概率A标注化作业XIN

普通高等教育“十五”国家级规划教材

随机数学

标准化作业

吉林大学公共数学中心

2009.8

第一次作业

院(系)班级学号姓名

一、填空题

1.已知事件A和3满足P(AB)=P(NZ),且P(A)=0.4,则P(B)=.

2.在书架上任意放上20本不同的书，其中指定的两本书放在首末的概率是.

3.已知P(A)=；,P(B|A)=1,P(A|B)=I，则P(AUB)=.

4.两个相互独立的事件A和3都不发生的概率是工，且A发生3不发生和A不发生

9

B发生的概率相等，则P(A)=.

5.在4重伯努利试验中，已知事件A至少出现一次的概率为0.5,则在一次试验中A出

现的概率为.

二、选择题

1.下列等式不成立的是()

(A)A=ABUAB.(B)A-B=AB.

(C)(AB)(AB)=f.(D)(A-B)\JB=A.

2.从0,1,2,9这十个数字中任意取出4个，则能排成一个四位偶数的概率是

()

、40、3630

(B)—(C)——(D)

909090

3.从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是

16(B)17

(A)^©*(D)

2121

4.设有4张卡片分别标以数字1,2,3,4,今任取一张；设事件A为取到1或2,事

件3为取到1或3,则事件A与8是()

(A)互不相容.(B)互为对立.(C)相互独立.(D)互相包含.

1

三、计算题

1.将九只球随机地放入N(〃£N)个盒子中，设每个盒子都可以容纳〃只球，求下列

事件的概率：

(1)每个盒子最多有一只球；

(2)恰有机(相£〃)只球放入某一个指定的盒子中；

(3)九只球全部都放入某一个盒子中.

2.三个人独立地去破译一份密码，已知每个人能译出的概率分别为LL工，问三人

534

中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？

2

3.两封信随机投入4个邮筒，求前两个邮筒没有信及第一个邮筒内只有一封信的概率.

4.某商店出售的灯泡由甲、乙两厂生产，其中甲厂的产品占60%,乙厂的产品占40%,

已知甲厂产品的次品率为4%,乙厂产品的次品率为5%,一位顾客随机地取出一个灯泡，

求：(1)取出的是合格品的概率；

(2)已知取出的是合格品，问取出的是甲厂生产的概率为多少？

3

5.在100件产品中有10件次品；现在进行5次放回抽样检查，每次随机地抽取一件

产品，求下列事件的概率：(1)抽到2件次品；(2)至少抽到1件次品.

四、证明题

1.设0<P(A)<1,0<P(B)<1,P(A|B)+P(入|历=1,证明事件A与B相互独

立.

4

2.已知任意事件A,A，A2，A3满足4?A(i1,2,3),证明

P(A)?P(4)P(&)+P(4)-2.

5

第二次作业

院(系)班级学号姓名

一、填空题

1.一实习生用一台机器接连独立地制造3个同种零件，第，个零件是不合格产品的概

率为A=­(j=L2,3)，X表示3个零件中合格的个数，则

z+1

P{X=2]=_________.

2.设随机变量X的概率密度为用y表示对X的3次独立重复观察中事件享£|出

现的次数，则P{Y=2}=.

3.设随机变量x,y服从同一分布，x的概率密度函数为

1—x2,0<x<2,

/(x)=18

|0,其它，

3

设4={X>〃}与5={丫>相互独立，且尸{AU5}=—,则〃=

4

4.设随机变量X服从二项分布3(2,p),随机变量y服从二项分布5(3,p),若

P{X?1)则尸{V?1}________________.

5.设随机变量X的概率分布为

X-2-10123

P0.100.200.250.200.150.10

则，y=_2X的概率分布为_______________________________________________________

Z=X2的概率分布为.

二、选择题

1.设耳(X)和K(x)分别为随机变量X]和X2的分布函数，为使

F(x)=aF^x)-匕8(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取

()

6

(A)a=—,b=-—,b=--

12

(C)a=—,Z?=—.

2'3

2.已知连续型随机变量X的分布函数为

|0,x<0,

F(x)=\kx+b,0?xp,

|1,%3p,

则参数左和万分别为()

(A)k=0,b=—.(B)k=­,b=0.

(C)k=——,b=0.(D)k=Q,b=——

2P

3.设随机变量X~N(m,s2),则随着$2的增大，概率尸{|X-刑<0}()

(A)单调增大.(B)单调减少.

(C)保持不变.(D)增减性不定.

4.设随机变量X的概率密度函数为

0<x<1,

其它，

则使P{X>a}=P{X<a}成立的常数a=

(A)啦.(B)-.(C)1-，

2

5.设随机变量x~N(o,i),y=2x+i,则y服从()

(A)N(l,4).(B)N(0,1).(C)N(l,1).(D).N(l,2).

三、计算题

1.一批产品由9个正品和3个次品组成，从这批产品中每次任取一个，取后不放回，

直到取得正品为止.用X表示取到的次品个数，写出X的概率分布.

7

2.设连续型随机变量X的概率密度为

Ix,0?x1,

/(x)=h(2-x),1?x2,

|o,其它，

求：（1）左的值；（2）X的分布函数.

3.设随机变量X服从正态分布N(3,4),求：P{2<X<3},P{|X|>2},

P{\X\<3}.

8

4.设连续型随机变量X的分布函数为

|0,x?a,

F(x)=iA+Barcsin—,-a<x<a,(a>0)

)a

1,x3a,

求：(1)常数A、B.(2)随机变量X落在岛一,一W内的概率.(3)X的概率密度函数.

勒22,

9

5.已知随机变量X的概率密度为

jo,x£0,

求随机变量y=x?的概率密度函数.

6.在电压不超过200V、在200V和240V之间、超过240V三种情况下，某种电子元

件损坏的概率分别为01、0.001、0.2,并假设电源电压X~N(220,252),求：(1)电子

元件损坏的概率。；(2)已知电子元件损坏，电压在200V和240V之间的概率6.

10

四、证明题

设随机变量X服从参数为q=；的指数分布，证明：y=］-e-2x服从［0,1］上的均匀

分布.

11

第三次作业

院（系）班级学号姓名

一、填空题

1.若二维随机变量（乂，丫）在区域｛（羽丁）|必+）；2?炉｝上服从均匀分布，贝|（x,y）

概率密度函数为.

2.设随机变量x与丫相互独立，具有相同的分布律,

X01

P0.40.6

则max｛X,Y｝的分布律为__________________________________

3.设二维随机变量（X,Y）的概率分布为

123

11

10

612

111

2

666

11

30

126

则（1）关于X的边缘分布律为________________________________

（2）关于/的边缘分布律为.

4.设随机变量X和y相互独立，X在区间（0,2）上服从均匀分布，y服从参数为q=1

的指数分布，则概率P[X+Y>1｝=.

5.设二维随机变量（x,y）的概率密度为

Ik(3x2+xy),0<x<l,0<y<2,

"羽『0,

其它，

12

则左=,fx(X)=，4(y)=

二、选择题

1.设二维随机变量(X,y)在平面区域G上服从均匀分布，其中G是由x轴，y轴以

及直线y=2x+1所围成的三角形域，则(X,y)的关于X的边缘概率密度为()

「l8x+2,--<%<0,

(A).八(x)=i2

Io,其它.

18x+4,--<x<0,

(B).AW=12

|o,其它.

.I4x+2,--<x<0,

(C)/X(x)=l2D)

Io,其它.

."+4,--<

x<0,

/x(x)=l2

Io,其它.

2.设平面区域G是由x轴，y轴以及直线x+；=1所围成的三角形域，二维随机变

量(X,y)在G上服从均匀分布，则"y(x|y)=()(0<y<2)

2

,0<x<1--,

(A)篇⑴y)=|2-y2

|o,其它.

2

,0<x<1--,

(B)fx\Y(x\y>=il-y2

b,其它.

1

,0<x<1--,

(C)Aiy(^ly)=j2-y2

b,其它.

1

,0<x<1--,

(D)2

|o,其它.

3.设二维随机变量(x,y)的分布函数为

13

F(x,y)=A：J+arctanarctan

则常数A和3的值依次为()

(A)/??和一.(B)—和2.(C)—-和2.(D)—和2.

pp4p-2p2

4.设X］和X2是两个相互独立的连续型随机变量，其概率密度分别为工(x)和力(x),

分布函数分别为耳(X)和&(X),则下列说法正确的是()

(A)力(x)+力(x)必为某一随机变量的概率密度.

(B)工(x)力(x)必为某一随机变量的概率密度.

(C)耳(x)+《(X)必为某一随机变量的分布函数.

(D)耳(x)&(x)必为某一随机变量的分布函数.

二、计导题

1.设随机变量X在1,2,3,4四个数字中等可能取值，随机变量y在1~X中等可

能地取一整数值，求(x,y)的概率分布，并判断x和y是否独立.

2.已知二维随机变量(X,Y)的概率密度为

ike(2%+y)x>0,y>0,

I其它.

(i)求系数左；(2)求(x,y)关于x和关于y的边缘概率密度；(3)判断x和y是

否相互独立.

14

3.已知随机变量X和y相互独立，且都服从正态分布N(0,S2),求常数R,使得概

率PHx?+产？R}05.

4.已知随机变量x和y相互独立，其概率密度分别为

|1,0<%<1|e-\y>0,

AW=L苴匕，川)=%二；

彳U,县匕.10,y£0.

求工=x+丫的概率密度.

15

第四次作业

院(系)班级学号姓名

一、填空题

1.设随机变量X的分布律为

X-202

P0.40.30.3

则E(X)=,E(X2)=,E(3X2+5)=.

2.设随机变量和y相互独立，且。(X)=s；和。。9=s：都存在，则

D(2X-37)=.

3.设随机变量X的概率密度为

I1x八开

J—cos—,0nxp,

/(x)=122'人

|o,其它.

对X独立重复地观察4次，用y表示观察值大于专的次数，则E(y2)=.

4.设随机变量X~N(O,I),F~P(4),并且x与y的相关系数为0.5,则有

D(3X-2y)=.

5.对一批圆木的直径进行测量，设其服从口,切上的均匀分布，则圆木截面面积的数

学期望为.

6.设随机变量X在11,2］上服从均匀分布，设随机变量

［1,X>0,

y=!o,x=o,

1,x<0,

则D(Y)=.

7.设X服从［-1,1］上的均匀分布，则E(X,)=,0(X3)=.

二、选择题

1.设X是一随机变量，且E(X)=M,D(X)=$2(办s>0为常数)，则对于任意

常数C,必有()

(A)E&-C)2=E(X2)-C2.(B)

嘴-C)2=E触而.

16

(C)E褥-C)2<£褥-m)2.(D)

石解-C『？E解喻2・

2.设。(X)=2,则。(3X-2)=()

(A)16.(B)18.(C)20.(D)8.

3.对于以下各数字特征都存在的任意两个随机变量X和丫，如果

E(XY)=E(X)E(Y)，则有()

(A)D(XK)=D(X)D(r).(B)D(X+Y)=D(X)+D(Y).

cox和y相互独立.(D)x和y不相互独立.

4.设E(X)=m,D(X)=s~>Q,则为使E(a+bX)=0,D(a+bX)=1,贝Ua和6

分别是()

m,1/、1m

(A)a=--,b=—.(B)a---,b7=—.

ssss

(C)a=-m,b=s.(D)a=m.b=—.

s

三、计算题

1.设随机变量X的概率密度为

Iax,0<x<2,

/(x)=\cx+b,2?x4,

|o,其它.

3

已知E(X)=2,P{1<X<3}=—,求a,。,c的值.

4

17

2.设二维随机变量（x,y）的概率密度为

〃、E(x+y)，Q#x2,0#y2,

f(x,y)=I8

|o,其它，

求E(X),E(Y),cov(X,Y),rXY和D(X+Y).

18

3.设连续型随机变量X的分布函数为

|0,%<-1,

F(x)=\a+barcsinx,-1?x1,

|1,%31,

试确定。和6,并求E(X)、D(X).

4.在数轴上的区间［0,a］内任意独立地选取两点”与N,求线段MN长度的数学期

望.

19

5.一民航送客车载有20名乘客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个

车站没有旅客下车就不停车，假设每位旅客在各个车站下车的可能性相同，且各个旅客是

否下车相互独立，求停车次数X的数学期望.

6.假设由自动流水线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N（〃l）,内径

小于10或大于12为不合格品，其余为合格品；销售合格品获利，销售不合格品亏损，已

知销售一个零件的利润T（元）与零件内径X的关系为

I-1,x<10,

T=[20,1012,.

5,X>12,

问平均内径加取何值时，销售一个零件的平均利润最大.

20

第五次作业

院(系)班级学号姓名

一、填空题

1.设随机变量X和y的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5,则

根据切比雪夫不等式，有P{|X-W常6}.

2.在每次试验中，事件A发生的可能性是0.5,则1000次独立试验中，事件A发生的

次数在400次到600次之间的概率3.

二、选择题

1.一射击运动员在一次射击中的环数X的概率分布如下：

X109876

P0.50.30.10.050.05

则在100次独立射击所得总环数介于900环与930环之间的概率是()

(A)0.8233.(B)0.8230.(C)0.8228.(D)0.8234.

2.设随机变量X「X2,…，X“，…相互独立，则根据列维一林德伯格中心极限定理，

当“定充分大时，X]+X+…+X"近似服从正态分布，只要X«=1,2,…)满足条件

()

(A)具有相同的数学期望和方差.(B)服从同一离散型分布.

(C)服从同一连续型分布.(D)服从同一指数分布.

三、计算题

1.某保险公司多年的统计资料表明，在索赔客户中被盗索赔占20%,以X表示在随

机抽查的100个索赔客户中因被盗向保险公司索赔的户数.(1)写出X的概率分布；(2)

利用德莫佛一拉普拉斯定理，求被盗索赔客户不少14户且不多于30户的概率的近似值.

21

2.设有同类仪器1000台，各仪器的工作是相互独立的，每台仪器发生故障的概率都

是0.01,假定一台仪器的故障由I名维修工人来排除，问至少需要配备多少名维修工人，

才能保证仪器发生故障但不能及时排除的概率小于0.01?

3.设各零件的重量都是随机变量，且相互独立，服从相同的分布，其数学期望为0.5kg,

均方差为0.1kg.问5000只零件的总重量超过2500kg的概率是多少？

22

第六次作业

院（系）班级学号姓名

1.己知总体X的样本值如下表:

4244454647484951

ni11279311

表中频数〃，.表示样本值中有〃，个毛，则样本均值工=,样本方差

s2=,样本标准差s=.

2.设X],X2，X3，X4是来自正态总体N（0,22）的简单随机样本，记随机变量

X=a（X「2X2）2+6（3X3-dXU?,则当。=,b=时，统计量X服从

分布，其自由度为.

3.设总体夕）,及，乂2,…，X”是来自总体X的样本，样本均值为X,则

E（X）=,D（X）=.

4.该总体X~N（0,4）,从总体X中抽取样本X],X2,…，毛0,则统计量

分布.

5.设X：~N（叫§2）,，=1,2,…，〃+1,是相互独立的，记

n+1S,

6.设总体X的概率密度为

%30,

x<0,

Xi,X2,・・・，X”是来自总体X的样本，则X1,X2,♦・•，x〃的联合概率密度

23

/a

二、选择题

1.设总体乂~双(办52),王，乂2「一，乂“是总体乂的样本，文为样本均值，记

5；=」-^通3/X),s}=-(X,-X),

1i=ini=1

22

S；=-^-®(X,.-m),S：=:(X,-m),

n-1,=ini=i

则下列随机变量中服从自由度为“-1的f分布的是()

/、X-m,、X-m/、X-m/、

(A)—//.(B)—//.(C)—//.(D)

Sjy/n-1S2/y/n-1S3/y/n-1

X-m

■

2.设总体X〜N(M,S2),X],X2…，X"是来自总体X的简单随机样本，则

(A)0.025.(B)0.975.(C)0.95.(D)0.05.

3.设随机变量x~,(〃)(〃>i),y=白，则()

X

(A)y~C2(H).(B)y~c2(n-1).(C)Y~F(l,n).(D)

Y~F(n,1).

4.设X~t(10),若P{/(10)>1.8125}=0.05,贝!I%95(10)=()

(A)-1.8125.(B)1.8125.(C)0.95.(D)-0.95.

三、计算题

1.从正态总体N(20,3)中分别抽取容量为10和15的两个相互独立样本，求样本均值

之差的绝对值大于0.3的概率.

24

2.设X],X2,…，X&是来自正态总体N(0,0.2)的样本，试求女，使

[Xf<k=0.95.

p

3.设X],X2,…，乂坨是来自正态总体N(0,4)的简单随机样本，试求概率

尸^77.476.

25

4.设X~N(0,s2),X1,…，Xg是来自总体X的简单随机样本，样本均值为X,试确

定s的值，使得P{1#X3}为最大.

5.设总体X的概率密度为

|2cos2%,0<x<―,

/(x)=14

|o,其它，

X1,X2,…，X”为总体X的样本，求样本容量〃，使P{min(X，X2,…,X")<§?'

26

四、证明题

Yxm

设随机变量X与y相互独立，且X~Ng52),—~c2(7?)，证明/=~t(n).

sy/YIn

27

第七次作业

院(系)班级学号姓名

一、填空题

1.设总体X服从参数为/的泊松分布，其中/>0为未知，XI,X2,…，X"为来自总

体X的样本，贝心的矩体计量为『=.

2.设总体X在区间卜,2]上服从均匀分布，2为未知参数；从总体X中抽取样本

X],X2,…，X,,则参数q的矩估计量为q=.

3.设总体X~p(/),X1,X2,…，X”是来自总体X的样本，则未知参数的最大似然估

计量为A=.

4.该总体一组样本值为-2,1,3,-2,则参数〃的置信水平为0.95的置

信区间为.

5.设总体X~N(〃,32),要使未知参数〃的置信水平为0.95的置信间的长度工42,

样本容量〃至少为.

二、选择题

1.设总体X在区间[0,同上服从均匀分布，其中。>0未知，则a的无偏估计量为

()

(A)0,=-X,+-X,.(B)0,=-X,+-X,+-X,.

123*263

(C)归="1+gx?+33.(D)兄+1乂2+33

2.设玉,当,…，尤”为总体乂~阳〃,。2)的样本观察值，则/的最大似然似计值为卜=

()

(A)-E(x,-//)2.(B)恭(x，T：左=1,2,•...

3.设总体X~N(〃,(T2),〃与cr?均未知，X],Xz，…，X,为总体X的样本，则参数〃的

置信水平为的置信区间为()

勿/2（〃）,X+.

—S—之勿/2("1)1(D)

（C）X一五%2（"1），X+

28

一q一q

x一方"/2(w)，X+-J=t(n)

a/2

4.设总体X~N(〃,〃)，其中片已知，则总体均值〃的置信区间长度工与置信度1-以

的关系是()

(A)当1-£缩小时，入缩短.(B)当1-。缩小时，L增大.

(C)当1-以缩小时，L不变.(D)以上说法都不对.

三、计算题

1.某工厂生产一批钾钉，从这批产品中随机抽取12只，测得头部直径(单位：mm)

如下：

13.30,13.38,13.40,13.43,13.32,13.48,

13.54,13.31,13.34,13.47,13.44,13.55,

设佛钉头部直径服从正态分布N(//),试求〃与cr2的矩估计值.

2.设总体X具有概率分布

X123

P0220(1-0)(1-0)2

其中。是未知参数，已知来自总体X的样本值为1,2,1.求。的矩估计值和最大

似然估计值.

29

3.设总体X的概率密度为

尤"%一%,尤>0,

/(无)=，(I)!(”0)

0,

其中女是已知的正整数，求未知参数力的最大似然估计量.

4.从正态总体中抽取容量为5的样本值：

1.86,3.22,1.46,4.01,2.64,

(1)已知〃=3,求"的置信水平为0.95的置信区间；

(2)若〃未知，求"的置信水平为0.95的置信区间.

30

5.对某种作物种子进行两种不同的药物处理，单穗增重按小区对照，则得如下数据

药物甲6.05.75.61.22.52.42.45.21.43.5

药物乙9.82.91.40.24.42.66.22.2

假设经甲、乙两种药物处理得到单穗重量分别服从正态分布N饵小求方

2

差比与的置信水平为0.90的置信区间.

5

四、证明题

1.设总体X的均值〃=E(X)及方差4=O(X)>0都存在，〃与4均未知，

X，区,…，X,是x的样本，试证明不论总体x服从什么分布，样本方差

$2=匕，(X，-可都是总体方差〃=ax)的无偏估计•

31

2.设X1,Xz，X3是总体X的样本，E(X)=〃，O(X)=(/存在，证明估计量

0,=-X,+-X2+-X,,02=-X,+-X2+-X3,

H366242243515253

都是总体X的均值E(X)的无偏估计量；并判断哪一个估计量更有效.

32

第八次作业

院（系）班级学号姓名

一、填空题

1.设总体X~N业，？），X1,X［,…，Xn是来自X的样本，记

2

X=-±X„Q=-t（Xi-X）,当〃和〃未知时，则检验假设=所使用统计量

n,=in,-=1''

是.

2.设两个总体x与y相互独立，且x~y~N（〃2，G）,可与已知，〃［与

从未知，从总体x和y中分别独立地抽取样本，样本容量分别为4和%,样本均值分别

为X和7,在显著性水平a下，检验假设/：〃|=〃2，耳：〃尸〃2的拒绝域为.

3.设总体待检的原假设对于给定的显著性水平如

果拒绝域为（尤5+1）,+8）,则相应的备择假设M：,若拒绝域为

［。，42a（W-1）［UD+s］,则相应的备择假设小：.

4.设总体X~N（〃,。2）,〃已知，给定显著性水平a,假设4:选=区,此：42疗的

拒绝域为.

二、选择题

1.在假设检验中，原假设备择假设华，则（）为犯第二类错误

（A）名为真，接受华.（B）反。不真，接受4.

（C）H。为真,拒绝H-（D）.X。不真，拒绝心.

2.设总体X~N（4,<7；）,y~N（〃2,可），检验假设Ho:，=6,a:of/CT；,a=0.10,

从X中抽取容量4=12的样本，从y中抽取容量%=10的样本，算得S；=118.4,S；=31.93,

正确的检验方法与结论是（）

（A）用f检验法，临界值九05（17）=2.11,拒绝修.

（B）用印检验法,临界值凡os（11，9）=3.10,综95（11，9）=。34,拒绝H。.

（C）用）检验法,临界值495（11，9）=。.34,练os（11，9）=3.10,接受H°.

（D）用■检验法,临界值时式11,9）=5.18,一方（11,9）=0.21,接受心.

3.设总体X~N（〃,〃），〃未知，假设8。：〃=〃。的拒绝域为〃则备择假

设区为（）

（A）〃/〃（）.（B）〃>〃（）.（C）（D）//<//0.

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三、计算题

I.某车间用一台包装机包装葡萄糖，包得的袋装葡萄糖的净重X（单位kg）是一个

随机变量，它服从正态分布"（〃，珑），当机器工作正常时，其均值为0.5kg,根据经验知标

准差为0.015kg（保持不变），某日开工后，为检验包装机的工作是否正常，从包装出的葡

萄糖中随机地抽取9袋，称得净重为

0.4970.5060.5180.5240.4980.5110.5200.5150.512

试在显著性水平以=0.05下检验机器工作是否正常.

2.设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机抽取36位考生的成绩，算得平均

成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平以=0.05下，是否可以认为这次考试全体

考生的平均成绩为70分？并给出检验过程.

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3.有两台自动机床生产小轴，从第一台的产品中随机抽取50根，测得平均长度为

20.1mm,从第二台的产品中随机地抽取50根，测得平均长度为19.8mm,设两台机床生产

的小轴长度各自服从正态分布，方差分别为1.750(mm2)和1.375(mm2),并设来自这两

个总体的样本相互独立，试在显著性水平0.