高中数学幂函数、函数的零点应用练习及答案

高中数学幕函数、函数的零点应用练习及答案

典例分析

题型一：正比例'反比例和一次函数型

【例1】某商人将彩电先按原价提高40%,然后“八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚144元，那

么每台彩电原价是元.

【考点】正比例、反比例和一次函数型【难度】2星【题型】解答

【关键词】无

【解析】

【答案】1200

【例2】某商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价的百分数是.

【考点】正比例、反比例和一次函数型【难度】2星【题型】解答

【关键词】无

【解析】

【答案】129%

9

【例3】某地区1995年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续5

年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给的信息进行预测：（1）如果

不采取任何措施，那么到2010年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷；（2）如果

从2000年底后采取植树造林等措施，每年改造0.6万公顷沙漠，那么到哪一年年底该地区沙

漠面积减少到90万公顷？

观测时间1996年1997年1998年1999年2000年底

底底底底

该地区沙漠比原有面积增0.20000.40000.60010.79991.0001

加数（万公顷）

【考点】正比例、反比例和一次函数型【难度】3星【题型】解答

【关键词】无

【解析】(1)由表观察知，沙漠面积增加数y与年份数x之间的关系图象近似地为一次函数y=+6

的图象。

将x=l,y=0.2与x=2,y=0.4,代入产kx+b,

求得k=0.2,b=Q,

所以y=0.2x(x£N)o

因为原有沙漠面积为95万公顷，则到2010年底沙漠面积大约为

95+0.5x15=98(万公顷)。

(2)设从1996年算起，第尤年年底该地区沙漠面积能减少到90万公顷，由题意得95+0.2元一0.6(彳

-5)=90,

解得x=20(年)。

故到2015年年底，该地区沙漠面积减少到90万公顷。

点评：初中我们学习过的正比例、反比例和一元一次函数的定义和基本性质，我们要牢固掌握。

特别是题目中出现的“成正比例”、“成反比例”等条件要应用好。

【答案】(1)98(万公顷)(2)2015年年底，该地区沙漠面积减少到90万公顷

【例4】已知函数在R上有定义，对任何实数a〉0和任何实数龙，都有“依)=4(%)

(I)证明"0)=0;

IzjrX>0

(II)证明/(%)='—其中左和均为常数；

iL/x/^\U

【考点】正比例、反比例和一次函数型【难度】3星【题型】解答

【关键词】2006年，安徽理，高考

【解析】(I)令x=0,则/(0)=%(0),•.•4>(),，/(0)=0。

(II)①令x=a,a>0,x>0,则/(V)=犷(x)。

假设xN0时，/(x)=Ax(左eR),贝I/(必)=Ax?,而/乂》亲女=2,A=,

即=kx成立。

②令九=一］，X<0,/(一九2)=—叶(%)

假设x<0时，f(x)=hx(heR),贝4/(一一)=一碗2,而一疗(%)=一%./2%=一/2%2,

°(4八/、,|Ax,x>0,

**•f\~x2)=_V(X)，即/(%)=辰成二。f(zx)x=<成工。

')\hx,x<0

点评：该题应用了正比例函数的数字特征，从而使问题得到简化。而不是一味的向函数求值

方面靠拢。

【答案】(I)令x=0,则/(o)=4(o),・・・〃>0,・・・/(0)=0。

(II)①令％=〃，1•〃>(),/.X>0,则/(%2)=4(%)。

假设X、0时，y(X)=kx(kwR),则/(%2)=丘2,而/M**女=2,.・./(12)=叶(无),

即/(x)=Ax成立。

②令%=—a,•.•〃>(),x<0,/(-x2j=-xf(x)

假设x<0时，f(x)=/vc(hwR),贝4/(一%，=一法2,

0

-xf(x)=-x-hx=-hx2,/(-x2)=-V(x),即/(x)=成立。二/(x)=<

hx,x<0

成工o

【例5】某市的一家报刊摊点，从报社买进《晚报》的价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，

卖不掉的报纸可以以每份0.05元价格退回报社.在一个月(以30天计)里，有20天每天可

卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊

主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少

元？

【考点】正比例、反比例和一次函数型【难度】3星【题型】解答

【关键词】无

【解析】设摊主每天从报社买进尤份，显然当xC[250,400]时，每月所获利润才能最大.于是每月所

获利润y为y=20x0.3%+10x0.3x250+10x0.05x(x—250)—30x0.2x=0.5x+625,[250,

400].

因函数y在[250,400]上为增函数，故当x=400时，y有最大值825元.

【答案】当x=400时，y有最大值825元

【例6】某地区上年度电价为0.8元小卬也年用电荷量为akW-h,本年度计划将电价降到0.55元/kW-h

至0.75元/kW-h之间，而用户期望电价为0.4元/左W/2.经测算，下调电价后新增的用电荷量

与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为。该地区电力的成本价为0.3元/左W/.

(1)写出本年度电价下调后，电力部门的受益y与实际电价x的函数关系式；

(2)设公0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的受益比上年至少增长20%

(注：受益=实际用电量x(实际电价一成本价))？

【考点】正比例、反比例和一次函数型【难度】3星【题型】解答

【关键词】无

【解析】(1)：0.55W元W0.75,

下调电价后新增的用电荷量为—

x—0.4

：.本年度用电荷量为G+——

x-0.4

k

•受益=实际用电量X(实际电价一成本价)，,y=(a+二^)(x—0.3)

x-OA

2

(2)k=0.2a,：,y=(a+k)(%-0.3)=(a+°-0)(X-0.3)

x-0.4x-OA

上年受益=(0.8-0.3)a,/.y(a+a)(x-0.3)>(0.8-0.3)a(l+20%)

x-0.4

解得x20.6e[0.55,0.75]

即最低电价应定为0.6元/kWh.

k

答：关系式为y=(aH---------)(尤—0.3),最低电价为0.6元/kWh.

x-0.4

k

【答案】(1)y=(a+'^)(x-0.3),(2)最低电价为0.6元/kWh.

x-0.4

【例7】我国从1990年至2000年间，国内生产总值(GOP)(单位：亿元)如下表所示:

年份19901991199219931994199519961997199819992000

生产总值18598.421662.526651.934560.54667057494.966850.573142.776967.180422.889404

100000I♦生产总值I

90000-

80000-♦♦♦♦

70000-

60000-

50000-

40000-

30000-♦♦♦

20000.

10000-

根据表中数据，建立能基本反映这一时期国内生产总值变化的函数模型，并利用所建立的函

数模型，预测2010年我国的国内生产总值.

【考点】正比例、反比例和一次函数型【难度】3星【题型】解答

【关键词】无

【解析】由表中数据作出散点图，如右图所示.

根据散点图，可以看出大致分布在一条直线附近.选择1990年、2000年的数据代入y=ax+b,

得

(18598.4=1990。+6更彳n(a=7080.56

189404=2000a+b'牛何1人=-14071716.

所以，近似的函数模型为y=7080.56%-14071716.

当x=2010时,>-160209.6,

即预测2010年我国的国内生产总值为160209.6亿元.

点评：根据收集到的数据，作散点图，通过观察图象的特征，选用适合的函数模型，也可以

利用计算器或计算机的数据拟合功能，作出具体的函数解析式，再通过所得到的函数模型解

决相应的问题.本题由两点近似求得直线，如果由以后的线性回归知识求解，所得模型则更

接近实际情况.

【答案】预测2010年我国的国内生产总值为160209.6亿元

题型二：二次函数型

【例8】一辆中型客车的营运总利润y(单位：万元)与营运年数x(xGN)的变化关系如表所示,

则客车的运输年数为()时该客车的年平均利润最大。

(A)4(B)5(C)6(D)7

X年468

y=aj^+bx+c（万元）7117

【考点】二次函数型【难度】3星【题型】解答

【关键词】无

【解析】表中已给出了二次函数模型

y=ax2+bx+c,

由表中数据知，二次函数的图象上存在三点(4,7),(6,11),(8,7),则

7=〃4+/?・4+C,

<11=tz-62+Z?-6+c,

7=tz,82+Z?,8+<?.

Io

解得。=—1,b=12,c=-25,

即y=+12x—25o

又2=-x+12-空

XX

=(+§]+12

W-10+12=2

而取"=''的条件为无=3,

x

即x=5,故选(B)。

点评：一元二次函数是高中数学函数中最重要的一个模型，解决此类问题要充分利用二次函数的

结论和性质，解决好实际问题。

【答案】B

【例9】行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，要继续向前滑行一段距离后才会停下，这段距离

叫刹车距离。为测定某种型号汽车的刹车性能，对这种型号的汽车在国道公路上进行测试，

测试所得数据如下表。在一次由这种型号的汽车发生的交通事故中，测得刹车距离为15.13m,

问汽车在刹车时的速度是多少？

刹车时车速v/km/h153040506080

刹车距离s/m1.237.3012.218.4025.8044.40

【考点】二次函数型【难度】3星【题型】解答

【关键词】无

【解析】所求问题就变为根据上表数据，建立描述v与s之间关系的数学模型的问题。此模型不能由

表格中的数据直接看出，因此，以刹车时车速v为横轴，以刹车距离s为纵轴建立直角坐标

系。根据表中的数据作散点图，可看出应选择二次函数作拟合函数。假设变量v与s之间有

如下关系式：s^av2+bv+c,因为车速为。时，刹车距离也为0,所以二次曲线的图象应

通过原点(0,0)»再在散点图中任意选取两点A(30,7.30),B(80,44.40)代入，解出a、

b、c于是

s=0.0062；2+0.056多。(代入其他数据有偏差是许可的)

将s=15,13代入得

15.13=0.0062,2+00563,

解得v«45.07o

所以，汽车在刹车时的速度是45.07km/h。

【答案】汽车在刹车时的速度是45.07km/h

【例10】某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金

每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的

车每辆每月需要维护费50元.

(1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

【考点】二次函数型【难度】3星【题型】解答

【关键词】2003年，北京，高考春

【解析】(1)当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为：36。为3000=]2,所以这时

租出了88辆车.

(2)设每辆车的月租金定为尤元，则租赁公司的月收益为：/(x)=(100-入―)(x—150)

50

x—3000历p,、/1、2斤，

----------------x50,整理得:/(无)=一一+162%-21000=-—(z无一4050)2+307050.所以，当x=4050

505050

时，于(x)最大，其最大值为y(4050)=307050.即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司

的月收益最大，最大收益为307050元.

点评：本题贴近生活。要求考生读懂题目，迅速准确建立数学模型，把实际问题转化为数学问题

并加以解决。

【答案】(1)租出了88辆，(2)当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为

307050元

【例11】某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、L2万件、1.3万件，为了估测以后每

个月的产量，以这三个月的产品数据为依据，用一个函数模拟产品的月产量y与月份数x的

关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y="'+c(其中a,6,c为常数)，已知4月份该产

品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由.

【考点】二次函数型【难度】3星【题型】解答

【关键词】无

【解析】(1)利用二次函数模型，设/(x)=加++c(a¥0)

a+b+c=1

由已知条件可得方程组：＜4a+2b+c=1.2,

9〃+3b+c=1.3

解得a=-0.05,Z?=0.35,c=0.7

.../(x)=-0.05x2+0.35x+0.7

把4月份代入可得/(4)=1.3

(2)用模型2,即指数模型y=iZ/+c=〃(x)

ab+c=l

把1,2,3月分别代入可得方程组如下：＜ab1+c=1.2

ab3=1.3

解方程组可得：a=-0.8,b=0.5,c=1.4,w(x)=-0.8x(0.5)'+1.4

“(4)=1.35,综上可知用模型"(x)=-0.8x(0.5)工+1.4好.

答：用模型a(x)=-0.8x(0.5厂+1.4作为模拟函数较好.

【答案】用模型M(X)=-0.8x(0.5)、+1.4作为模拟函数较好

【例12】一海轮航海时所耗燃料费与其航速的平方成正比，已知当航速为每小时a海里时，每小时所

耗燃料费为6元；此外，该海轮航行中每小时的其它费用为c元(与航速无关)，若该海轮匀

速航行d海里，问航速应为每小时多少海里才能使航行的总费用最省？此时的总费用为多

少？

【考点】二次函数型【难度】3星【题型】解答

【关键词】无

【解析】本题的问题求的是匀速航行的速度为多少总费用最省，那么就要找到总费用和航速的关系，

总费用等于燃料费和其它费用的总和，燃料费与时间和航速有关，而其它费用只和时间有关，

而时间又是由航速确定的，所以本题的一切变量都可以用航速表达出来，从而可以列出函数

关系求最值.

由题意设所耗燃料费与其航速的平方的比例系数为％,贝hb=ka2,

a

设航速为每小时龙海里使最省，贝h航行的总费用为+c&

axx

当^-x=—9即x=~\[bc时取最小值.

axb

答：当航速满足@痴时，费用最小，其最小值为之痴.

ba

【答案】当航速满足4痴时，费用最小，其最小值为"痴

ba

【例13】有甲、乙两种商品，经销这两种商品所能获得的利润依次是p万元和q万元，它们与投入的

资金x万元的关系有经验公式：现有资金9万元投入经销甲、乙两种商品，

为了获取最大利润，问：对甲、乙两种商品的资金分别投入多少万元能获取最大利润？

【考点】二次函数型【难度】3星【题型】解答

【关键词】无

【解析】设对乙商品投入尤万元，则对甲商品投入9一彳万元.

设利润为y万元，xe[0,9].

.,.y=—(9-x)+—A/X=—(-X+4A/X+9)=—(-(^-2)2+13),

1051010

当代=2,即X=4时，ymax=1.3.

所以，投入甲商品5万元，乙商品4万元时，能获得最大利润1.3万元.

【例14】某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1000个.为适应市

场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本，若每个蛋糕成本增加的百分率为x(04<l),则

每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x,同时预计日销售量增加的百分率为0.8元，已知

日利润=(出厂价一成本)x日销售量，且设增加成本后的日利为y.(1)写出y与x的关

系式；(2)为使日利润最大，问x应取何值？

【考点】二次函数型【难度】3星【题型】解答

【关键词】无

【解析】(1)由题意y=[60x(l+0.5x)—40x(l+x)]xl000x(l+0.8x)

=2000(-4x2+3x+10)=-8000x2+6000%+10000(0<x<l)

33

(2)要保证日利润最大，则当且仅当x=——--=3=0.375时.

2x(-4)8

【答案】(1)y=-8000%2+6000%+10000(0<x<l)(2)0.375时

【例15】某商店按每件80元的价格，购进时令商品(卖不出去的商品将成为废品)1000件；市场调

研推知：当每件售价为100元时，恰好全部售完；当售价每提高1元时，销售量就减少5件;

为获得最大利润，商店决定提高售价x元，请将获得总利润y元表示为x的函数，并确定合

理售价，求出最大利润.

【考点】二次函数型【难度】3星【题型】解答

【关键词】无

【解析】设比100元的售价高x元，总利润为y元；则

y=(100+尤)(1000-5%)-80x1000=-5x2+500%+20000=-5(x-50)2+32500.

显然，当x=50即售价定为150元时，利润最大；其最大利润为32500元.

【答案】y=_5f+500x+20000售价定为150元时，利润最大；其最大利润为32500元

【例16】某商场经销一批进货单价为40元的商品，销售单价与日均销售量的关系如下表:

销售单价/元50515253545556

日均销售量/个48464442403836

为了获取最大利润，售价定为多少时较为合理？

【考点】二次函数型【难度】3星【题型】解答

【关键词】无

【解析】由题可知，销售单价增加1元，日均销售量就减少2个.

设销售单价定为x元，则每个利润为(x—40)元，日均销量为[48-2(十一50)]个.

由于x-40>0,且48-2(x-50)>0,得40Vx<74.

贝U日均销售利润为y=(无一40)[48-2(尤一50)]=-2x2+228元-5920,40Vx<74.

易知，当工=4且一=57,y有最大值.

2x(-2)

所以，为了获取最大利润，售价定为57元时较为合理.

点评：从表格中发现存在的变化规律，是课标教材中对提价后销量减少一类应用问题相比大

纲教材的改进.这种表格背景更符合实际，规律都是从样本数据中发现，而不是直接生硬地

得到，同时也提高了读表分析这一数学阅读理解能力.

【答案】定为57元时较为合理

题型三：分段函数型

【例17】某集团公司在2000年斥巨资分三期兴建垃圾资源化处理工厂，如下表：

一期2000年投入兴建垃圾堆肥厂年处理有机肥十多万吨年综合收益

1亿元2千万元

二期2002年投入兴建垃圾焚烧发电一年发电量1.3亿kw/h年综合收益

4亿元厂4千万元

三期2004年投入兴建垃圾焚烧发电二年发电量1.3亿kw/h年综合收益

2亿元厂4千万元

如果每期的投次从第二年开始见效，且不考虑存贷款利息，设2000年以后的x年的总收益为加0

（单位：千万元），试求了（x）的表达式，并预测到哪一年能收回全部投资款。

【考点】分段函数型【难度】3星【题型】解答

【关键词】无

【解析】由表中的数据知，本题需用分段函数进行处理。由表中的数据易得，

2x

=<2x+4（x-2）

2x+4（x-2）+4（x-4）

显然，当n“时，不能收回投资款。

当n>5时，由火n）=10n-24>70,

得n>9.4,取n=10。

所以到2010年可以收回全部投资款。

点评：分段函数是根据实际问题分类讨论函数的解析式，从而寻求在不同情况下实际问题的

处理结果。

【答案】到2010年可以收回全部投资款

【例18】某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价

与上市时间的关系用图2—10中（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关

系用图2—10中（2）的抛物线表示.

（1）写出图中（1）表示的市场售价与时间的函数关系式尸=/W;

写出图中（2）表示的种植成本与时间的函数关系式。=g（/）；

（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?

（注：市场售价和种植成本的单位：元/IO2,kg,时间单位：天）

【考点】分段函数型【难度】3星【题型】解答

【关键词】2000年，全国，高考

【解析】(1)由图(1)可得市场售价与时间的函数关系为

3Q0-t,Q<t<2QQ,

2t-3QQ,2QQ<t<3QQ-

由图(2)可得种植成本与时间的函数关系为

g(t)=——(r-150)2+ioo,0<r<300.

200

(2)设1时刻的纯收益为〃(/),则由题意得〃(r)=f(r)—g(r),

1175

+-r+—,0<r<200,

22

即h(?)=<200

11025

,200<r<300.

200

当g出200时，配方整理得力⑺=-—(r-50)2+100,

200

所以，当f=50时，h(r)取得区间［0,200］上的最大值100；

当200〈云300时，配方整理得

h(?)=-...(t—350)2+100,

200

所以，当£=300时，h3取得区间(200,300］上的最大值87.5.

综上，由100>87.5可知，h⑺在区间［0,300］上可以取得最大值100,此时t=50,

即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.

点评：本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题.考查运用所学知识解

决实际问题的能力.

［3Q0-t,Q<t<2QQ,

【答案】(1)f(力=4

2”300,200300;

g3=-^—(r-150)2+100,OS匹300.

200--

(2)从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大

【例19】某商店将进货价每个10元的商品按每个18元出售时，每天可卖出60个，商店经理到市场

上做了一番调查后发现，若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每提高一元，则日销量

就减少5个；若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每降低1元，则日销量就增加10

个.为了每日获得最大利润，此商品的售价应定为每个多少元？

【考点】分段函数型【难度】3星【题型】解答

【关键词】无

【解析】设此商品每个售价为x元，日利润为y元，则：

当时：y=[60-5(x-18)](x-10)=-5(x-20)2+500

即商品按20元每个售出时最大日利润为500元；

当0<xW18时：y=[60+10(18-x)](x-10)=-10(x-17)2+490

此时商品按每个17元售出时获得最大日利润为490元.

答：定价为20元可获日最大利润.

【答案】定价为20元可获日最大利润

【例20】中国青年报2001年3月19日报道：中国移动通信将于3月21日开始在所属18个省、市移

动通信公司陆续推出“全球通”移动电话资费“套餐”，这个：“套餐”的最大特点是针对不同用

户采取了不同的收费方法.

具体方案如下：

方案代号基本月租(元)免费时间(分钟)超过免费时间的话费(元/分钟)

130480.60

2981700.60

31683300.50

42686000.45

538810000.40

656817000.35

778825880.30

原计费方案的基本月租为50元，每通话一分钟付0.4元，请问：

(1)“套餐,，中第4种收费方式的月话费y与月通话量t(月通话量是指一个月内每次通话用时

之和，每次通话用时以分为单位取整计算，如某次通话时间为3分20秒，按4分钟计通话用时)

的函数关系式；

(2)取第4种收费方式，通话量多少时比原计费方式的月通话费省钱；

(3)据中国移动2000年公布的中期业绩，每户通话平均为每月320分钟，若一个用户的通话

量恰好是这个平均值，那么选择哪种收费方式更合算，并说明理由.

【考点】分段函数型【难度】3星【题型】解答

【关键词】2002年，北京，高中数学知识应用竞赛

2680<r<600

【解析】(l)y=

268+0.45x(/-600)t>600

(2)当叱区600时，解不等式50+0.4仑268,得545WtW600(t6N),

当t>600时，解不等式50+0.4tN268+0.45(t-600),得600<tW1040(tGN),

综上，5450/1040时(tGN),第4种收费方式比原收费方式的月通话费省钱.

(3)因为按照原来的收费方式，320分钟收费178元(即50+04x320),所以，不会选择月

租费多于178元的收费方式，从而只考虑"套餐''中的前三种方式.

第一种方式的话费为：30+0.6X(320-48)=193.2(元)；

第二种方式的话费为：98+0.6X(320-170)=188(元)；

第三种方式的话费为：168元.

故选择第三种方式.

事实上，相对于原收费方式，当通话时间大于244分钟时，第一种方式不合算，当通话时间

只有在120分钟至270分钟时，第二种方式较合算.

2680<?<600

【答案】(l)y=

268+0.45x(”600)t>600

(2)第4种收费方式比原收费方式的月通话费省钱.

(3)第三种方式

【例21】某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中

的含药量y(微克)与时间f(小时)之间近似满足如图所示的曲线.

(1)写出服药后y与f之间的函数关系式y=f(r)；

(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效.求服药一次治

疗疾病有效的时间？

【考点】分段函数型【难度】3星【题型】解答

【关键词】无

【解析】(1)当0W/W1时，y=4t;当时，y=g)f,此时M(l,4)在曲线上,

(0<f<1)

.••4=g)j,a=3,这时y=(g)-3.所以y=/(x)=

(?>1)-

⑷20.25、1

12---.1

(2)20.25,即<「加k解得16，••—K/K5.

x匚16

£W5

服药一次治疗疾病有效的时间为5--！-=4”个小时.

1616

生活中有许多实际问题，常作为函数模型的应用背景.我们需依据四步曲“读题理解一建模转

化一求解问题一检验作答”求解，从冗长的文字语言中精炼出数学语言，选择合适的数学模型

来研究.

4r(0WfW1)

【答案】(2)4"小时

「(，)16

【例22】“依法纳税是每个公民应尽的义务”.国家征收个人所得税是分段计算,总收入不超过800元,

免征个人所得税，超过800元部分需征税.设全月纳税所得额为x,尸全月总收入一800元，

税率见下表：

级数全月纳税所得额税率

1不超过500元部分5%

2超过500元至2000元部分10%

3超过2000元至5000元部分15%

9超过10000元部分45%

(1)若应纳税额为7(x),试用分段函数表示1~3级纳税额/(无)的计算公式；

(2)某人2005年10月总收入3000元，试求该人此月份应缴纳个人所得税多少元；

(3)某人一月份应缴纳此项税款26.78元，则他当月工资总收入介于

A.800~900元B.900~1200元C.1200~1500元D.1500~2800元

【考点】分段函数型【难度】3星【题型】解答

【关键词】无

【解析】(1)依税率表，有：第一段：x-5%,0V烂500;

第二段：(x-500)xl0%+500x5%,500〈烂2000;

第三段：(x-2000)xl5%+1500xl0%+500x5%,2000〈烂5000,

0.05x(0<^<500)

即/(x)=10.1x(尤-500)+25(500<%<2000).

0.15(x-2000)+175(2000<%<5000)

(2)这个人10月份应纳税所得额^=3000-800=2200,

f(2200)=0.15x(2200-2000)+175=205.

所以，这个人10月份应缴纳个人所得税205元.

(3)解法一：(估算法)由500x5%=25元，100xl0%=10元，故某人当月工资应在1300~1400

元之间，故选C.

解法二：(逆推验证法)设某人当月工资为1200元或1500元，则其应纳税款分别为400x5%=20

(元)，500x5%+200xl0%=45(元).可排除A、B、D,故选C.

点评：关系国民经济发展的纳税问题，与分段函数密切相关，我们需注意各级税率的正确理

解，超过部分按此税率，并非一个税率来计算纳税.

'0.05x(0<x<500)

【答案】⑴/(x)=0.1x(x-500)+25(5O0x<200

0.15(x-2000)+175(2004)x450

(2)10月份应缴纳个人所得税205元

(3)C

【例23】某公司是一家专做产品A的国内外销售的企业，每一批产品A上市销售40天内全部售完.该

公司对第一批产品A上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其

中图一中的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图二中的抛物线表示国内

市场的日销售量与上市时间的关系；图三中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时

间的关系(国内外市场相同).

(1)分别写出国内市场的日销售量/⑺、国外市场的日销售量g⑺与第一批产品A的上市

时间/的关系式；

(2)第一批产品A上市后，求日销售利润。⑺的解析式.

【考点】分段函数型【难度】3星【题型】解答

【关键词】无

【解析】（1）当04fW30时，设/'«）=公，由60=30%解得七2,则/'"）=2九

当30</<40时，设/⑺=m+6,

由管潞了解得器孰，则削=3+24。.

所以，国内市场的日销售量加）=1"+24。紧浇.

3

设g(t)=at(t-40),由60=20a(20-40)解得a=~