2023-2024学年辽宁省沈阳120中高一（下）第三次质检数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年辽宁省沈阳120中高一（下）第三次质检数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若z=5ii+2，则z−A.1+2i B.−1+2i C.1−2i D.−1−2i2.设a，b是空间中的两条直线，α，β是空间中的两个平面，下列说法正确的是(

)A.若a⊂α，b//α，则a//bB.若a⊂α，α∩β=b，则a与b相交

C.若a⊂α，b⊂β，α//β，则a//bD.若a⊂α，b⊂β，α//β，则a与b没有公共点3.若cos(π6−α)=3A.−2425 B.−725 C.4.已知M=sin100°−cos100°，N=2(sin44°cos12°+sin46°sin12°)，P=12(1+tan22°)(1+tan23°)，那么M，NA.M<N<P B.P<M<N C.N<M<P D.P<N<M5.已知正三棱台的上、下底面的棱长分别为3和6，侧棱长为2，则该正三棱台的体积为(

)A.1932 B.21326.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且△ABC的面积S△ABC=3，S△ABCA.3 B.−3 C.27.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，Q为正方形BB1C1CA.[1,2]

B.[328.已知函数f(x)=xsin(ωx+π4),∀x1,x2∈(πA.[12,32] B.[二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设z1，z2，z3为复数，z1A.若|z1|=|z2|，则|z1z3|=|z2z3| B.10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且3bcosC+3ccosB=a2，则下列说法正确的是(

)A.a=3

B.若A=π4，且△ABC有两解，则b的取值范围为[3,32]

C.若C=2A，且△ABC为锐角三角形，则c的取值范围为(32,33)

11.半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为1，则下列结论正确的是(

)A.该半正多面体的表面积为2134

B.该半正多面体的体积为23212

C.该半正多面体外接球的表面积为11π2

D.若点M，N分别在线段DE三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知a=(−2,λ)，b=(3,1)，若(a+b)⊥b，则13.△ABC中，角A，B，C满足cos2A−cos2B=2sinC(sinB−sinC)，则1tanB+14.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看作是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为R，球冠的高是ℎ，球冠的表面积公式是S=2πRℎ，如图2，已知C，D是以AB为直径的圆上的两点，∠AOC=∠BOD=π3,S扇形COD四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量a=(sinx,1)，b=(−cosx,32)，函数f(x)=2a⋅(a−b)．

(1)求16.(本小题15分)

已知四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是梯形，AB//DC，AB⊥AD，DC=2AB=2，AD=3，PB=PC，M，N分别是PD，BC的中点.求证：

(1)AM//平面PBC；

(2)MN⊥BC17.(本小题15分)

如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为5nmile，与小岛D相距为35nmile.∠BAD为钝角，且sinA=35．

(1)求小岛A与小岛D之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；

(2)记∠BDC为α，∠CBD为β18.(本小题17分)

如图，在三棱台ABC−A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，AB=2A1B1，B1E⊥平面ABC，且∠ACB=90°．

(1)求证：B119.(本小题17分)

某烟花厂准备生产一款环保、安全的迷你小烟花，初步设计了一个平面图，如图所示，该平面图由Rt△ABF，直角梯形BCEF和以C为圆心的四分之一圆弧ED构成，其中AB⊥BF，BC⊥CE，BF/​/CE，且BC=BF=1，CE=2，AB=72，将平面图形ADEF以AD所在直线为轴，旋转一周形成的几何体即为烟花．

(1)求该烟花的体积；

(2)工厂准备将矩形PMNQ(该矩形内接于图形BDEF，M在弧DE上，N在线段EF上，PQ在AD上)旋转所形成的几何体用来安放燃料，设∠MCE=θ(0<θ≤π3)，

①请用θ表示燃料的体积V；

②若烟花燃烧时间t和燃料体积V

参考答案1.C

2.D

3.B

4.B

5.D

6.D

7.D

8.A

9.ABC

10.ACD

11.BCD

12.213.214.72π+3615.解：(1)由a=(sinx,1)，b=(−cosx,32)，得a−b=(sinx+cosx,−12)，

∴f(x)=2a⋅(a−b)=2sin2x+2sinxcosx−1=sin2x−cos2x=2sin(2x−π4)．

∴f(x)的最小正周期为2π2=π16.证明：(1)如图，取PC的中点Q，连结MQ，BQ，

因为M是PD的中点，

所以MQ//DC，MQ=12DC，

又AB//DC，AB=12DC，

所以AB//MQ，AB=MQ，

所以四边形ABQM是平行四边形，

所以AM/​/BQ，

因为AM⊄平面PBC，BQ⊂平面PBC，

所以AM/​/平面PBC；

(2)连结PN，DN，DB，

因为PB=PC，N是BC的中点，

所以PN⊥BC，

在△ABD中，AB⊥AD，AD=3，AB=1，

所以DB=2，

由条件DC=2，所以DC=DB，

又N是BC的中点，所以DN⊥BC，

因为DN，PN⊂平面PDN，DN∩PN=N，

所以BC⊥平面PDN，

因为MN⊂平面17.解：(1)∵sinA=35，且A为钝角，∴cosA=−1−(35)2=−45，

在△ABD中，由余弦定理可得BD2=AD2+AB2−2AD⋅AB⋅cosA，

∴(35)2=AD2+52−2AD⋅5⋅(−45)，即AD2+8AD−20=0，

解得：AD=2或AD=−10(舍去)．

∴小岛A与小岛D之间的距离为2 nmile．

∵A、B、C、D四点共圆，∴A与C互补，则sinC=35，

cosC=cos(180°−A)=−cosA=45．

在△BDC中，由余弦定理得：CD2+CB2−2CD⋅CB18.(1)证明：∵在三棱台ABC−A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，AB=2A1B1，

∴DE/​/BC，DB= //A1B1，

∴四边形DBB1A1是平行四边形，∴A1D//BB1，

∵A1D∩DE=D，BB1∩BC=B，

A1D、DE⊂平面A1DE，BB1、BC⊂平面BCB1，

∴平面A1DE//平面B1BC，

∵B1C⊂平面B1BC，∴B19.解：(1)该烟花由半球，圆台，圆锥三部分组成，

又V半球=12×43πR3=16π3，V圆台=13πℎ(r上2+r上r下+r下2)=7π3，V圆锥=13ℎS=7π6，

所