江苏省常州市2024年中考数学一模试题(附答案)

中考数学一模试题一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．的倒数是（）A．4 B． C． D．2．截止2024年1月31日，理想汽车累计交付量达到约664500辆，其中664500可用科学记数法表示为（）A． B．C． D．3．计算的结果是（）A． B． C． D．4．如图是由5个相同的小正方体组合而成的几何体，则该几何体的主视图是（）A． B． C． D．5．一元二次方程根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．有一个实数根 D．没有实数根6．当时，代数式的值为6，那么当时，这个代数式的值是（）A．1 B． C．6 D．7．如图，A、B、C、D、E、F为的六等分点，甲同学从中任取三点画一个三角形，乙同学用剩下的点画一个三角形，则甲乙两位同学所画的三角形全等的概率为（）A． B．1 C． D．8．小丽从常州开车去南京，开了一段时间后，发现油所剩不多了，于是开到服务区加油，加满油后又开始匀速行驶，下面哪一幅图可以近似的刻画该汽车在这段时间内的速度变化情况（）A． B．C． D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）9．4的算术平方根是．10．要使有意义，则x的取值范围是.11．分解因式：．12．点关于直线对称的点的坐标是.13．已知反比例函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是.14．已知扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的面积.15．中，，，则的值是.16．如图，是的直径，是的切线，交于点D，连结，若，则的大小为.17．如图，正方形的边长为10，，，，则线段的长为.18．如图，正方形的边长为6，O为正方形对角线的中点，点E在边上，且，点F是边上的动点，连接，点G为的中点，连接、，当时，线段的长为.三、解答题（共84分，其中19至26题每题8分，27、28题每题10分）19．计算（1）（2）20．解方程和不等式（1）解方程：（2）解不等式组：21．为增进学生对数学知识的了解，某校开展了两次知识问答活动，从中随机抽取了30名学生两次活动的成绩进行整理、描述和分析，如图1，将这30名学生的第一次活动成绩作为横坐标，第二次活动成绩作为纵坐标.图1图2（1）学生甲第一次成绩是70分，则该生第二次成绩是分.（2）两次成绩均达到或高于90分的学生有个（3）为了解每位学生两次活动平均成绩的情况，如图2是这30位学生两次活动平均成绩的频数分布直方图（数据分成8组：，，，，，，，）在的成绩分别是77，77，78，78，78，79，79，则这30位学生两次活动平均成绩的中位数是.（4）假设全校有1200名学生参加此次活动，请估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数.22．2024年春晚，魔术师表演了一个与纸牌相关的魔术，让人大开眼界，这个魔术中隐含了一个数学问题——约瑟夫问题，春晚结束后，小华和小丽玩起了抽扑克牌游戏，他们从同一副扑克牌中选出四张牌，牌面数字分别为3，6，7，9.将这四张牌背面朝上，洗匀.（1）小丽从中随机抽出一张牌，则抽到这张牌是奇数的概率是；（2）小丽从中随机抽取一张，记下牌面上的数字后放回，背面朝上，洗匀，接着小华再从中随机抽取一张，记下牌面上的数字，请求出他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是3的倍数的概率.23．如图，菱形中，对角线、相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E.（1）求证：四边形是矩形.（2）若，，求四边形的周长.24．《九章算术》中记载了这样一个问题：“假设5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子.问每头牛、每只羊分别值银子多少两?”根据以上译文，提出以下两个问题：（1）求每头牛、羊各值多少两银子?（2）若某商人准备用50两银子买牛和羊共20只，要求羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两有剩余，请问商人有几种购买方法?列出所有可能的购买方案。25．如图，，，反比例函数的图像过点，反比例函数经过点A.（1）求a和k的值（2）过点B作轴，与双曲线交于点C，求的面积.26．定义：若实数a、b、、满足、（k为常数，，则在平面直角坐标系中，称点为的“k值友好点”.例如，点是点的“k值友好点”.（1）在，，，四点中，点是点的“k值友好点”.（2）设点是点的“k值友好点”①当时，求k的值.②若点A坐标为，当时，请直接写出点Q的坐标以及k的值.27．如图，抛物线，抛物线交x轴于点A、B（点A在点B的右侧），交y轴于点C，抛物线与抛物线关于原点成中心对称.（1）求抛物线的函数表达式和直线对应的函数表达式.（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点，连接、，与相交于点P.①作轴，垂足为E，当时，求点P的横坐标.②请求出的最大值.28．如图1，小明借助几何软件进行数学探究：中，，，D是边的中点，E是线段上的动点（不与点A、点D重合），边关于对称的线段为，连接.（1）当为等腰直角三角形时，的大小为.（2）图2，延长，交射线于点G.①请问的大小是否变化?如果不变，请求出的大小；如果变化，请说明理由.②若，则的面积最大为_▲_，此时_▲_.

答案1．【答案】D2．【答案】C3．【答案】D4．【答案】D5．【答案】A6．【答案】D7．【答案】B8．【答案】B9．【答案】210．【答案】11．【答案】。12．【答案】13．【答案】14．【答案】π15．【答案】16．【答案】3217．【答案】7518．【答案】​​​​​​​​​​​​​​19．【答案】（1）解：；（2）解：.20．【答案】（1）解：∵，∴，

解得，

检验：当x=2时，x-3≠0，是原方程的解；（2）解：∵，∴解不等式①得，解不等式②得，不等式组的解集为.21．【答案】（1）75（2）7（3）79（4）解：（人），答：估计两次活动平均成绩不低于90分的学生有360人.22．【答案】（1）（2）解：列表如下：36793（3，3）（3，6）（3，7）（3，9）6（6，3）（6，6）（6，7）（6，9）7（7，3）（7，6）（7，7）（7，9）9（9，3）（9，6）（9，7）（9，9）共有16种等可能的情况，其中他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是3的倍数的有9种，

∴他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是3的倍数的概率为.23．【答案】（1）证明：，，

四边形是平行四边形，四边形是菱形，

，

，四边形是矩形.（2）解：四边形是菱形，AB=10，AC=12，

，，

∵∠COD=90°，，四边形是矩形，四边形的周长是2(OC+OD)=2×(6+8)=28.24．【答案】（1）解：设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，依题意得：，

解得：，答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子；（2）解：设购买m头牛，则购买只羊，依题意得，

解得：，为整数，有3种方案：①购买7头牛，13只羊；②购买8头牛，12只羊；③购买9头牛，11只羊.25．【答案】（1）解：如图，过点B作BD⊥x轴于点D，过A作AE⊥x轴于点E，

∴∠BDO=∠AEO=90°，

∴∠BOD+∠DBO=90°，

∵∠AOB=90°，

∴∠BOD+∠AOE=90°，

∴∠DBO=∠AOE，

∴，

，

反比例函数的图像过点，，

∴，

∴，

，，

∵，

，，，点A的坐标为，

∴.（2）解：设AE与OC相交于点F，

∵BC∥x轴，B(-2，1)，

，将代入中，得，

点C的坐标为，

所在的直线为，

∵A(2，4)，

∴点F的横坐标为2，将x=2代入，得，

∴，

，

.26．【答案】（1）；（2）解：①，

，，

，点是点的“k值友好点”，

，，，

根据两点距离公式得：，，

整理得：，，即k的值为1；②时，；

时，.27．【答案】（1）解：由题可知，抛物线的顶点为抛物线与抛物线关于原点成中心对称抛物线的表达式为，即令，则，，，令，则，所在直线为（2）解：①设点P为，，轴，，，，点P在第一象限，点P的横坐标为.②过点B、点D作y轴的平行线，分别交直线于点M、点N.，将代入得，，，要最大，就是要最大设，则最大为，即最大为.28．【答案】（1）15（2）解：①∠G