经济增长理论31

经济增长理论

1.资本积累X(曼昆宏观第8章)

(1)单位劳动生产函数

A.总生产函数为：Y=F(K,L)

B.定义：

Y

y=—=单位工人产出

L

K

k=——单位工人资本

Lt

假设生产函数是规模报酬不变的，即对任意z>0,有：

zF(K,L)=F(zK,zL)。

C.当z=1/L,那么

rK

1=F”

这个式子表示，人均产出y/L是人均资本量K/L的函数

(数字"1”是不变的，从而可以忽略)。规模收益不变

的假设意味着，经济的规模——用工人人数来衡量——并

不影响人均产出与人均资本量之间的关系。

由于经济规模是无关紧要的，所以可以证明以人均值来表

示所有数量是方便的。用小写字母来表示这些量，因此

y=y/L是人均产出，kK/L是人均资本量。这样，

可以把生产函数写为：y=f(/c)o

在这里，定义f(k)=F(k,l)。图1显示了这一生产函数。

图1生产函数

这个生产函数的斜率表示当给定一单位额外资本时，一个

工人生产的额外产出是多少。这个量是资本的边际产量

MPKo数学上，可以写为：MPK=/(/c+l)-f(/c)o

D.国民收入恒等式(不考虑政府支出和净出口)：

y=c+i

由储蓄率为s可知：

C=(1-s)y

则：

i=y—c=sy=s/(/c)

即投资等于储蓄。

(2)资本存量的增长和稳定状态

A.投资使资本存量增加，折旧使资本存量减少。

其中：

人均资本折旧=折旧率(b)X人均资本水平(k)

因此，资本存量变动等于同期的投资减折旧：

△k=i-8k

而i=sf(k),所以：kk=sf(k)_6k。

B.索洛模型的核心方程：△*=s/(&)-6九。

该方程决定了资本随时间的运动情况；同时也决定了其他

内生变量，因为所有的内生变量都依赖于k,如：

人均产出：y=f(/c)

人均消费：c=(1—s)f(k)

C.稳定状态

当投资和折旧相等时，就会有：A/c=s/(/c)-必=0o

图2投资、折旧和稳定状态

人均资本存量保持不变，记为上*,称之为稳定状态的人均

资本存量。

在稳定状态，由于人均资本存量保持不变，所以人均产出

也保持不变，即人均产出增长率为零。

(3)趋近稳定状态

如图2所示，资本存量越多，产出量和投资量就越大。但

资本存量越高，折旧量也越大。资本的稳定状态/c*是投资

等于折旧的水平，这表示资本量不随时间而变化。

A.初始资本水平小于k*时，投资s/(/c)大于折旧5k,所

以人均资本会增加。也就是说，只要投资大于折旧，人均

资本水平就会向右移动，直到达到k*时，投资和折旧相等,

人均资本不再发生移动，经济达到了均衡状态。

B.当初始资本水平大于k*时，原理和A一样，只是折旧大

于投资，因此人均资本水平会下降，直到达到/C*,折旧和

投资相等，经济达到稳定状态。

(4)储蓄率与增长的关系

图3储蓄率的提高

A.储蓄率上升会增加投资，从而增加人均资本存量以及

人均产出。如图3所示，经济初始处于稳定状态，当储蓄

率上升，储蓄曲线也随之向上移动，储蓄(投资)就高于

折旧，于是人均资本存量增加，直到达到k*,经济重新

达到稳定状态。由于人均资本存量增大了，所以在新的稳

定状态下，人均产出水平高于经济初始水平。

B.索洛模型表明：储蓄率是稳定状态资本存量的关键决

定因素，从长期看，如果一国有更高的储蓄率和投资，则

将有更高的人均资本存量和产出水平。

C.储蓄率与经济增长。在索洛模型中，更高的储蓄率导

致更快的增长，但只是暂时的，储蓄率的提高只有水平效

应——提高资本存量和产出水平，没有增长效应——改变

人均收入的稳态增长率。

如果储蓄率高，经济的资本存量就会大，相应的产出水平

就会高。如果储蓄率低，经济的资本存量就会少，相应

的产出水平就会低。这个结论也说明：减少储蓄率的长期

后果是较低的资本存量和较低的国民收入。这就是许多经

济学家批评长期预算赤字的原因。

【例1】(2009年上财)47.在索洛增长模型中，假设人均

生产函数为y=A分,则稳定状态的人均资本存量/c*为。。

A.k*=(s/8)2B.k*=(8/s)2C.k*=s/8

D.k*=8/s

【答案与解析】A。稳态下，Ak=sy—6k=0。带入得/c*=

（s/6）2o

【例2】（2010年上财）48.当一个经济体系达到稳态时，

以下哪种说法是正确的？（）

A.资本存量保持稳定B.人均资本存量保持

稳定

C.人均资本增长率保持稳定D.人均消费水平保持

稳定

【答案与解析】Co在含有技术进步率的索洛模型中，稳

态下，效率工人的人均资本不变，人均资本增长率为技术

进步率g,总资本存量增长率为几十g。

2.资本的黄金律水平派（曼昆宏观第8章）

（1）资本的黄金律水平

A.定义：资本的黄金律水平就是指稳定状态时人均消费

最大化所对应的人均资本水平。

B.意义：资本的黄金律水平描述了如何将产出在消费和

投资间分配才能使经济福利最大化。经济福利通常以人均

消费来衡量。

C.解法:

设防泡=资本的黄金律水平。首先，把c*表示为/c*的式

子：

c=y=f(k*)-i*=f(k*)-6k*

求解最大化c*,可得:

MPK=8

这就是资本的黄金律水平的条件。

如图4所示，/（/c*）曲线代表人均产出，3/c*代表折旧，

也代表稳态时的投资，那么两曲线之间的差距就代表稳态

时的人均消费水平。求解后。以，也就是找到使/（《）曲线

和6k*之间的差最大时的资本水平，那么在这个资本水平

下两曲线的斜率相等，f（k*）的斜率为MPK,5/c*的斜率

为5，所以仍然得到资本的黄金规则水平条件:MPK=6,

即资本的边际产量等于折旧率。

稳定状态的稳定状态的折IH.

产出和折I日（以及投资），

稳定状态的

产出，胆）

7稳定状态的人

在黄金律稔定均资本.

在黄金律稳定

状态下,稳定状态下.稔定

状态资本的增状态资本的增

加提高了稳定加减少了稳定

状态的消费状态的消费

图4稳态消费

(2)向黄金律稳态的过渡

1)特点：

a.经济体系不会自发地向黄金律稳态过渡。

b.要达到黄金律稳态，要求政策制定者调整储蓄率。

c.这种调整将使经济达到更高消费水平的新的稳态。

d,但是在过渡的过程中，消费的变动是不确定的，这取

决于初始资本水平与资本的黄金律水平间的大小关系。

2）初始资本水平大于K；。以的情况

如图5所示，由于初始经济的资本水平大于以，要使经济

过渡到黄金律稳态，就要减少储蓄，因此在整个过渡过程中，

人均消费水平都高于初始状态。

图5储蓄率的下降

C.初始资本水平小于的情况

如图6所示，由于初始经济的资本水平小于右。处要使经济

过渡到黄金律稳态水平，就要增加储蓄，从而在短期内消费

水平会下降，当然达到稳态后消费水平会高于初始情形。

【例1】（2009年上财）56.如果当前稳定人均资本存量低于

资本存量黄金率，政府采取政策提高储蓄率，人均消费因此

将（）。

A.开始时低于原来水平，以后会高于原来水平

B.在原有水平的基础上不断上升

C.最初大大高于原来水平，以后又逐渐回到该水平

D.在原有水平基础上不断下降

【答案与解析】A。提高储蓄率会首先减少当前的消费，而

目前的人均资本存量低于黄金率水平，所以人均消费会不断

增加，最后高于原有的人均消费水平。

【例2】（2010年上财）49.索洛经济增长模型中，资本黄金

率是指（）O

A.稳态总产出增长率等于人口增长率与资本折旧率之和

B.储蓄率等于人口增长率

C.储蓄率保证稳态人均收入最大化

D.稳态的人均资本存量对应消费最大化

【答案与解析】D。A项，稳态总产出增长率等于人口增长率、

资本折旧率与技术进步率之和；B项，明显错误；C项，储蓄

率保证人均收入最大化。

3.人口增长X（曼昆宏观第8章）

（1）有人口增长的稳态

A.两个概念

资本扩展化也即资本广化，指为使人均资本保持不变而进行

的投资，又称之为补偿投资或收支相抵的投资（break-even

iinvestment）。所以，在没有人口增长和技术进步的情况下，

资本扩展化就等于折旧秋。在人口增长率为几的情况下（仍

然没有技术进步，涉及技术进步的情况会在后面内容讨论），

资本扩展化就等于（6+九）晨

资本深化指人均资本存量的累积。资本深化大于零，就说明

人均资本在增加；资本深化等于零，就说明经济达到了稳态。

投资就是用于资本扩展化和资本深化这两方面，也就是说：

投资=资本扩展化+资本深化。那么资本运动方程实际上就

是：资本深化;投资一资本扩展化。

稳态时资本深化为零，所以稳态条件也可以表示为：投资二

资本扩展化。

B.资本运动方程

在加入了人口增长因素之后，资本运动方程变为：A/c=

sf(k)—(5+n)ko

新的稳态条件为：sf(k)=(6+n)ko

如图7所示，在稳态，投资对人均资本存量的正效应正好与

折旧和人口增长的负效应平衡。这就是说，在k；A/c=0,

而且，i*=(5+n)/c*o一旦经济处于稳态，投资就有两个

目的：一些投资(5/c*)用于替代折旧的资本；其余的投资

(nk*)给新增加的人口提供稳态的资本量。

投资.收支

相抵的投资

(2)人口增长与经济增长的关系

如图8所示，人口增长率九的提高会使资本扩展线上移，降

低了稳态的资本水平，从而降低了稳态的人均产出。

态的资本存量

图8人口增长的影响

因此，索洛模型预言：从长期看，人口增长率较高的国家,

人均资本和人均收入水平较低。

由于稳态的人均资本不变，所以在有人口增长率的情况下，

稳态人均产出增长率仍然为零，但是由于人口在增长，所以

总产出在增长，其增长率等于人口增长率71o

(3)有人口增长时的黄金律

先把C*表示/c*的式子：

C*=y*—i*=f(k*)-(5+n)k*

解c*的最大化问题，可得:

MPK=6+n

或者写成:

MPK-6=n

达到黄金律稳态时，资本边际产量减去资本折旧率等于人口

增长率。

(4)关于人口增长的其他观点

A.人口与自然资源的相互作用——马尔萨斯模型

马尔萨斯认为不断增长的人口将持续地限制社会供养自己

的能力。他将人口增长看作生活水平的威胁。

B.人口与技术的相互作用——克莱默模型

克莱默认为，人口增长是促进经济繁荣的关键驱动力，大量

人口是技术进步的先决条件。

4.索洛模型的结论(曼昆宏观第8章)

(1)从长期来看，一国的人均产出水平(生活水平)与储

蓄率正相关，与人口增长率负相关。

(2)储蓄率的增加会带来长期的产出增加和暂时的增长率

提高，但不能提高稳定状态后的增长率。

(3)如果经济中有高于黄金律水平的资本存量，减少储蓄

将会增加所有时点上的消费水平，使每一代人都受益。如果

经济中的资本水平低于黄金律水平，增加储蓄将提高将来世

代的消费水平，但将减少现在这一代人的消费水平。

【例1】（2009年上财）20.资本与劳动在生产上是可以相互

替换的，这是新古典增长模型的假设条件。

【答案与解析】正确。根据索洛模型的函数形式，资本和劳

动时可以相互替换的。

【例2】（2009年上财）57.根据新古典增长模型，。。

A.人均收入低的国家人均收入增长一定较快

B,人均收入低的国家人均收入增长不一定较快

C.人均储蓄低的国家人均收入增长一定较快

D.人均储蓄低的国家人均收入增长率较高

【答案与解析】B。影响人均收入增长的因素不止人均收入，

还有人口增长率和技术进步等，所以人均收入和人均收入增

长没有绝对关系。

5.索洛模型中的技术进步X（曼昆宏观第9章）

（1）假设

A.技术进步是劳动效率型的。

设E为劳动效率，现在的生产函数变为：

Y=F（K,LxE）

其中，LxE=效率工人数。劳动效率型技术进步就像增加

劳动力数目一样，对产出构成影响。

B.劳动效率E以不变的外生比率g增长：g=—

Eo

(2)生产函数

设y=y/(LxE),k=K/(LxE),对生产函数两边同

除以LxE,得到单位效率工人产出函数：y=/(k)o虽然

形式与上一章生产函数的公式完全一样，但是意义已经不同

了。现在的y、k是单位效率工人的产出和资本，而不是实

际人均形式的产出和资本。

(3)稳定状态

A.单位效率工人的储蓄(投资)为：sy=sf(k)o

B.单位效率工人的补偿投资(资本扩展化)为(5+n+g)k.

新增加的一项是gk,表示由于技术进步——效率工人的增

加而需要补偿的资本。

C.稳定状态条件

如图1所示，当单位效率工人的储蓄和补偿投资相等时，即：

△k=sf(k)—(5+n+g)k=0

经济达到稳定状态。

图9技术进步和索洛模型

D.稳定状态的经济增长率:

变量表达式程态增长率

有效工人人均资本k=K/(LxE)0

有效工人人均产出y^Y/(LxE)0

人均产出(Y/L)=yx£g

总产出Y-yxExLn+g

E.黄金律：

用々*来表示c*:

c*=y*—i*=f(k*)-i*=/(/c*)—3+n+g)/c*

当c*达到最大化时，有：

MPK=6+n+g

或者：

MPK-8=n+g

因此，在黄金律稳定状态，资本的边际产出减去折旧率就等

于人口增长率与技术进步的和。

6.国家间的增长差异(曼昆宏观第9章)

(1)国家间人均收入水平差异较大的主要原因有：

A.人口增长率不同；

B.储蓄率不同；

C.人均资本投资不同；

D.生产效率存在差别。

一个国家之所以是真正的穷国，其主要原因在于：经济长期

没有增长，甚至负增长(如孟加拉国、扎伊尔等)。除上述

原因外，还对外国投资持敌对态度，不愿外国投资者将利润

带回母国。

(2)趋同

世界上贫穷的经济体趋同于赶上世界上富裕的经济

体。这种“赶上”的性质被称为趋同。

(3)有更多人均资本的国家(实物或人力)同样也倾向于

有更高生产效率，主要原因有：

A.生产更有效率将刺激资本积累；

B.资本积累对效率提高有外部效应；

C.一些国家中存在一些不明因素使得其资本积累与生产效

率比别国要高。

7.促进增长的政策X(曼昆宏观第9章)

(1)评价储蓄率

利用黄金律，比较(MPK-6)和(n+g)两者的大小，

就可以评价储蓄率是太低还是太高。

①如果MPK—6>九+g,则经济在资本小于黄金律稳定状

态水平下运行，应该增加S0

②如果MPK-6>n+g,则经济在资本大于黄金律稳定状

态水平下运行，应该减少SO

(2)提高储蓄率的政策

A.减少政府预算赤字，或增加预算盈余。

B.刺激私人储蓄：降低资本利得税、公司所得税、房产税

等；将联邦所得税改为消费税；加大对个人退休账户或其他

退休账户的税收优惠。

(3)在不同资本间配置投资

索洛模型只讨论了一种资本，实际经济中，存在多种资本(如

传统类型资本、公共资本、人力资本等)。对于不同资本间

的投资配置存在两种观点：

A.对任何行业的任何种类的资本以同等税收待遇对待，让

市场来配置资本，投资流向边际产出最高的资本类型。

B.政府应该实施产业政策来鼓励某种类型的资本，因为这

样的投资可能带来私人投资往往不会考虑的技术外部效应。

但是产业政策自身也存在问题：a.衡量不同部门的外部性是

不可能做到的。b.政策过程远非完善。

(4)鼓励技术进步

A.知识产权：通过允许暂时独占新发现成果来鼓励创新；

B.对R&D的税收激励；

C.支持大学基础研究；

D.产业政策：鼓励发展那些能够促进技术进步的关键行业。

8.超越索洛模型——内生增长理论※(曼昆宏观第

9章)

索洛模型说明了经济的持续长期增长主要来源于技术进步，

但是在索洛模型里技术是作为外生变量而存在的，模型并没

有关注技术从何而来。内生增长理论通过扩展资本的内涵，

将知识纳入资本的内容，通过技术内部化解释经济的持续增

长。

(1)基本模型

内生增长理论模型的生产函数为：

Y=AK

其中，y为产出；K为资本存量；A为一常数，衡量每

一单位资本所生产的产出。

在这个生产函数中，资本的边际产出为常数，即MPK=^=

aK

A,所以该生产函数没有表现出索洛模型中资本的边际收益

递减，而是资本的边际收益不变。这是该函数与索洛模型之

间的最大区别。在方程y=两边同除以劳动力人数L就

可以得到该生产函数的人均形式，即：

YK

l=AXl=>y=Ak

与前面定义一样，y为人均产出，k为人均资本。资本积

累方程为：AK=sY—6K,将其与生产函数F=/K结合在

一起，稍作调整可得：

△rAKsY-8KsAK-8K

—=—=-----------=--------------=s/—5

YKKK

相应的人均形式的资本积累(变动)方程为：Ak=sy—6k。

当s/-5>0,即s/>5时，即使没有外生技术进步的假设，

经济也会一直增长下去。

如图2所示，由于实际投资始终大于持平投资，而且生产函

数没有表现出资本的边际收益递减现象，导致AK一直大于

零，所以人均资本K不断增大，不会收敛于某一个稳态的值。

人均产出

人均资本4

图10y=4K模型的增长状况

(2)两部门模型

两部门模型的经济系统由以下要素构成：制造业企业的生产

函数、研究性大学的生产函数和资本积累公式。该模型可以

由下列三个方程表示:

（Y=F[K,（1-u）LE]（制造业企业的生产函数）

（AE=gQ）E（研究性大学的生产函数）

（△K=sY—6K（资本的积累）

式中，u为大学的劳动力比例，1—u为制造业的劳动力比

例；E为知识存量，它又决定了劳动效率；g为表明知识增

长如何取决于大学的劳动力比例的函数。

在该模型中，制造业企业的生产函数规模收益不变，把知识

E看成资本，则函数表现为资本的边际收益不变的性质。在

这个模型中，可以在不假设生产函数有外生移动的情况下产

生持续增长。在这里，持续增长是内生产生的，因为大学的

知识创造永远不会停止。

在该模型中，s决定了稳定状态的物质资本存量；大学的劳

动力比例〃决定了知识存量的增长和稳定状态的收入增长

率。s和比都影响收入水平。

（3）资本边际报酬不变的合理性讨论

A.投资报酬可分为私人报酬（投资者本人获得的好处）和

外部报酬（即社会报酬，复制一种新产品、新方法、新思想

所获得的好处）。实物资本投资的报酬基本上只产生私人报

酬，但是人力资本，特别是知识投资，会产生很大外部报酬，

因为思想的复制花费极少，并且知识的积累为后续的新思想

奠定基础。

B.对于单一企业，资本边际报酬不变意味着生产要素规模

报酬递增，从而会出现单一企业支配经济，这是不可能的。

但是人力资本投资使经济整体的资本边际产出不变成为可

能。

C.一些经济学家认为人力资本投资和新产品、新技术的研

发是理解长期增长的关键。

(4)内生增长理论与索洛模型的比较

A.索洛模型假设资本边际产出是递减的，因此经济不能内

生增长。它较好地解释了普通的经济增长现象，并且在数学

上是精致的。但是它未能解释决定技术进步的经济因素，并

且储蓄率与经济增长速度在稳态时没有关联的预言出现了

经验性的偏差。

B.内生增长理论修改生产函数的形状，假设资本有不变的

边际产出，在一定程度上容许自我持续(内生的)增长。

9.经济增长源泉的核算(曼昆宏观第9章)

产出的增长有三个不同的来源：资本的增加、劳动的增加和

技术进步。含有技术进步的生产函数为：

丫=4F(K,L)

其中A就是被称为全要素生产率的现期技术水平。相应的

增长核算公式为：

△YAKAL△/

--=tt_+(l-a)T+T

即：产出的增长=资本的贡献+劳动的贡献+全要素生产率

的增长。

在核算公式中，全要素生产率的增长是产出增长中扣除了资

本和劳动投入的贡献之后的余额，反映不能用投入变动解释

的产出变动。索洛把它解释为技术进步增长率，即技术进步

对经济增长的贡献。其计算公式为核算公式的变形：

△AAYAKAL

由于产出的增长、资本量的变动以及劳动量的变动都是可以

测量的，从而全要素生产率的增长也就可以由此得到。全要

素生产率增长最常见的原因是技术进步，其他原因如制度的

改进也会提高全要素生产率。

【举一反三】学被称为索洛余量，用于表示不能由劳动、资

本投入所解释的那部分产出增长率，包含技术变动、管理水

平、制度体制等方面。在常规的经济增长模型中，将其作为

技术进步的度量(其实只是一个“代理变量”)。

【本章小结】知识点小结：

(1)考虑技术进步的索洛模型的主要结论：

A.人均收入稳定状态增长率仅仅取决于外生的技术进步率;

B.大多数国家的经济的资本存量大大低于黄金律稳定状态

水平。

(2)促进储蓄率提高的途径：

A.增加公共储蓄(减少财政赤字)；

C.私人储蓄的税收激励。

(3)内生增长理论假设资本边际产出不变，基本原因是人

力(知识)资本投资具有外部报酬。

(4)内生增长理论预言，高储蓄率导致高增长率。

(5)提高增长率的基本政策是保持合理的人口增长率、储

蓄率和人力资本投资。

(6)国家间的经济增长既不同，又有一定的趋同。

【提点注意】本章是801经济学考试的重点内容之一，每年

必考，而且至少每两年会考一道大题！考察的题型涉及选择、

判断、计算分析，题型全涵盖。判断题主栗集中于概念，比

如长期稳态率是否与储蓄率、人口增长率、折旧率等相关；

计算类题型(包括计算型选择题)主要涵盖如何计算稳态人

均资本、人均产出、黄金率及其对应的储蓄率等；图形分析

题主要注重当外生变量(如储蓄率变动、人口增长率、失业

率、技术进步率等)变动，如何影响稳态的动态变动过程(这

里的稳态包括消费、投资、产出等的稳态)。此外，本章模

型所需的假设很多，如果放松一些假设，比如引入政府部门

的投资、引入人力资本投资，结果会怎么样呢？这类自建模

型的题目虽然上财往年真题没有考过，但是很多其他兄弟院

校有考过这类题型，不排除未来几年上财801经济学会予以

考察，大家也最好能去研究一下！加油！下面以两个例子来

给大家提供复习思路！

【例1】(2014年计算分析题第5题)假设在SoZow模型中，

人均生产函数y=储蓄率s,人口增长率几=0.005,折

旧率为d=0.035o

(1)计算在储蓄率s=0.16时的稳态人均资本存量。

(2)计算在储蓄率提高到s=0.41后的稳态人均资本存量,

并用图形说明储蓄率的提高对稳态人均资本存量的影响(保

留一位小数)。

(3)计算稳态黄金率下的储蓄率。

(4)以储蓄率s=0.16时的稳态为初期。这时人口为1000单

位，如果储蓄率提高到s=0.41后，计算下一期的总产出和

人均资本，结合画图描述总产出和人均资本动态调整路径。

【解析1](1)n=0.005,6=0.035,s0=0.16,稳态下，

n=0.005,6=0.035,s1=0,41,k0=(焉尸=105.0625«

105.10储蓄率的提高使得投资曲线向上移动，稳态下均衡

人均资本量上升。如图9所示。

yld)

黄金律下有MPK=5+n,即夫=0.04,从而4=12.5,

且sy=(n+8)k,则s==(n+6)仄=0.04x12.5=

0.5o