2022-2023学年高二数学上学期期末挑战满分冲刺卷（人教A版2019浙江专用）01 含解析

2022-2023学年高二数学上学期期中测试卷01

一、单选题

1.若倾斜角为(的直线过A(2,a),B(1,G)两点，则实数。=()

A.3>/3B.273C.丛D.—

2

【答案】B

【分析】利用斜率公式列方程即可解得.

【解析】因为倾斜角为5的直线过A(2,a),B(1,V3)两点，

所以tan二="正，解得：a=2扣.

32-1

故选：B

2.若直线/的方向向量为4=(1,0,2),平面a的法向量为"=(-2,1,1),则()

A.I//aB.l±a

C./ua或/〃aD.I与a斜交

【答案】C

【分析】利用直线的方向向量和平面的法向量垂直来判断直线和平面的位置关系.

【解析】.."=(1,0,2),«=(-2,1,1),

，a•〃=0即aJL〃，

；・/〃a或/ua.

故选：C.

3.已知“〃区产是“d+y2+a一标y+机=0”表示圆的必要不充分条件，则实数f的取值范围是()

A.(-l,+°o)B.[1,+co)C.D.

【答案】B

【分析】求出/+丁+任-而y+，"=0表示圆的充要条件，然后可判断出答案.

【解析】若表示圆，贝|"6)2+(-而产-4W>0,

解得m<l.

“Wr”是“Y_赤),+相=o”表示圆的必要不充分条件，

所以实数，的取值范围是口内).

故选：B

4.已知直线/将圆x2+yJ4x-2y=0平分，若/不经过x轴的负半轴，则其斜率的取值范围是（）

A.[0,g]B.（-8,；]

C.（-00,一夕3。,+°°）D.（-co,0|>l[p+oo）

【答案】D

【分析】由直线/将圆/+9-4》-2丫=0平分，可得直线/过圆心，再根据/不经过x轴的负半轴，求出

斜率的取值范围.

【解析】圆的方程为x2+V-4x-2y=0,

•••圆心坐标为（2,1）,

直线/将圆平分，，直线/过圆心（2,1）,

当&40时，直线/不经过x轴的负半轴，符合题意；

当4>0时，要使直线/不经过x轴的负半轴，可得&之达=3；

综上所述，斜率氏的取值范围为（7,0]4,+8）.

故选：D.

5.己知小工是椭圆C：£+£=l的两个焦点，点M在C上，则阿功阿玛的最大值为（）.

2516

A.13B.12C.25D.16

【答案】c

【分析】根据椭圆定义可得|M制k10,利用基本不等式可得结果.

【解析】由椭圆方程知：。=5；根据椭圆定义知：|M|+|M闾=勿=1（）,

.•.附/讣附周42*幽=25（当且仅当|峥|=|此|时取等号），

6HM闾的最大值为25.

故选：C.

6.在棱长为。的正方体43co-A'3'C'D中，E,尸分别是8C,A'。’的中点，下列说法错误的是（）

A.四边形QE/）「是菱形B.直线AC与OE所成的角的余弦值是姮

15

C.直线AO与平面8'红尸所成角的正弦值是且D.平面片£»尸与平面A8CZ）所成角的正弦值是叵

36

【答案】C

【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量法求出空间角，判断各选项.

［解析盼别以A8,4。,AA'为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图,则A(0,0,0),8(〃,0,0),C(a,a,0),0(0,a,0),

A(0,0,a),"(a,0,a),C'(a,a,a),O'(0,a,a),E(a,-,0),F(0,-,a),

22

B'E=(0,p-(?),F£>=(0,|-,-a),B'E=FD，B'E〃FD,B'E=FD,所以B'£Z)尸是平行四边形，由正方体知

DE=DF,因此3'反»为菱形，A正确；

A'C=(a,a,—a),DE-(a,——,0),

a2

2a---

2

cos<A'C,DE>=,。产B正确;

।2

Rc版|y/Sax^a^^-15

DE=(a,—],0),设平面尸的…个法向量为〃=(x,y,z),

n-BrE=0袅一四=0

由《〃.一得：<,取y=2,则X=1,Z=1,即〃=(121),

n-DE=0a

ax——y=n0

2

AD=(0,a,0),

,_ADnla5/6

COS<A。，H>=,>n_r=----p=-

卜。帆6rxV63

直线AD与平面32N厅所成的角正弦值是逅，C错;

3

平面ABCD的一法向量是〃?=(0,01)，

mn1V6

cos<m,n>=i—r,~~r=—f==—

|/»||n|瓜6'

平面9以小与面ABCD所成角的所以的余弦值为如，其正弦值为叵，D正确.

66

故选：C.

7.已知抛物线。:产=20工5>0）的焦点为尸，直线/的斜率为G且经过点F,直线/与抛物线C交于点A、

B两点（点4在第一象限），与抛物线的准线交于点。，若|AF|=4,则以下结论不正确的是（）

A.p=2B.尸为A£>的中点

C.|BO|=2|BF|D.\BF\=2

【答案】D

【分析】设出直线/的方程，并与抛物线方程联立，求得A,8两点的坐标，根据|A尸|=4求得P,求得。点

的坐标，从而确定正确选项.

【解析】依题意尸（5,o）

，设直线/的方程为y=

"卜一）消去V并化简得（2x—3p）（6x—p）=0,

,y=

由〈

y2=2pX

31

解得x=7P，x=5P，

2o

所以A(,P，6P),81PL自?，

所以|4日=^0+^=22=4,0=2,A选项正确.

直线/的方程为y=G(x-l),

令x=-1,则y=-26,故。（-1,-2百），

由于A（3,2百），厂（1,0）,所以尸是AO的中点，B选项正确,

忸尸|=卜+5=》=*|叫=2|四,

C选项正确，D选项错误.

OZJJ

故选：D

2222

8.设耳，鸟同时为椭圆C：=+2=l(a沙>0)与双曲线G：A-与=l(q>OM>O)的左右焦点，设椭圆C1

a~ha[b;

与双曲线c?在第一象限内交于点“，椭圆G与双曲线C?的离心率分别为0,02，。为坐标原点，现有下述四

个结论：

11/T

①忸闾=2网,则F+「我

4e2

则卜卜2

②旧闻=2|图,

C1匕2

23

③旧周=4|A隼则e向的取值范围是

3,2

®\FtF2\=4\MF2\,则的取值范围是2

其中所有正确结论的编号是()

A.①③B.(D©C.②③D.②④

【答案】D

【分析】设|M凰=m,|M闾=〃，结合椭圆双曲线定义可得机=。+4,〃="-%,当苗图=2|M。，可得

rrr+n2=4c2,进而求出T+-7；当忻用=4四用时，可得-----=—,进而的2=丁一，即可求出范围.

4qg，2+e?

【解析】如图，设|5|=〃?,可闾=〃，焦距为2和由椭圆定义可得6+〃=2°,由双曲线定义可得相-〃=2q,

解得机=〃+《，〃=〃-q.

当恒闾=2|MO|时,则乙甲伍=90，所以苏+*=4。2,

即/+a：=2c2,由离心率的公式可得4+与=2,故②正确.

e\e2

当恒用=4|M闾时，可得〃=4c,即。_4=9，可得,一，=；,

由0<6<1,可得，〉1,可得即1</<2,则色%=

G622+1

可设2+e2=f(3<f<4),则^^=^^1=2，+；—4),

由〃f）=r+；-4在（3,4）上单调递增，可得则“e（|,2）,故④正确.

【点睛】关键点睛：本题考查椭圆双曲线离心率的求解，解题的关键是根据已知条件结合定义正确得出关

系式.

二、多选题

9.圆q:/+），2-2》=0和圆。2：/+；/+2苫-4），=0的交点为A,B,则有（）

A.公共弦AB所在直线的方程为x-y=O

B.公共弦A8所在直线的方程为x+y-l=O

C.公共弦AB的长为变

2

D.尸为圆。|上一动点，则尸到直线48距离的最大值为立+1

2

【答案】AD

【分析】对于AB,两圆方程相减消去二次项可求得公共弦AB所在直线的方程，对于C,求出圆心《（1,0）

到公共弦的距离d,然后利用弦心距，弦和半径厂的关系可求出公共弦的长，对于D,点P到直线AB距离

的最大值为"+r

【解析】由犬2+/2-2*=0与*2+产+2%一4），=0作差可得4%-4丫=0,

即公共弦AB所在直线的方程为x-y=O,故A正确，B错误;

J11-01近

对于C,圆心a（l,O）到直线x-y=O的距离为4=（［）,=亏,圆。।的半径r=l.

所以|明=2/母2

=y/2，故C错误;

对于D,点P为圆Q上一动点，则点尸到直线河距离的最大值为",考+1,故D正确.

故选：AD.

10.已知直线4：x-ay+2=Q,l2：ax+y-2=0,aeR,以下结论正确的是（）

A.不论。为何值时，4与4都互相垂直

B.当。变化时，4与4分别经过定点4-2,0）和8（0,2）

C.不论。为何值时，4与4都关于直线x+y=0对称

D.设。为坐标原点，如果4与4交于点M,贝”的最大值是2&

【答案】ABD

【分析】A选项，利用两条直线垂直的充要条件即可求解；B选项，求出两直线恒过的点的坐标；C选项,

利用点关于直线的对称点，即可求解；D选项，先求出两直线的交点〃的坐标，再用两点间距离公式，即

可求解.

【解析】由于lxa+（—a）xl=0,所以乙与4互相垂直，故不论。为何值时，4与4都互相垂直；A正确；

直线6：x-ay+2=0,当y=0时，x=-2,所以恒过点（-2,0）,l2：ax+y-2=Q,当x=0时，y=2,所

以恒过点（0,2）,故B正确；

设直线4：x-ay+2=0上任意一点P（x,y）,则点尸关于直线x+y=0的对称点为P（—y,-x）,将点

户（—％r）代入直线4,可得：x+ay+2=0,与P（x,y）在直线乙：x-qy+2=0上矛盾，故C错误；

_2a-2

（'二盘故"点坐标为（篝，篝），则

\MO\=J筋j+=JZLM2&，则IMO\的最大值是2/，D正确.

故选：ABD

22

11.已知椭圆C:，+表■=l（a>b>0）的左、右焦点分别为尸2且|耳用=2,点P（l，l）在椭圆内部，点。

在椭圆上，则以下说法正确的是（）

A.|Q4|+|QP|的最小值为2。-1

B.椭圆C的短轴长可能为2

C.椭圆C的离心率的取值范围为0,三一

\7

D.若PK=4Q,则椭圆C的长半轴长为后+后

【答案】AC

【分析】A.将|Q制+|。儿利用椭圆的定义转化为制+|。外=2〃-|。闾+依「性2a-|P£|求解：

B.假设椭圆C的短轴长为2,则〃=l,a=2,与点P在椭圆的内部验证；

C.根据点尸（1,1）在椭圆内部，得到，+/<1，又解得。，再由e=：求解；

D.根据Pf；=4Q,得到「为线段PQ的中点，求得。坐标，代入椭圆方程求解.

【解析】解：对于A：因为|耳闾=2,所以析（1,0）,|%|=1,所以

\QF{\+\QP\=2a-\QF2\+\QP\>2a-\PF2\=2a-],当。,马,尸,三点共线时，取等号,故A正确；

对于B：若椭圆C的短轴长为2,则6=l,a=2,所以椭圆方程为±+±=1,1+1>1,则点尸在椭圆外,

2121

故B错误；

对于C：因为点P0』）在椭圆内部，所以，•又a—,所以〃=/-1,所以5+£<1，

即3/+1>0,解得a2>3+右_6+2逐一（1+石），所以〃>匕且，所以e=_L〈且二I,所以椭圆C

2一4一42«2

的离心率的取值范围为。，号■,故C正确；

对于D：若助=影，则写为线段PQ的中点，所以。（一3,-1）,所以，+染=1,又/一从=[,即

11/+9=0,解得2_11+病一22+2病一（石+如），所以〃=«+后,所以椭圆C的长半轴

CI———c

2442

长为小二叵，故D不正确.

2

故选：AC

12.如图，在菱形A8C。中，AB=2,ZBAD=60°,将△AB。沿对角线BO翻折到△P8O位置，连接PC,

构成三棱锥尸-BCD.设二面角P-8O-C为0,直线即和直线CD所成角为a,在翻折过程中，下列说

法正确的是（）

A.PC与平面8CD所成的最大角为45。

B.存在某个位置，使得PB_LC£>

C.当时，cosa的最大值为，

D.存在某个位置，使得8到平面PDC的距离为6

【答案】BC

【分析】取8。的中点。，由题可得80,平面OPC,进而可得PC与平面8c0所成的角为NPCO,

ZPOC=0,利用特值可判断A,利用向量法可得P8.8=-l+3cos，，结合条件可判断BC,若B到平面

PDC的距离为6,则有E>B_L平面PQ9,进而判断D.

［解析】取8。的中点0,连接OP、OC,则OP1BDQCLBD,

又OPcOC=O,可得8O_L平面OPC,BDu平面BOC,

所以平面OPCJ_平面3OC,PC与平面3CZ）所成的角为/PCO,

当PC=6时，AOPC为等边三角形，此时NPCO=60>45。，故A错误；

由上可知NPOC为P-8O-C的平面角，即/POC=，，

因为P8=08-0P,CD=0O-0C,

所以尸8•CD=（08-。户）•（。。一OC）=08•0£>-OB•OC-OPOD+OP0C=-1+3cos。，

当cos6=g时，PBCD=O,即尸8LCD,故B正确；

I/\l|J-l+3cos0\

又cosa=cos（PB,CD）\=~n~~=---------,

1'71\PB]\CD\4

712415J

当时,cos6c—,-l+3cos^e,|-l+3cos0\e

222'2°'i

所以cosae0,1,即cosa的最大值为，，故C正确;

o8

•点B到PD的距离为6，点B到CD的距离为G,

...若8到平面POC的距离为后，则平面P8£)J_平面PCD.平面C8Z)J_平面PCD,

则有。8平面PC£>,即£>B_LC。，与△BC。是等边三角形矛盾，故D错误.

故选：BC.

三、填空题

13.过点(1,2)且与圆/+丁=1相切的直线的方程是____.

【答案】x=l或3x-4y+5=0

【分析】当直线斜率不存在时，可得直线，：x=l,分析可得直线与圆相切，满足题意，当直线斜率存在时,

设斜率为火,可得直线/的方程，由题意可得圆心到直线的距离4=£坦=「=1,即可求得G值，综合即

收+1

可得答案.

【解析】当直线/的斜率不存在时，因为过点(1,2),

所以直线/:x=l,

此时圆心(0,0)到直线x=l的距离为l=r,

此时直线/:x=l与圆d+y2=l相切，满足题意；

当直线/的斜率存在时，设斜率为

所以/:y-2=Zc(x-l),gpkx-y-k+2=0,

因为直线/与圆相切，

所以圆心到直线的距离〃=匚"三=r=1,解得％=?,

收+14

所以直线/的方程为3x-4y+5=0.

综上：直线的方程为x=l或3X-4)，+5=0

故答案为：I或3x-4y+5=0

14.已知焦点为F-B的双曲线C的离心率为不，点尸为C上一点，且满足21P用=3|「用，若△出工的

面积为2石，则双曲线C的实轴长为________

【答案】V2

【分析】由21P制=3卢段和双曲线定义可得制=6o,|P段=4%再结合余弦定理和e=?=石可得

8s卬3|,利用面积公式”T呻吗sin/".石可解得“泻，即得解.

【解析】由题意，2|尸制=3|质图「制＞|尸局

由双曲线定义可知，|P6Hp闯=2a

:.\PFt\=6a,\PF2\^4a

.C^/FPF」Pf；|2+|耳玛|236a2+16下一而52/也

122

2\PF}\\PF2\48a248a

又e=£=不.\c=\[5acosZRPF2=—

a3

2

又4F\PF[W(0,%)；.sin^F,PF2=y/i-cosZFtPF2=4

2

SPFF=，|PK||PF,|sinNF、PF,=-x24tzx—=2A/5

''2223

2a2=1,又”>0.,.“=

2

故双曲线C的实轴长为正

故答案为：x/2.

15.在正方体ABS-AMGR中，点。为线段BO的中点.设点P在线段Bq(?不与8重合)上，直线OP

与平面48。所成的角为a,则sina的最大值是__________.

【答案】也

3

【分析】利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【解析】建立如图所示的空间直角坐标第，

设正方体的棱长为2,设8P=23线,(九e(0,2])，

A(2,0,2),0(0,0,0),Bt(2,2,2),0(1,1,0),P(2,2,2),

设平面48。的法向量为机=(x,y,z),

04,=(2,0,2),DB=(2,2,0),OP=(1,1,2)，

m•£)A=02x+2z=0

所以有=>/n=(-1,1,1),

mDB=02x+2y=0

\m-OP\|2|21

|/M|-|OP|+\2+\2xVl2+l2+r13(2+3)Jg+3，

因为4c(0,2],所以4=2时，sina有最大值，最大值为立，

3

故答案为：巫

3

2

16.已知椭圆C:土+歹=1,过点。(0,4)的直线/与椭圆C交于不同两点〃,N(M在O,N之间)，有以下

4

四个结论：

①若[1=：，椭圆C变成曲线E,则曲线E的面积为4万；

[y=2y

②若A是椭圆C的右顶点，且/MAN的角平分线是X轴，则直线/的斜率为-2；

③若以MN为直径的圆过原点。，则直线/的斜率为±2石；

④若DNCDM,则几的取值范围是

其中正确的序号是________.

【答案】①④

【分析】对于①，根据点的坐标代入椭圆得到圆的方程，计算出面积即可判断；对于②，根据椭圆的对称

性可得直线/为y轴，故不正确；对于③，假设直线/,与椭圆进行联立，根据韦达定理得到玉+石和为超的

值，再算出)。2的值，结合MN是直径,得到OM.QN=0,最终算出斜率，故不正确；对于④，当斜率存

在时，利用③中的二次方程得到△,得到女的范围，再利用韦达定理和。N=，最终算出4的范围，

再讨论斜率不存在的时候，两者结合得到，故正确

【解析】①根据点的坐标变换，代入椭圆方程：+(?)2=1,得到/+y'2=4,为圆的方程，半径为2,

那么面积就是S=4万，故正确，

②根据椭圆关于x轴对称，若角平分线是x轴，那么关于x轴对称，直线斜率不存在，显然错误；

③设直线方程y=H+4,与椭圆方程联立，得到

尤2+4(依+4)2=4=(1+4公*+32京+60=0,

32k60

X.+x=------7，x\x2=-----7，

121+4/1-1+4公

2

yy2=(点［+4)(fcc2+4)=kx}x2+4&+々)+16,

根据条件，当过原点时，满足斗w+%％=0,代入根与系数的关系，得到&=±炳，故不正确:

32k

④根据③A>0得到公>：,又根据条件可得，

41+4攵~

x2=Axl

2>1

(1+4)2_256」_256

代入整理为-2-—15(1+4公)-1小，

k2

整理为〈竺，解得

21553

又％>1,所以

当斜率不存在时，此时丸=|,故1<八|

故答案为：①④.

四、解答题

17.已知圆G与y轴相切于点(0,3),圆心在经过点(2,1)与点(-2,-3)的直线/上.

⑴求圆C的方程；

⑵若圆G与圆G：x2+V-6x-3y+5=0相交于M,N两点，求两圆的公共弦长.

【答案】⑴(x—4)?+(y—3)、16

⑵2G

【分析】⑴利用两点求出直线方程/，利用圆心在/上又在)=3求出圆心坐标，进而求出圆的半径求出圆G

的方程；

(2)利用两圆的方程相减得到公共弦所在直线方程，求出圆心C,到公共弦的距离，利用勾股定理求出两圆的

公共弦长.

(1)

经过点(2，1)与点(-2,-3)的直线/的方程为建=，即y=x-l,

-3一1—2一2

因为圆C与y轴相切于点(0,3),所以圆心在直线y=3上,

[y=3\x=4

联立，解得。可得圆心坐标为(4,3),

[y=x-l[y=3

又因为圆C与y轴相切于点(0,3),故圆G的半径为4,

故圆的方程为(X-4)2+(y-3)2=16.

(2)

圆G的方程为(x—4)2+(y-3)2=16,

2222

即x+y-8x-6y+9=0,[0C2:x+y-6x-3y+5=0,

两式作差可得两圆公共弦所在的直线方程为2x+3y-4=0,

圆C,的圆心(4)3)到直线2x+3>-4=0的距离d=恨：9二=屈,

V22+32

所以两圆的公共弦长为2二百=2百.

18.如图，在直三棱柱4BC-A&G中，。为A片的中点，B。交BQ于点E,ACLBC,CA=CB=CCt.

⑴求证：OE//平面AACC；

(2)求平面AB,C与平面ABC的夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵当

【分析】(1)由题意，E是BC的中点，。为A片的中点，可得小〃AC,再利用线面平行的判定定理即可

证明；

(2)以为坐标原点，分别以GA、C禺、GC为x、)，、轴建立空间直角坐标系，设CA=C8=CG=1,

分别求得平面他C的一个法向量〃=(占y,z),平面4与。的一个法向量m=(x,y,z),由cos(/?i-n)=------求

\m\-\n\

解.

(1)

证明：因为ABC-A/©为三棱柱，

所以平面8CC内是平行四边形，

又BQ交于点E,所以E是片C的中点.

又。为4片的中点，所以DE//AC,

又ACu平面AAGC，OEU平面4AGC,

所以OE//平面AACC；

(2)

解：在直三棱柱ABC-A4G中，CCJ平面A4G，又ACL8C,

所以GA、c禺、GC两两互相垂直,

G4、GC为x、y、z轴建立空间直角坐标系G-_yyz,如图所示.

4(1,0,0),(0,1,0),A(l,0,l),C(0,0,l),

所以做=(-1,1,一1),AC=(-1,0,0),4线=(-1,1,0),AC=(_l,0,l).

设平面44c的一个法向量为W=(x,y,z),

:之；所以-x+y-z=0

则

-x=0

不妨令y=i,则“=(0,1,1),

设平面A81c的•个法向量为〃7=(元,乂2),

则”怨=;所以-x+y=O

m-A©=0-x+z=0

不妨令，=1,则〃7=(1,1,1).

所以cos〈m・〃〉="〃=厂2=与,

\m\-\n\V2xV33

所以平面AB.C与平面AB.C的夹角的余弦值为迈.

3

22

19.已知双曲线G：三-t=1,抛物线C2：y2=2px(p＞0),尸为C2的焦点，过F垂直于x轴的直线

1612

/被抛物线C2截得的弦长等于双曲线。的实轴长.

(1)求抛物线C2的方程；

(2)过焦点F作互相垂直的两条直线，与抛物线C2分别相交于点A、3和C、。，点尸、。分别为A&CD

的中点，求△尸P。面积的最小值.

【答案】⑴/=8x；

(2)16.

【分析】(1)由题设有直线/为x=5,联立抛物线求相交弦长有2P=8,即可写出抛物线方程.

(2)由题意，可设直线48为＞，=灯＞2)且左/0,联立抛物线应用韦达定理求p、Q坐标，再由两点距离

公式求IQFI、1尸尸1,进而得到S卬°关于大的表达式，结合基本不等式求最小值，注意等号成立条件.

(1)

由题意，双曲线实轴长2a=8,直线/方程为*=§,

X=L

由2,得y=|p|,则过尸垂直于X轴的直线/被抛物线C2的弦长为2p,

,y2=2px

所以2。=8,故抛物线C2的方程为y2=8x.

⑵

因为尸(2,0),若直线AB、CD分别与两坐标轴垂直，则其中有一条与抛物线只有一个交点，不合题意；

y

所以，直线A8,C。的斜率均存在且不为0,

设直线AB的斜率为左(&/0),则直线AB的方程为y=k(x-2)

y2=8x

联乂，./小，得攵y~—8y—16Z=0,则A=6I+64A：2>0,

y=k(x-2)

8

设A(/y),8*2,%)，则%+%=「

k

设尸(3%),则%=之产=$则巧,=获+2=.+2,即尸岐+2,玄，同理得QW+2,-4&),

故|QF|=&4。+2-2)2+(-4，尸=J16/+16公=4岫1+片),\PF\=楞+[=1c,又尸尸，。尸，

所以5〃2=；|2/卜10/1=；*47^^5'^^=^^=8乂(|肩+5)28、2J

16,

当且仅当饮1=!，即&=±1时等号成立，故△FPQ面积的最小值为16.

IAI

20.圆C：X'—(l+6()x+y2-ay+ci—0.

⑴若圆C与)，轴相切，求圆C的方程；

⑵已知圆C与x轴相交于两点M、N(点M在点N的左侧).过点M任作一条直线与圆O：x2+y2=9

相交于两点A、B问：是否存在实数m使得ZANM=NBNM?若存在，请说明理由.

【答案】⑴/+/7=0或/+丫2-5》-4丫+4=0.

(2)存在，理由见解析.

【分析】(1)由判别式△=()即可求解.

(2)联立直线AB与圆的方程，利用韦达定理，结合％汹+⑥8=。，即可求得结果.

(1)

fx=O

由12八、2八得/一砂+“=o,

[x-(l+a)x+y-ay+a=O

因为圆与x轴相切，所以△=02-4。=0,解得。=0或4,

故所求圆C的方程为了2+),2一%=0或工2+'2一5工一4》+4=。.

(2)

令y=。得/一(1+〃)％+〃=0,

解得1=1或4=〃，而即例(1,0),N(o,0).

假设存在实数。，设A(x,,y),3(々,%),

当直线A3与x轴不垂直时，设直线A3的方程为y=〃(x-1),

y=k(X-l)得(1+攵2)/一222工+/、一9=0,

由f?+y2?=9

2k2

X.+X=---r

1-2\+k2

根据韦达定理有

公-9

乂/ANM=4BNM,即NA、N8的斜率互为相反数,

，上+4=0,

x{—ax2-a

即(玉-l)(x2-«)+(^2-1)(^-«)=0,

即一(a+1)(玉+x2)+2a=0

所以忙心芈+勿=0，

\+k2l+k2

解得"9.

当直线AB与x轴垂直时，仍然满足NAMW=NBMW,

即24、N8的斜率互为相反数.

综上所述，存在a=9,使得=

【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中

含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法.

21.如图所示，在四棱锥尸-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，AB=2A/3,BC=2,ZABC=30°,PA1

平面ABC0,PA=2近，点M在线段A£>上，且=a,tanNPMA=2&.

(1)求实数a的值；

(2)求平面VPC与平面APC夹角的余弦值；

(3)若点N是直线C。上的动点，求△NPB面积的最小值，并说明此时点N的位置.

【答案】⑴1;

0、5vHi

⑵*;

(3)75,N在力C的延长线上且NC=CD.

IApI厂

【分析】⑴根据tanNPMA=k/=2及和边长的值即可求出。的值；

IAMI

(2)选C£>中点T,以AB,AT,AP为x,y,z轴建立直角坐标系A-xyz,求出平面MPC与平面APC的法

向量，利用法向量即可求出两平面夹角的余弦值；

⑶设N(*,0),用5诋=/产料伊8卜in/BPN计算出面积，利用二次函数求最值即可.

(1)

..IPAI2A/2r

平面4BCD,ADC¥®ABCD,J.PALAD,：.tan^PMA=J~~——=2V2

T\AM\a

・・a=l；

⑵

在AABC中，cos/ABC—网二叩：一手2,

ZABC=30,

2.|AB|.|BC|

\AB\=2^3,\BC\=2,...李=£#?，.•.|AC|2=4，

.-.|AC|=2,.•.|AC|=|8C|=2,

•.•四边形ABC。是平行四边形，

.,.|AC|=|A£）|=2,

选CO中点T,则4T，C£>,AB//CD,

：.ATIAB,:.AB,AT,AP两两垂直，

.,.以AB,AT,AP为x,y,z轴建立直角坐标系4-jcyz,

则B（260,0）,「AT为CQ边上的高，

\CT\=^\CD\=y/3,\AT\=yl\ACf^\CT^=y[4^3=\,

.•.c（6i，o）,味国o）

|AA7|—1,M为AO中点，.>o\P（0,0,2JJ）

PG=（G，L-2&）,A压=（0,0,2©,MO=

设平面APC的法向量为加=（不％,zt）:.m-PC=0,m-AP=0,

属+%—2低=0

取a=（V^,—3,0）,

2>/2z=0

z

设平面MPC的法向量为〃=（电，y2*2）＞

设TV(ALO),:.PN=«,l,-2吟,PB=QM0,-2吟,

PN-PB=2®+8,:.cos/BPN=

V^2+9x<20V5vr+9

(6+4)2

sin/BPN=1-

5-(r+9)

...S,WB=^\PN\]ra|sinXBPNsinXBPN,

(分+4产

：.S2,V.=；(J*+9『.(而)2.sin2ZBPN^^X(r2+9)x20x

5(*+9)

当r=2g时，ANTB面积取最小值为逐，此时，N在。C的延长线上且NC=C£>,即C为N£>的中点.

2

22.已知椭圆E：T丈2+2V=l(a>b>0),R,乙分别为左右焦点，O为坐标原点，过。作直线《交椭圆于C,

ab

。两点，若周长的最小值为6,面积的最大值为

(1)求椭圆E的方程；

(2)设直线4交椭圆E于/1,B两点,

①若直线4的斜率为曰且_AO3的面积为半，求直线方程；

②若直线4与x轴交于M点，当点A在x轴的上方时，有AM=2MB，且直线4与圆。：/+y?=；相切于

点N,求|MN|的长.

2

【答案】(1)三+产=1

4

(2)©y=^-x±l或y=^~x±6;②|MN\=~~~~

【分析】(1)考虑直线4斜率不存在和斜率存在下，一8月周长的最小值和面积最大值，得到a+/?=3,

hc=^>,结合a2=从+'2,求出。=2,b=\,得到椭圆方程；（2）①设出直线3y=^lx+m,联立后

2

用韦达定理，表达出AB的长度，结合一AQ3的面积为延，求出直线方程；②利用AM=2MB，得到