第3章 函数概念与性质（基础、典型、新文化、易错、压轴）专项训练-2022-2023学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第一册）（解析版）

第3章函数概念与性质（基础、典型、新文化、易错、压轴）

分类专项训练

【基础】

一、单选题

1.（2022•陕西•宝鸡市金台区教育体育局教研室高一期末）我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、

猴、鸡、狗、猪这12种动物按顺序轮流代表各年的年号，2022年是虎年，那么1949年是（）

A.牛年B.虎年C.兔年D.龙年

【答案】A

【分析】利用周期函数的定义求解即可.

【详解】根据题意，农历年号对应的动物是以12为周期的周期函数，

所以/（2022）=/（2022-6X12）=/（1950）=虎年，

所以1949年是牛年.

故选：A.

2.（2022•北京通州•高一期末）已知函数），=/（》）表示为

X[-2,0)0(0,2]

y10-2

设〃D=/（x）的值域为则（）A.m=-2,M={-2,0,1}B.m=-2,M={y|-2WyWl}

C.m=\,M={-2,0,1}D.m=\,M={y|-2WyWl}

【答案】A

【分析】根据所给函数可得答案.

【详解】根据题意得/⑴=-2=〃?，/（x）的值域为知={-2,0,1}.

故选：A.

3.（2022.全国•高一专题练习）某人去上班，先跑步，后步行.如果y表示该人离单位的距离，x表示出发后

的时间，那么下列图象中符合此人走法的是（）.

【答案】D

【分析】根据随时间的推移该人所走的距离的大小的变化快慢，从而即可获得问题的解答，即先利用x=0时

的函数值排除两项，再利用曲线的斜率反映行进速度的特点选出正确结果

【详解】解：由题意可知：x=0时所走的路程为0,离单位的距离为最大值，排除A、C,

随着时间的增加，先跑步，开始时y随*的变化快，后步行，则y随*的变化慢，

所以适合的图象为D；

故选：D

4.（2022•全国•高一专题练习）任意两个事函数图象的交点个数是（）

A.最少一个，最多三个B.最少一个，最多二个

C.最少0个，最多三个D.最少0个，最多二个

【答案】A

【分析】利用基函数的图象和性质判断.

【详解】解：因为所有幕函数的图象都过（1，1）,

所以最少有1个交点,

如图所示：

当函数为），=v和y=x时，它们有3个交点,

故选：A.

5.（2022・全国•高一专题练习）下列命题中正确的是（）

A.暴函数的图象一定过点（0,0）和点（1,1）

B.若函数f（x）=x〃是奇函数，则它在定义域上单调递增

C.暴函数的图象上的点一定不在第四象限

D.幕函数的图象不可能是直线

【答案】C

【分析】利用募函数〉=厂，的图象可排除A,B；基函数y=x可排除D；当x>0时，,f（x）=xa>0必成立,

可判断C

【详解】基函数y=x-的图象不过点（0,0）,它在（-co,0）,（0,+oo）上单调递减，于是A,B都不

正确.

事函数y=x的图象是直线，D不正确.

当x>0时，f（x）=xa>0必成立，所以，幕函数的图象上的点一定不在第四象限，C正确

故选：C.

二、多选题

6.（2022・全国•高一专题练习）矩形的面积为10,如果矩形的长为x,宽为对角线为d,周长为/,下列

正确的（）

A.l=2x+一（x>0）B.y=—（x>0）

XX

c./=2，磨+20（d>0）

【答案】ABD

【分析】根据已知条件逐个分析判断即可

【详解】对于A,因为矩形的面积为io,矩形的长为％,宽为

所以孙=10,得尸3，所以矩形的周长为/=2x+至（x>0）,所以A正确,

XX

对于B,由选项A,可知y=W（x>0）,所以B正确，

X

对于c,因为矩形的面积为io,对角线为d,长为x,宽为y,

所以/+/=/22砂=20,当且仅当X=y=ji6时等号成立,

所以/+丁+2*丫=1+20,(x+y)2=d2+20,

因为x+y>0,所以*+/=J-2+20,所以矩形的周长为/=2山2+20（公2行），所以C错误,

对于D,由选项C可知/+>2=/，D=10,所以/=/+吧，

X

因为4>0,所以d=卜+券（x>0）,所以D正确，

故选：ABD

7.（2022•全国•高一）函数/（幻=］「，x€（-oo,0）50,yo）,则下列等式成立的是（）

A.〃x）=MB.=

。•必卜心D./（T）f（x）

【答案】AD

【分析】利用函数解析式直接验证可得出合适的选项.

一%x

【详解】因为xe（F,0）u（0,E）,则〃一句=］+（］靖=_’7=-/（0,

］_

/（｝）=一七=言［=/（力，AD选项正确，BC选项错误.

,+U

故选：AD.

8.（2022.全国•高一专题练习）下面选项中，变量>是变量x的函数的是（）

A.*表示某一天中的时刻，>表示对应的某地区的气温

B.X表示年份，y表示对应的某地区的GO尸（国内生产总值）

c.X表示某地区的学生某次数学考试成绩，y表示该地区学生对应的考试号

D.X表示某人的月收入，y表示对应的个税

【答案】ABD

【分析】根据函数的定义，进行判断

【详解】ABD均满足函数的定义，C选项，同一个分数可以对应多个考试号，不满足对于任意的x,都有

唯一的y与其对应，故C选项错误.

故选：ABD

9.（2022・全国•高一单元测试）某校学习兴趣小组通过研究发现：形如尸竺兰（acRO,""不同时为0）

cx+a

的函数图象可以由反比例函数的图象经过平移变换而得到，则对函数y=Tx+2的图象及性质，下列表述正

x-]

确的是（）

A.图象上点的纵坐标不可能为1

B.图象关于点（1,1）成中心对称

C.图象与x轴无交点

D.函数在区间（1,+8）上是减函数

【答案】ABD

【分析】化简y==得到y=i+F，结合反比例函数y=°的性质可得到结果.

x-1x-1x

【详解】y=W=iO=l+上，则函数y=g的图象可由的y=2图象先向右平移一个单位长度，

x-1x-1x-lX-1X

再向上平移一个单位长度得到，

图象上点的纵坐标不可能为1,A正确；图象关于点（1,1）成中心对称，B正确；图象与X轴的交

点为（-2,0）,C不正确；函数在区间（1,内）上是减函数,D正确..

故选：ABD.

三、填空题

10.（2022•北京丰台•高一期末）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他

民俗活动的民间艺术.现有两名剪纸艺人创作甲、乙两种作品，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点4

的横、纵坐标分别为第，・名艺人上午创作的甲作品数和乙作品数，点B,的横、纵坐标分别为第i名艺人下午创

作的甲作品数和乙作品数，，=1,2.给出下列四个结论：

“乙作品数（件）

-R

,A

J---甲-作品数（件►）

①该天上午第1名艺人创作的甲作品数比乙作品数少；

②该天下午第1名艺人创作的乙作品数比第2名艺人创作的乙作品数少；

③该天第1名艺人创作的作品总数比第2名艺人创作的作品总数少；

④该天第2名艺人创作的作品总数比第1名艺人创作的作品总数少.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①②④

【分析】根据点的坐标的意义结合图形逐个分析判断即可

【详解】对于①，由题意可知，A的横、纵坐标分别为第1名艺人上午创作的甲作品数和乙作品数，由图可

知A的横坐标小于纵坐标，所以该天上午第1名艺人创作的甲作品数比乙作品数少，所以①正确，

对于②，由题意可知，用的纵坐标为第1名艺人下午创作的乙作品数，4的纵坐标为第2名艺人下午创作

的乙作品数，由图可知g的纵坐标小于冬的纵坐标，所以该天下午第1名艺人创作的乙作品数比第2名艺

人创作的乙作品数少，所以②正确，

对于③，④，由图可知，A，耳的横、纵坐标之和大于4,的横、纵坐标之和，所以该天第2名艺人创作

的作品总数比第1名艺人创作的作品总数少，所以③错误，④正确，

故答案为：①②④

II.（2022.全国•高一专题练习）对于三个数字a,b,c,用min{a,6,c}表示这三个数中最小数，例如

-2(x>-2)

min{-2,-1,0)=-2,min"如果min{-3,8-2x,3x-5}=-3,则x的取值范围是

x(x<-2)

【答案】

—3K8—2x

【分析】根据题意转化为不等式组-343一,即可求解

【详解】由题意,如果min{-3,8-2x,3x-5}=-3,

可得不等式组-3<8-2<x，解得2即11实数1的取值范围是［；2=11］.

1-3S3工一33232

故答案为：［］,万］.

12.（2022.全国•高一专题练习）如图1,四边形4BCO中，AB//CD,4=90。，AC=AD.动点P从点8

出发，沿折线B-A-O-C方向以“单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，ABCP的面积S与运动

时间f（秒）的函数图象如图2所示，则四边形A8CD的面积是.

图1图2

【答案】90

2

【分析】由题可得/W=3a,AD=5a=AC,进而可得，SBCD=^xBCxCD=\2a=60,解得片=5,即可

求解.

在RtAD”中，AD=5a,AB=3a=CH=DH,

则AH-J5a*-3a2=4a=BC,

当点P在点、及处时，Spen=S8co=；xBCxC£)=；x4ax6a=12/=60,

解得°2=5,

贝I］四边形ABC。的面积为g(AB+C£>)xA"=gx(3“+6a>44=18a?=90.

故答案为：90.

四、解答题

13.(2022・湖南•高一课时练习)己知某函数在区间(口/］上递减，在区间口,一)上递增，“0)不是这个函

数的最小值.试写出一个这样的函数解析式.

【答案】/(X)=X2-2X+1

【分析】根据函数单调性直接写出函数解析式.

【详解】由已知在区间(-8,1］上递减，在区间［1,—)上递增，/(0)不是这个函数的最小值，

则这个函数可以为〃X)=(X—1)2=X2-2X+1,

答案不唯一.

14.(2022・全国•高一课时练习)下列各组中两个变量之间是否存在依赖关系？若存在依赖关系，则其中哪

些是函数关系？

(1)在速度不变的情况下，汽车行驶的路程和行驶的时间；

(2)家庭的收入和其消费支出；

(3)正三角形的面积和它的边长.

【答案】(1)存在依赖关系，是函数关系

(2)存在依赖关系，但不是函数关系

(3)存在依赖关系，是函数关系

【分析】根据函数的概念，逐项判定，即可求解.

(1)

解：在速度不变的情况下，行驶的路程s与行驶的时间，之间满足s=h(k为正数),

故这两个变量之间存在依赖关系，且是函数关系.

(2)

解：家庭收入和其消费支出之间存在依赖关系，但不是函数关系.

(3)

解：正三角形的面积S与其边长。之间满足5=立/,故这两个变量之间存在依赖关系，且是函数关系.

4

15.(2022.全国•高一专题练习)如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形

花园ABCZ),已知院墙长为25米，篱笆长50米(篱笆全部用完)，设篱笆的一面A8的长为x米.

<-----25m---->

M~71[D~N

BC

(1)当A8的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？

(2)若围成的矩形48。的面积为S平方米，当x为何值时，S有最大值，最大值是多少？

【答案】(1)15米；

(2)当x为12.5米时，S有最大值，最大值是312.5平方米.

【分析】(1)设篱笆的一面A3的长为x米，则BC=(50-2x)m,根据“矩形花园的面积为300平方米”列

一元二次方程，求解即可；

(2)根据题意，可得S=x(50-2x),根据二次函数最值的求法求解即可.

(1)

设篱笆的一面AB的长为x米，则8c=(50-2x)m,

由题意得，450-2x)=300,

解得再=15，w=10,

50-2x<25,

.\x>12.5,

.*.x=15,

所以，AB的长为15米时，矩形花园的面积为300平方米；

(2)

由题意得,S=x（50-2x）=-2x2+50x=-2（x-l2.5『+312.5,12.5<x<25

.•.x=12.5时，S取得最大值，此时，5=312.5,

所以，当x为12.5米时，S有最大值，最大值是312.5平方米.

16.(2022•全国•高一课时练习)几名大学毕业生合作开设3。打印店，生产并销售某种3。产品.已知该店每

月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是

月销售产品的生产成本，第二部分是其他固定支出20000元.假设该产品的月销售量八件)与销售价格x(元

/件)(xeN")之间满足如下关系：①当344XM60时，r(x)=-«(x+5)2+10050；②当604xM76时，

f(x)=-l(X)x+7600.记该店月利润为例(元)，月利润=月销售总额-月总成本.

(1)求M关于销售价格x的函数关系式；

(2)求该打印店的最大月利润及此时产品的销售价格.

，/、f-2x3+48x2+10680x-360000,34<x<60,xeN*

【答案】(l)M(x)=《,.

''-100x2+11OOO.r-278400,60<x<76,xeTV

(2)44226元，51元/件

【分析】(1)先代入x=6(),求出。，然后，分情况写出M(x),化简即可求解

(2)分情况讨论M(x)的最值即可求解

(1)

当x=60时，-a(60+5)2+10050=-100x60+7600,解得a=2.

._1(~2x2-20x+10000)(x-34)-20000,34<x<60,xe

"'"|(-100x+7600)(x-34)-20000,604x476,xeN*

(、_f-2x3+48x2+10680x-360000,344x460,xeN",

'A-j-100x2+11OOO.r-278400,604x476,xeN*

(2)

当344x460,xeR时，设g(x)=—2d+48Y+10680X-360000,

贝ljg，(x)=-6(/-16x-1780).

令g[x)=0,解得用=8—(舍去)，A2=8+2^/46^e(50,51),

当34WX&50时，g'(x)>。，g(x)单调递增;

当51Mx460时,g'(x)<0,g(x)单调递减.

•••xeN*,M（50）=44000,M（51）=44226,M（x）的最大值为44226.

当604x476时，M（x）=100（-x2+110x-2784）单一调递减，故此时

M（x）的最大值为"（60）=21600.综上所述，当x=51时，M（x）有最大值44226.

该打印店的最大月利润为44226元，此时产品的销售价格为51元/件

17.（2022•湖南•高一课时练习）某农场种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西

红柿市场售价与上市时间的关系可用如图所示的一条折线表示，写出市场售价与时间的函数解析式

【分析】利用待定系数法分别求出函数在当0VfV200和200V14300时的函数解析式，从而可得出答案.

【详解】解：当0W200时，设/（。=4+4，

将点(0,3),(200,1)代入得，

b、=3

b.=3

200匕+4=1'解得',1，

J100

所以/(，)=-3,0<t<200,

100

当2(X)<fW300时，设/(♦)=口+4,

将点（300,3）,（200,1）代入得,

b=-3

300A)+4=32

解得

200&+4=1

所以f(/)=4f-3,200<?<300,

---r+3,0<r<200

综上可得—(，)=，100

—r-3,200<r<300

150

18.(2022.全国•高一专题练习)结合图中的五个函数图象回答问题:

(1)哪几个是偶函数，哪几个是奇函数?

(2)写出每个函数的定义域、值域；

(3)写出每个函数的单调区间：

(4)从图中你发现了什么？

【答案】(1)答案见解析；

(2)答案见解析；

(3)答案见解析；

(4)答案见解析.

【分析】根据已知函数图象，数形结合即可求得结果.

(1)

数形结合可知，y=x?的图象关于y轴对称，故其为偶函数;

y=x,y=V,y=1的图象关于原点对称，故都为奇函数.

X

(2)

数形结合可知：丫=«的定义域是［0,S)，值域为［0,田)；

丫=》,丫=丁的定义域都是/?,值域也是R;

yW的定义域为(3,0)5°，”)，值域也为(F,0)5。,田)；

y=V的定义域为R,值域为［0,舟).

(3)

数形结合可知：)，=«的单调增区间是：［0,小)，无单调减区间；

y=X,y=/的单调增区间是：R,无单调减区间；

y=:的单调减区间是：(—,0)和((),□),无单调增区间；

y=Y的单调减区间是(一,(J),单调增区间是((),y).

(4)

数形结合可知：

事函数均恒过(1,1)点；幕函数在第一象限一定有图象，在第四象限一定没有图象.

对幕函数〉=丁，当a>0,其一定在(0,y)是单调增函数；当a<0,在(0,e)是单调减函数.

【典型】

一、单选题

1.(2020•北京・日坛中学高一期中)下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是()

A.y=-x2+1B.y=(x-1)2

C.y=x3D.y=-

x

【答案】C

【分析】首先判定A,B不是奇函数，然后根据基函数的知识判定C,D的单调性.

【详解】A.y=-/+l定义域为R,当x=0时y=lx0,不是奇函数，；

B.y=(x-1)2定义域为R,当x=0时y=l#0,不是奇函数，

C.y=V的定义域为R,

由(-)3=可知y=d是奇函数，

当％<当时，y2-yt=£一片=小一七乂/+内占+石)

[+—)+v]>

由于々-%＞0,且在不当不全为零的情况下，+苧＞0恒成立,

...y=v在定义域R上是单调递增函数；

D.y=：是奇函数，在定义域的两个子区间（一,0）和（0,也）内都是单调递减，但在定义域（-8,0）5。,+力）上

不是单调递减（x=-l时的函数值为-2,x=l时的函数值为2,-2＜2）.

故选：C.

2.（2022•全国•高一课时练习）若奇函数f（x）在区间［3,7］上单调递增，且最小值为5,则/（x）在区间［—7,

-3］上（）

A.单调递增且有最大值一5B.单调递增且有最小值一5

C.单调递减且有最大值一5D.单调递减且有最小值一5

【答案】A

【分析】根据奇函数的性质，可以判定f（x）在区间［—7,—3］上单调递增，进而判定最值后做出选择.

【详解】因为“X）在区间［3,7］上单调递增，且最小值为5,所以"3）=5.

由奇函数在对称区间上单调性相同，可知f（x）在区间［-7,-3］上单调递增，

且有最大值〃-3）=-/（3）=—5.

故选：A.

3.（2022•吉林・长春外国语学校高一开学考试）下列函数中是偶函数，且满足“％,毛＜（）,”），%时，

都有〃与）＜/（々）”的是（）

A.y=|x|+lB.y=x~—

C.y=x'2D.y=x2H■-1

x

【答案】C

【分析】根据偶函数的定义和函数单调性的定义判定即可.

【详解】由题知函数/（x）在区间（0,+8）上单调递减.

A选项，当x>0时，)，=W+l=x+l显然单调递增，不满足题意，故A错误;

B选项，(一“)-^^=-*+^=—’所以y=x-g是奇函数，不满足题意，

故B错误；

C选项，(-xf=x-2,所以y=/是偶函数，且y=/在区间(0,+功上显然单调递减，满足题意，故C正

确；

171

D选项，当x=l时，y=2,当x=2B寸，y吟，y=f+4显然在(0,+助上不单调递减，不满足题意，故

D错误.

故选C.

4.(2022•陕西•西安市临潼区铁路中学高一期末)已知定义在R上的函数Ax)满足：/(x-1)关于(1,0)中心对

称，/(X+D是偶函数，且=则/(5)的值为()

A.0B.-1

C.ID.无法确定

【答案】B

【分析】由于/(x-1)关于(1,。)中心对称，又将函数f(x-l)向左平移1个单位后为/(幻，所以f(x)关于(0,0)

中心对称，即/(*)是奇函数；又/(X+D是偶函数，又将函数/(X+D向右平移1个单位后为Ax),所以/*)

关于直线x=l对称，可得函数/(X)的周期T=4,由此即可求出结果.

【详解】由于/(x-1)关于(1,0)中心对称,又将函数/(x-1)向左平移1个单位后为/(x),所以f(x)关于(0,0)

中心对称，即f(x)是奇函数；又/(x+1)是偶函数，又将函数/(x+1)向右平移1个单位后为/(x),所以f(x)

关于直线x=l对称，即于直=f(2-x)；

所以/(x)=-f(x-2),所以f(x+2)=-/(x),所以/(x+4)=-/(x+2)=/(x),

所以函数的周期T=4,

故选：B.

5.(2022•山西太原•高一开学考试)已知定义在R的函数满足/(x)=/(4-x),/(x+2)+/(-x)=4,则下列

结论正确的是()

A.f(x)不是周期函数

B./(x)是奇函数

C.对任意"€Z,恒有f(4〃+l)为定值

D.对任意"wN”，有川)+/⑶+/(5)++/(2〃-1)=〃

【答案】C

【分析】利用已知两个等式进行变形，由此可推出函数/*)为周期是4的偶函数，从而可判断选项A8,

再利用周期性可得f(4〃+1)的值，即可判断C,。

【详解】/(x)=/(4-x),A/(2+x)=/(2-x)

/(x+2)+/(—x)=4,f(2-x)+f(-x)=4

f(2+x)+/(x)=4,"(x+2)++4)=4

f(x+4)=f(x),：.f(x)是周期为4的函数

二/(x)="4一x)=/(-x),，f(x)为偶函数

在f(x+2)+/(—x)=4中，令x=—l,有/(1)+/⑴=4,〃1)=2

故八4〃+1)=△1)=2是定值

当附=1时，/(1)+/(3)+/(5)++/(2"1)=〃即为川)=1,故D不正确

故选：C

【点睛】本题考查了函数的周期性与对称性综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于

中档题

二、多选题

6.(2020・湖北十堰•高一期中)有以下判断，其中是正确判断的有()

A./(》)=区与8(幻=「；此1表示同一函数

B.函数y=/(©的图象与直线x=l的交点最多有1个

C./(x)=/-2x+l与g⑺=产-2^+1是同一函数

D.^/(x)=|x-l|-x,则+出)=。

【答案】BC

【分析】根据同一函数的判定方法，可判定AC；根据函数的概念，可判定B；根据函数的解析式，求得了(；)

进而求得了(/(；))的值，可判定D.

【详解】对于A,函数/(x)=区的定义域为(7,0)(0,位)，函数g(x)=「：”l定义域为R,

两函数的定义域不同，所以不是同一函数，故A错误；

对于B,若函数y=f(x)在x=l处有定义，则/(*)的图象与直线x=l的交点有1个；

若函数y=/(x)在x=l处没有定义，则/(X)的图象与直线x=l没有交点，故B正确；

对于C,函数〃x)=Y-2x+l与gQ)=r-2r+l的定义域与对应法则都相同，所以两函数是同一函数，故

C正确：

对于D,由=可得/出=0,所以吗)]=/(0)=1,故D错误：

故选：BC

三、填空题

7.(2022・四川・遂宁中学高一开学考试)已知暴函数〃力=(%-1)*"的图象过点(23，则％.

【答案】1

【分析】根据幕函数的定义，求得女的值，将已知点的坐标代入函数解析式，解方程求得。的值，进而得解.

【详解】•."(x)=(AT)"为事函数，.••人一1=1,，％=2；

♦.•其图象过点(2,；),.•.2"=；,=

**-k-va=2—1=1,

故答案为：1

8.(2021•四川省成都市新都一中高一期末)定义在R上的函数“X)满足：对于任意的毛，x2eR,都有

—))(占一々)>0恒成立，且对于任意x，yeR都有/(x+y)=/(x)―/(y),同时/⑴=3,则不

等式/(/-》)<9的解集为.

【答案】(-1,2)##但-1。<2}

【分析】由[/(百)一/(马)}(芭72)>0分析得到函数的单调性，由〃x+y)=〃x>〃y),同时/⑴=3,

得到"2)=9,原不等式转化为f(x2-x)<f(2),进而结合单调性转化求解.

【详解】不妨设由"(XJ-/(X2)]G—当)>0恒成立，得〃xj</(w)恒成立，可知函数”X)

在在R上单调递增,

/（x+y）=〃x）•/（），），同时"1）=3,可知〃2）=/（1）/（1）=9,

二不等式/（除一x）<9即为/（X2-X）V〃2）,等价于V-X<2,解得-1<X<2,

.••所求不等式的解集为（-1,2）,

故答案为：（-1,2）.

9.（2021•全国•高一课时练习）函数/（x+2）是定义在（一3,-1）上的减函数，且关于点（-2,0）对称，若

+f（3-2"）<0,则实数m的取值范围为.

【答案】（1,2）

【分析】根据已知可得f（x）是定义在（一1,1）上的奇函数，且单调递减.然后可将所求不等式转化为关

于用的不等式组，进而求解.

【详解】由题意知，函数/（x+2）的定义域为（—3,-1）上的减函数,，且关于点（-2,0）对称，

所以函数“X）的定义域为（-1,1）上的奇函数，且在（一1,1）上单调递减.

由/（机_1）+/（3—2机）<0,得/（加一1）<—/（3—2加），

-1<tn-\<1

所以加一3）,所以<-1<3-2利<1,解得1cM7<2.

tn-\>2m-3

故实数机的取值范围是（1,2）.

故答案为：（1,2）.

10.（2022.全国•高一期末）已知偶函数〃x）在[（）,”）单调递减，若/（-2）=0,则满足^（x-l）>（）的x的

取值范围是.

【答案】（0,3）

【分析】根据题意，由偶函数的性质可得八2）的值以及函数的单调性，结合函数的单调性可得函数f（x）的

[x>0fx<0

符号；由"：-1）>（）,可得伉1）>0或结合函数”1）的图象，分析可得X的范围，

即可得答案.

【详解】根据题意，函数”X)为偶函数，则〃2)=根(-2)=0,

又由函数〃x)在［0,”)上单调递减，则在(0,2)上，/(x)>0,在(2,田)上，/(x)<0,函数/(x)在(尔,0)

上单调递增，则在(3,-2)上,y(x)<0,在(-2,0)上，」(x)>0,是将函数f(x)的图象向右平移

1个单位，其草图如图：

又由4(x-l)>0,贝”有或.解得或0<x<3；

即x的取值范围为(—,-1>一(0,3).

故答案为：(―,一1)(0,3).

四、解答题

11.(2022•全国•高一课时练习)已知“力=3/-1,g(x)=3.

⑴求/(I)，g⑴的值;

⑵求f(g⑴)，g(〃D)的值；

⑶求“X),g(x)的值域.

【答案】(D/(l)=2,g(l)=；；

(2)“g(i))=q,g(〃i))q；

(3)/«的值域是［T,e)，g(x)的值域是(〜,0)U(0,E)

【分析】（1）将X=1分别代入“X）与g（x）的解析式，求值即可:

（2）由（1）,将g⑴，41）的值分别代入与g（x）的解析式，求值即可;

（3）利用二次函数的性质以及反比例函数的性质可得答案.

(1)

V/(X)=3X2-1,.,./(1)=3X12-1=2

vg(x)=---,g(i)=­!—=—

')x+2''1+23

(2)

由（1）知/（g⑴）=/［；）=3x@）g（〃l））=g（2）=』=；.

（3）

0**x2>0,•**3x2-1>-1,/（x）的值域是［一L+00）.

•；贵w0，；.g（x）的值域是（田,0）U（0,”）.

12.（2022・全国•高一课时练习）已知函数/（力=/-小（〃7>0）在区间［0,2］上的最小值为g（m）.

（1）求函数g（加）的解析式.

（2）定义在（y,0）U（0,M）上的函数力（x）为偶函数，且当x>0时，/i（x）=g（x）.若恤）</z（4）,求实数

，的取值范围.

加

【答案】⑴g㈣=F'；（2）（TO）（0,4）

4-2m,m>4

【分析】（1）将二次函数f（x）配方，按对称轴在定义域内和不在定义域内两种情况，分别求出函数的最小

值，可得函数g（，〃）的解析式;

（2）由已知得出/?（x）的解析式，利用函数的单调性和偶函数，列不等式解出实数r的取值范围.

【详解】（I）因为f^=x2-mx

m

所以当0<加44H寸，0<-<2,此时

2

当机>4时，y>2,此时函数在区间［0,2］上单调递减，

*2

m"

所以g（%）=，（2）=4-2/n.综上,g（m）=<4'

4—2团,m>4

,x2

（2）因为x>0时，〃（x）=g（x）,所以当x>0时，〃（》）=「易知函数秋x）在（0,+8）上单调

4-2x,x>4

递减，因为定义在（-8,o）u（o,«»）上的函数万⑺为偶函数，且力⑺2力（4）,所以。<,<4,解得T<r<0或

0<r<4,所以实数/的取值范围为（T,0）（0,4）.

13.（2020•北京・日坛中学高一期中）已知函数/（x）=x+f当x>0时，“X）的图象如图.

（2）写出函数/（x）的单调区间（直接写出结果）；

⑶试讨论函数在区间上的最大值.

【答案】（1）奇函数，证明见解析

（2）单调增区间：（-8,-1］和［1,+。）；单调减区间为11,（））和（0』.

⑶当;<"W3时，函数“X）最大值为与，当a>3时函数f（x）最大值为〃+

【分析】(1)利用奇函数的定义可判定函数f(x)为奇函数；

(2)利用奇函数的图象性质得到/(x)在整个定义域上的图象，根据图象可直接写出函数的单调区间;

(3)利用数形结合思想可以分类讨论得到函数/(x)在区间上的最大值.

(1)

=,函数〃x)的定义域为{xeRhwO},

又,:4-x)=-x+^=-(x+B)=-f(x),

•••函数/(X)为奇函数.

(2)

根据奇函数的图象关于坐标原点对称，可得函数/(x)的图象如图所示，

由图可知函数/(X)的单调增区间：(-8,-1］和［1,+8)；单调减区间为［-1,0)和(0』.

(3)

/囚=!+3=9,令/(》)=与，即x+L；,解得玉=：,々=3.

333x33

作出直线y=/,如图所示.

由图可得当g<“43时，函数/(X)最大值为当，当a>3时函数/(x)最大值为了(”"+；.

14.(2022•全国•高一课时练习)已知函数/(同=尔+：5,〃为常数)，且满足=/(2)=*

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)若对任意的xe(0,；,关于x的不等式/(x"2T恒成立，求实数,的取值范围.

【答案】(l)/(x)=2x+=；

(2)[0,-KO).

【分析】(1)根据题意得到关于私〃的方程组，求解后即得到函数〃x)的解析式;

(2)利用基本不等式或者利用函数的单调性即可求得f(x)在给定区间上的最小值，然后利用不等式恒成立

的意义得到关于t的不等式，求得t的取值范围.

(1)

5

〃?+〃=—m=2

2

解：由题意得＜s，解得1,故f(x)=2x+；；

八”17n--2x

+—=—2

24

(2)

解法一：对任意的xe(0,g,f(x)=2x+->22x--=2,当且仅当2x=；,即x=；时取等号，.•./(x)

2xV2x2x2

最小值为2,

•.•关于X的不等式/(x)N2-恒成立，.•.2N2T,.“NO,

即实数f的取值范围是[(),内).

解法二：设“应6(。，；，±＜々，则

/C…—2得=2"卜去"2fT

玉W＞0,4工1%2。,七一玉)0,

・•・/(犬2)-/(x)v°，

.♦./(月在(0,；上单调递减，.•.〃尤L=/g)=2,下同解法一.

【新文化】

一、单选题

1.(2022•内蒙古赤峰•高一期末(理))意大利画家达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自

然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题“，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬

链线函数，其函数表达式为coshx=W;，相应的双曲正弦函数的表达式为sinhx=q：.设函数

八》)=包笑，若实数，"满足不等式〃2加+3)+/(->)<0,则机的取值范围为()

A.(—1,3)B.(—3,1)C.(—3,3)D.(—oo,—1)<J(3,+OO)

【答案】D

【分析】根据题意，写出函数解析式，由奇偶性和单调性，解不等式.

【详解】由题意，〃刈=坐==^,由=-二;=

coshxe+ee+ee+e

2

则函数/(X)为奇函数，即/(2m+3)+/(—病)<0=>/(2,n+3)<-/(-W)

n〃2m+3)</(评)，因f(x)==^=W[=l-”J,易知其为增函数，

eIee+1e十i

贝!]2〃z+3<MI,,解得x<—1或x>3,

故选：D.

2.(2022•全国•高一课时练习)中文“函数(function)”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所

以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的

变化而变化，下列四组函数，表示同一函数的是()

A.f(x)=1,g(x)=x°B..f(x)=x(xeR)与g(x)=x(xeZ)

x,x>0

C.f(x)=|x|与g(x)=D.f(x)-Jx+2-\lx-2,g(x)=yjx2—4

-x,x<0

【答案】c

【分析】根据给定条件结合同一函数的意义逐一分析各选项即可判断作答.

【详解】对于A,函数/(x)定义域是R,g(x)定义域是(3,0)A不是；

对于B,函数，(x)定义域是R,g(x)定义域是Z,B不是；

xxN0

'-c定义域R，g(x)定义域是R，/(X)与g(x)的对应法则相同，C是;

{—X,X<()

对于D,函数/。)定义域是[2,+8),g(x)定义域是(-«),-2]J[2,+<»),D不是.

故选：C

3.(2022•新疆阿勒泰•高一期末)新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段.某医院

在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第〃天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均

~k,n<N°

耗时（单位：小时）大致服从的关系为，（〃）=（；«、乂为常数）.已知第16天检测过程平

—j=,n>No

均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时大

致为（）

A.16小时B.11小时C.9小时D.8小时

【答案】C

【解析】根据题意求得力和M的值，然后计算出f（49）的值即可得解.

【详解】由第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时知，16<N。，

所以2=16,得，。=6<

5/16

646464

又由^^=8知，乂=64,所以当〃=49时，，（49）=w^=-y=s9,

故选：C.

【点睛】本题考查分段函数模型的应用，求出％和的值是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.

二、多选题

4.（2022・湖南・益阳市箴言中学高一开学考试）中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示

的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.在平面直

角坐标系中，如果一个函数的图象能够将某个圆的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个圆的“优美

函数”，则下列说法中正确的有（）

A.对于一个半径为1的圆，其“优美函数”仅有1个

B.函数/（x）=/-3x可以是某个圆的“优美函数”

C.若函数y=/（x）是“优美函数”，则函数y=/（x）的图象一定是中心对称图形

D.函数/(x)=x+l可以同时是无数个圆的“优美函数”

【答案】BD

【分析】根据''优美函数”的含义可判定选项A错误，根据函数/(x)=x3-3尤的奇偶性判定选项B正确，利

用反例判定选项C错误，根据圆心在直线y=x+l的圆有无数个判定选项D正确.

【详解】对于A：经过圆心的任何一条直线都可以作为该圆的“优美函数”，

即选项A错误；

对于B：因为/(—X)=(―A-)3+3x=—(x，—3x)=—f(x),

所以/(x)=/-3x是奇函数，其图象关于原点对称，

所以“X)=/-3x是以原点为圆心的圆的“优美函数”，

即选项B正确；

对于C：如下图，y=/(x)是“优美函数”，但函数y=/(x)的图象不是中心对称图形，

即选项C错误；

对于D：函数/(x)=x+l是任何一个圆心在直线y=x+l上的圆的“优美函数”，

即选项D正确.

故选：BD.

5.(2022・全国•高一课时练习)(多选)华为5G通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如：(c/