2025年高考数学一轮复习-7.5-空间向量与线、面位置关系【课件】

第五节空间向量与线、面位置关系1.了解空间向量的概念，了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间

向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及

其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量与平面的法向量，能用向量语言表述直线与直

线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直关系.4.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.目录CONTENTS123知识体系构建课时跟踪检测考点分类突破PART1知识体系构建必备知识系统梳理基础重落实课前自修

1.已知空间向量

a

＝（1，1，0），

b

＝（0，－1，4），则｜

a

＋

b

｜

＝（

）A.15C.17

3.在空间直角坐标系中，

a

＝（1，2，1）为直线

l

的一个方向向量，

n

＝（2，

t

，4）为平面α的一个法向量，且

l

∥α，则

t

＝（

）A.3B.1C.－3D.

－1解析：

因为

l

∥α，所以

a

＝（1，2，1）与

n

＝（2，

t

，4）垂

直，故

a

·

n

＝（1，2，1）·（2，

t

，4）＝2＋2

t

＋4＝0，解得

t

＝

－3，故选C.

PART2考点分类突破精选考点典例研析技法重悟通课堂演练空间向量的线性运算

练后悟通空间向量线性运算中的三个关键点共线、共面向量定理的应用

（2）判断点

M

是否在平面

ABC

内.

解题技法证明三点共线和空间四点共面的方法比较

1.若

A

（－1，2，3），

B

（2，1，4），

C

（

m

，

n

，1）三点共线，

则

m

＋

n

＝

⁠.

－3

∈空间向量数量积的应用

如图所示，四棱柱

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1中，底面为平行四边形，以顶

点

A

为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.（1）求

AC

1的长；

（2）求

BD

1与

AC

夹角的余弦值.

利用空间向量证明平行、垂直【例3】如图，在四棱锥

P

-

ABCD

中，

PA

⊥底面

ABCD

，

AD

⊥

AB

，

AB

∥

DC

，

AD

＝

DC

＝

AP

＝2，

AB

＝1，点

E

为棱

PC

的中点.证明：（1）

BE

⊥

DC

；

证明：依题意，以点

A

为原点建立空间直角

坐标系（如图），可得

B

（1，0，0），

C

（2，2，0），

D

（0，2，0），

P

（0，0，2）.由

E

为棱

PC

的中点，得

E

（1，1，1）.（2）

BE

∥平面

PAD

；

（3）平面

PCD

⊥平面

PAD

.

解题技法利用空间向量证明平行、垂直的一般步骤

（1）

A

1

B

1⊥平面

AA

1

C

；

（2）

AB

1∥平面

A

1

C

1

C

.

PART3课时跟踪检测关键能力分层施练素养重提升课后练习1.直线

l

的一个方向向量为（2，1，1），平面α的一个法向量为（4，

2，2），则（

）A.

l

∥αB.

l

⊥αC.

l

∥α或

l

⊂αD.

l

与α的位置关系不能判断解析：

直线

l

的一个方向向量为（2，1，1），平面α的一个法向

量为（4，2，2），显然它们共线，所以

l

⊥α.故选B.123456789101112131415161718192021222324252627282.已知

a

＝（2，1，－3），

b

＝（－1，2，3），

c

＝（7，6，λ），

若

a

，

b

，

c

三向量共面，则λ＝（

）A.9B.

－9C.－3D.3

A.1B.2

A.（

a

＋

b

）·

c

＝0

6.（多选）已知空间中三点

A

（0，1，0），

B

（2，2，0），

C

（－

1，3，1），则下列结论正确的有（

）D.平面

ABC

的一个法向量是（1，－2，5）

8.如图所示，在直三棱柱

ABC

-

A

1

B

1

C

1中，

CA

＝

CB

＝1，∠

BCA

＝

90°，棱

AA

1＝2，

M

，

N

分别是

A

1

B

1，

A

1

A

的中点.

（3）求证：

A

1

B

⊥

C

1

M

.

B.4

11.（多选）如图，在正方体

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AA

1＝3，点

M

，

N

分别在棱

AB

和

BB

1上运动（不含端点）.若

D

1

M

⊥

MN

，则下列

命题正确的是（

）A.

MN

⊥

A

1

M

B.

MN

⊥平面

D

1

MC

D.三棱锥

C

1-

A

1

D

1

M

体积不变

12.如图，圆锥的轴截面

SAB

是边长为2的等边三角形，

O

为底面中

心，

M

为

SO

的中点，动点

P

在圆锥底面内（包括圆周）.若

AM

⊥

MP

，则点

P

在圆锥底面上形成的轨迹的长度为

⁠.

1

14.如图，在四棱锥

P

-

ABCD

中，

PD

⊥底面

ABCD

，底面

ABCD

为正

方形，

PD

＝

DC

，

E

，

F

分别是

AB

，

PB

的中点.（1）求证：

EF

⊥

CD

；

（2）在平面

PAD

内求一点

G

，使

GF

⊥平面

PCB

，并证明你

的结论.

A.5B.6C.7D.8

16.如图，棱柱

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1的所有棱长都等于2，∠

ABC

和∠

A

1

AC

均为60°，平面