2022届中考数学压轴题及答案VIP

2022年中考数学压轴题

1.如图，在平面直角坐标系中有抛物线y="（x-2）2-2和y=4（x-h）2,抛物线y=a

（x-2）2-2经过原点，与x轴正半轴交于点A,与其对称轴交于点5点尸是抛物线y

="（x-2）2-2上一动点，且点P在x轴下方，过点P作x轴的垂线交抛物线y=aG

-/?）2于点D,过点D作PD的垂线交抛物线y=a（x-/z）2于点D1（不与点D重合），

连接，设点尸的横坐标为，”：

（1）①直接写出。的值；

②直接写出抛物线y="（x-2）2-2的函数表达式的一般式；

（2）当抛物线y=a（x-/?）2经过原点时，设△尸。。'与AOAB重叠部分图形周长为L：

①求券的值；

②直接写出L与m之间的函数关系式；

（3）当为为何值时，存在点P,使以点O、A、D、D'为顶点的四边形是菱形？直接写

解：(1)①将x=0,y=0代入y="(x-2)2-2中，得：0=a(0-2)2-2,解得：

②)=#_2x.

(2):抛物线y=a(x-h)?经过原点，。=

；.),=^x2,

(4,0),8(2,-2),

易得：直线OB解析式为：y=-x,直线AB解析式为：y=x-4

111

如图1,P(m,-m2—2m},D(m,_m2),E(m,0),F(m,-m),D'(-m,-m2),

222

119

@PD=2m2~(5m'—2m)=2m,DDr=2m

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PD2m

_]

*DDf2m

②如图1,当0</nW2时，L=OE+EF+OF=m+m+V2m=(2+V2)m,

当2〈机<4时，如图2,设P。'交x轴于G,交AB于H,P。交x轴于E,交AB于尸,

1

2\

12o12-m7

则尸Gn,-m—2m),D(/n,-m),E(〃?，0),F(〃?,m-4),D'2

22

PF=(/H-4)-(-m2-2加=-^m2+3/〃-4,FH=PH=-^-PF=—^m2+^^zn-2A/2,

PG=-苧/+2企机

■:DD’//EG

EGPEi

・・・—=一,即：EG・PD=PE・DD',得：EG*(2m)=(2m-4mo2)*2m

DDfPD2

：.EG=2m-^,EF=4-m(也可以利用等腰直角三角形的性质得出结论)

L=EG+EF+FH+GH=EG^-EF+PG=2m-1zn2+4-m+C-^m2+2或，w)=-^^m2+

(2V2+1)m+4

((2+夜)皿0〈加W2)

y—+(2V2+l)m+4(2<m<4)

(3)如图3,设OP交x轴于N.

：.AD=AO=DD'=4,

：.PN=2,

:.NA=ylAD2-PD2=V42-22=2痘

.\/?=2±2V3.

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2.如图1,在平面直角坐标系中，一次函数），=-++3的图象与x轴交于点A,与y轴交于

B点,抛物线y=-7+6x+c经过A,B两点，在第一象限的抛物线上取一点。，过点。

作OCLx轴于点C,交直线AB于点£

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）是否存在点。，使得△B3E和相似？若存在，请求出点。的坐标，若不存

在，请说明理由；

（3）如图2,尸是第一象限内抛物线上的动点（不与点O重合），点G是线段A8上的

动点.连接。EFG,当四边形力EG尸是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G的

坐标.

解：（1）在）；=一下:+3中，令工=0,得y=3,令y=0,得x=4,

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・・・A(4,0),B(0,3),

将A(4,0),B(0,3)分别代入抛物线产-/+fec+c中，得：[-42+4b4-c=0,解

ic=3

(.13

得：匕=彳，

(c=3

二抛物线的函数表达式为：＞=-/+苧x+3.

(2)存在.如图1,过点8作8Hl.C。于”，设CG,0),则。(f,一户+苧t+3),

E(n一扛+3),H(/,3)；

：.EC=-1t+3,AC=4-t,BH=t,OH=-P+竽3DE=-?+4r

,//\BDE和△ACE相似，ZBED=ZAEC

：.丛BDEs丛ACE或△OBEs

①当△BOEs/XACE时，NBDE=NACE=90°,

13

止匕时3O〃AC,可得。(—,3).

4

②当△DBES/VICE时，NBDE=/CAE

•：BH工CD

；・NBHD=90°,

BHCEr

・•.一=tanZBDE=tanZCAE=即：BH*AC=CE*DH

DHAC

(4-t)=(一,+3)(-»+苧/),解得：0=0(舍)，e=4(舍)，4=修

2350

:.D(一,一)；

129

132350

综上所述，点。的坐标为(一，3)或(一:，—)；

4129

(3)如图2,•・•四边形。EG尸是平行四边形

:.DE//FG9DE=FG

12Q122

设D(m,—tn2+zn+3),E(m,-4771+3),F(〃，—n2+n+3),G(it,—n+3),

则：DE=-nr+4m,FG=-rr+An,

；・-机？+4机=-/+4〃,即：()〃-〃)Cm+n-4)=0,**m-

.•./"+〃-4=0,E[J：m+〃=4

过点G作GKA.CD于K,则GK//AC

：.ZEGK=ZBAO

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GKA0„

一=cosZEGK=cosZBAO=即：GK'AB=AO'EG

EG48

・・・5(n-m)=4EG,即：EG=1(〃-M

q

；.QEG尸周长=2(DE+EG)=2[(-/n2+4w)+1(«-/«)]=-2(m-1)2

・・,-2<0,

.•.当加=飘，.•.团OEG尸周长最大值=手

139

G(—，—),

416

339

此时G(一，一).

416

3.如图，已知抛物线y=o?+Zzx-1与x轴的交点为A(-1,0),B(2,0),且与y轴交

于C点.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)点C关于x轴的对称点为Ci，M是线段8。上的一个动点(不与8、。重合)，

MELx轴，M凡Ly轴，垂足分别为E、F,当点M在什么位置时，矩形M尸OE的面积最

大？说明理由.

(3)已知点P是直线y=营+1上的动点，点Q为抛物线上的动点，当以C、。、P、Q

为顶点的四边形为平行四边形时，求出相应的点P和点Q的坐标.

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解：⑴将A(-1,0),8(2,0)分别代入抛物线y=a?+6x-1中，得/

(a=1

解得：\2

(b=~2

：.该抛物线的表达式为：尸系—1x-1.

(2)在y=Jr12—1中，令x=0,y=-1,：.C(0,-1)

:点C关于x轴的对称点为Ci,

.,.Ci(O,l),设直线C\B解析式为y=kx+h,^B(2,0),Ci(0,1)分别代入得《”1b=°t

解得k=~4，

U=1

111

**•直线CiB解析式为y——2X+1，设M(力—/+1),则0),F(0,—2七+1)

11o1

A5MFOE=OEXOF=t(一?+1)=一1(LI)+会

1

•:*<0,

11

・••当/=1时，S矩形MFOE最大值=今此时，M(1,-);即点M为线段。归中点时，S矩

形最大•

(3)由题意，C(0,-1),Cl(0,1),以C、。、P、Q为顶点的四边形为平行四边

形，分以下两种情况：

①C1C为边，则CiC〃P。，GC=P。，设尸(机，|m+l),QGn,1m21),

1911

<*.|(-m——m-1)-(—/??+1)|=2,解得：m\=4,mi=-2,如=2,m=0(舍)，

222

Pi(4,3),Q\(4,5)；尸2(-2,0),。2(-2,2)；为(2,2),Q(2,0)

②Ge为对角线，・.,cc与P。互相平分，CC的中点为(0,0),

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.•.P。的中点为(0,0),设PCm,$7+1),171

则。(-m,—rrr+—m-1)

22

11,1

(一,”+1)+(―+~m-1)=0>解得:机1=0(舍去)，mi=-2,

222

：.P4,(-2,0),Q4(2,0)；

综上所述，点P和点。的坐标为：Pi(4,3),<2i(4,5)或P2(-2,0),0(-2,

2)或P3(2,2),。3(2,0)或R(-2,0),。4(2,0).

4.如图，在RtZVIBC中，ZACB=90°,。为AB边上的一点，以AO为直径的。。交2c

于点E,交AC于点F,过点C作CGLA2交AB于点G,交AE于点H,过点E的弦EP

交A8于点。(EP不是直径)，点。为弦EP的中点，连结8P,BP恰好为。。的切线.

(1)求证：8c是的切线.

(2)求证：EF^ED.

3

(3)若sin/ABC=AC=15,求四边形C7/QE的面积.

(1)证明：连接OE,OP,

,：AD为直径，点Q为弦EP的中点,

/.PE1AB,点Q为弦EP的中点，

：.AB垂直平分EP,

：.PB=BE,

•：OE=OP,OB=OB,

:.△BEOWMPO(555),

NBEO=NBPO,

为。。的切线，

...NBPO=90°,

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・・・NB£O=90°，

:.OE±BCf

・・・3C是OO的切线.

(2)证明：VZBEO=ZACB=90°,

C.AC//OE,

：.ZCAE=ZOEA,

*：OA=OE,

：.ZEAO=ZAEO,

:・/CAE=/EAO,

：.EF=ED.

(3)解：TA。为的OO直径，点。为弦E尸的中点,

：.EP1AB,

・・•CG1.AB,

：.CG//EP,

VZACB=ZBEO=90°,

：.AC//OEf

：.ZCAE=/AEO,

9：OA=OE,

：.ZEAQ=ZAEO,

:./CAE=NEAO,

VZACE=ZAQE=90°,AE=AE9

：./\ACE^/\AQE(AAS),

*"♦CE=QE,

VZAEC+ZCAE=ZEAQ+ZAHG=90°,

：.ZCEH=ZAHG9

*.<4AHG=/CHE,

：.ZCHE=ZCEHf

：.CH=CE,

.CH=EQ,

.四边形C”QE是平行四边形,

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•:CH=CE,

・・.四边形C/7QE是菱形，

AG3

VsinZABC=sinNACG=-=一，

AC5

VAC=15,

・"G=9,

ACG=yjAC2-AG2=12,

/\ACE^/\AQEf

：.AQ=AC=\5f

：.QG=6,

'：H^=HG1+QG2,

；.//Q2=(12-HQ)2+62,

1q

解得：〃Q=竽，

15

：.CH=HQ=^-,

1q

二四边形CHQE的面积=CH・GQ=早x6=45.

5.如图，△ABC中，AB=AC,。0是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点。.

(1)求证：/8AC=2/A8O；

(2)当△8C。是等腰三角形时，求/BCD的大小；

(3)当AD=2,CO=3时，求边BC的长.

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(1)证明：连接0A.

图1

•・・A8=AC,

：.AB=AC,

：.OA±BCf

：.ZBAO=ZCAO,

,.・OA=O8,

ZABD=ZBAO9

：・NBAC=2NABD.

(2)解：如图2中，延长AO交8c于H.

*：AB=AC,

JZABC=ZC,

：.ZDBC=2ZABD,

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VZDBC+ZC+ZBDC=180°,

A8ZABD=180°,

：.ZC=3ZABD=61.5°.

②若CD=CB,则NC8O=NCO8=3NA8O,

，ZC=4ZABDf

VZDBC+ZC+ZCDB=180°,

.,.10ZABD=180°,

：,4BCD=4/ABD=TT.

③若。8=。。，则。与A重合，这种情形不存在.

综上所述，NC的值为67.5°或72°♦

(3)如图3中，作AE〃BC交的延长线于E.

A。AE4

.**—=—=一，设O8=OA=4a,OH=3a,

OHBH3

*：BH2=AB2-AH2=01^-0序，

・・・25-49。2=16。2-9。2,

,2_25

・・。一茄’

：.BH=挈

4

:.BC=2BH=挈

6.已知，如图：△ABC是等腰直角三角形，ZABC=90Q,AB=10,。为△ABC外一点,

连接40、BD,过。作DH_L4B,垂足为H,交AC于E.

(1)若△A8D是等边三角形，求OE的长；

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Q

(2)若BD=AB,J@LtanZHDB=求DE的长.

【解答】解：(1)♦.•△AB。是等边三角形，48=10,

/.ZADB=60Q,AD=AB=10,

"DHA.AB,

：.AH^^AB=5,

：.DH=\/AD2-AH2=V102-52=5V3,

•••△ABC是等腰直角三角形，

AZCAB=45°,即NAE”=45°,

/\AEH是等腰直角三角形，

：.EH=AH=5,

：.DE=DH-EH=5V3-5；

(2)'：DH±AB,且tanNHOB=1,

可设8H=3吼则Z)H=4鼠

根据勾股定理得：DB=5k,

'：BD=AB=IO,

.•.5%=10解得：k=2,

：.DH=S,BH=6,A/7=4,

又,；EH=AH=4,

：.DE=DH-EH=4.

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7.如图，