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Page20四川省成都市2024-2025学年高一数学上学期期中试题一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.设集合,,则()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据不等式解法分别求集合,再结合集合交集运算求解.【详解】∵,∴故选:D.2.设命题,,则命题p的否定为(
)A., B.,C., D.,【答案】B【解析】【分析】依据存在命题的否定为全称命题可得结果.【详解】∵存在命题的否定为全称命题,∴命题p的否定为“,”,故选:B3.下列各组函数表示相同函数的是()A.和 B.和C.和 D.和【答案】C【解析】【分析】依据相等函数的概念,结合函数的定义域与对应法则,逐项判定,即可求解.【详解】解:对于A中,函数的定义域为,函数的定义域为,两个函数的定义域不同,所以表示不同的函数;对于B中,函数的定义域为,函数的定义域为,两个函数的定义域不同,所以表示不同的函数;对于C中,函数与的定义域和对应法则都相同,所以表示相同的函数;对于D中,函数的定义域为,函数的定义域为,两个函数的定义域不同,所以表示不同的函数.故选:C4.“不等式在R上恒成立”的充分不必要条件是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据二次不等式恒成立求出充要条件,再由充分条件,必要条件的概念求出选项.【详解】不等式在R上恒成立,即,因为,但不能推出成立,故是不等式在R上恒成立的充分不必要条件,故选:A5.已知偶函数在上单调递减,且,则不等式的解集为()A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】依据题中条件,分别探讨,两种状况,结合函数单调性与奇偶性,即可求出结果.【详解】若,则等价于,因为,在上单调递减,所以由得;若,则等价于,由题知在上单调递增,所以由得;.综上,的解集为.故选:A.6.对于直角三角形的探讨,中国早在商朝时期,就有商高提出了“勾三股四弦五”这样的勾股定理特例,而西方直到公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明白勾股定理.假如一个直角三角形的斜边长等于5,则这个直角三角形周长的最大值等于().A. B.10 C. D.【答案】C【解析】【分析】先由勾股定理得,再利用基本不等式易得,由此得到,问题得解.【详解】不妨设该直角三角形的斜边为,直角边为,则,因为,所以,即,当且仅当且,即时,等号成立,因为,所以,所以该直角三角形周长,即这个直角三角形周长的最大值为.故选:C.7.函数的图象不行能是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】函数表达式中含有参数a,要对参数进行分类探讨,【详解】若,则,选项C符合;若,则函数定义域为R,选项B符合若,则,选项A符合,所以不行能是选项D.故选:D.8.定义在上的函数满意:对,且,都有成立,且,则不等式的解集为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数,由单调性的定义可推断得在上单调递增,再将题设不等式转化为,利用的单调性即可求解.详解】令,因为对,且,都有成立,不妨设,则,故,则,即,所以在上单调递增,又因为,所以,故可化为,所以由的单调性可得,即不等式的解集为.故选:D.二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)9.若a>b>0,则下列不等式中肯定成立的是()A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】依据不等式的性质,作差比较法,对选项逐一推断【详解】对于A,,因为,故,即,故A正确;对于B,不能确定符号,取则,故B错误;对于C,,因,故,即,故C正确;对于D,,因为,所以,即,所以,故D错误.故选:AC10.定义在上的函数满意,当时,,则满意()A. B.是奇函数C.在上有最大值 D.的解集为【答案】ABD【解析】【分析】利用赋值法可推断A选项的正误;利用函数奇偶性的定义可推断B选项的正误;利用函数单调性的定义可推断C选项的正误;利用函数的单调性解不等式,可推断D选项的正误.【详解】对于A选项,令,可得,解得,A对;对于B选项,函数的定义域为,令,可得,则,故函数是奇函数,B对;对于C选项,任取、且,则,即,所以,所以,函数为上的减函数,所以,在上有最大值,C错;对于D选项,由于为上的减函数,由,可得,解得,D对.故选:ABD.11.已知函数定义域为,且,,,则()A.的图象关于直线x=2对称 B.C.的图象关于点中心对称 D.为偶函数【答案】BCD【解析】【分析】利用假设的图象关于直线对称,推出冲突的方法推断A,依据已知可推得函数为奇函数,进而得到函数的周期,可推断B,C,利用偶函数的定义可推断D.【详解】对于A,假设的图象关于直线对称,则,因为,故,即2为函数的一个周期,则,由,可得,冲突,故的图象不关于直线对称,A错误;对于B,函数定义域为,且,则,由得,则,,故,故B正确;对于C,由B的分析可知,,即,所以,即,故的图象关于点中心对称,C正确;对于D,由可得,由得,故,即为偶函数,D正确.故选:BCD.12.已知的解集是,则下列说法正确的是()A.若c满意题目要求,则有成立B.的最小值是4C.已知m为正实数,且m+b=1,则的最小值为D.当c=2时,,的值域是,则的取值范围是【答案】ACD【解析】【分析】由不等式的解集可得方程的根,再由根与系数关系得出,,,由指数函数的单调性及作商法推断A,依据均值不等式推断B,利用“1”的变形及均值不等式推断C,依据二次函数的性质推断D.【详解】的解集是,是关于的方程的两个根,且,,,,,对于A,由,可知,故,正确;对于B,,当且仅当,即时等号成立,即的最小值是,错误;对于C,,当且仅当且时,即时取等号,正确;对于D,当时,,则,,依题意,,在上的最小值为,或,,,则的取值范围是,正确.故选:ACD三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.)13.函数的定义域是____________.【答案】【解析】【分析】依据详细函数的定义域的求法求解即可.【详解】因为,所以,解得,故或,所以的定义域为.故答案为:.14.已知函数是定义在上的单调递增函数,则实数a的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】分段函数在上单调递增,则在两个分段区间上都单调递增,且在上的最大值要不大于上的随意函数值,据此解答即可.【详解】因为在上单调递增,所以当时,在上单调递增,又因为开口向下,对称轴为,所以,故,且在上的最大值为,当时,在上单调递增,所以由幂函数的性质可知,且,故,得,由于以上条件要同时成立,故,即.故答案为:.15.已知函数和函数,若对随意的,总存在,使得成立,则实数a的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】依据题意得,由此得到关于不等式,解之即可.【详解】因为对随意的,总存在,使得成立,所以,因为开口向上,对称轴为,所以在上单调递增,故,又因为在上单调递减,所以,因此,解得,所以a的取值范围为.故答案为:.16.已知a>0,b>0,c>2,且a+b=1,则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】先利用把化成,利用基本不等式可求的最小值,再依据不等式的性质把目标代数式放缩为与有关的代数式,再利用基本不等式可求题设中目标代数式的最小值.【详解】因为,,所以,当且仅当时等号成立.又因为,由不等式的性质可得.又因为,当且仅当时等号成立.综上,的最小值为,当且仅当时等号成立.故答案为:.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知集合,不等式的解集为.(1)当时,求,;(2)若,求实数m的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【解析】【分析】(1)代入化简集合,再解分式不等式得到集合,从而利用集合的交并补运算及数轴法可求得结果;(2)由得,分类探讨与两种状况,结合数轴法与集合的包含关系即可求得实数m的取值范围.【小问1详解】当时,,由得,即,故,即,解得或,故或,所以或,或,故或.【小问2详解】因为,所以,当时,,解得;当时,由数轴法得或,即或,故或,综上:或,所以实数m的取值范围为.18.已知函数.(1)解不等式;(2)若的解集非空,求实数m的取值范围.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)分类探讨解不等式即可;(2)首先将题意转化为,设,再分类探讨求出的最大值即可得到答案.【小问1详解】因为,所以①,解得,②,解得,③,解得,综上不等式的解集为:.【小问2详解】因为的解集非空,所以解集非空,即.设,当时,,对称轴为,开口向下,所以.当时,,对称轴为,开口向下,所以.当时,,对称轴为,开口向下,所以.综上,即.所以实数m的取值范围为.19.已知,.(1)推断的奇偶性并说明理由;(2)请用定义证明:函数在上是增函数;(3)若不等式对随意和都恒成立,求t的取值范围.【答案】(1)奇函数,理由见解析;(2)证明见解析;(3).【解析】【分析】(1)利用函数的奇偶性定义即可求解;(2)利用函数单调性定义即可推断;(3)依据题意求出,从而可得,设,只需即可求解.【小问1详解】函数是定义域上的奇函数,理由如下,定义域关于原点对称,又,所以是定义域上的奇函数.【小问2详解】证明:设为区间上的随意两个值,且,则,因为,所以,,即;所以函数在上是增函数.【小问3详解】由可知时,.所以,即,对都恒成立,令,,则只需,解得,故t的取值范围.20.1.通过技术创新,某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场.2024年,该种玻璃售价为25欧元/平方米,销售量为80万平方米,销售收入为2000万欧元.(1)据市场调查,若售价每提高1欧元/平方米,则销售量将削减2万平方米;要使销售收入不低于2000万欧元,试问:该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米?(2)为提高年销售量,增加市场份额,公司将在2024年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革:提高价格到欧元/平方米(其中),其中投入万欧元作为技术创新费用,投入500万欧元作为固定宣扬费用,投入万欧元作为浮动宣扬费用,试问:该种玻璃的销售量(单位/万平方米)至少达到多少时,才可能使2024年的销售收入不低于2024年销售收入与2024年投入之和?并求出此时的售价.【答案】(1)40(2)该种玻璃的销售量至少达到102万平方米时,才可能使2024年的销售收入不低于2024年销售收入与2024年投入之和,此时求出此时的售价为30欧元.【解析】【分析】(1)设出未知数,列不等式进行求解;(2)依据题意,得到关于的关系式,,利用基本不等式进行求解【小问1详解】设该种玻璃的售价提高到x欧元/平方米解得:所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米小问2详解】整理得:除以得:由基本不等式得:,当且仅当,即时,等号成立,所以该种玻璃的销售量至少达到102万平方米时,才可能使2024年的销售收入不低于2024年销售收入与2024年投入之和,此时求出此时的售价为30欧元/平方米.21.已知函数满意.(1)求的解析式,并求在上的值域;(2)若对,且,都有成立,求实数k的取值范围.【答案】(1),(2)【解析】【分析】(1)由条件可得,然后可解出,然后利用对勾函数的学问可得答案;(2)设,条件中的不等式可变形为,即可得在区间(2,4)递增,然后分、、三种状况探讨求解即可.【小问1详解】因为①,所以②,联立①②解得.当时为增函数,时为减函数,因为所以【小问2详解】对,,,都有,不妨设,则由恒成立,也即可得函数在区间(2,4)递增;当,即时,满意题意;当,即时,为两个在上单调递增函数的和,则可得在单调递增,从而满意在(2,4)递增,符合题意;当,即时,,其在递减,在递增,若使在(2,4)递增,则只需;综上可得:22.已知函数.(1)当时,对随意的,令,求关于的函数解析式,并写出的取值范围;(2)若关于x的方程有3个不同的根,求n的取值范围.【答案】(1)答案见解析;(2).【解析】【分析】(1)将问题转化为,结合的图像,分类探讨,与的状况,从而得到的解析式.(2)法一:分别探讨与时,的解的个数状况,最终综合两者的状况得到有3个不同的根时,n的取值范围.法二:由于最多只有3个不同的根、或,所以当有3个不同的根时,只需即可,由此可求得n的取值范围.【小问1详解】当时,,当时,,则开口向下,对称轴为,故在上单调递增,在上单调递减,则,当时,,则开口向上,对称轴为,故在上单调递增,令,即,解得(负值舍去),又,,所以的图像如图,因为对随意的,令,即为在的最大值与最小值的差的肯定值,结合图像得,当时,;当时,;当时,;综上:..【小问2详解】法一:当时,,则可化得,即,当时,,故,即无解;当时,可能有两个解或;当时,,故不是的解,而,即也不是的解,故无解;当时,必定是的一个解,又由得,整理得,由可知恒成立,故有两个解或;所以当时,无解;当时,有两个解或.当时,,则可化得,即,当时,,故只有一个解;当时,可能有两个解或,当时,必定是的一个解,又由得,整理得,解得,即当时,有两个解或;当时,只有一个解;当时,,故不是的解,又由得,整理得,解得,即当时,只有一个解;当时,无解;所以当时,有两个解或;当时,只有一个解;当时,只有一个解;当时,无解.综合与两种状况可得,当时,有两个解或;当时,只有一个解;当时,有三个解、
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