初升高数学暑假衔接（人教版）高一预习2.1 等式性质与不等式性质（学生版）

第二章《一元二次函数、方程和不等式》2.1等式性质与不等式性质【知识梳理】知识点一基本事实两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b.依据如果a>b⇔a－b>0.如果a＝b⇔a－b＝0.如果a<b⇔a－b<0.结论要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小知识点二重要不等式∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．知识点三等式的基本性质(1)如果a＝b，那么b＝a.(2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c.(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c.(4)如果a＝b，那么ac＝bc.(5)如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).知识点四不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔b<a⇔2传递性a>b，b>c⇒a>c不可逆3可加性a>b⇔a＋c>b＋c可逆4可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))⇒ac>bcc的符号eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))⇒ac<bc5同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))⇒a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))⇒ac>bd同向7可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)同正【基础自测】1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是()A．M>N B．M＝NC．M<N D．与x有关2．若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，有下面四个不等式：①|a|>|b|，②a<b，③a＋b<ab，④a3>b3.则不正确的不等式的个数是()A．0B．1C．2D．33．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是()A．eq\f(1,a)<eq\f(1,b) B．a2>b2C．eq\f(a,c2＋1)>eq\f(b,c2＋1) D．a|c|>b|c|4．某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得零分．某同学有一道题未答，设这个学生至少答对x题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系：________.(不用化简)5．若α，β满足－eq\f(1,2)<α<β<eq\f(1,2)，则α－β的取值范围是________．【例题详解】一、用不等式(组)表示不等关系例1(1)某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案为一次性投资万；方案为第一年投资万，以后每年投资万.下列不等式表示“经过年之后，方案的投入不大于方案的投入”的是（

）A． B．C． D．(2)用不等式表示图中两个函数之间的关系为______．跟踪训练1(1)下列说法正确的是（）A．某人月收入x不高于2000元可表示为“x＜2000”B．若小明的身高为x,小华的身高为y,则小明比小华矮表示为“x＞y”C．某变量x至少是a可表示为“x≥a”D．某变量y不超过a可表示为“y≥a”(2)一个盒子中红、白、黑三种球分别为个、个、个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的，白球与黑球的个数之和至少为，则用不等式（组）将题中的不等关系表示为________．二、作差法比较大小例2(1)已知，，则_______．（填“>”或“<”）（2）已知，求证：；（3）已知，且，比较与的大小．跟踪训练2已知，试比较与的值的大小．三、作商法比较大小例3(1)设，，则（

）．A． B． C． D．(2)若，求证：．跟踪训练3如果，，那么，，从小到大的顺序是___________四、利用不等式的性质判断或证明例4(1)若，则下列命题为假命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则(2)利用不等式的性质证明下列不等式：(=1\*romani)若，，则；(=2\*romanii)若，，则．跟踪训练4已知为三角形的三边长，求证：(1)；(2).五、利用性质比较大小例5(1)（多选）实数，，，满足：，则下列不等式正确的是（

）A． B． C． D．(2)（多选）若，则（

）A． B． C． D．跟踪训练5（多选）下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，，则C．，则 D．若，则六、利用不等式的性质求范围例6(1)已知，则的取值范围为（

）A． B． C． D．(2)已知且满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．跟踪训练6已知实数、满足，，则的取值范围为______．【课堂巩固】1．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外（含100米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（

）A． B． C． D．2．设，则的大小顺序是（

）A． B．C． D．3．下列命题为真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则4．若，，则的取值范围为______.5．已知实数，，满足则的取值范围是________．（用区间表示）6．已知等式恒成立，其中为实数，则_____．7．已知为实数，则__________(填“”、“”、“”或“”).8．已知，，求证：.9．设，，，，，证明：．10．（1）比较与的大小；（2）已知，求证：．【课时作业】1．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（

）A．x＞y B．x＝yC．x＜y D．x，y的关系随c而定2．已知，则下列大小关系正确的是（

）A． B．C． D．3．已知实数，满足，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．4．设，，则与的大小关系是（

）A． B． C． D．5．已知a，，下列表达式中为的充要条件的是（

）A． B． C． D．6．已知，，则（

）A． B． C． D．无法确定7．某营救小组有48人，需要乘船过河去执行营救任务，现从甲、乙两种型号的船中选择一种．甲型号的船比乙型号的船少5艘．若只选择甲型号的，每艘船载4人，则船不够；每艘船载5人，则有船没有载满．若只选择乙型号的，每艘船载3人，则船不够：每艘船载4人，则有多余的船．甲型号的船有（

）A．9艘 B．10艘 C．11艘 D．12艘8．若，且，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．9．（多选）下列四个命题中，正确的是（

）A．若，则 B．若a>b，且，则ab<0C．若a>b>0，c>0，则 D．若，则10．（多选）若a，b为非零实数，则以下不等式中恒成立的是（

）．A． B．C． D．11．（多选）已知非零实数a，b满足，则下列不等关系一定成立的是（

）A． B．C． D．12．（多选）下列命题为真命题的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，则 D．若，，则13．某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得零分．某同学有一道题未答，设这个学生至少答对x题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系：________．（不用化简）14．请根据“糖水加糖变