2023年河南省中考数学真题（A卷 ）含解析

2023年河南省普通高中招生考试数学A卷注意事项：1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个正确的．1.的绝对值是（）A. B. C. D.2.2023全国“两会”政府工作报告中指出：我国粮食产量连年稳定在万亿斤以上．其中数据“万亿”用科学记数法可表示为（）A. B. C. D.3.某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（）A. B. C. D.4.下列运算正确是（）A. B. C. D.5.如图，在中，作边的垂直平分线，交边于点，连接．若，，则的度数为（）A. B. C. D.6.把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（）A. B.C. D.7.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（）A. B. C.0 D.8.近年来我国航天事业取得了一系列的伟大成就，现有5张卡片正面图案如图所示，它们除此之外其他完全相同，把这5张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张卡片正面图案恰好是“嫦娥五号”和“卫星导航系统”的概率是（）A. B. C. D.9.如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在原点上，边在轴的正半轴上轴，将四边形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（）A. B. C. D.10.如图1，在矩形中，动点从点出发沿方向运动到点停止，动点从点出发沿方向运动到点停止，若点同时出发，点的速度为，点的速度为，设运动时间为与的函数关系图像如图2所示，则的长为（）A.8 B.9 C.10 D.14二、填空题（每小题3分，业15分）11.某种试剂的说明书上标明保存温度是，请你写出一个适合该试剂保存的温度：___________．12.已知点在直线上，且，则的取值范围是___________．13.某校计划从小颖、小亮、小东、小朋四名学生中选拔一人参加全市知识竞赛，下表是他们最近3次选拔测试的平均成绩及方差：小颖小亮小陈小明平均成绩/分97969597方差学校决定依据他们的平均成绩及稳定性进行选拔，那么被选中的学生应是___________．14.如图，在扇形中，分别是的中点，连接和交于点，若，则图中阴影部分的面积为___________．15.如图，正方形边长为5，是边上的一动点，将正方形沿翻折，点的对应点为，过点作折痕的平行线，分别交正方形的边于点（点在点上方），若，则的长为___________．三、解答题（本大题，共8个小题，共75分）16.（1）计算：（2）化简：17.互联网已成为当代未成年人重要的学习、社交、娱乐工具，对其成长产生深刻影响，2022年11月30日，共青团中央维护青少年权益部、中国互联网络信息中心（CNNIC）．中国青少年新媒体协会联合发布了《2021年全国未成年人互联网使用情况研究报告》（注：此报告中未成年网民指6岁到18岁的在校学生中的网民）．根据报告中的数据，得到以上两幅统计图：根据以上信息解答下列问题：（1）未成年网民假日收看短视频时长的中位数在___________范围内，未成年网民收看短视频的内容题材最多的是___________类．（2）若从全国6岁到18岁的在校生中随机抽取1000人，请分别估计其中工作日和节假日收看短视频的时长在1小时及以上的学生人数．（3）某班为举办“健康上网”的主题班会，从以上统计图中获取了一些信息，请你写出一条获得的信息，并就此提出一条合理的建议．18.文昌阁位于河南省辉县市区，创建于明代，为八角形三层搬尖顶阁楼，砖木结构，文昌阁是河南省第五批文物保护单位，其建筑结构严谨，造型精巧，工艺精致，气势宏伟，体量高大，是明代木构阁楼建筑的精华，具有重要的历史、科学、艺术价值，某数学兴趣小组准备测量文昌阁阔身的高度，为此制订了测量方案，并利用周末完成了测量，测量结果如下表：活动课题测量文昌阁阁身的高度活动目运用三角函数知识解决实际问题活动工具测角仪、皮尺等测工具示意图测量步骤如图：（1）利用测角仪在台阶D处测得文昌阁顶点A的仰角为；（2）利用测角仪在台阶C处测得的文昌阁顶点A的仰角为；（3）利用皮尺测量每个台阶的高度计算出两处台阶的高度均为（即点B和点C，点C和点D的垂直距离均为），利用皮尺测量每个台阶的宽度及点C和点D到台阶边缘的距离计算出点C和点D的水平距离为（已知A、B、C、D、E均在同一平面内）请运用所学知识，根据上表中的数据，计算文昌阁阁身的高度．（结果取整数．参考数据：）19.某科技小组的同学制作了一个简易台秤（如图1）用来测物体的质量，内部电路如图2所示，其中电流表的表盘被改装为台秤的示数．已知电源电压为，定值电阻为，电阻为力敏电阻，其阻值与所受压力符合反比例函数关系．（1）请补全下面表格，在图3中补全点，画出与的关系图像，并写出阻值与压力的函数关系式．120___________6050___________305610121520（2）已知电路中电流与电阻、电源电压的关系式，当电流表的示数达到最大值时，台秤达到量程的最大值．若电流表的量程为，则该台秤最大可称多重的物体？（3）已知力敏电阻受压力与所测物体的质量的关系为．若力敏电阻阻值的变化范围为，则所测物体的质量的变化范围是___________．20.国家“双减”政策实施后．某校开展了丰富多彩的社团活动，其中分同学报名参加了中国象棋和国棋两个社团，该校为参加社团的同学去商场购买中国象棋和围棋．已知购买5副中国象模和3副围棋共花费165元，购买4副中国象棋和6副围棋共花费240元．（1）求每副中国象棋和围棋的价格各是多少元．（2）在购买时，恰逢商场推出了优惠活动，活动的方案如下：方案一：购买围棋不超过20副时，围棋和中国象棋均按原价付款；超过20副时，超过的部分每购买1副围棋赠送1副中国象棋；方案二：按购买总金额的八折付款．若该校共需购买40副围棋和副中国象棋，请通过计算说明该校选择哪种方案更划算．21.如图，在平面直觓坐标系中，拋物线的顶点为，交轴于点，点是拋物线上一点．（1）求抛物线的表达式及顶点的坐标．（2）当时，求二次函数的最大值与最小值的差．（3）若点是轴上方抛物线上的点（不与点重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点，当线段的长随的增大而增大时，请直接写出的取值范围．22.中国是世界上机械发展最早的国家之一，如图1是一辆明代的运输板车，该车沿用宋元制式和包镶式结构，车身选材厚重、纹理精美，低重心的物理结构兼顾了承重性和安全性．如图2是板车侧面的部分示意图，为车轮的直径，过圆心O的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接．（1）求证：．（2）若测得，求的长．23.综合与实践【问题情境】数学活动课上，老师给出了这样一个问题：如图1，在中，，，射线平分，将射线绕点逆时针㧪转，得到射线，在射线上取点，使得，连接分别交于点，，连接．问：，之间的数量关系是什么？线段，之间的数量关系是什么？【特例探究】“勤奋”小组的同学们先将问题特殊化，探究过程如下：甲同学：当时，如图2，通过探究可以发现，，，都是等腰三角形；乙同学：可以证明，得到；丙同学：过点做，垂足，如图3，则；丁同学：可以证明，，则，，…．（1）根据以上探究过程，得出结论：，之间的数量关系是___________；线段，之间的数量关系是___________．【类比探究】（2）“智慧”小组的同学们在“勤奋”小组的基础上，进一步探究一般情形，当时，如图1，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图1的情形进行证明；如果不成立，请说明理由．【迁移应用】（3）“创新”小组的同学们改变了条件，当时，如图4，若射线是的三等分角线，，其他条件不变，请直接写出的长．

2023年河南省普通高中招生考试数学A卷注意事项：1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个正确的．1.的绝对值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据绝对值的定义进行求解即可．【详解】解：的绝对值是，故选C．【点睛】本题主要考查了求一个数的绝对值，熟知绝对值的定义是解题的关键：正数和0的绝对值是它的相反数，负数的绝对值是它的相反数．2.2023全国“两会”政府工作报告中指出：我国粮食产量连年稳定在万亿斤以上．其中数据“万亿”用科学记数法可表示为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：数据“万亿”用科学记数法可表示为，故选：B【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．3.某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据主视图和俯视图可知该几何体是柱体，再根据左视图即可确定该几何体．【详解】解：根据主视图和俯视图可知该几何体是柱体，根据左视图可知该几何体是水平放置的圆柱．故选：D．【点睛】本题考查简单几何体的三视图，掌握常见几何体的三视图是解题的关键．4.下列运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项，积的乘方，单项式除以单项式，平方差公式，逐项判断即可求解．【详解】解：选项A中，，故选项A错误；选项B中，，故选项B错误；选项C中，，故选项C错误；选项D中，，故选项D正确，故选：D．【点睛】本题主要考查了合并同类项，积的乘方，单项式除以单项式，平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．5.如图，在中，作边的垂直平分线，交边于点，连接．若，，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据垂直平分线的性质可得，．根据三角形的内角和定理即可求得．【详解】根据题意，可知，∴．∴．在中，，∴，故选：A．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，三角形的内角和定理．熟练掌握以上性质是解题的关键．6.把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先解每一个不等式，求得不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来，即可判定．【详解】解：解不等式，得；解不等式，得．∴不等式组的解集为，解集表示在数轴上表示如图，故选：A．【点睛】本题考查了求不等式组的解集并把解集在数轴上表示出来，准确求得不等式组的解集是解决本题的关键．7.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（）A. B. C.0 D.【答案】C【解析】【分析】根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根得到，解得，即可得到解答．【详解】解：∵关于的一元二次方程的根的判别式是：．∵方程有两个不相等的实数根，∴，解得．∴的值可以是0，故选：C．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根．8.近年来我国航天事业取得了一系列的伟大成就，现有5张卡片正面图案如图所示，它们除此之外其他完全相同，把这5张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张卡片正面图案恰好是“嫦娥五号”和“卫星导航系统”的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，采用列举法求简单事件的概率，直接画树状图即可得到答案．详解】解：将嫦娥五号、长征二号、亚太6D通信卫星卫星导航系统、航天科技人造卫星分别用表示，根据题意，画树状图如下：由树状图，可知共有20种等可能的结果，其中抽取的两张卡片正面图案恰好是“嫦娥五号”和“卫星导航系统”的结果有2种，∴（两张卡片正面图案恰好是“嫦娥五号”和“卫星导航系统”），故选：D．【点睛】本题考查画树状图求两步概率问题，熟练掌握列举法解概率问题的方法步骤，将题中相关事物量化是解决问题的关键．9.如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在原点上，边在轴的正半轴上轴，将四边形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】连接，过点作，垂足为，证明，则．在中，求得，，则．在中，求得．得到点的坐标为．由题意可知每旋转4次为一个循环，则第2023次旋转结束时点的位置和第3次旋转结束时点的位置相同，求出第三次旋转结束时点的坐标即可．【详解】解：连接，过点作，垂足为，如图所示，∵，∴．∴．中，，∴，．∴．在中，，∴．∴点的坐标为．∵每次旋转，，∴每旋转4次为一个循环．∵，∴第2023次旋转结束时点的位置和第3次旋转结束时点的位置相同．如图，点D即为第3次旋转结束时的位置，过点D作于点E，则，,，∴，∴点D的坐标是，∴第2023次旋转结束时，点的坐标为，故选：B．【点睛】此题考查了探索求点坐标的变化规律、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识，找到点的变化规律是解题的关键．10.如图1，在矩形中，动点从点出发沿方向运动到点停止，动点从点出发沿方向运动到点停止，若点同时出发，点的速度为，点的速度为，设运动时间为与的函数关系图像如图2所示，则的长为（）A.8 B.9 C.10 D.14【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合函数图像，可知当时，点在上运动；当时，点运动到点，即；当时，点在上运动；当时，点运动到点，即，结合矩形性质，利用勾股定理即可得到．【详解】解：根据题意，结合函数图像可知：当时，点在上运动，当时，点运动到点，则；当时，点在上运动，当时，点运动到点，则；在矩形中，，由勾股定理可知，故选：C．【点睛】本题考查从图像中获取相关信息，读懂题意，分析函数图像得到相应线段长，利用矩形的性质及勾股定理求解是解决问题的关键．二、填空题（每小题3分，业15分）11.某种试剂说明书上标明保存温度是，请你写出一个适合该试剂保存的温度：___________．【答案】10（答案不唯一）【解析】【分析】根据正数和负数的定义即可解答．【详解】解：由题意，可知适合该试剂的保存温度为，在此温度范围内均满足条件．故答案为10（答案不唯一）．【点睛】本题考查正负数在实际生活中的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．12.已知点在直线上，且，则的取值范围是___________．【答案】【解析】【分析】根据直线中，得到随的增大而减小，由即可得到的取值范围．【详解】解：对于直线来说，∵，∴随的增大而减小．∵，∴．故答案为：【点睛】此题考查了利用一次函数的性质比较自变量的大小，对于一次函数来说，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．13.某校计划从小颖、小亮、小东、小朋四名学生中选拔一人参加全市知识竞赛，下表是他们最近3次选拔测试的平均成绩及方差：小颖小亮小陈小明平均成绩/分97969597方差学校决定依据他们的平均成绩及稳定性进行选拔，那么被选中的学生应是___________．【答案】小明【解析】【分析】根据平均数越大越好，方差越小越稳定即可选出．【详解】解：小颖、小亮、小东、小明四个人中小颖和小明的平均成绩相等且最大，且四个人中小明的方差最小．小明的成绩好且最稳定．被选中的学生应是小明．

故答案为：小明．【点睛】此题考查了平均数和方差的意义，解题的关键是熟悉平均数和方差的概念．14.如图，在扇形中，分别是的中点，连接和交于点，若，则图中阴影部分的面积为___________．【答案】【解析】【分析】过点作于点，由，推出，设，则．由，推出，得到，求得，根据扇形的面积公式，三角形的面积公式即可求解．【详解】解：过点作于点，如图所示，∵，∴．∴．∴．设，则．∵，∴．∴，即，解得，即，．∴．故答案为：．【点睛】本题考查的是扇形面积计算、相似三角形的判定和性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．15.如图，正方形的边长为5，是边上的一动点，将正方形沿翻折，点的对应点为，过点作折痕的平行线，分别交正方形的边于点（点在点上方），若，则的长为___________．【答案】2或【解析】【分析】分两种情况进行讨论，①当点在上时，由折叠的性质，得到，求解即可；②当点在上时，证明．由相似三角形的性质求解.【详解】解：由题意，可知需分以下两种情况进行讨论．①当点在上时，连接，如图1所示．设，则．∵正方形中，∴，即，∵，∴四边形是平行四边形，∴．由折叠的性质，可知，，．∴，．∴．∵，∴，解得．∴；②当点在上时，分别延长交于点，连接，如图2所示．同理，可得．设，则．∴．∵，∴．∴，即，解得或（不合题意，舍去）．经检验，是原分式方程的解．∴．综上所述，当时，的长为2或．故答案为：2或．【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．解题的关键是根据题中所给条件找出三角形相似的条件以及分类讨论．三、解答题（本大题，共8个小题，共75分）16.（1）计算：（2）化简：【答案】（1）1；（2）【解析】【分析】（1）先计算立方根、零指数幂、负整数指数幂，再进行加减混合运算即可；（2）先计算括号内的加法，再计算除法即可．【详解】解：（1）．（2）．【点睛】此题考查了实数的混合运算、分式的四则混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．17.互联网已成为当代未成年人重要的学习、社交、娱乐工具，对其成长产生深刻影响，2022年11月30日，共青团中央维护青少年权益部、中国互联网络信息中心（CNNIC）．中国青少年新媒体协会联合发布了《2021年全国未成年人互联网使用情况研究报告》（注：此报告中未成年网民指6岁到18岁的在校学生中的网民）．根据报告中的数据，得到以上两幅统计图：根据以上信息解答下列问题：（1）未成年网民假日收看短视频时长的中位数在___________范围内，未成年网民收看短视频的内容题材最多的是___________类．（2）若从全国6岁到18岁的在校生中随机抽取1000人，请分别估计其中工作日和节假日收看短视频的时长在1小时及以上的学生人数．（3）某班为举办“健康上网”的主题班会，从以上统计图中获取了一些信息，请你写出一条获得的信息，并就此提出一条合理的建议．【答案】（1）0.5～1小讨；搞笑（2）204，417（3）见解析【解析】【分析】（1）根据中位数概念，观察扇形统计图即可解答；（2）利用抽样调查和条形统计图解答即可；（3）观察条形统计图，扇形统计图即可解答．【小问1详解】解：由题可知：未成年网民假日收看短视频时长0.5小时以内占31.8%，0.5～1小时占26.5%，两者的和是58.3%∴中位数的范围在0.5～1小时，∵扇形统计图可知搞笑类所占比重最大，∴未成年网民收看短视频的内容题材最多的是搞笑类．【小问2详解】解：（人），（人）．答：估计其中工作日收看短视频的时长在1小时及以上的学生人数为204，节假日收看短视频的时长在1小时及以上的学生人数为417．【小问3详解】解：信息：部分未成年网民存在看短视频时间过长的情况，且节假日收看短视频时长在1小时及以上的达41.7%（或未成年网民收看短视频的内容题材更多集中在搞笑、休闲类）．建议：节假日加强学生户外活动，减少看短视频的时间（或引导学生多关注兴趣类、学习类、时政类短视频）．（答案不唯一，合理即可）【点睛】此题主要考查了条形统计图，扇形统计图，众数，抽样调查等知识，解题关键是熟练掌握其相关概念．18.文昌阁位于河南省辉县市区，创建于明代，为八角形三层搬尖顶阁楼，砖木结构，文昌阁是河南省第五批文物保护单位，其建筑结构严谨，造型精巧，工艺精致，气势宏伟，体量高大，是明代木构阁楼建筑的精华，具有重要的历史、科学、艺术价值，某数学兴趣小组准备测量文昌阁阔身的高度，为此制订了测量方案，并利用周末完成了测量，测量结果如下表：活动课题测量文昌阁阁身的高度活动目的运用三角函数知识解决实际问题活动工具测角仪、皮尺等测工具示意图测量步骤如图：（1）利用测角仪在台阶D处测得文昌阁顶点A的仰角为；（2）利用测角仪在台阶C处测得的文昌阁顶点A的仰角为；（3）利用皮尺测量每个台阶的高度计算出两处台阶的高度均为（即点B和点C，点C和点D的垂直距离均为），利用皮尺测量每个台阶的宽度及点C和点D到台阶边缘的距离计算出点C和点D的水平距离为（已知A、B、C、D、E均在同一平面内）请运用所学知识，根据上表中的数据，计算文昌阁阁身的高度．（结果取整数．参考数据：）【答案】【解析】【分析】过点作于点于点，则四边形是矩形．设，则，再求得，得到，解方程即可得到文昌阁阁身的高度．【详解】解：过点作于点于点，如图所示，则四边形是矩形．∴．由题意，可知．设，则．∵，∴．∴．在中，∵，∴，即，解得．答：文昌阁阁身的高度约为．【点睛】此题是解直角三角形中的仰角和俯角问题，还用到了矩形的性质和判定、锐角三角函数、解一元一次方程等知识，添加正确的辅助线和准确计算是解题的关键．19.某科技小组的同学制作了一个简易台秤（如图1）用来测物体的质量，内部电路如图2所示，其中电流表的表盘被改装为台秤的示数．已知电源电压为，定值电阻为，电阻为力敏电阻，其阻值与所受压力符合反比例函数关系．（1）请补全下面的表格，在图3中补全点，画出与的关系图像，并写出阻值与压力的函数关系式．120___________6050___________305610121520（2）已知电路中电流与电阻、电源电压的关系式，当电流表的示数达到最大值时，台秤达到量程的最大值．若电流表的量程为，则该台秤最大可称多重的物体？（3）已知力敏电阻受压力与所测物体的质量的关系为．若力敏电阻阻值的变化范围为，则所测物体的质量的变化范围是___________．【答案】（1）100，40；图像见解析；（2）（3）【解析】【分析】（1）先根据题意求出函数关系式，然后令和分别计算即可求得表格答案；然后补全点并连线即可解答；（2）先求得当时电阻，进而求得压力F即可解答；（3）先根据电阻R的取值范围求得压力F的取值范围，进而求得测物体的质量的变化范围．【小问1详解】解：设阻值与所受压力的反比例函数关系为由表格可知：反比例函数图像过：，∴，所以，当时，即，解得：；当时，即，解得：；故表格答案为：100，40；补全的点与所画的函数图像如下：【小问2详解】解：当时，，解得．∵，∴当时，．∴该台秤最大可称重的物体．【小问3详解】解：∵，∴当时，；当时，．∴当时，．∵，∴．∴．【点睛】本题属于反比例函数的应用，涉及求反比例函数解析式、求函数值、求自变量的取值范围等知识点，理解反比例函数的意义是解答本题的关键．20.国家“双减”政策实施后．某校开展了丰富多彩的社团活动，其中分同学报名参加了中国象棋和国棋两个社团，该校为参加社团的同学去商场购买中国象棋和围棋．已知购买5副中国象模和3副围棋共花费165元，购买4副中国象棋和6副围棋共花费240元．（1）求每副中国象棋和围棋的价格各是多少元．（2）在购买时，恰逢商场推出了优惠活动，活动的方案如下：方案一：购买围棋不超过20副时，围棋和中国象棋均按原价付款；超过20副时，超过的部分每购买1副围棋赠送1副中国象棋；方案二：按购买总金额的八折付款．若该校共需购买40副围棋和副中国象棋，请通过计算说明该校选择哪种方案更划算．【答案】（1）每副中国象棋的价格是15元，每副围棋的价格是30元；（2）当时，该校选择方案一更划算；当时，该校选择两种方案一样划算；当时，该校选择方案二更划算【解析】【分析】（1）设每副中国象棋的价格是元，每副围棋的价格是元，根据“购买5副中国象模和3副围棋共花费165元，购买4副中国象棋和6副围棋共花费240元”列出二元一次方程组，求出解即可；（2）设选择方案一所需的费用为元，选择方案二所需的费用为元，利用一次函数的性质即可求解.【小问1详解】解：设每副中国象棋的价格是元，每副围棋的价格是元．根据题意，得，解得，答：每副中国象棋的价格是15元，每副围棋的价格是30元；【小问2详解】解：设选择方案一所需费用为元，选择方案二所需的费用为元．由题意，可知；．若，则，解得．若，则，解得．若，则，解得．∵，∴若，则．∴当时，该校选择方案一更划算；当时，该校选择两种方案一样划算；当时，该校选择方案二更划算．【点睛】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式的应用和一次函数的应用；能够通过已知条件列出准确的方程组和不等式是解题的关键．21.如图，在平面直觓坐标系中，拋物线的顶点为，交轴于点，点是拋物线上一点．（1）求抛物线的表达式及顶点的坐标．（2）当时，求二次函数的最大值与最小值的差．（3）若点是轴上方抛物线上的点（不与点重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点，当线段的长随的增大而增大时，请直接写出的取值范围．【答案】（1），（2）12（3）或【解析】【分析】（1）先运用待定系数法求得函数解析式，然后再运用配方法求得出顶点M的坐标即可；（2）先根据该二次函数的性质求得其在上的最大值和最小值，然后作差即可解答；（3）先求出直线的表达式为，设点（且），则点．然后分点在点的下方和上方两种情况解答即可．【小问1详解】解：∵点是拋物线上的点，∴解得：∴抛物线的表达式为．∵，∴拋物线顶点的坐标为．【小问2详解】解：∵抛物线顶点的坐标为，∴当时，随的增大而减小．∴当时，在处，取得最大值；在处，取得最小值．∴当时，二次函数的最大值与最小值的差为．【小问3详解】解：设直线的表达式为，∵点，解得：直线的表达式为，设点（且），则点．当点在点的下方，即时，，∴时，线段的长随的增大而增大；当点在点的上方时，，∴当时，线段的长随的增大而增大．综上所述，当线段的长随的增大而增大时，的取值范围为或．【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数的最值、二次函数增减性等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．22.中国是世界上机械发展最早的国家之一，如图1是一辆明代的运输板车，该车沿用宋元制式和包镶式结构，车身选材厚重、纹理精美，低重心的物理结构兼顾了承重性和安全性．如图2是板车侧面的部分示意图，为车轮的直径，过圆心O的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接．（1）求证：．（2）若测得，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，切线的性质证得，再证明，通过角的和差即可求出．（2）根据特殊三角函数求出，设，则，勾股定理求出，证明，根据相似比得出，在中，根据勾股定理即可求出．【小问1详解】证明：连接，如图所示．∵是的切线，∴．∵是的直径，∴．∵，∴．∵是的外角，∴．又∵，∴．【小问2详解】解：∵在中，，∴．设，则．又∵，∴，解得（负值已舍去）．∴．∴．由（1），可知．又∵，∴．∴，即．在中，设，则．又∵，∴，解得（负值已舍去）．∴的长为．【点睛】此题考查圆周角定理及其推论，切线的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟悉并会用圆周角定理及其推论，切线的性质，相似三角形的判定与性质．23.综合与实践【问题情境】数学活动课上，老师给出了这样一个问题：如图1，在中，，，射线平分，将射线绕点逆时针㧪转，得到射线，在射线上取点，使得，连接分别交于点，，连接．问：，之间的数量关系是什么？线段，之间的数量关系是什么？【特例探究】“勤奋”小组的同学们先将问题特殊化，探究过程如下：甲同学：当时，如图2，通过探究可以发现，，，都是等腰三角形；乙同学：可以证明，得到；丙同学：过点做，垂足为，如图3，则；丁同学：可以证明，，则，，…．（1）根据以上探究过程，得出结论：，之间的数量关系是___________；线段，之间的数量关系是___________．【类比探究】（2）“智慧”小组的同学们在“勤奋”小组的基础上，进一步探究一般情形，当时，如图1，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图1的情形进行证明；如果不成立，请说明理由．【迁移应用】（3）“创新”小组的同学们改变了条件，当时，如图4，若射线是的三等分角线，，其他条件不变，请直接写出的长．【答案】（1）；（2）成立，见解析（3）或【解析