【高考数学 讲练测】技巧03 高考数学文化与数学阅读解题策略（精讲精练）（原卷及答案）

技巧03数学文化与数学阅读解题策略

【命题规律】

数学文化与数学阅读是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，主要以选择题、

填空题为主，难度适中.

【核心考点目录】

核心考点一：融合传统文化和数学史的数学阅读题

核心考点二：融合其他学科知识的数学阅读题

核心考点三：融合社会热点和建设成就的数学阅读题

核心考点四：融合生活实际的数学阅读题

【真题回归】

1.（2022•天津•统考高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠

后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120。，腰为3的等腰三角形，则该几何体的

体积为（）

2.（2022.全国•统考高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，AA,BB,CC,DD^

桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意

图.其中。是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为

照====己知匕&，&成公差为0」的等差数列，且直线0A

C/ZJ]£7C|C£>）£>/i|

的斜率为0.725,则砥=（）

3.（2022•全国•统考高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一

部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位

为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2,将该水库在这两个水位间的形状看作一个

棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（近。2.65）

（）

A.|.0xl09m3B.1.2xl09m3C.1.4xl09m3D.1.6xl09m3

4.（2022•全国•统考高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录

了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB是以。为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中

点，。在AB上，CD1AB.“会圆术''给出AB的弧长的近似值s的计算公式：

2222

5.（2022・全国•统考高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为

我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，

1

।h_i।+­n—

用到数列｛2｝：伉=1+广，2~/+——T，…，依此类推，其中

a,a2+一

■%

aeN（A;=1,2,）.则（）

A.b,<b5B.&C.b6Vb[D.b4<b7

6.（2022.浙江•统考高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的

公式，他把这种方法称为'‘三斜求积"，它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方

2+/一好]

法写成公式，就是S=其中a,江c是三角形的三边，S是三

角形的面积.设某三角形的三边a=&,b=V5,c=2,则该三角形的面积S=

【方法技巧与总结】

数学文化与数学阅读试题一般从中外优秀传统文化和生产生活实际中挖掘素材,将数学

文化、生活情境与高中数学知识有机结合.其解答过程大致需要实现两个转化：先是将实际

问题转化为数学问题，然后再将数学问题转化为问题结果.具体地说，就是先通过阅读情境、

审读题目，在明确对象、分析过程（或状态）的基础上过滤情境，并构造出符合题意的数

学模型，从而使“实际问题”转化为“数学问题”；接着选用恰当的数学方法求解作答，得出“问

题结果”，并将其纳入原问题的情境中，予以“检验讨论”，对解题过程作出评价.其中过滤

情境、构建模型的环节至关重要，它既是使复杂的实际问题转化为相应的数学问题的前提,

也是正确选用数学方法、求解数学问题的依据，起着承上启下的关键作用.

【核心考点】

核心考点一：融合传统文化和数学史的数学阅读题

【典型例题】

例1.（2023春•江苏苏州・高三苏州中学校联考阶段练习）南宋时期，秦九韶就创立了精密

测算雨量、雨雪的方法，他在《数学九章》载有“天池盆测雨”题，使用一个圆台形的天池

盆接雨水.观察发现体积一半时的水深大于盆高的一半，体积一半时的水面面积大于盆高

一半时的水面面积，若盆口半径为。，盆底半径为〃（Ov"v〃），根据如上事实，可以抽象

出的不等关系为（）

2233

.Ja+bi/a+i/b\a+b4a+4b门（a+b^a+b（a+bya+b

A.X------<------------D.J-------<---------------C.--------<-----------D.--------<-----------

V22V22\2）2（2）2

例2.（2023春•吉林•高三东北师大附中校考阶段练习）围棋起源于中国，春秋战国时期已

有记载，隋唐时经朝鲜传入日本，后流传到欧美各国.围棋蕴含着中华文化的丰富内涵，它

是中国文化与文明的体现.围棋使用方形格状棋盘及黑白二色圆形棋子进行对弈，棋盘上有

纵横各19条线段形成361个交叉点，棋子走在交叉点上，双方交替行棋，落子后不能移

动，每个交叉点上可能出现黑、白、空三种情况，因此有P=336,种不同的情况，北宋学者沈

括在他的著作《梦溪笔谈》中也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有

“连书万字五十二''种，即Q=1OOOO"种.现利用lg3a0.5来估算窄的值，下列数中与估

算结果最接近的是（）

A.1（严B.IO28C.IO38D.1048

例3.（2023春・贵州贵阳•高三统考阶段练习）秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，他在

著作《数书九章》中提出，已知三角形三边长计算三角形面积的一种方法“三斜求积术”，

即在.ABC中，a，〃，c分别为内角A,2C所对应的边，其公式为：

c2=2sinC（cosB=?,a>b>c,则利用“三斜求积术”求一ABC的面积为（）

smA5

54

A.-BD.-

-:5

核心考点二：融合其他学科知识的数学阅读题

【典型例题】

例4.（2023•江苏♦高三专题练习）文化广场原名地质宫广场，是长春市著名的城市广场，

历史上地质宫广场曾被规划为伪满洲国的国都广场.文化广场以新民主大街道路中心线至

地质宫广场主楼中央为南北主轴，广场的中央是太阳鸟雕塑塔，在地质宫（现为吉林大学

地质博物馆）主楼辉映下显得十分壮观.现某兴趣小组准备在文化广场上对中央太阳鸟雕

塑塔的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，A为太阳鸟雕塑最顶端，B为太阳鸟雕

塑塔的基座（即8在A的正下方），在广场内（与8在同一水平面内）选取C、。两

点.测得的长为〃?.兴趣小组成员利用测角仪可测得的角有/ACS、ZACD.

/BCD、ZADC.ZBDC,则根据下列各组中的测量数据，不能计算出太阳鸟雕塑塔高

度AB的是（）

A.m,/ACB、/BCD、ZBDCB.m./ACB、/BCD、ZACD

C.m,/ACB、ZACD.ZADCD.m.ZACB.NBCD、ZADC

例5.（2023•上海•高三专题练习）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，

成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比

.,.1仇=1+-----------；-----

Ib-1-1--------------।

值，用到数列｛2｝：2=1+7，2〃+J_，%+——r，…，依此类推,

/।%a,+-

其中％eN*（后=1,2,）.则（）

、<〈用

A.bbsB.C.aD.b4<b7

例6.（2023・全国•高三专题练习）开普勒（JohannesKepler,15717636）,德国数学家、天

文学家，他发现所有行星运行的轨道与公转周期的规律：所有行星绕太阳运动的轨道都是

椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等.已知金星与

地球的公转周期之比约为2:3,地球运行轨道的半长轴为〃，则金星运行轨道的半长轴约为

（）

A.0.66«B.0・70〃C.0.76aD.0.96a

例7.（2023春♦贵州贵阳•高三统考阶段练习）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或

亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足网-町=5坨2,其中星等为初:的星的亮度为Ek

（k=1,2）.已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值

为

A.IO101B.10.1C.IglO.lD.

核心考点三：融合社会热点和建设成就的数学阅读题

【典型例题】

例8.（2023•北京•高三专题练习）2020年，由新型冠状病毒（SARS-Co「2）感染引起的新

型冠状病毒肺炎（CO0O-I9）在国内和其他国家暴发流行，而实时荧光定量PCR（RT-

PCR）法以其高灵敏度与强特异性，被认为是COV7D19的确诊方法，实时荧光定量PCK

法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监

测，在尸CR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，的数量X,,与扩增次数”满

足lgX,,_“lg（l+0=lgX。，其中p为扩增效率，X。为DNA的初始数量.已知某样本的扩增

效率0.495,则被测标本的。岫大约扩增（）次后，数量会变为原来的125倍.（参

考数据：晦.574）

A.10B.11C.12D.13

例9.（2023•全国•高三专题练习）在新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有

效快捷手段，在某医院成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第八天，设每个

检测对象从接受检测到检测报告生成的平均耗时为⑪）（单位：小时），已知与"之间的

~7='n<N（y

yin

函数关系为“〃）=a,M为常数），并且第16天的检测过程平均耗时16小

n

啊r-r^-

时，第64天和第67天的检测过程平均耗时均为8小时，那么可得第49天的检测过程平均

耗时大约为（

A.7小时B.8小时C.9小时D.D小时

例10.（2023•全国•高三专题练习）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首

次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一

个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星”鹊

桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日4点的轨道运行.七点是平衡点，位于地月连线的延长

线上.设地球质量为月球质量为地月距离为R,4点到月球的距离为r,根据

牛顿运动定律和万有引力定律，，•满足方程：

设由于。的值很小，因此在近似计算中若则「的近似值为

核心考点四：融合生活实际的数学阅读题

【典型例题】

例11.（2023•云南昆明•高三昆明一中校考阶段练习）在“绿水青山就是金山银山''发展理念

的指导下，治沙防沙的科技实力不断提升，并为沙漠治理提供了有力的资金和技术支持.现

在要调查某地区沙漠经过治理后的植物覆盖面积和某野生动物的数量，将该地区分成面积

相近的150个地块，用简单随机抽样的方法抽出15个作为样区，调查得到样本数据

（十,y）（i=l,2,3,,15）,其中&和y,分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和

这种野生动物的数量，经统计得£>[=60,£耳=12（）（）,则该地区的植物覆盖面积和这种

野生动物数量的估计值分别为（）

A.600,1200B.600,12000C.60,1200D.60,12000

例12.（2023・全国•高三专题练习）《易经》中记载着一种儿何图形一一八封图，图中正八

边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.某中

学开展劳动实习，去测量当地八卦田的面积如图，现测得正八边形的边长为8小，代表阴阳

太极图的圆的半径为2m,则每块八卦田的面积为（）m?.

A.16V2+16--B.16及弋

2

C.16^+8--D.16夜+16-万

2

例13.（2023•全国•高三专题练习）某校开展社会实践活动，学生到工厂制作一批景观灯箱

（如图，在直四棱柱上加工，所有顶点都在棱上），灯箱最上面是正方形，与之相邻的四个

面都是全等的正三角形，灯箱底部是边长为。的正方形，灯箱的高度为10“，则该灯箱的

体积为（）

例14.（2023・四川达州•一模）四川省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考

综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解

学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条

形图信息，下列结论正确的是（）

A.样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数

B.样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数

C.样本中选择物理学科的人数较多

D.样本中男生人数少于女生人数

【新题速递】

I.（2023春•甘肃兰州•高三兰化一中校考阶段练习）在《增减算法统宗》中有这样一则故

事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.其大意是：

有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程

都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.则下列说法：①此人第四天走了二十四里

路；②此人第二天走的路程比后五天走的路程少九十里；③此人第二天走的路程占全程的

④此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍.其中正确的有（）

4

A.①③B.①②④C.②③④D.③④

2.（2023•全国•高三校联考阶段练习）高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数

列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了

名为‘‘垛积术''的算法，展现了聪明才智•如南宋数学家杨辉在《详解九章算法•商功》一书

中记载的三角垛、方垛、刍薨垛等的求和都与高阶等差数列有关♦如图是一个三角垛，最

顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为

)

A.464B.465C.466D.495

3.（2023春•重庆•高三统考阶段练习）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率"的范围是：

3.1415926＜乃＜3.1415927,为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖

率”，这是中国数学的伟大成就.小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时.，打算将圆

周率的前6位数字3,1,4,1,5,9进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个1不相

邻，那么小明可以设置的不同密码有（）个.

A.240B.360C.600D.720

4.（2023春・山东济南•高三统考期中）三角形的三边分别为。力,。，秦九韶公式

S=j；a2c--。*Ji卜海伦公式S="p（p-a）（p-8）（p-c）（p="+：+［是等价

的，都是用来求三角形的面积.印度数学家婆罗摩笈多在公元7世纪的一部论及天文的著作

中，给出若四边形的四边分别为a,b,c,d,则S=叫（p_c）（p_d）_aZ?cdcos的

（。="等已，。为一组对角和的一半）.已知四边形四条边长分别为3,4,5,6,则四边

形最大面积为（）

A.21B.45/10C.1075D.65/10

5.（2023・四川资阳•统考模拟预测）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载埴最早用数

学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.“十二平均律”是将一个纯八

度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前

一个单音的频率的比均为常数，且最后一个单音的频率为第一个单音频率的2倍.如图，

在钢琴的部分键盘中，4,%....出这十三个键构成的一个纯八度音程，若其中的4

（根音），/（三音），（五音）三个单音构成了一个原位大三和弦，则该和弦中五音

与根音的频率的比值为（）

七

A.疗B.72C.听D."

6.（2023・全国•高三专题练习）荀子曰：“故不积蹉步，无以至千里；不积小流，无以成江

海.“这句来自先秦时期的名言.此名言中的“积度步''是"至千里'’的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.（2023春•内蒙古赤峰•高三统考阶段练习）六氟化硫，化学式为SR,在常压下是一种无

色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛的用

途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（每个面都是正三角形的八面体），如图所示，硫原

子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点.若相邻两个氟原子之

间的距离为2%,则以六氟化硫分子中6个氟原子为顶点构成的正八面体的体积是

C.472D.872

8.（2023•江西景德镇•高三统考阶段练习）半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不

全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是--种半正多面

体，它是由正方体的各条棱的中点连接形成的几何体、它由八个正三角形和六个正方形围

成（如图所示），若它所有棱的长都为2,则下列说法错误的是（）

A.该二十四等边体的表面积为24+80B.平面ARE

C.直线与PN的夹角为60

D.该半正多面体的顶点数V、面数尸、棱数E,满足关系式V+F-E=2

9.（2023•浙江温州•统考模拟预测）某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了

污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M（单位：mg/L）与时间f（单位：h）

之间的关系为：仞=例心山（其中%是正常数）.已知经过山，设备可以过速掉20%

的污染物，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（）（参考数据：1g2=0.3010）

A.3hB.4hC.5hD.6h

10.（多选题）（2023春•山东潍坊•高三统考期中）斐波那契数列又称黄金分割数列,因意大

利数学家列昂纳多-斐波那契以兔子繁殖为例子而引人，故又称为“兔子数列”，在现代物理、

准晶体结构、化学等领域都有直接的应用.在数学上，斐波那契数列被以下递推的方法定义：

数列也,｝满足：4=%=1,%+2=4“+%（〃eN*）.则下列结论正确的是（）

A.%=13B.%023是奇数

=

C.++。2021。2022D.。2022被4除的余数为。

11.（多选题）（2023•全国•高三专题练习）杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数

C丁（“wN*,reN*且今〃+1）在三角形中的一种几何排列，北宋人贾宪约1050年首先

使用'‘贾宪三角”进行高次开方运算，南宋时期杭州人杨辉在他1261年所著的《详解九章算

法》一书中，辑录了如下图所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引

自11世纪前半贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”，故此，杨辉三角又被称为

“贾宪三角”，杨辉三角形的构造法则为：三角形的两个腰都是由数字1组成的，其余的数

都等于它肩上的两个数字相加.根据以上信息及二项式定理的相关知识分析，下列说法中正

确的是（）

I

1I

I2I

1331

14641

I$1010SI

A.C3=C：+C/B.当ZwNJIMS”时，C：vC3

c.｛。｝为等差数列D.存在丘N，，使得｛*-C｝为等差数列

12.（多选题）（2023•全国•高三专题练习）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，它是由边

数不全相同的正多边形为面围成的多面体，体现了数学的对称美.如图，将正方体沿交于

同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面

积为12+46,则关于该半正多面体的下列说法中正确的是（）

兀

A.AB与平面BC。所成的角为一B.AB=2及

4

TT

C.与AB所成的角是A■的棱共有16条D.该半正多面体的外接球的表面积为6万

13.（多选题）（2023♦全国•高三专题练习）古代中国的太极八卦图是以圆内的圆心为界，画

出相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在相互转化，

互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一

规律.图2（正八边形ABCOEFGH）是由图1（八卦模型图）抽象而得到，并建立如图2

的平面直角坐标系，设OA=1,则下列正确的结论是（）

A.OAOD=--

2

B.以射线OF为终边的角的集合可以表示为，。。=今+2&肛&wz}

C.点。为圆心、04为半径的圆中，弦AB所对的劣弧弧长为9

4

D.正八边形A8CDE尸G”的面积为4a

14.（2023•青海海东•统考一模）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的前纸，它是中国古老的传

统民间艺术之一.在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半

圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）.已知正方形ABCD的边长为2,中心为0,四

个半圆的圆心均为正方形ABCD各边的中点（如图2）,若「在BC的中点，则

(PA+PB).PO=.

图1图2

15.（2023春・广东广州•高三统考阶段练习）如图，北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，

分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石

板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外

每环依次也增加9块，己知每层环数相同，且三层共有扇面形石板（不含天心石）3402

块，则中层有扇面形石板.

16.（2023春•陕西西安•高三统考期末）明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体

测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进的航海技术——“过洋牵星

术”，简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在

海面上的高度来判断方位.其采用的主要工具是牵星板，其由12块正方形木板组成，最小

的一块边长约2厘米（称一指），木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约24

厘米（称十二指）.观测时，将牵星板立起，一手拿木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大

约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对所观测的星辰

依高低不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰

离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度，如图所示，若在一次

观测中所用的牵星板为六指板，则COS2a=.

星辰

牵星板一☆

六指

\

藁到牵星板的距鼠海平面

17.（2023・广西•统考模拟预测）我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了一种求三

角形面积的方法“三斜求积术”，即在一ABC中，角A,B,C所对的边分别为“，b,c,则

_ABC的面积为S=/（时-］若（a_b）sinA=S+c）（sinC-sinB）,且

_他。的外接圆的半径为毡，贝IJ_ABC面积的最大值为.

3

18.（2023・全国•高三专题练习）佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草

药，有清香、驱虫的功效.经研究发现一批香囊中一种草药甲的含量X（单位：克）与香

囊功效y之间满足y=i5x-Y,现从中随机抽取了6个香囊，得到香囊中草药甲的含量的

平均数为6克，香囊功效的平均数为15,则这6个香囊中草药甲含量的标准差为

克.

19.（2023・全国•高三专题练习）发现问题是数学建模的第一步，对我们中学生来说养成发

现问题并将问题记录下来的习惯相当重要.相传2500多年前，古希腊数学家毕达哥拉斯有

一次在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成的地面的图案（如图）反映了直角三角形三边

的某种数量关系，他将自己的发现记录下来，经过后续研究发现了勾股定理.请你也来仔

细观察，观察图中的多边形面积，然后用文字写出你的一个关于多边形面积的发现：

（提示：答案可以是疑问句，也可以陈述句，答案不唯一）.

20.（2023•全国•高三专题练习）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀

算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”一一由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成

的一个大正方形，如图1所示•类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全

等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.在二ABC中，若

AF=2,FD=4,则AB=.

技巧03数学文化与数学阅读解题策略

【命题规律】

数学文化与数学阅读是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，主要以选择题、

填空题为主，难度适中.

【核心考点目录】

核心考点一：融合传统文化和数学史的数学阅读题

核心考点二：融合其他学科知识的数学阅读题

核心考点三：融合社会热点和建设成就的数学阅读题

核心考点四：融合生活实际的数学阅读题

【真题回归】

1.（2022・天津•统考高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠

后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120。，腰为3的等腰三角形，则该几何体的

体积为（）

十字及A稳

A.23B.24C.26D.27

【答案】D

【解析】该几何体由直三棱柱AFD-瓦/C及直三棱柱DGC-A£B组成，作于

M,如图，

因为C”=B〃=3,NC48=120,所以CM=&W=辿,”朋=3,

22

因为重叠后的底面为正方形，所以AB=BC=3百，

在直棱柱AFD-3HC中，工平面8HC,则

由ABcBC=B可得HM_L平面ADCB,

设重叠后的EG与FH交点为/,

则%CZM=gx36x3月x1=学VAFD-BHC=gX3/x|X3也=2

Q127

则该几何体的体积为V=2VAFD_BHC-V,_BCDA=2x---=27.

故选：D.

2.（2022.全国•统考高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是

桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意

图.其中。R,CG，8q,4A是举，OR,OG，C81,BA是相等的步，相邻桁的举步之比分别为

黑1=0-5,5'=匕，普=&，普=&.已知4,公,七成公差为0.1的等差数列，且直线04

00]ZJC]C/?!DA]

的斜率为0.725,则&3=（）

图1

A.0.75B.0.8

【答案】D

【解析】设=。和=Cg=3=1,则CG=4,84=k2,AA,=8,

DD、+CCj+BB、+AAj

依题意,有&_。-2=4，&-01=&2，且=0.725

OD]+DC[+CB]+8A

所以（）$+温-。3=0725,故人=09,

4

故选：D

3.（2022•全国•统考高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一

部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为

海拔157.5m时，相应水面的面积为IgO.Okn?,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱

台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（近。2.65）（）

A.1.0xl09m3B.laxlO'o?C.1.4xl09m3D.1.6xl09m3

【答案】C

【解析】依题意可知棱台的高为MN=157.5-148.5=9（m）,所以增加的水量即为棱台的体

积V.

棱台上底面积S=140.0km?=140x1012,底面积S=180.0km?=180x1()6m?,

Z.V=1/?(S+5,+VsS7)=1x9xp40xl06+180xl06+7140X180X1012)

=3X(320+60T7)X106»(96+18x2.65)x107=1.437xl09»1.4xl09(m3).

故选：C.

4.（2022•全国•统考高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录

了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB是以。为圆心，0A为半径的圆弧，C是A8的中

点，力在AB上，“会圆术”给出AB的弧长的近似值s的计算公式:

2

s=A3+grn.当OA=2,ZAOB=60。时，s=()

OA2

AH-3V3口ll-4>/39-3

1c。

iX•D.-------

22,2

【答案】B

【解析】如图,连接。C,

因为C是A8的中点,

所以OC_LAB,

乂C0_LAB，所以0,C,。：点共线,

^OD=OA=OB=2,

又NAO8=60。，

所以AB=OA=O8=2,

则oc=5故CD=2-B

所以i+寿2+?=与^

故选：B.

5.（2022•全国•统考高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为

我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，

1b=1+_!_4=1+----—

用到数列他,｝：4=1+一,2~431,«,+——「，…，依此类推，其中

I］%十xyI1

a,a2+一

2«3

4£N'（%=1,2,）.则（）

A.bt<b5B.b3cbsC.t>6<b2D.b4<t>7

【答案】D

【解析】［方法一］:常规解法

因为4eN*优=1,2,）,

11

1—＞----\~

所以%<四+——,四囚+」-，得到4＞为，

。2

11

a、H-->aH----；-

同理%%+」_，可得％<4，伪>&

2a_3

1

>------j—，«i+-----「<«i+------j—

乂因为巴a,+-：-%+-H—―

%+,-%-«,+±

a4a4

故打＜乙,

以此类推,可得伉＞么＞也＞%＞…，b］＞仄,故A错误;

b}>Z?7>bnf故B错误:

1

「，得与〈包，故C错误;

1]

a}+-------j--->药+

%+-----p%+…-----「，得b4Vb7,故D正确.

%+。6+

%%

［方法二］:特值法

1,i.c13.5.8.13.21,34,55

n=

不妨设。“=1，则，=2也=3b3=-,b4=-,b5=—,b6=—,b734,

〃v的故D正确.

6.（2022•浙江•统考高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的

公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方

2

c2+a2-b2

法写成公式，就是s=其中a,b,c是三角形的三边，S是三

2

角形的面积.设某三角形的三边a=0,b=b,c=2,则该三角形的面积S=

【答案】亭.

所以«小2一等可卜限

【解析】因为s=

故答案为：限

【方法技巧与总结】

数学文化与数学阅读试题一般从中外优秀传统文化和生产生活实际中挖掘素材,将数学

文化、生活情境与高中数学知识有机结合.其解答过程大致需要实现两个转化：先是将实际

问题转化为数学问题，然后再将数学问题转化为问题结果.具体地说，就是先通过阅读情境、

审读题目，在明确对象、分析过程（或状态）的基础上过滤情境，并构造出符合题意的数

学模型，从而使“实际问题”转化为“数学问题”；接着选用恰当的数学方法求解作答，得出“问

题结果”，并将其纳入原问题的情境中，予以“检验讨论”，对解题过程作出评价.其中过滤

情境、构建模型的环节至关重要，它既是使复杂的实际问题转化为相应的数学问题的前提，

也是正确选用数学方法、求解数学问题的依据，起着承上启下的关键作用.

【核心考点】

核心考点一：融合传统文化和数学史的数学阅读题

【典型例题】

例1.（2023春•江苏苏州・高三苏州中学校联考阶段练习）南宋时期，秦九韶就创立了精密

测算雨量、雨雪的方法，他在《数学九章》载有“天池盆测雨”题，使用一个圆台形的天池

盆接雨水.观察发现体积一半时的水深大于盆高的一半，体积一半时的水面面积大于盆高

一半时的水面面积，若盆口半径为。，盆底半径为b（0<b<a）,根据如上事实，可以抽象

出的不等关系为（）

.Ja+b\Ja+i/bla+hy[a+>fb（a+b'Ya2+b2（a+b\a3+by

V22V22[2}2[2}2

【答案】D

【解析】经圆台形的天池盆补形为圆锥，则以。为底面半径的圆锥体积与以匕为底面半径

的圆锥体积之比为如图所示,

设以〃为底面半彳仝的圆锥体积为/,则以匕为底面半径的圆锥体积为

以学为底面半径的圆锥体积为（今），

则由题意+万3>21等J,即（学J<

故选：D.

例2.（2023春•吉林・高三东北师大附中校考阶段练习）围棋起源于中国，春秋战国时期已

有记载，隋唐时经朝鲜传入日本，后流传到欧美各国.围棋蕴含着中华文化的丰富内涵，它

是中国文化与文明的体现.围棋使用方形格状棋盘及黑白二色圆形棋子进行对弈，棋盘上有

纵横各19条线段形成361个交叉点，棋子走在交叉点上，双方交替行棋，落子后不能移

动，每个交叉点上可能出现黑、白、空三种情况，因此有P=3泗种不同的情况，北宋学者沈

括在他的著作《梦溪笔谈》中也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有

“连书万字五十二''种，即。=1000（/2种.现利用lg320.5来估算等的值，下列数中与估算

结果最接近的是（）

A.IO'8B.1028C.1038D.1048

【答案】B

，初/u.（2+110000"+i1000052

【解析】--=----—»—^―，

P3如3361

1g今」a1g10；*[=]g10000”一lg3的=lg1o208-1g336'=208-361x0.5®28,

故泮产

故选：B

例3.（2023春・贵州贵阳•高三统考阶段练习）秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，他在

著作《数书九章》中提出，已知三角形三边长计算三角形面积的一种方法“三斜求积术”，

即在ABC中，凡》《分别为内角48,（:所对应的边，其公式为：

222222>

c1L（a+b-c\1Lv（b+c-a\11/\2"+c-2-/丫

s『眄）卜讣忖右

。2=2£,COS8=3,a>b>c,则利用“三斜求积术“求"ABC的面积为（）

sinA5

A.2B.?C.3D.i

4455

【答案】D

2

【解析】因为。2=出畔，由正弦定理号=三得：c=—,则ac=2

smAsinAsmCa

T7r+iA…rmn+c~-b~3ZHCl~+c~-h~36

又由余弦定理cosB=---------=-得：----------=-ac=-

2ac5255

则由“三斜求积术”得S

故选：D.

核心考点二：融合其他学科知识的数学阅读题

【典型例题】

例4.（2023・江苏♦高三专题练习）文化广场原名地质宫广场，是长春市著名的城市广场，

历史上地质宫广场曾被规划为伪满洲国的国都广场.文化广场以新民主大街道路中心线至

地质宫广场主楼中央为南北主轴，广场的中央是太阳鸟雕塑塔，在地质宫（现为吉林大学

地质博物馆）主楼辉映下显得十分壮观.现某兴趣小组准备在文化广场上对中央太阳鸟雕

塑塔的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，A为太阳鸟雕塑最顶端，B为太阳鸟雕

塑塔的基座（即8在A的正下方），在广场内（与B在同一水平面内）选取C、。两

点.测得C。的长为凡兴趣小组成员利用测角仪可测得的角有/ACB、ZACD.

NBCD、ZADC,ZBDC,则根据下列各组中的测量数据，不能计算出太阳鸟雕塑塔高

度A8的是（）

A.m、/ACB、NBCD、ZBDCB."八/ACB、NBCD、ZACD

C.m、ZACB,/ACD、NADCD.小/ACB、/BCD、ZADC

【答案】B

【解析】结合选项可知九4c8是必选条件，

求A8的思路是：求得AC或BC中的一条，然后解直角三角形求得A8；

或用AB表示BCBD,利用余弦定理解方程来求得AB.

A选项，根据加、NBCD、ZBDC,可利用正弦定理求得3C,从而求得AB.

B选项，〃八ZACB.ZBCD、/AC。四个条件，无法通过解三角形求得A3.

C选项，根据“、ZACD.ZADC,利用正弦定理可求得4C,从而求得A8.

D选项，由ZACB、/B8借助直角三角形和余弦定理，用AB表示出8C8DAC,AD,

然后结合九N4OC在三角形AC。中利用余弦定理列方程，解方程求得AB.

所以B选项的条件不能计算出AB.

故选：B

例5.（2023・上海•高三专题练习）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，

成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比

1k1+_!_4=1+--------—

值，用到数列也｝:仇=1+或，2-&+,，%+——…，依此类推，

1

।a2%+一

其中%EN*伏=1,2,).则()

A.bt<b5B.C.b6Vb2D.bA<Z>7

【答案】D

【解析】［方法一］：常规解法

因为《wN"(Z=l,2,),

,11

1-->__

所以。］<囚+一,囚1,得到4>%,

a.1a\+一

%

11

Ct.H—>aH------：-

同理«可得％<4,b、>A

2(X?i

%

11