概率论与数理统计习题解答(第5章)

第5章习题答案三、解答题1.设随机变量X1，X2，…，Xn独立同分布，且X～P()，，试利用契比谢夫不等式估计的下界。解：因为X～P()，由契比谢夫不等式可得2.设E(X)=–1，E(Y)=1，D(X)=1，D(Y)=9，XY=–0.5，试根据契比谢夫不等式估计P{|X+Y|3}的上界。解：由题知==0Cov===-1.5所以3.据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布．现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的．求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率．解：设i个元件寿命为Xi小时，i=1,2,......,16，那么X1，X2，...，X16独立同分布，且E(Xi)=100，D(Xi)=10000，i=1,2,......,16，，由独立同分布的中心极限定理可知：近似服从N(1600,1.610000)，所以==1-0.7881=0.21194.某商店负责供给某地区1000人商品，某种商品在一段时间内每人需要用一件的概率为0.6，假定在这一时间段各人购置与否彼此无关，问商店应预备多少件这种商品，才能以99.7%的概率保证不会脱销〔假定该商品在某一时间段内每人最多可以买一件〕．解：设商店应预备n件这种商品，这一时间段内同时间购置此商品的人数为X，那么X~B〔1000，0.6〕，那么E(X)=600，D(X)=240，根据题意应确定最小的n，使P{X≤n}=99.7%成立.那么P{X≤n}所以，取n=643。即商店应预备643件这种商品，才能以99.7%的概率保证不会脱销。5.某种难度很大的手术成功率为0.9，先对100个病人进行这种手术，用X记手术成功的人数，求P{84<X<95}．解：依题意,X~B〔100，0.9〕，那么E(X)=90，D(X)=9，6.在一零售商店中，其结帐柜台替顾客效劳的时间〔以分钟计〕是相互独立的随机变量，均值为1.5，方差为1．求对100位顾客的总效劳时间不多于2小时的概率．解：设柜台替第i位顾客效劳的时间为Xi，i=1,2,3.....100.那么Xi，i=1,2,3.....100独立同分布，且E(Xi)=1.5，D(Xi)=1，由独立同分布中心极限定理知，近似的有所以即对100位顾客的效劳时间不多于两个小时的概率为0.0013.7.笔记本电脑中某种配件的合格率仅为80%，某大型电脑厂商月生产笔记本电脑10000台，为了以99.7%的把握保证出厂的电脑均能装上合格的配件，问：此生产厂商每月至少应购置该种配件多少件？解：设此生产厂商每月至少应购置n件该种配件，其中合格品数为X，那么X~B(n，0.8),0.997=P{X10000}=QUOTEy≥xQUOTEy-npnp(1-p)≤10000-npnp(1-p)，,查表，即解得n=12655QUOTE≥12655即此生产厂商每月至少应购置12655件改种配件才能满足以99.7%的把握保证出厂的电脑均能装上合格的配件。8.一本300页的书中，每页的印刷错误的个数服从参数为0.2的泊松分布，试求整书中的印刷错误总数不多于70个的概率．解：记每页印刷错误个数为，i=1，2，3，…300，那么它们独立同服从参数为0.2的泊松分布，所以E〔Xi〕=0.2，D(Xi)=0.2所以9.设车间有100台机床，假定每台机床是否开工是独立的，每台机器平均开工率为0.64，开工时需消耗电能a千瓦，问发电机只需供给该车间多少千瓦的电能就能以概率0.99保证车间正常生产？解：设发电机只需供给该车间m千瓦的电能就能以概率0.99保证车间正常生产，记X为100台机床中需开工的机床数，那么X~B(100，0.64)，E(X)=64，D(X)=100×0.64×0.36=23.04由伯努利中心极限定理知X近似服从N(64，23.04)，所以依题意，应使，所以，从而.10.某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元．假设老人在该年内死亡，公司付给家属1万元．设老年人死亡率为0.017，试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率．解：设当年内投保老人的死亡数为X，那么X~B(10000,0.017)，根据中心极限定理X近似服从N(1000×0.017,1000×0.017×0.983).公司在一年内的保险亏本的概率为所以保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率是0.01四、应用题1.某餐厅每天接待400名顾客，设每位顾客的消费额〔单位：元〕服从区间(20，100)上的均匀分布，且顾客的消费额是相互独立的，求该餐厅的日营业额在其平均营业额760元内的概率．解：设每位顾客的消费额为Xi，i=1,2,…400,且Xi~U(20，100)，那么，由独立同分布的中心极限定理,所以2.设某型号电子元件的寿命〔单位：小时〕服从指数分布，其平均寿命为20小时，具体使用时当一元件损坏后立即更换另一新元件，每个元件进价为110元，试问在年方案中应为此元件作多少元的预算，才可以有95%的把握保证一年的供给〔假定一年工作时间为2000小时〕．解：设应为这种元件作m元的预算，即需进m/110个元件，记第件的寿命为Xi小时，i=1，2，3···,m/110，且Xi~E(20)，所以E〔Xi〕=20，D(Xi)=400，==0.95，所以所以m=12980即在年方案中应为此元件作12980元的预算，才可以有95%的把握保证一年的供给.3.据调查某村庄中一对夫妻无孩子、有1个孩子、有2个孩子的概率分别为0.05，0.8，0.15．假设该村共有400对夫妻，试求：(1)400对夫妻的孩子总数超过450的概率；(2)只有1个孩子的夫妻数不多于340的概率．解：(1)设第k对夫妻孩子数为Xk，那么Xk的分布律为Xk012p0.050.80.15那么，故即400对夫妻的孩子总数超过450的概率为0.1357(2)设Y为只有一个孩子的夫妻对数，那么Y~B(400,0.8)，即只有1个孩子的夫妻数不多于340的概率为0.9938．〔B〕1.设随机变量的概率密度为，m为正整数，证明：〔提示：利用Chebyshev不等式〕．证明：E〔X〕=f(x)d=，由切比雪夫不等式==2.设为独立同分布的随机变量序列，其共同的分布如下表所示，证明服从Chebyshev