【积分中值定理的推广及其应用探究2400字】

积分中值定理的推广及其应用研究摘要：本文讨论了积分中值定理及其具体证明；并将定理从闭区间推广到开区间，使定理更好的实际应用；本文给出了定理在数学里的应用以及求平均速度和平均作用力问题的应用.关键词：积分中值定理；函数单调性；平均速度TOC\o"1-3"\h\u1前言 11.1研究背景 11.2文献综述 11.3主要研究内容及成果 12积分中值定理基本内容 22.1介质定理 22.2积分中值定理及其证明 22.3积分第一中值定理及其证明 22.4积分第二中值定理及其证明 33积分中值定理的推广 63.1积分中值定理的推广 63.2积分第一中值定理的推广 64积分中值定理的应用 84.1积分中值定理在数学中的应用 84.1.1求函数在某区间的平均值 84.1.2求含积分的极限 94.1.3估计积分值 94.1.4确定积分值符号 104.1.5证明函数单调性 114.1.6不等式证明 124.1.7其它定理证明 134.2生活中的积分中值定理 144.2.1求平均速度 144.2.2求平均作用力 145结束语 16参考文献 17.1研究背景数学近些年得到飞跃的发展.微积分是近代数学的一大重要发现，它让我们在研究数学相关问题时更加方便，同时加速发展了其他学科的发展，广泛运用于实践当中，提高了科技的飞跃发展和生活品质的提高。1.2文献综述邹乐强[2]说明了积分第一中值定理的定义和推广，把它运用到解题过程中；余小飞[3]根据被积函数的性质研究积分的一些性质；肖劲森和林全文[4]改善混合积分中值定理，推导出满足介值性条件下可积函数积分第一中值定理；陈杰[1]推广了积分中值定理，并且运用进效能估算；刘三阳[5]给出定理的推广和改进形式；闫春燕和曹军芳证明了介值点在区间内取得；方辉平和项明寅[6]分析了积分中值定理计算积分极限，含特殊点极限的求法就由他提出；陈玉[7]推导其他积分中值定理积分中值定理.1.3主要内容本文对定理依次进行了定义解释，在具体问题中的使用，文章的最后也进行了简单的推广。2.1介质定理的推论定理2[9]闭区间上的连续函数必可以在区间内取得介于最大值和最小值之间的任何值.设,是的最大和最小值，有，，证明：因为,是最大值和最小值，故：， 把等式两边积分， 同时积分：，即可证.2.2积分中值定理及其证明定理3[10]可得到，. 通过介质定理知： ， 2.3积分第一中值定理及其证明定理4[2]可以得到，证明：在上不变号，在恒大于0，的最大值为，最小值为.即 对式（2-9）同乘，对任意的闭区间内的，有： 在和之间必存在一个，有 在上连续，那么在上必存在，， 2.4积分第二中值定理及其证明定理5[11]可以得到在闭区间上中，有.在单调增加，在上，.其证明过程如下：设其中根据定理可知，存在在上，有 即定理得证.

3.1积分中值定理的推广定理6，证明：，连续. 在连续，在可微，.定理[7]可知：满足内，.，，得， ，即 ， 定理73.2积分第一中值定理的推广定理8，证明：，连续，可积.不变号还可积.有，在上连续，，，，，，.通过定理[8]：即 由积分定义，可以得到其中

4.1数学里定理的作用4.1.1平均值在给定的区间内求平均值使用定理过程更加方便.可以直接通过公式或者变换进行求解.在运用时要弄清楚定理的定义[11].例1求的平均值在上。解 在上的平均值为例2，求各点极径平均值在上。解 在平均值为.4.1.2求含积分的极限积分的极限利用性质和运算法则,把所要求解的问题简化[6].例3求解：对于，属于连续，通过定理可知 由于故 例4求解：连续，有： 满足时，4.1.3估计积分值例7求解：根据积分第一中值定理： 因为 即 所以 例8估计的值解：由于 即 于是 4.1.4确定符号运用积分中值定理确定积分符号，在所给区间内求得（）的式子，通过范围确定积分符号[12].例9判断正负.解 为正.例10：判断正负.解 在不恒为零，有为正.4.1.5其他定理证明证明狄利克雷判别法[9]：有界，满足有单调且当时趋于，那么积分收敛.证明：因为当时所以对于任意的存在,当时.因为所以有： 就有： 可以得到收敛.4.2生活中的积分中值定理4.2.1求平均速度运用定理求解速度.速度在内连续，记为，根据定理有： 位移则 即是平均速度[14].例14人开始速度时间为起跑的速度做匀加速运动，在时有速度最大，后面速度不变，时间为问平均速度为多少.在内必有点使得： 4.2.2求平均作用力相对的平均作用力是不同的在不同的过程.力在时间内做功，位移那么，根据定理： 即 从位移来看 即 求满足时间位移内的平均作用力.所以有由定理可得：

在平时学习中会学到的关于积分中值定理的知识帮助我对积分中值定理有着很深的印象；也阅读了很多论文，知道了在解决问题时的不同种类积分中值定理优缺点.在解决问题时，我们不能灵活的运用定理，因此我将定理所存在的问题改善.通过对积分中值定理的基础理论进行讨论，对它们也做出了证明、推广和应用，使我们清晰的了解定理.定理的核心就在于用点的值去替换区间的平均值，使求解过程变得易懂.在定理的应用中，主要是在解决问题上的应用讨论，生活中的应用也举了例子.课题的内容以理论研究为主，研究是为了更好的应用，应用是更好的生活，数学的魅力就在于此.[1]陈杰.微积分中值定理及其应用[Ｊ].吕梁教育学院学报,2017,34(2):92-94.[2]邹乐强．积分第一中值定理及其应用[Ｊ].福建茶叶,2019,10:239-242.[3]余小飞.积分中值定理在积分不等式中的应用[Ｊ].当代教育实践与教学研究,2017,(8):1.[4]肖劲森，林全文.一个推广的积分中值定理[Ｊ].韶关学院学报.2017,38(6):1-3.[5]刘三阳.积分中值定理的推广及其应用[Ｊ].高等数学研究,2016,19(6):26-28.[6]方辉平，项明寅.利用积分中值定理求极限[Ｊ].黄山学院学报,2014,19(5):1-3.[7]陈玉.基于微分中值定理的积分中值定理[Ｊ].高等数学研究,2013,16(6):42-45.[8]同济大学应用数学系.高等数学（第五版上册）[M].北京：高等教育出版社.1996.[9]樊映川．高等数学讲义[M]．北京：高等教育出版社，1994.[10]华东师范大学数学系.数学分析（第三版上册）[M].北京：高等教育出版社.2001.[11]刘玉琏.数学分析讲义[M].北京:高等教育出