人教版八年级上第十四章 一次函数 导学案集

14.1.1变量

一、教学目标

1.认识变量、常量.

2.学会用含一个变量的代数式表示另一个变量.

二、重点难点

重点

1•认识变量、常量.2.用式子表示变量间关系.

教学难点

用含有一个变量的式子表示另一个变量.

三、合作探究

I,提出问题，创设情境

情景问题：一辆汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米.•行驶时间

为t小时.

四、精讲精练

1,每张电影票售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出205张，晚场售出

310张.三场电影的票房收入各多少元.设一场电影售票x张，票房收入y元.•怎样用含x

的式子表示y?

2.在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化,

探索它们的变化规律.如果弹簧原长10cm・，•每1kg•重物使弹簧伸长0.5cm,怎样用含有

重物质量m的式子表示受力后的弹簧长度？

结论：

1.早场电影票房收入：150X10=1500(元)

日场电影票房收入：205X10=2050(元)

晚场电影票房收入：310X10=3100(元)

关系式：y=10x

2.挂1kg重物时弹簧长度：1X0.5+10=10.5(cm)

挂2kg重物时弹簧长度：2X0.5+10=11(cm)

挂3kg重物时弹簧长度：3X0.5+10=11.5(cm)

关系式：L=0.5m+10

精练：

1.购买一些铅笔，单价0.2元/支，总价y元随铅笔支数x变化，•指出其中的常量

与变量，并写出关系式.

2.一个三角形的底边长5cm,高h可以任意伸缩.写出面积S随h•变化关系式，并指

出其中常量与变量.

五、课堂小结

本节课从现实问题出发，找出了寻求事物变化中变量之间变化规律的一般方法步骤.它

对以后学习函数及建立函数关系式有很重要意义.

1,确定事物变化中的变量与常量.

2.尝试运算寻求变量间存在的规律.

3.利用学过的有关知识公式确定关系区.

六.作业

课后思考题、练习题.

VI.瓶子或罐头盒等物体常如下图那样堆放.试确定瓶子总数y与层数x之间的关系式.

过程：要求变量间关系式，需首先知道两个变量间存在的规律是什么.不妨尝试堆放,

找出规律，再寻求确定关系式的办法.

结论：从题意可知：

堆放1层，总数y=l

堆放2层，总数y=l+2

堆放3层，总数y=l+2+3

堆放x层，总数y=l+2+3+…x即y=5%(x+l)

14.1.2函数

一、教学目标

1.经过回顾思考认识变量中

的自变量与函数.

2.进一步理解掌握确定函数

关系式.

3.会确定自变量取值范围.

二、重点难点

重点：1•进一步掌握确定函数关系的方法.2.确定自变量的取值范围.

难点：认识函数、领会函数的意义.

三、合作探究

I,提出问题，创设情境

我们来回顾一下上节课所研究的每个问题中是否各有两个变量？同一问题中的变量之

间有什么联系？也就是说当其中一个变量确定一个值时，另一个变量是否随之确定一个值

呢？

由以上回顾我们可以归纳这样的结论：

上面每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量随之

就有唯一确定的值与它对应.

其实，在一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量间的关系.我们来看下面两

个问题，通过观察、思考、讨论后回答：

(1)下图是体检时的心电图.其中横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物

电流，它们是两个变量.在心电图中，对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的对应值吗？

(2)在下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以记作两个变量x与y,对于表中每

个确定的年份(X),都对应着个确定的人口数(y)吗？年份人口数/亿

当x=a时，y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的

198410.34

函数值.

198911.06

据此我们可以认为：上节情景问题中时间t是自变量，

199411.76

里程S是t的函数,t=l时的函数值s=60,t=2时的函数值

199912.52

s=120,t=2.5时的函数值s=150,…，同样地，在以上心

电图问题中，时间x是自变量，心脏电流y是x的函数；人口数统计表中，年份x是自变

量，人口数y是x的函数.当x=1999时，函数值y=12.52亿.

四、精讲精练

例、一辆汽车油箱现有汽油50L,如果不再加油，那么油箱中的油量y(L)随行驶里

程x(km)的增加而减少，平均耗油量为0.IL/km.

1.写出表示y与x的函数关系式.

2.指出自变量x的取值范围.

3.汽车行驶200km时，油桶中还有多少汽油？

练习

下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出用自变量表示函数的式

子.

1.改变正方形的边长x,正方形的面积S随之改变.

2.秀水村的耕地面积是10情，这个村人均占有耕地面积y随这个村人数n的变化而

变化.

五、课堂小结

本节课我们通过回顾思考、观察讨论，认识了自变量、函数及函数值的概念，并通过两

个活动加深了对函数意义的理解，学会了确立函数关系式、自变量取值范围的方法，会求函

数值，提高了用函数解决实际问题的能力.

六、作业.P99练习

练习

下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函铳？试写出用自交费氐示函较

的式子.

(1)改变正方形的边长人正方形的面包S随之改变.

(2)秀水村的耕地面枳是10*m：.这个甘人均占有耕地而枳5■随这个村人散”的

变化而变化.

14.1.3函数图象

一、教学目标

1.学会用列表、描点、连线画函数图象.

2.学会观察、分析函数图象信息.

3.体会数形结合思想，并利用它解决问题，提高解决问题能力.

二、重点难点

重点：1.函数图象的画法.2.观察分析图象信息.

难点：分析概括图象中的信息.

三、合作探究

I,提出问题，创设情境

我们在前面学习了函数意义，并掌握了函数关系式的确立.但有些函数问题很难用函数

关系式表示出来，然而可以通过图来直观反映.例如用心电图表示心脏生物电流与时间的关

系.

即使对于能列式表示的函数关系，如果也能画图表示则会使函数关系更清晰.

我们这节课就来解决如何画函数图象的问题及解读函数图象信息.

II.导入新课

我们先来看这样一个问题：

正方形的边长x与面积S的函数关系是什么？其中自变量x的取值范围是什么？计算并

填写下表：——--------------------------------------------

x0.511.522.533.5

_S_________________________________________________

一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,

那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象(graph).上图中的曲线即为

函数S=x?(x>0)的图象.

函数图象可以数形结合地研究函数，给我们带来便利.

［活动一］

活动内容设计：

下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温T如何随时间t的变化

而变化.你从图象中得到了哪些信息？

教师活动:

引导学生从两个变量的对应关系上认识函数，体会函数意义；可以指导学生找出一天内

最高、最低气温及时间；在某些时间段的变化趋势；认识图象的直观性及优缺点；总结变化

规律…….

活动结论：

1.一天中每时刻t都有唯一的气温T与之对应.可以认为，气温T是时间t的函数.

2.这天中凌晨4时气温最低为14时气温最高为8℃.

3.从0时至4时气温呈下降状态，即温度随时间的增加而下降.从4时至14时气温

呈上升状态，从14时至24时气温又呈下降状态.

4.我们可以从图象中直观看出一天中气温变化情况及任一时刻的气温大约是多少.

5.如果长期观察这样的气温图象，我们就能得到更多信息，掌握更多气温变化规律.

［活动二］

下图反映的过程是小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家.其中x表示时

间，y表示小明离他家的距离.

根据图象回答下列问题：

1.菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？

2.小明给菜地浇水用了多少时间？

3.菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用了多少时间？

4.小明给玉米地锄草用了多长时间？

5.玉米地离小明家多远？小明从玉米地走回

家平均速度是多少？

活动结论：

1.由纵坐标看出，菜地离小明家1.1千米;

由横坐标看出，小明走到菜地用了15分钟.

2.由平行线段的横坐标可看出，小明给菜地

浇水用了10分钟.

3.由纵坐标看出，菜地离玉米地0.9千米.由横坐标看出，小明从菜地到玉米地用

了12分钟.

4.由平行线段的横坐标可看出，小明给玉米地锄草用了18分钟.

5.由纵坐标看出，玉米地离小明家2千米.由横坐标看出，小明从玉米地走回家用

了25分钟.所以平均速度为：2+25=0.08（千米/分钟）.

四、精讲精练

例1、：在下列式子中，对于X的每个确定的值，y有唯一的对应值，即y是X的函数.请画

出这些函数的图象.

6

1.y=x+0.52.y=—(x>0)

X

解：1.y=x+O.5

从上式可看出，x取任意实数式子都有意义，所以x的取值范围是全体实数.

从x的取值范围中选取一些数值，算出y的对应值.列表如下：

X.・・-3-2-10123・・・

y.・・-2.5-1.5-0.50.51.52.53.5•・・

根据表中数值描点(x,y),并用光滑曲线连结这些点.

从函数图象可以看出，直线从左向右上升，即当x由小变大时，y=x+O.5随之增大.

6

2.y=-(x>0)

x

自变量的取值为x>0的实数，即正实数.

按条件选取自变量值，并计算y值列表:

X•・・0.511.522.533.54・・・

y・・・126432.421.71.5・・・

据表中数值描点(x,

9随之减小.

从函数图象可以看出,

x

由以上例题可以知道：描点法画函数图象的一般步骤是

第一步：列表.在自变量取值范围内选定一些值.通过函数关系式求出对应函数值列成

表格.

第二步：描点.在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出

表中对应各点.

第三步：连线.按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来.

练习

(1)下图是一种古代计时器・“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶下

的小孔漏出，壶壁内画出刻度.人们根据壶中水面的位置计

算时间.用X表示时间，y表示壶底到水面的高度.下面的

哪个图象适合表示y与x的函数关系？

(2)a是自变量x取值范围内的任意一个值，过点(a,

0)画y轴的平行线，与图中曲线相交.下列哪个图

中的曲线表示y是x的函数？为什么？

五、课堂小结

本节通过两个活动，学会了分析图象信息，解答有关问题.通过例题学会了用描点法画

出函数图象，这样我们又一次利用了数形结合的思想.

六、作业P104练习2、3

2.下图是北京与上海在桑一天的三0随时间变化的阳掣.

(1)这一天内.上海与Jt京何时温

度相同？

(2)这一天内.上海也哪般时同比

北京逑度高？在哪段时同比北W.

京温度低？y/A

工画出自的8?象.|

(2)从图配中曳底，§x＜0时,v____..-J-\-

一，I2M)«I/M

随才的增大而增大.还是了植”

的增大而或小？当上＞0时呢？＜第2版)

14.1.4函数的表示方法

一、教学目标

1.总结函数三种表示方法.

2.了解三种表示方法的优缺点.

3.会根据具体情况选择适当方法.

4.利用数形结合思想，据具体情况选用适当方法解决问题的能力.

二、重点难点：

重点：

1,认清函数的不同表示方法，知道各自优缺点.

2.能按具体情况选用适当方法.

难点

函数表示方法的应用.

三、合作探究

I.提出问题，创设情境

我们在上节课里已经看到或亲自动手用列表格.写式子和画图象的方法表示了一些函

数.这三种表示函数的方法分别称为列表法、解析式法和图象法.

那么，请同学们思考一下，从前面的例子看，你认为三种表示函数的方法各有什么优缺

点？在遇到具体问题时，该如何选择适当的表示方法呢？

这就是我们这节课要研究的内容.

表示方法全面性准确性直观性形象性

列表法XVVX

解析式法VVXX

图象法XXVV

从所填表中可清楚看到三种表示方法各有优缺点.在遇到实际问题时，就要根据具体情

况、具体要求选择适当的表示方法，有时为了全面地认识问题，需要几种方法同时使用.

四、精讲精练

例：一水库的水位在最近5小时内持续上涨，下表记录了这5小时的水位高度.

t/时012345・・・

y/米1010.0510.1010.1510.2010.25・・・

1.由记录表推出这5小时中水位高度y（米）随时间t（时）变化的函数解析式，并

画出函数图象.

2.据估计这种上涨的情况还会持续2小时，预测再过2小时水位高度将达到多少米？

解:1.由表中观察到开始水位高10米，以后每隔1小时，水位升高0.05米，这

样的规律可以表示为：y=0.05t+10(0WtW7)

这个函数的图象如下图所示：

2.再过2小时的水位高度，就是t=5+2=7时，y=0.05t+10的函数值，从解析式容易

算出：y=0.05X7+10=10.35

从函数图象也能得出这个值数.

2小时后，预计水位高10.35米.

就上面的例子中提几个问题大家思考:

1.函数自变量t的取值范围：0WtW7是如

何确定的？

2.2小时后的水位高是通过解析式求出的

呢，还是从函数图象估算出的好？

3.函数的三种表示方法之间是否可以转化？

1.从题目中可以看出水库水位在5小时内持续上涨情况，且估计这种上涨情况还会

持续2小时，所以自变量t的取值范围取0WtW7,超出了这个范围，情况将难以预计.

2.2小时后水位高通过解析式求准确，通过图象估算直接、方便.就这个题目来说,

2小时后水位高本身就是一种估算，但为了准确而言，我认为还是通过解析式求出较好.

3.从这个例子可以看出函数的三种不同表示法可以转化，因为题目中只给出了列表法,

而我们通过分析求出解析式并画出了图象，所以我认为可以相互转化.

练习：

1.用列表法与解析式法表示n边形的内角和m是边数n的函数.

2.用解析式与图象法表示等边三角形周长L是边长a的函数.

3、甲车速度为20米/秒，乙车速度为25米/秒.现甲车在乙车前面500米，设x

秒后两车之间的距离为y米.求y随x(OWxWlOO)变化的函数解析式，并画出函数图象.

五、课堂小结

通过本节课学习，我们认识了函数的三种不同的表示方法，并归纳总结出三种表示方法

的优缺点，学会根据实际情况和具体要求选择适当的表示方法来解决相关问题，进一步知道

了函数三种不同表示方法之间可以转化，为下面学习数形结合的函数

做好了准备.

六.作业P1088、9、10

S.某种活胡健蓄的月利率是,存入100元本金，求本息和(本金与利息的和)

丫兀处所存月数十变化的话数解析式.并计算存期为I个月时的本息和.

,正方形边长为3,若边长增加.，则面枳增加.V.求,丫随，变化的函数解析式,指出

自变鼠、函数.并以表格形式衣术节了等f2.3.I时，的值，

I0.甲车速网为20米秒.乙年速度为25米秒,现甲军在乙午前面500米.位j•秒

行两车之间的橐离力F米.求¥随」《0GFOO)变化的函数解析式，井酶出

函数法I里.

14.2.2一次函数(1)

一、学习目标：

1,掌握一次函数解析式的特点及意义.

2.理解一次函数与正比例函数的关系.

3.会画一次函数的图象

二、重点难点

学习重点：理解和掌握一次函数解析式特点.

学习难点：一次函数与正比例函数关系的正确理解.

三、合作探究(同学交流，教师引导)

1.写出下列问题的解析式

(1)某登山队大本营所在地的气温为15℃,海拔每升高1km气温下降6℃.登山队员由大

本营向上登高xkm时，他们所处位置的气温是y°C.

(2)有人发现，在20〜25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数C与温度t(°C)有关，即C的值约是

t的7倍与35的差.

(3)一种计算成年人标准体重G(kg)的方法是：以厘米为单位量出身高值h减常数105,

所得差是G的值.

(4)某城市的市内电话的月收费额y(元)包括：月租费22元，拨打电话x分的计时费(按

0.1分收取).

(5)把一个长10cm,宽5cm的矩形的长减少xcm,宽不变，矩形面积y(cm2)随x的值而

变化.

上面这些函数的形式都是自变量x的k(常数)倍与一个常数的和.如果我们用b来表示

这个常数的话.这些函数形式就可以写成：y=kx+b(kWO)

精讲精练：

一次函数的概念

1、一般地，形如y=kx+b(k、b是常数，kWO)的函数，叫做一次函数.当b=0时，y=kx+b

即丫=1«.所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

1.对一次函数概念内涵和外延的把握：

⑴自变量系数(常数)kWO；

⑵自变量x的次数为1；

2.一次函数与正比例函数的辨证关系可以用下图来表示：

例1、：下列函数关系式中，哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？

(1)y=-x-48(2)、=5厂+6

y--

(3)%(4)y=-8x

例2.若函数y=(m-l)x+m是关于x的一次函数,试求m的值.

分析：一次函数的条件：

(1)、自变量次数为1;(2)、自变量系数kW0

精练

1、下列说法不正确的是()

(A)一次函数不一定是正比例函数(B)不是一次函数就一定不是正比例函数

(C)正比例函数是特定的一次函数(D)不是正比例函数就不是一次函数

2、已知函数y=(2-m)x+2m-3.求当m为何值时，

(1)此函数为正比例函数？

(2)此函数为一次函数？

3、一个小球由静止开始在一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加2米。(1)求小球速度v随

时间t变化的函数关系式，它是一次函数吗？(2)求第2.5秒时小球的速度？

4.汽车油箱中原有油50L,如果行驶中每小时用油5L,求油箱中油量y(L)随行驶时间x

(小时)变化的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。y是x的一次函数吗？

五、课堂小结：一次函数解析式的特点，与正比例函数的关系。

六、作业

1、梯形的上底长x,下底长15,高8；

(1)写出梯形的面积y与上底x的关系式，是一次函数吗？

(2)当x每增加1时，y是如何变化的？

(3)当x=0时，y等于多少？此时y的意义是什么？

2.若函数y=mx-(4m-4)的图象过原点，则m=,此时函数是函数.若函数

y=mx-(4m-4)的图象经过(1,3)点，则m=,此时函数是______函数.

14.2.2一次函数(2)

一、学习目标：1.知道一次函数图象的特点。

2.知道一次函数与正比例函数图象之间的关系.

3.会熟练地画一次函数的图象.

二、重点难点

学习重点：一次函数图象的特点及画法.

学习难点：k、b的值与图象的位置关系。

三、合作交流

1.观察上一节学案中函数y=2x+3与y=—2x+3的图象，猜测一次函数y=kx+b(kWO)的图

象是什么形状？

小结：①一次函数y=kx+b(kWO)的图象是一条□通常也称为直线y=kx+b(b

#0),特别地，正比例函数y=kx(kWO)的图象是经过的一条直线.

②一个点可以确定一条直线。因此今后再画一次函数和正比例函数的图象时，只需要

取一个点即可。(取哪两个点呢？)

2.比较函数式y=2x+3与y=-2x+3及图象的特点:

函数式k值图象从左到右的趋势增减性

y=2x+3

y=-2x+3

小结：一次函数尸履+6有下列性质：

⑴当A>0时，y随x的增大而,这时函数的图象从左到右；

(2)当A<0时，y随x的增大而,这时函数的图象从左到右.

四、精讲精练

例.观察比较课本y=-6x与y=-6x+5的图象，找出它们的相同点和不同点，完成115页思

考。

小结：直线y=kx+b可以看作由直线y=kx平移个单位而得到，当b>0时，向

平移，当b<0时，向平移。即k值相同时，直线一定平行。

练习

1、在不同坐标系中作出下列函数的图象：

(1)y=3x+2(2)y=-3x+2(3)y=3x-2(4)y=-3x-2

归纳：一次函数中“与6的正、负与它的图象经过的象限归纳列表为(理解掌握):

2、⑴将直线尸3x向下平移2个单位，得到直线；

(2)将直线y=-x-5向上平移5个单位，得到直线；

(3)将直线y=-2x+3向下平移5个单位，得到直线.

3.函数y="x-4的图象平行于直线尸-2x,求函数的表达式.

4.一次函数y=Ax+6的图象与y轴交于点(0,-2),且与直线y=3x-g平行，求它的函数

表达式.

5.已知一次函数y=(2疗1)X+R+5,当勿是什么数时，函数值y随x的增大而减小？

五、课堂小结：

1、一次函数图象的特点及画法.2、k、b的值与图象的位置关系。

六、作业：

1.已知一次函数y=(1-24了+犷1,若函数y随x的增大而减小，并且函数的图象经过二、

三、四象限，求心的取值范围.

2.说出直线y=3x+2与y=gx+2；y=5xT与y=5x-4的相同之处.

3、在直线y=-3x+2上有两点A(xl,yl)和(x2,y2)，若xl<x2,则yly2.

14.2.2一次函数（3）

一、学习目标：

1.了解两个条件确定一个一次函数；一个条件确定一个正比例函数.

2.能由两个条件求出一次函数的表达式，一个条件求出正比例函数的表达式.

3能根据函数的图象确定一次函数的表达式，培养学生的数形结合能力.

二、重点难点

学习重点：能根据两个条件确定一个一次函数。

学习难点：从各种问题情境中寻找条件，确定一次函数的表达式。

三、合作探究

一次函数关系式/=履+6（右砥），如果知道了孑与6的值，函数解析式就确定了，那

么有怎样的条件才能求出4和6呢？

1.已知一个一次函数当自变量x=-2时，函数值尸T,当x=3时，y=-3.能否写

出这个一次函数的解析式呢？

根据一次函数的定义，可以设这个一次函数为:y=Ax+灰20）,问题就归结为如何求出

k与6的值.

由已知条件x=-2时，y=T,得-\—~2k-Yb.

由已知条件x=3时，y=~3,得-3=34+6.

两个条件都要满足，即解关于x的二元一次方程组

2若一次函数y=〃x-（疗2）过点（0,3）,求力的值.

分析考虑到直线y=〃x-（犷2）过点（0,3）,说明点（0,3）在直线上，这里虽然已知条件中没有

直接给出x和y的对应值，但由于图象上每一点的坐标（工力代表了函数的一对对应值，它

的横坐标x表示自变量的某一个值，纵坐标y表示与它对应的函数值.所以此题转化为已知

矛=0时，y=3,求勿.即求关于〃的一元一次方程.

这种先设待求函数关系式（其中含有未知的常数系数），再根据条件列出方程或方程组,

求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法

四、精讲精练

例1、已知一次函数尸"x+6的图象经过点（T,1）和点（1,-5）,求当x=5时，函数

y的值.

例2.虽然题意并没有要求写出函数的关系式，但因为要求x=5时，函数y的值，仍

需从求函数解析式着手.

练习:

1、某物体沿一个斜坡下滑，它的速度■（米/秒）与其下滑时间大（秒）的关系如图所示.

（1）写出〃与《之间的关系式;

（2）下滑3秒时物体的速度是多少？

分析：要求「与t之间的关系式，首先应观察图

象，确定它是正比例函数的图象，还是一次函数的图

象，然后设函数解析式，再把已知的坐标代入解析式

求出待定系数即可.

2.已知弹簧的长度y（厘米）在一定的限度内是所挂

物质量x（千克）的一次函数.现已测得不挂重物时

弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米，求这个一次函数的

关系式.

五、小结：1、了解两个条件确定一个一次函数；一个条件确定一个正比例函数.

2.能由两个条件求出一次函数的表达式，一个条件求出正比例函数的表达式

六、作业：P1207

7,已知一次函数的图象经过点（4・9）和点（6,3），求这个函数的解析式.

14.2.2(4)一次函数的应用

一、学习目标：1.熟练地作出一次函数的图象,会求一

v

次函数与坐标轴的交点坐标；2|

2.会作出实际问题中的一次函数的图象.1

二、重点难点-4-3-2-10-1234^

-1■

学习重点：学会识图，利用一次函数知识解决相关实际G

-2

问题J(0,-3)

学习难点：利用一次函数知识解决相关实际问题一不

三、合作探究

1.求直线尸-2x-3与x轴和y轴的交点，并画出这条直线.

解：因为x轴上点的坐标是0,y轴上点的坐标是0,所以当y=0时，x=,点

A就是直线与x轴的交点；当x=0时，y=_，点B就是直线与y轴的交点.

过点和所作的直线就是直线尸-2k3.(自己画图)

线段0A=线段0B=,AAOB的面积为：

四、精讲精练

3

例1、求函数y=3与x轴、y轴的交点坐标，并求这条直线与两坐标轴围成的三角形

的面积.

例2、今年入夏以来，我市用水量大增.自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费

标准，若某户居民每月应交水费y(元)是用水量x(吨)的函数，当0WxW5时，尸0.72x,

当x>5时，y=0.9矛-0.9.

(1)画出函数的图象；

(2)观察图象，利用函数解析式，回答自来水公司采取的收费标准.

练习：

(1)一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？

(2)摩托车每行驶100千米消耗多少升汽油？

(3)油箱中的剩余油量小于1升时，摩托车将自动报警。行驶多少千米后，摩托车将自动

报警

五、小结：学会识图，利用一次函数知识解决相关实际问题、利用一次函数知识解决相关实

际问题

六、作业：pl208、9

札一个函数的图象拈”及京点的仃线,井（1这条仃纹过第四象眼及点（2.一初》5

点（d.R）.求这个函数的解析式.

"点P（广，y｝住第一象限.11rr-8,点八的坐标为（6,，”.设的血

积为S.

（1）用含丁的解析式我示S，写出』的取值翘围，画出函数.S的图象.

（2）当点P的横唱标为5IM.△（）PA的曲枳为多少？

（S）.（）PA的面枳能火1-21吗？为〃么？

14.3.1一次函数与一元一次方程

-、教学目标

1,用函数观点认识一元一次方程.

2.用函数的方法求解一元一次方程.

3.加深理解数形结合思想.

二、重点难点

教学重点

1.函数观点认识一元一次方程.

2.应用函数求解一元一次方程.

教学难点

用函数观点认识一元一次方程.

三、合作探究

I.提出问题，创设情境

我们来看下面两个问题：

1.解方程2x+20=0

2.当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0?

这两个问题之间有什么联系吗？

我们这节课就来研究这个问题，并学习利用这种关系解决相关问题的方法.

II.导入新课

我们首先来思考上面提出的两个问题.在问题1中，解方程2x+20=0,得x=T0.解

决问题2就是要考虑当函数y=2x+20的值为0时，所对

应的自变量x为何值.这可以通过解方程2x+20=0,得/y=2x+20

出x=T0.因此这两个问题实际上是一个问题./

/20

从函数图象上看，直线y=2x+20与x轴交点的坐标/

(T0,0),这也说明函数y=2x+20值为0对应的自变/

量x为-10,即方程2x+20=0的解是x=-10.________/

[活动—]口矿~Ox

活动内容设计：/

由上面两个问题的关系，大家来讨论思考，归纳概括出解一元一次方程与求自变量x

为何值时，一次函数y=kx+b的值为0有什么关系？

教师活动：

引导学生从特殊事例中寻求一般规律.进而总结出一次函数与一元一次方程的内在联

系，从思想上真正理解函数与方程的关系.

学生活动：

在教师引导下，通过自主合作，分析思考，找出这两个具体问题中的一般规律，从而经

过讨论，归纳概括出较完整的关系，还要从思想上正确理解函数与方程关系的目的.

活动过程与结论：

规律：

任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=O（k、b为常数，kWO）的形式.

而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，kWO）.当函数值为0时，即kx+b=O

就与一元一次方程完全相同.

结论：

由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=O（k、b为常数，kWO）的形式.所以解一元

一次方程可以转化为：当一次函数值为。时，求相应的自变量的值.

从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值.

四、精讲精练

精讲

例：一个物体现在的速度是5m/s,其速度每秒增加2m/s,再过几秒它的速度为17m/s?

解：方法一：设再过x秒物体速度为17m/s.由题意可知：2x+5=17

解之得：x=6.

方法二：速度y（m/s）是时间x（s）的函数，关系式为：y=2x+5.

当函数值为17时，对应的自变量x值可通过解方程2x+5=17得到x=6.

方法三：由2x+5=17可变形得到：2x-12=0.

从图象上看，直线y=2x-12与x轴的交点为（6,0）.得x=6.

总结：这个题我们通过三种方法，从方程、函数解

析式及图象三个不同方面进行解答.它是数与形的完美

结合，结果是相同的，这就是特途同归.

［活动二］

活动内容设计：

利用图象求方程6x-3=x+2的解.

活动设计意图：

通过这一活动让学生进一步熟悉用函数观点认识

一元一次方程的问题，进而加深对数形结合思想的认识与理解.

教师活动：

引导学生通过解决问题掌握方法，提高认识，从思想上真正理解数形结合的重要性.

学生活动：

在教师引导下用不同的思维方法来解决这一问题，从思想上理清数与形的有机结合.

活动过程与结论：

y

方法一：

我们首先将方程6x-3=x+2整理变形为5x-5=0.

然后画出函数y=5x-5的图象，看直线y=5x-5与x轴

的交点在哪儿，坐标是什么，由交点横坐标即可知方程的

解.

由图可知直线y=5x-5与x轴交点为（1,0）,故

可得x=l.

方法二：

我们可以把方程6x-3=x+2看作函数y=6x-3与

y=x+2在何时两函数值相等，即可从两个函数图象上

看出，直线y=6x-3与y=x+2的交点，交点的横坐标

即是方程的解.

由图象可以看出直线y=6x-3与y=x+2交于点（1,

3）,所以x=l.

练习

1.2x-3=x-2.2.x+3=2x+l.

解1.把2x-3=x-2整理变形为x-l=0.从函数

y=x-l的图象与x轴交点坐标上即可看出方程的解.

由图象上可以看出直线y=x-l与x轴交点为（1,

0）.

2.我们可以把x+3=2x+l看作函数y=x+3与

y=2x+l在自变量x取何值时函数值相等，反映在图象

上即直线y=x+3与y=2x+l的交点横坐标.由下图可知

交点为（2,5）.

x=2.

五、课堂小结：一次函数与一元一次方程之间的联系

六、作业：P1292

利用函数图象解出工・并隹算除检।

14.3.2一次函数与一元一次不等式

一、教学目标

1,认识一元一次不等式与一次函数问题的转化关系.

2.学会用图象法求解不等式.

3.进一步理解数形结合思想.

二、重点难点

教学重点

1.理解一元一次不等式与一次函数的转化关系及本质联系.

2.掌握用图象求解不等式的方法.

教学难点y|

图象法求解不等式中自变量取值范围的确定./

三、合作探究/=2x-4

I,提出问题，创设情境才%―我

我们来看下面两个问题有什么关系？y

1.解不等式5x+6>3x+10.A

2.当自变量x为何值时函数y=2x-4的值大于0?

在问题1中，不等式5x+6>3x+10可以转化为2x-4〉0,解这个不等式得x>2.

解问题2就是要解不等式2x-4>0,得出x>2时函数y=2x-4的值大于0.因此这两个问

题实际上是同一个问题.

那么，是不是所有的一元一次不等式都可转化为一次函数的相关问题呢？它在函数图象

上的表现是什么？如何通过函数图象来求解一元一次不等式？

以上这些问题，我们本节将要学到.

II.导入新课

［师］我们先观察函数y=2x-4的图象.可以看出：当x>2时，

直线y=2x-4上的点全在x轴上方，即这时y=2x-4>0./

由此可知，通过函数图象也可求得不等式的解为x〉2.1/

由上面两个问题的关系，我们能得到“解不等式ax+b>0”与-64

（方法1）

“求自变量X在什么范围内，一次函数丫=2乂+5的值大于0”之间

的关系，实质上是同一个问题.

由于任何一元一次不等式都可以转化的ax+b〉0或ax+b<0（a、b为常数，aWO）的形式,

所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大于（或小于）0时，求自变量相应的取

值范围.

四、精讲精练

例：用画函数图象的方法解不等式5x+4〈2x+10.

方法一：原不等式可以化为3x-6<0,画出直线y=3x-6

的图象，可以看出，当x<2时这条直线上的点在x轴的下

方.即这时y=3x-6〈0,所以不等式的解集为x<2.

方法二：将原不等式的两边分别看作两个一次函数，画出直线y=5x+4与直线y=2x+10

可以看出，它们交点的横坐标为2.当x〉2时，对于同一个x,直线y=5x+4上的点在直线

y=2x+10上的相应点的下方，这时5x+4〈2x+10,所以不等式的解集为：x<2.

以上两种方法其实都是把解不等式转化为比较直线上点的位置的高低.

从上面两种解法可以看出，虽然像上面那样用一次函数图象来解不等式未必简单，但是从

函数角度看问题，能发现一次函数.一元一次不等式之间的联系，能直观地看出怎样用图形

来表示不等式的解.这种函数观点认识问题的方法，对于继续学习数学很重要.

巩固练习

1.当自变量x的取值满足什么条件时，函数y=3x+8的值满足下列条件？

①y=-7.②y<2.

2.利用图象解出X：

6x-4<3x+2.

五、课堂小结：认识一元一次不等式与一次函数问题的转化关系.学会用图象法求解不等

式.进一步理解数形结合思想

六、作业：pl262pl294

2.利用函数图象弹出

(1)5x-】=2Lr+5;(2)6_r—4V3才+2.

，利用函数图象解不等式:

(1)5x—l>2x+5；(2)J—

14.3.3一次函数与二元一次方程(组)

一、教学目标

1.学会利用函数图象解二元一次方程组.

2.通过学习了解变量问题利用函数方法的优越性

3.经历观察、思考等数学活动，发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述观点.

二、重点难点

教学重点

1.归纳图象法解二元一次方程组的具体方法.

2.灵活运用函数知识解决实际问题.

教学难点

灵活运用函数知识解决相关实际问题.

三、合作探究

提出问题，创设情境

我们知道，方程3x+5y=8可以转化为y=-gx+=,并且直线y=-gx+g上每个点的坐标

(x,y)都是方程3x+5y=8的解.

由于任何一个二元一次方程都可以转化为y=kx+b的形式.所以每个二元一次方程都对

应一个一次函数，也就是对应一条直线.

3x+5y=8

那么解二元一次方程组

2x-y=l

38

可否看作求两个一次函数y=-=x+g与y=2x-l图象的交点坐标呢？如果可以，我们是

否可以用画图象的方法来解二元一次方程组呢？

四、精讲精练

例、一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以每分钟0.1元的价格按上

网时间计费；方式B除收月基费20元外再以每分钟0.05元的价格按上网时间计算.如何

选择收费方式能使上网者更合算？

教师活动：

引导学生从实际问题中抽象出具体的数学问题，并应用所学方法求解.

学生活动：

在教师引导下建立两种计费方式的函数模型，然后比较求解.

活动过程及结论：

过程一：

设上网时间为x分钟，若按方式A收费，y=0.lx元；若按B方式收费，y=0.05x+20

元.

在同一直角坐标系中分别画出这两个函数图象.

解方程组:

<^5r>'=0.05x+20

y=0.1尤，x=400,

y=0.05%+20.y=40.

400x

所以两图象交于点（400,40）,从图象上可以看出：

当0〈x<400时，0.lx<0.05x+20,

当x=400时，0.lx=0.05x+20,

当x>400时，0.lx>0.05x+20.

因此，当一个月内上网时间少于400分钟时，选择方式A省钱；当上网时间等于400

分钟时，选择方式A、B没有区别；当上网时间多于400分钟时，选择方式B省钱.

方法二：科