B

【分析】(1)由已知条件可求出该传感器在水中逆流行进10km所用的时间f=£(v>3),则

v-3

所消耗的能量E=H2,£(V>3),法一：将原式变形得到E=10h[(v-3)+6+—二],利用基本

不等式的方法求出最小值；法二：对原式求导，分析函数的单调性，可求出最值.

【详解】由题意，该传感器在水中逆流行进10km所用的时间r=73>3),则所消耗的能量

v-3

E=kv2■—(v>3).

v-3

方法一：

„,,10.v2,[(v-3)+3]2,,[(V-3)2+2-(V-3)-3+32]皿“<9八

E=kv----=1i0nk----=1i0n%•----°———=1ONh--------------------=10^-f(v-3)+6+---1>

v-3v-3v-3v-3v-3

10jt-[2.L-3)--+6]=10A:-12=120jt,当且仅当v-3=-^；,即丫=6时等号成立，此时

Vv-3v-3

E=取得最小值120h

v-3

方法二：

E=H2.£=10h=(v>3),求导得七'=10八广二黑，令£=10«.段黑=0,得丫=6,当

v-3v-3(v-3)(v-3f

3<v<6时，E'<01E=府.上^单调递减；当v>6时，E>0,5=小单调递增，所

V—3V—3

以当V=6时，E=取得最小值，为06晨线=120%.

v-36-3

故选：B.

【点睛】本题考查函数模型的应用.

关键点点睛：函数模型的关键是建立变量之间的关系，从而建立正确的解析式，进而寻找求

最值的方法.

11.A

【解析】根据直线/与曲线y=f(x)相切，求出。=-2左肛4wz,利用充分条件与必要条件的

定义即可判断出结论.

【详解】设函数/(x)=sinx和直线/:y=x+a的切点坐标为,

则E)=cosx0=1,可得"=_2及肛AeZ,

[sin/%〃

所以。=0时，直线/与曲线y=f(，相切;

直线/与曲线y=f(x)相切不能推出。=0.

因此““=0”是“直线/与曲线y=f(X)相切'’的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件。和结论q分别是什么，然后直接

依据定义、定理、性质尝试〃n/qnP.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除

借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转

化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.

12.B

【解析】首先判断函数的奇偶性，再利用导数研究函数的单调性即可得解；

【详解】解：因为f(x)=」一(xe卜乃,0)(0,句)，定义域关于原点对称，又

%—sinx

一%工

所以小叫曲为偶函数，

函数图象关于)，轴对称，所以排除A、D；

/(x-sinx)-(x-sinx)xxcosx-sinx

(x-sin%)2(x-sinx)2

令g(x)=xcosx—sinx,贝ijg，(x)=-xsinx,所以当x«(),句时g<x)K(),所以

g(x)=xcosx-sinx在无«0,可上单调递减，又g(0)=0,所以g(x)<0在x«0,可上恒成

立，所以ra)<o在相(0,句上恒成立，即函数〃》)=一^-在(0,句上单调递减，故排

%—sinx

除C,

故选：B

【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

13.A

【分析】根据函数f(x)是偶函数可得/(-1)=/XD,可求出“，求出函数在x=l处的导数值

即为切线斜率，即可求出切线方程.

【详解】函数/(》)=/+依+/+1为偶函数，

=^2-a+a2=2+a+a2,解得。=0,

:.f(x)=x2+｝,则/'(X)=2x,

\岫手⑴=2,且/(1)=2,

,切线方程为y—2=2(x—1),整理得2x_y=0.

故选：A.

【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，考查利用导数求切线方程，属于基础题.

14.A

【解析】求得r(x),根据等比数列的下标和性质，即可容易求得结果.

【详解】在等比数列｛%｝中，4=2,4=4,

aa

贝ija4a5==2i=《I=2x4=2',

〃x)=x(x-4)(》-%)(x-必)，

,

.­./(x)=(x-6!l)(x-a2)(x-o8)+x(x-a2)(x-a3)(x-%)

+x(x-aj(x-g)(x—%)+,+x(x-al)(^x—a2)(x-%),

3

因此，r(O)=(-«,)(-«，)(-4)=4%«s=(2)=2".

故选：A.

【点睛】本题考查导数的计算，涉及等比数列的下标和性质，属综合基础题.

15.A

【分析】设/(x)=x",代入点求出a,再求出g(x)的导数g'(x),令g'(x)>0,即可求出g(x)

的递增区间.

【详解】设/(x)=x"，代入点则(*)=；,解得a=2,

2

则g，(x)=生=工必』，

ee

令g'(x)>0,解得0<xv2,

・•・函数g(x)的递增区间为(0,2).

故选：A.

【点睛】本题考查待定系数法求事函数解析式，考查利用导数求函数的单调区间，属于基础

题.

16.D

【分析】利用题目条件，构造辅助函数g(x)=/(x)+2f-l,由导数大于0,得出g(x)单调

递增，原不等式转化，利用单调性可解不等式.

【详解】令g(x)=/(x)+2/—1,g'(x)=/'(x)+4x>0,故g(x)在R上单调递增.

X/(sinx)-coslx=/(sinx)+2sin2x-1,且g(；)=0,

故原不等式可转化为g(sinx)2g(；),所以sinx2；,

ITSir

解得一+2E4x4—+2E,%eZ.

66

故选：D.

【点睛】本题考查了导数的综合应用、利用函数单调性解不等式等基本知识，考查了运算求

解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.

17.A

【分析】利用三角函数求导法则求出力(x),/i(x),力(x)……观察所求的结果，归纳其中的规

律，发现其周期性，即可得出答案.

【详解]/i(x)=cosx-sinx,6(x)=-sinx-cosx,f3[x}=-cosx+sinx,f4(x)=sinx+cosx,

依次类推可得出M=/(7)=&-

44

【点睛】本题考查了三角函数的导数、周期性、及观察归纳思想的运用，熟练掌握三角函数

的求导法则，利用其中的函数周期性解决本题.

18.D

【分析】结合题意求出48两点坐标，根据双曲线定义用。力表示出月的周长，然后构

造函数，利用导数研究必2的最大值，结合点到线的距离公式即可求解.

„2,,2层

【详解】设五,3的坐标分别为6(-C,0),石(C,O),将x=-c代入=一看=1可得y=土幺，不

aba

妨设由双曲线定义可知I例|-|前|=%,怛段-忸用=勿,所以

△ABK的周长为|A用+忸用+|AB|=4n+丝-=24,“+生=6,〃=64-/,令

y=ab?=6a2-o'>0^0<a<6,y'=12a-3a2=3。（4一。）,故函数y在（0,4）上单调递增,

在（4,6）上单调递减，所以当〃=4,〃=8时，取得最大值，又双曲线的渐近线方程为

he

y=+a-x,所以该双曲线的焦点到渐近线的距离为HJI=T7S.

故选：D

【点睛】本题主要考查双曲线的定义及焦点到渐近线距离，利用导数研究函数的最值，属于

中档题.

19.D

【分析】根据导数的几何意义设出直线/的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.

【详解】设直线/在曲线y=J7上的切点为［。,后），则%>0,

,1

函数y=«的导数为〉'=1彳则直线,的斜率人诉,

设直线/的方程为丫-任=诉（工一与），即x—2后丫+%=0,

.c1X1

由于直线/与圆V+y2==相切，则no4一=7,

5V1+4xo，5

两边平方并整理得5片-4%-1=0,解得%=1,x0=-1（舍），

贝I］直线/的方程为x-2y+l=0,即y=gx+g.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.

20.A

【分析】根据f（x）的奇偶性，以及函数的单调性，即可容易选择.

3Y

【详解】因为穴-x）=-*=-/（x）,且其定义域为R,所以贝x）是奇函数，

其图象关于原点对称，排除选项B；

当这0时，段)=普，则了(》)=华义，

当0<r<l时，f(x)>0；当x>l时，/(x)<0.

所以/x)在(0,1)上单调递增,在(1,+8)上单调递减,

只有A选项满足题意.

故选：A.

【点睛】本题考查函数图象的辨识，涉及函数奇偶性的判断，利用导数判断函数的单调性,

属综合基础题.

21.C

【分析】求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切线的坐标，可得4+6=1,

再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值.

【详解】解：y=/〃(x+6)的导数为>•'=」，

x+b

由切线的方程y=x-a可得切线的斜率为1,

可得切点的横坐标为1-。，所以切点为(1-6,0),

代入N=x-a,得a+6=l,

。、6为正实数，

贝I止+[=(a+b)(—+-^-)=2+—+^..2+2/—=4.

ababab\ab

当且仅当a=b=!时，」+:取得最小值4.

2ab

故选：C

【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及基本不等式是解决本题的关键,

属于中档题.

22.C

ln(x0+a)=ex()-b

【分析】设切点为(毛,%),由题意知，■1,从而可得M+6=2,根据"1”

--------=e

%+a

的代换，可求出,+〈=<(2+2+*],由基本不等式可求出取值范围.

eab2\eab)

ln(xo+a)=%-力

【详解】解：y=ln(x+a),.•.?=£,设切点为(%,%),则]_

回+“

,11If11Y；x\(bea\,八

ea+h=2,­,----^―=----F—\(ea-\-b\=—2H----n—Ia,b,e>

eab2\eab)2\eab)。

原式之4(2+2户W|=2,当且仅当2=华，即〃=1力=1时等号成立，

2\eabJeabe

即L，22.

eab

故选:C.

【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了基本不等式.切线问题，一般设出切点，由切

点处的导数值为切线的斜率以及切点既在切线上又在函数图像上，可列出方程组.运用基本

不等式求最值时注意一正二定三相等.

23.A

【分析】根据奇偶性的定义，结合函数极限以及利用导数求得函数单调性，即可判断和选择.

【详解】容易得定义域为(—,0)5。，内)关于原点对称，

又/(x)=2x2-ln|x|=/(-x)，

故函数/(x)是偶函数，

，/(x)的图象关于y轴对称,

故排除B,

又野/(幻一+8,

故排除D.

当x>0时，/'(x)=4x-―令/'(力=0,解得x=；；

故当时，f(x)单调递减，在单调递增.

此时=2-lni>0

故排除C.

故选：A.

【点睛】本题考查函数图象的辨识，涉及函数奇偶性、单调性的判断，属综合基础题.

24.C

【解析】由题可知，曲线/(力=办-2与y=lnx有公共点，即方程or-2=lnx有解，可得

〃=土产有解，令/2(犬)=可"，则_对x分类讨论，得出x=:时，〃(x)

取得极大值=也即为最大值，进而得出结论.

【详解】解：由题可知，曲线/(力=6-2与y=lnx有公共点，即方程or-2=lnx有解，

即〃=—［有解，令〃(x)=%,则〃(x)=-—,

则当Ovxv，时，力'(x)>0；当时，/zr(x)<0,

故x=：时，〃(x)取得极大值〃］)=e,也即为最大值，

当x趋近于0时，〃(x)趋近于-oo,所以满足条件.

故选：C.

【点睛】本题主要考查利用导数研究函数性质的基本方法，考查化归与转化等数学思想，考

查抽象概括、运算求解等数学能力，属于难题.

25.C

【解析】设F(X)=(X+l)3(X+2)4=。0+。［%+/次2++的丁，求出/(%)，令X=1即可.

【详解】设/(尤)=(工+1)3(犬+2)4=%+%犬+〃2工2++%工7

426

/\x)=3(X+1)2(X+2)+4(x+1)3(%+2)3=6Z)+2a2x4-3a3x+...+7a7x,

令x=1得，a［+2a2+3%+…+7%=1836.

故选：C.

【点睛】本题考查有关展开式系数和问题，解题的关键要把问题转化为导函数的系数和，属

于基础题.

26.A

【解析】构造函数g(x)=x—sinx,证明当天£［0,乃］时，g(x)2g(O),即x—sinx之0,从而

当x«0,句时,/(x)>0,排除B,C,D,即可得解.

【详解】记g(x)=x-sinx,xe［—应句，

gr(x)=l-cosx>0,

・•・g(x)在［-巴］I上单调递增，

又g(o)=o,

.•.当xe[O,句时，g(x)>g(O),BPx-sinx>0,

又e"+eT>0，

.,.当xe[O,句时，/(x)>0,

故排除B,C,D.

故选：A.

【点睛】本题考查了函数图象的判断以及利用导数证明不等式，考查了转化能力，属于中档

题.

27.C

【解析】首先通过函数的定义域排除选项A,再通过函数的奇偶性排除选项D,再通过函数

的单调性排除选出B,确定答案.

【详解】由图象可知，函数的定义域为R,而函数/(x)=x+tanx的定义域不是R,所以选项

A不符合题意；

由图象可知函数是一个奇函数，选项D中，存在实数x,

使得f(-x)=-x-gcosxw-f(x),所以函数不是奇函数，所以选项D不符合题意；

由图象可知函数是增函数，选项13,./''。)=1+28$2》€[-1,3],所以函数是一个非单调函数，

所以选项C不符合题意；

由图象可知函数是增函数，选项C,/(x)=l-cos2x>0,所以函数是增函数，所以选项C

符合题意.

故选：C

【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生

对这些知识的理解掌握水平.

28.C

【解析】⑴分别求O，〃2)即可判定⑴错误.

(2)分别计算J判断是否等于-/(。)即可.

(3)数形结合分析函数丫=上工与丁二一的交点个数即可.

(4)分别根据导数的几何意义求解y=lnx在点小,lnx。)处的切线与y=e'在点(-皿/,：)处

的切线方程,再根据/伍)=0判定即可.

【详解】(1)〃x)=lnx--的定义域为(0,1)(1,丘).

x-l

因为吗卜呜――=3-ln2>0,/(2)=ln2—言=ln2—3<0.

2-1

所以/(£)〉”2),所以/0)在其定义域上不为增函数.故⑴错误.

(2)因为。>0,aw1.所以一>0,—w1.

aa

-+1.

所以/7—=_皿4+幺：=_/(4).故出正确.

1-1a-'

a

r4-1r+1x4-1

(3)/(x)=lnx-^4的零点即Inx==的解的个数,即函数y=Inx与y==的交点个数.

x-lx-Ix-l

画出图像可知，有两个交点，故(3)正确.

(4)对于函数y=lnx,因为歹=」,所以’，所以y=lnx在点(xoJnxJ处的切线方程为

X工0

y-ln，%=L(x-x<>),即>'=-x+lnx0-l.

%不

对于函数y="，y'=炉,所以丫'11n产,

xo

所以尸e*在Jinx。,']处的切线方程为)-L=’(x+lnx。)，