高中数学联赛真题分类汇编平面解析几何B辑(解析版)

备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)

专题16平面解析几何B辑

施雷国氟题:

1.12020高中数学联赛B卷(第01试)】在平面直角坐标系欠Oy中，圆。经过点(0,0),(2,4),(3,3),则圆Q上的

点到原点的距离的最大值为.

【答案】2V5

【解析】记4(2,4),8(3,3),圆。经过点。,4,8.注意到/。氏1=90。(直线OB与AB的斜率分别为1和-1),故OA为圆

0的直径.从而圆。上的点到原点。的距离的最大值为|0川=2V5.

2.12019高中数学联赛A卷(第01试)】设4、B为椭圆厂的长轴顶点，E、F为「的两个焦点，\AB\=4,\AF

|=2+8，P为上一点，满足|PE|•\PF\=2,则4PEF的面积为.

【答案】1

【解析】不妨设平面直角坐标系中的标准方程为马+4=l(a>b>0).

根据条件得a+yJa2—b2—\AF\—2+V3»可知a=2,b=\,

且由椭圆定义知|PE|+|PQ=2a=4,结合|PE|•|PF|=2得

\PE\2+\PF\2=(|PE|+|PF|)2-2\PE\■\PF\=12=\EF\2,

所以NEPF为直角，进而SMEF=3IP©•|PF|=1-

3.12019高中数学联赛B卷(第01试)】在平面直角坐标系中，若以(丹1,0)为圆心、/•为半径的圆上存在一点

(a,b)满足〃为小则r的最小值为.

【答案】4

2

【解析】由条件知(Q-r-+标="，故4a4b?="一(Q-r-1)2=2r(a-1)-(a-I).

即4—2(r—l)a+2r+140.

上述关于a的一元二次不等式有解，故判别式[2①-1)]2-4(2丁+1)=4«r-4)》0,解得尼4.

经检验，当/=4时，(a,b)=(3,2右)满足条件.因此〃的最小值为4.

4.【2018高中数学联赛A卷(第01试)】在平面直角坐标系X。)，中，椭圆cW+3=l(a>b>0)的左、右焦

点分别是FI『2，椭圆C的弦ST与L/V分别平行于x轴与y轴，且相交于点P.已知线段PU,PS,PV,PT的长

分别为1,2,3,6,则△PQB的面积为.

【答案】V15

【解析】由对称性，不妨设在第一象限，则由条件知句=!(|PT|-|PS|)=2,yp=1(|PV|-\PU\)=

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1,

即P(2,1).进而由Xp=|PU|=1,|PS|=2得U(2,2),S(4,1),

代入椭圆C的方程知4*+4*=16*+2=1,

解得a?=20,b2=5.

22

从而SAP&FZ=\,内初,\yp\=Va-b-yP=V15.

5.【2018高中数学联赛B卷(第01试)】设抛物线C:)，=2x的准线与x轴交于点A,过点8(—1,0)作一直线/

与抛物线C相切于点K,过点4作/的平行线，与抛物线C交于点M,N,则的面积为.

【答案】：

【解析】设直线/与MN的斜率为人，则，:x=1—l,MN:x=—

将/与C联立，得方程y2-£y+2=0,由条件知其判别式为零，故卜=±¥.

将MN与C联立，得方程y2-；y+2=0,

于是WM-yN\=J8M+y/-4yMyw=J]-4=2,

结合/与A/N平行，

可知SAKMN=S&BMN=FAB4M—=£'-1yM-"ll=22=2~

6.12017高中数学联赛A卷(第01试)】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为?+(=1,F为C的上

焦点，4为C的右顶点，P是C上位于第一象限内的动点，则四边形OAP尸的面积的最大值为.

【答案】岑

【解析】易知43,0)、F(0,1).设尸的坐标是(30)$0,，1^皿。),86(0,；),

则S四应施4PF=S^OAP+SAOFP=；,3•VlOsin0+1-1-3cos0

=|(-/lOsin©+cos0)=尊为叭。+<p).

其中p=arctan

当6=arctanVTU时，四边形QAPF面积的最大值为蜉.

7.【2017高中数学联赛B卷(第01试)】设a为非零实数，在平面直角坐标系xOy中，二次曲线/+。必+

a2=0的焦距为4,则a的值为.

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【解析】二次曲线的方程可以写成一马-e=1.

aza

显然必须有一AO,故二次曲线为双曲线，其标准方程为2-二=1.

(V-a)2(-a)2

222

则c?=(V—a)+(—a)=a—af

注意到焦距2c-4,可知。2一。=4,又a<0,所以。=上咨.

8.12016高中数学联赛(第01试)】双曲线C的方程为"一1=1,左、右焦点分别为尸］,尸2.过点尸2作一直线

与双曲线C的右半支交于点P、Q,使得NEP0=9O。，则AQPQ的内切圆半径是.

【答案】V7-1

【解析】由双曲线的性质知，后刍=2XV1T3=4,P&-PF2=QF、-QF2=2.

因/F/Q=90°,故PF：+P磴=F冏

22

因此PE+PF2=42(PF：+P碍)一(PF1一PF?)2=V2x4-2=2a.

从而直角△尸产。的内切圆半径是

r=i(F1P+P(?-F1Q)=i(PR+PF2)-QF2)=V7-1.

912015高中数学联赛(第01试)】在平面直角坐标系xOy中,点集K={(x,y)|(|x|+|3y|-6)(囹|+仅|一6

)<0}所对应的平面区域的面积为.

【答案】24

【解析】设Ki={(x,y)||x|+|3y|-6<0),

先考虑Ki在第一象限中的部分，此时有x+3y46,

故这些点对应于图中的△OCO及其内部，由对称性知，K对应的区域是图中以原点。为中心的菱形A8C。及

其内部.

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同理，设/={(x,y)||3x|+|y|-6<0},

则后对应的区域是图中以。为中心的菱形EFG”及其内部.

由点集K的定义知，K所对应的平面区域是被K，氏中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴

影区域的面积S

由于直线CD的方程为久+3y=6,直线GH的方程为3x+y=6,

故它们的交点P的坐标为(|,|),由对称性知S=8SACPG=8X|X4X|=24.

10.12014高中数学联赛(第01试)】设椭圆厂的两个焦点是B，F,,过点H的直线与「交于点P,Q,若|P

F2\=且3|PFJ==4|QFJ,则椭圆的短轴与长轴的比值为.

【答案】苧

【解析】不妨设|PFil=4,|Q&|=3,记椭圆厂的长轴、短轴的长度分别为2”，2b,焦距为2c,则IPF2I=

\FJ2\=2c,

且由椭圆的定义知2a=IQ&I+\QF2\=\PFt\+\PF2\=2c+4,

于是IQF2I=IP&I+\PF2\-\QF1\=2c+1,

设H为线段PFi的中点,则|"H|=2,|QH|=5,

且有F2W±PF|,由勾股定理知|。刍|2-IQ*?==|F#2『一出"2,

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即(2C+1)2-52=(2C)2—22,解得C=5,

进而a=7)=2遍，因此椭圆「的短轴与长轴的比值为2=乎.

a7

11.12013高中数学联赛(第01试)】若实数x,y满足x_4后=2jx-y,则x的取值范围是.

【答案】{0}U[4,20]

【解析】令6=a,J%-y=b(a,b》0),此时x=y+(x-y)=a?+垓，

且条件中等式化为a2+/-4a=2b,从而a,」满足方程(a-2尸+(b-=5(a,b>0).

如图所示，在aOb平面内，点(a,3的轨迹是以(1,2)为圆心，石为半径的圆在a,层0的部分，即点。与弧A

22

因此Va2+/)2e(0}U[2,2y[5],从而x=a+b&{0}U[4,20].

12.12012高中数学联赛(第01试)】抛物线)2=2px(p>0)的焦点为F,准线为/,A,B是抛物线上的两个动

点，且满足Z4FB=3设线段AB的中点M在I上的投影为N,则黑的最大值是____________.

3\AB\

【答案】1

【解析】解法一设N4BF=e(o<e<g),

则由正弦定理，得焉=谭丁捷

所以这

即锣=理铲=2.冶).

如图，由抛物线的定义及梯形的中位线定理，得|MN|=3普,

所以翳=cos(6冶)，故当”押，指取得最大值为1.

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解法二由抛物线的定义及梯形的中位线定理，得|MN|="詈，

在△△尸8中，由余弦定理，得

7T

\AB\2=\AF\2+\BF\2-2\AF\­\BF\cos-=（\AF\+\BF\）2-3\AF\'\BF\

》（MF|+|W-3（1^«）2==\MN\\

当且仅当|ZF|=|BF|时,等号成立.

故需的最大值为1.

13.12011高中数学联赛（第01试）】直线x—2y—1=0与抛物线产=4x交于A,B两点，C为抛物线上的一点,

ZACB=9O°,则点C的坐标为.

【答案】（1,-2）或（9,-6）

【解析】设4（X1，丫1）,8（%2，、2），8（产,2£）,

由|/=4x得V-8y-4=0,

贝如］+丫2=8,yiy2=-4.

又％i=2yl+I,%2=2%+1，

所以+&=2（%+%）+2=18,xrx2=4yly2+2（%4-y2）+1=1.

因为乙408=90°,所以互［•而=0,

即有（尸一%）（户一%2）+（2t-yi）（2t-y2）=0，

2

即1-+x2）t+xrx2+4产-2（yx+y2）t+yxy2=0,

即d-14产-16t-3=0,即（/+4t+3）（产-4t-1）=0,

显然产一41—1/0,否则户一2・2t-l=0,则点。在直线x-2y-1=0上，

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从而点C与点A或点B重合.

所以f2+4t+3=0,解得t1=—Lt2=—3.

故所求点C的坐标为（I，—2）或（9,—6）.

14.12010高中数学联赛（第01试）】双曲线/一丫2=1的右半支与直线户100围成的区域内部（不含边界）整点

（纵、横坐标均为整数的点）的个数是.

【答案】9800

【解析】由对称性知，只要先考虑x轴上方的情况，

设y=k（k=1,2,…,99）与双曲线右半支交于4，交直线x=100于即

则线段4为内部的整点的个数为99—k,从而在x轴上方区域内部整点的个数为2：二］（99-fc）=99x49=

4851.

又x轴上有98个整点，所以所求整点的个数为2x4851+98=9800.

15.12009高中数学联赛（第01试）】知直线L：x+y—9=0和圆/：2/+2）2—8n一8丫-1=0,点4在直线L上,

B,C为圆M上两点，在AABC中，N8AC=45。，AB过圆心M,则点A横坐标范围为.

【答案】3<a<6

【解析】设4（a,9-a）,则圆心M到直线4c的距离d=|4M|sin45°,

由直线AC与圆M相交，得d4亨，

解得34a46.

16.12009高中数学联赛（第01试）】椭圆l（a>b>0）上任意两点P，Q，若。PLOQ,则乘积|OP

|•|OQ|的最小值为.

【解析】设P(|OP|cos9,|OP|sin。)，Q(|OQ|cos(e±)|OQ|sin(e±9),

由点P,Q在椭圆上，有

1cos20sin20g

]^P=—+—①

1sin20cos20小

j^p=—+—②

①+②得流+嬴

于是当|OP|=|OQ|=电震时，IOPI•IOQI达到最小值黑•

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17.12006高中数学联赛(第01试)】己知椭圆?+?=1的左右焦点分别为Fi与尸2，点P在直线Lxy+

8+2g=0上.当4片尸尸2取最大值，窗的比值为___________.

\PP2\

【答案】V3-1

【解析】由平面几何知，要使NF/F2最大，则过耳，尸2〃三点的圆必定和直线/相切于点P.设直线/交X轴于4

(-8-2祗0),则乙4P&=Z.AF2P,

即A4PF1〜△AF2P，即料=耨①

又由圆幕定理|AP|2=.IAF2I②

而凡(一2倔0),尸2(2g,0)乂(一8-26,0),从而有|4&|=8,|4尸2|=8+475,

代入式①与②得踹=疆==百一。

18.12005高中数学联赛(第01试)】若正方形A8CO的一条边在直线产2x—17上，另外两个顶点在抛物线产

N上.则该正方形面积的最小值为.

【答案】80

【解析】设正方形的边A8在直线y=2%-17上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为CQi，%),D(x2,y2),则C

D所在直线/的方程y=2x+b,

将直线/的方程与抛物线方程联立，得/=2x+b,所以与,2=1±V^不工

2

令正方形边长为ci,则a?=(X1-x2y+(%-y2)

2

=5(万1—x2)=20(b+1)①

在上任取一点(6,-5),它到直线y=2x+b的距离为a,所以。=等②

将式①与②联立解得打=3,与=63,所以标=80或^=1280.

故amiM=80.

19.12004高中数学联赛(第01试)】在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(—1,2)和N(l，4),点P在x轴

上移动，当NMPN取最大值时，点P的横坐标为.

【答案】I

【解析】经过M,N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y=3上，

设圆心为S(a,3—a),则圆S的方程为(x-a)2+(y—3+a)2=2(1+。2).

对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减少而角度增大，所以，当NMPN取最大值时，经过M,

N,P三点的圆S,必与x轴相切于点尸即圆S的方程中的。值必须满足2(1+。2)=(a一3产，

解得a-y或a=-7.

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即对应的切点分别为尸（1,0）和尸（一7,0）

而过点M,N,尸的圆的半径大于过点M,N,P的圆的半径，所以NMPN>4MP，N,故点P（l,0）为所求，所

以点P的横坐标为1.

20.12003高中数学联赛（第01试）】设鼻,「2是椭圆?+?=1的两个焦点，P是椭圆上的点，且IPFJlPFzl=

2:1,则APFiFz的面积等于.

【答案】4

【解析】设椭圆的长轴、短轴的长及焦距分别为2a,2b,2c,

则由其方程知a=3,b=2,c=V5,故|PF/+\PF2\=2a=6.

又已知|PFJ:IPF2I=2:1,故可得IP&I=4,\PF2\=2.

在△PFiB中，三边之长分别为2,4,2遥，而22+42=（2遥产，

可见是直角三角形，且两直角边的长为2和4,

故△PQ3的面积=发「&|•|PF?|=[X2X4=4.

21.12001高中数学联赛（第01试）】椭圆的短轴长等于

2-COS0

【答案】等

【解析】由e=-=-,p=—=1及炉=a2—c?得b=—,

a2rc3

从而2b=

22.12000高中数学联赛（第01试）】在椭圆捺+\=l（a>b>0）中，记左焦点为F,右顶点为A,短轴上方

的端点为B.若该椭圆的离心率是竽，贝.

【答案】90。

【解析】对数据敏感就会发现£===士生迈亘是方程/+x_1=o的根，

a22X1

代入整理得c?+ac—a2=0,从而ac=b2,恰好符合射影定理，于是乙48F=90°.

23.11999高中数学联赛（第01试）】已知点P在双曲线总-?=1上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰

是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么，P的横坐标是.

【答案】

【解析】记半实轴、半虚轴、半焦距的长分别为a,6,c,离心率为e,点尸到右准线/的距离为d,则a=4,b

=3,c=5,e=a-=4

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右准线I为x=『=S

如果P在双曲线右支，则IPF1I=\PF2\+2a^ed+2a,

从而|PF/+|PF2|=（ed+2a）+ed=2ed+2a>2d,

而这是不可能的.

故P在双曲线的左支，有IPF2I-IPF/=2a,IPF2I+IP&I=2d,

两式相加，得2IPF2I=2a+2d,

又|PF2l=ed,所以d=£=六=16.

4

因此，P的横坐标为蓝一16=-费.

24.【1999高中数学联赛（第01试）】已知直线ar+6y+c=0中的a,b,c是取自集合｛-3,-2,—1,0,I,

2,3｝中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是.

【答案】43

【解析】设倾斜角为4则tan。=一?>0,

b

不妨设a>0,所以"0.

（l）c=0,a有3种取法，匕有3种取法，排除2个重复（3）—3），=0,法一2尸0与刀一产0为同一直线），故这样的直

线有3x3—2=7（条）

（2）存0,则“有3种取法，h有3种取法，c•有4种取法，且其中任意2条直线均不相同，故这样的直线有3x3x

4=36（条）.

所以符合要求的直线有7+36=43（条）.

25.11998高中数学联赛（第01试）】若椭圆/+4（7—砂2=4与抛物线/=2丫有公共点，则实数。的取值范

围是.

【答案】—14Q47

【解析】解法一由一+4（y—a）2=4可设％=2cos0,y=a+sin。，

代入/=2y得4cos2。=2（a+sin。），

所以Q=2cos2。-sin6=2-2s\n20—sin6=-2（sin®+（）+£,

2

因为-1<sin®41»所以。《（sin。+［）<从而—14Q<—.

解法二题目条件等价于方程2y+4（y-a）2=4有非负解.

此即方程方一（2Q-3y+彦一1=0有非负解.

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故有d=卜。—3)—4(Q2—1)=?-2Q>0,2a—14-—2Q>0,

解得—14Q(J

26.11997高中数学联赛(第01试)】双曲线/-1=1的右焦点作直线/交双曲线于A,8两点，若实数入使

得|48|=4的直线/恰有3条，则;1=.

【答案】4

【解析】首先，应注意到下列结论：过双曲线/-9=1的右焦点且与右支交于两点的弦，

当且仅当该弦与x轴垂直时，取得最小长度等=4.

(事实上，该双曲线的极坐标方程为P=T~F，又设AB是过右焦点F仅与右支相交的弦，A(,e),8(02，兀

1—V3COSaP1

+6)3>0,p2>0),

则|4B|=/9I+P2=—J--d---J--=---上后>4,当。=£时，等号成立).

11l-^3cos01+V3cos01-3COS202'

其次，满足题设条件的宜线恰有三条时，只有两种司.能：

(1)与双曲线左、右两条都相交的只有一条，而仅与右支相交的有两条.此时，与双曲线左右两支都相交的必是X

轴，而其两交点的距离为%=2,但仅与右支相交的两条弦的长;1>4,这不满足题设条件；

(2)与双曲线左、右两支都相交的有两条，而仅与右支相交的只有一条，且这条弦必与x轴垂直(否则，由对称性

知仅与右支相交的有两条弦)，此时|48|=4=4且与双曲线左、右两支都相交的弦长也可满足这个条件，所以；I

=4.

27.11996高中数学联赛(第01试)】曲线C的极坐标方程是p=1+cos。，点4的极坐标是(2,0).曲线C在它

所在的平面内绕4旋转一周，则它扫过的图形的面积是.

【答案】yrr

【解析】f(6)=1+cos。.由于2=14-cosO,

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所以点A在曲线。上，为求所扫过的面积，关键算出。上一点到A的最大距离.对C上一点8(l+cos。,。)，有

\AB\2=(1+cos0)2+4—2x2(1+cos0)cos0

2

=5—2cos6—3cos2。=y—3(cos8+0<y.

当COS。=-i,等号成立.所以H8I最大值是J],

那么扫过的面积是以A为圆心，半径为住的圆，面积为97r.

y33

28.11994高中数学联赛(第01试)】己知点集4={(x,y)|Q-3产+(y-4)24(|)},8=((久,y)|(x-4

)2+(y-5)2>(I),},则点集AB中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为.

【答案】7

【解析】如图所示，圆E,尸交于M,N两点，整个图形关于

连心线EF成轴对称图形，其中AC8是左下靠近

原点。的一个月形S,S中整点横坐标x可以是

1,2,3,4,纵坐标y可以是2,3,4,5,对称轴EF穿

过新月形S,经计算可知仅通过一个整点CM2,3).

新月形S中横坐标为I的格点有3个6(1,5),。2(1,4),。3(1，3).

这三点的轴对称点顺次是。5(2,2),。6(3,2)，3(4,2).

故共有7个整点.

29.【1992高中数学联赛(第01试)】函数/'(x)=*一3/一6%+。3-*一产+1的最大值是

【答案】V10

【解析】由/(%)=Vx4—3x2—6x+13-Vx4—%24-1=y/(x—3)2—(x2—2)2—yjx2+(%2—l)2,

可知函数y=/(x)的几何意义是：

在抛物线产c2上的P(x,/)分别到点4(3,2)和点8(0,1)的距离之差.

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因点4在抛物线下方，点8在抛物线上方，故直线A8和抛物线相交，

(y=X2

交点由方程组3=0决定，

G-013-0

消去y得方程3/—无—1=o.

由于该方程常数项为负，故方程必有负根.

因三角形两边之差小于第三边，所以，当点P位于负根所对应的交点C时，次的有最大值|48|=何.

30.11990高中数学联赛(第01试)】设A(2,0)为平面上的一定点，P(s加(2f-60°),cos(2f—60°))为动点,则当

f由15。变到45。时，线段4P所扫过的图形的面积是.

【答案】

【解析】因。产=1,故点尸在单位圆上变动，始点Pi(-：,冬，终点外

图中阴影部分面积是所求面积.

因为S/1P104=S4P204，所以SA%OB—^^P2BA-

故所求面积为:5扇施吩2=”卷建

31.11987高中数学联赛(第01试)】已知集合4={(x,y川x|+|y|=a,a>0},B={(x,y川切+1=田+|训}.

若4nB是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则a的值为.

【答案】2+/或近

【解析】点集A是由顶点为(。，0),(0,A),(-a,0),(0,一。)的正方形的四条边构成(如图).

将优y|+1=+|y|变形为(|二一l)(|y|-1)=0.

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所以，集合8是由四条直线x=±Ly=±1构成.

欲使AAB为正八边形的顶点所构成，只有a>2或1<«<2这两种情况.

(1)当。>2时，由于正八边形的边长只能为2,显然有&a-2&=2,故a=2+a.

⑵当1<«<2时，设正八边形的边长为1,则，cos45°=W，1=242-2.

这时，a=V2.

综上所述，a的值为2+四或鱼(图中4vL0),B(2+V2,0)).

32.11984高中数学联赛(第01试)】如图，AB是单位圆的直径.在4B上任取一点。，作。C_LAB,交圆周于

C.若点。的坐标为(x,0),贝IJ当xe.时，线段A。，BD,8可构成锐角三角形.

【答案】(2-石，遥一2)

【解析】因为二条线段4D,BD,CO构成锐角三角形的充要条件是其中最大线段的平方小于另两条线段的平方

和.由对称性，不妨假设0<x<1,则三条线段中AD为最大.所以它们必须满足AU<BD2+CD2

因为CO是4),8。的比例中项，PJfl^CD2=AD-BD.

又因为4D=1+x,BD-1-x,于是得(1+x)2<(1—x)2+(1+x)(l—x).

化简得/+4x-1<0.

所以0《％<-2+迷，所以xe(2-病，6一2).

蹦麓际题园颂编

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1.与双曲线J—卷=1有共同的渐近线，且经过点（-3,2遮）的双曲线方程是.

【答案】竺！一些=1

94

【解析】

设9一卷=上将（一3,2/）代入求得;I=;•双曲线方程是殍一?=1.

2.圆心在抛物线/=2y上，并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的方程为.

【答案】（%+1）2+（7_}2=1和（＞_1）2+3_}2=1

【解析】

抛物线/=2y的准线方程为y=-1.

设所求圆的圆心为（Xo，y（））,则四=2y0,且|比|=y0+|«解得卅=±1.y0=p

故所求圆的方程为(x±I)2+(y-1)2=1.

故答案为：。+I)2+(y-1)2=1和(x-I)2+(y-J)2=1

3.双曲线1一马=1的右焦点为F,离心率为e,过点尸且倾斜角为g的直线与该双曲线交于点A、B,若A8的

2

a2b3

中点为M，且下M等于半焦距，则。=.

【答案】V2

【解析】

设点4（%1，%）8（%2，%）,时（%0，%）,则意-差=1舂-曰=L

图（工1+%2）（%1-％2）_（力+，2）（九一段）=0,

两式相减,1号得便

所以48的斜率为人瑞=合3

又|FM|=c,ZxFM=p所以M点的坐标为(|c,*).

所以与=包2=1,所以e=£=|1+?=壶.

aX。ayja2

故答案为：V2.

4.若AQAB的垂心恰是抛物线V=4x的焦点，其中。是原点，A、B在抛物线上，则AOAB的面积5=

【答案】10V5

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【解析】

抛物线的焦点为F(l,0).因尸为△048的垂心，则。尸JLA8,

故可设4、B的坐标为A(a2,2a),B(a2,-2a)(a>0).

于是OA的方程为ay=2x,k0A=

B尸的斜率据〃BF-/COA=—1,得a=病，

因此4B=4V5.h=a2=5,所以加祁=10%/5.

故答案为：10遍.

5.在平面直角坐标系内，已知抛物线)TuaQO)与圆(x-a)?+(y-b)2=产至少有3个公共点，其中一个是

原点，另外两个在直线产上，那么实数b的最小值是.

【答案】2

【解析】

由已知。2+》2=/，｛,二""人得AM—kx-b=0①

y=kx+b

由｛0~a)2y=^=产得印2/“kb-l)z-2a]=0.②

由于①的解均是②的解，所以有k/一kx-b\k2x3~(2kb-l)x-2a,

故6=卜+?》2,当仁1时等号成立.

故答案为：2.

6.若直线2x+y-2=0与直线x+my-1=0互相垂直，则点P(m,m)到直线x+y+3=0的距离为

___.

【答案】史

2

【解析】

直线2x+y-2=0的斜率为kt=-2,直线x+my-\=O的斜率为心=一3

因为两直线互相垂直，所以(-2)x(-5)=-1，解得加=2

故P(-2,-2),所以点尸到直线x+y+3=0的距离为白色=乌

V22

故答案为:乌

2

7.已知aABC为椭圆注+些=1的内接三角形，且AB过点P(l,0),则△A8C的面积的最大值为.

94

【答案】2

3

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【解析】

提示：经伸缩变换得△A'B'C内接于圆X2+»=l,Ab过点〃(；,0).

S4ABe=65“B，C，，设。'到Ab的距离为t,

则04t([,M'B'I=2VT^,S“，B，C，(VF7?7•(1+t),

易知当t=g时，S“8，c，有最大值为竽，所以%tBC的最大值为胃.

故答案为：

3

8.设。是实数，关于z的方程(z2-2z+5)(z2+2az+l)=0有4个互不相等的根，它们在复平面上对应的4个点共

圆，则实数”的取值范围是.

【答案】{a|-l<a〈l}U{-3}

【解析】

由z2—2z+5=0,得Z]=1+212=1—2j.

因为z2+2az+l=0有两个不同的根，所以△=4(。2—1)#),故存±1.

若△=4(〃2—1)<0,即一1<°<1时，Z3,4=—a±VT^-因为Z1，Z2，Z3，Z4在复平面上对应的点构成等腰梯形或者矩

形，此时四点共圆，所以，—l<a<l满足条件.

若△=4(/-1)>0,即同>1时，z3,4=-a土是实根，在复平面上对应的点在实轴上，仅当大、Z2对应的

点在以Z3，Z4对应的点为直径的圆周上时，四点共圆，此圆方程为。-学)2+y2=(专1),

整理得/-⑵+zjx+Z3Z4+y2=0,即炉+2办+1+)2=0,将点(1,±2)代入得a=-3.

综上所述，满足条件的实数a的取值范围是{。|一1<“<1)U(-3).

故答案为：{a|TQ<l}U{-3}.

9.若实数x、y满足x-4后—2jx-y,则x的取值范围是.

【答案】{0}U[4,20]

【解析】

令柄=a,Jx-y=b(a、b>O'),此时，x=y+(x-y)=a2+b2,

且题设等式化为a?+〃-4。=2b.

于是，a、b满足方程(a-2尸+(b-1)2=5(a、b>0).

如图，在aOb平面内，点(a,b)的轨迹是以。(1,2)为圆心、病为半径的圆在a、匕20的部分，即点。与弧旭8并

集.

故旧+炉e{0}U[2,275].

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从而，x=a2+b2e{0}U[4,20].

10.已知P为抛物线y2=2x上的动点，点B、C在y轴上，（为一1尸+/=i是4PBC的内切圆.则丛咏最小值

为•

【答案】8

【解析】

设P®），%）、8（0,办C（0,c）,

不妨设b>c,lpB：y一b=今上》，即（7o-b）x-x（）y+x（）b=0.

\yo-b+xob\_[

又圆心（1,0）到PB的距离为1,即卜-―.

）（））2

故仇-b2+就=y0-b2+2xob（yo-b4-x^b.

易知x（）>2,上式化简得（%o-2）炉+2yob-x0=0.

同理，Oo-2”2+2y（）c-&=0.

所以，b+c=含阮/则"）2=哨落

因为P（Xo，y。）是抛物线上的点，所以，%=2x0.则@-c）2=Tj=b-c=2・

（和孙-2

故SAPBC=[3-c）&=-p--x=（x-2）+-^―+4>2a+4=8.

2XQ-20XQ-02

当（x（）—2）2=4时，上式取等号，此时，x0=4,yQ=±2V2.

因此，S“BC的最小值为8.

11.若点PQo,%）对椭圆E:立+*=1与双曲线从/一叱=1的切点弦互相垂直，则各=________。

44人。

【答案】±1

【解析】

点P（xo，y。）对椭圆E与双曲线H的切点弦所在直线方程分别为华+yy0=1,xx0-^=i.

由这两条直线垂直知G，%）,=o=瑶一据=o=自=±1.

故答案为：±1

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12.己知双曲线冬―，=l（a>b>0）的两个焦点分别为4（一1,0）,5（1,0）,过点B的直线I与该双曲线的右支交

于M、/两点，且4AMN是以N为直角顶点的等腰直角三角形，则该双曲线的实轴长为.

［答案J2J85+34«

17

【解析】

由双曲线定义知—|BM|=2a,①

|4N|-\BN\=2a.②

由题设得14Ml=V2\AN\=V2\MN\=V2(|BM|+|BN|).

结合式①、②得|AM|=4a,\BM\=2a.

在4AMB中，由余弦定理得

222222

\AB\=\AM\+\MB\-2\AM\\MB\COS450=4=16a+4a-8V2a

,_1_5+2A/2„2仆5+34在

=a^2a=——

13.平面直角坐标系中，直线Z过双曲线/一y2=i的一个焦点，且与双曲线交于4、B两点.若以48为直径的圆

与y轴相切，则|AB|=.

【答案】2+2V2

【解析】

易知，双曲线/-y2=1的两个焦点为（±&,0）.

不失一般性，设直线，过右焦点（夜,0）.

（1）当48与x轴不垂直时，设直线，的方程为y=k（x—&），将其代入双曲线方程并整理得（1一/）/+2四42

x-（2/c2+1）=0.

显然，k*±1.

设4（Xi，yi）,8（X2,丫2）•则小、&是上述一元二次方程的两根.

由韦达定理知X1+%2=姜1，X/2=翟孑

故由弦长公式得|AB|=«^后出一超1-"2）2+4（1*）（2/+5=辛舒

另一方面，线段4B的中点M到y轴的距离d=|华|=离.

若以AB为直径的圆与y轴相切,则|48|=2d,

即^^=2・离=必=1+企=|4B|=^^=2+2V1

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（2）当AB与x轴垂直时，直线2的方程为x=&,点4、8的坐标为（谊,±1）,48的中点M到y轴的距离4=

我>1,不符合相切的条件.

综上，线段AB的长为2+2VT

14.己知△ABC三个顶点均在抛物线*=2px（p>0）上，且△4BC的重心恰为抛物线的焦点.若边BC所在直线方

程为4x+y—20—0,则p=.

【答案】p=8

【解析】

设4篇,女）、B篇,旷2）、C篇,丫3）.

由4.二案o=2y2+py-2op=o.

%+为=一々①

由已知得篙+^+号3={^3=-10P@

%+为+丫3=°yi++乃=°③

yl+yl+yl=3P?④

由式①、③得力=今

代入式④与①、②联立解得p=8.

15.设4（0"））是椭圆搐+，=l（a>b>0）的一个顶点，已知直线y=》一3与椭圆交于P、Q两点，且4APQ

的重心是椭圆的右焦点。则椭圆的右焦点坐标为。

【答案】（文浮,0）

【解析】

如图，设「6，%）、Q（x2,y2）,椭圆的右焦点F（c,0）。

则由44PQ的重心公式有c=空，0=齿匕

从而，%1+%2=3c,%+丫2=一氏①

将看+4=1,岑+空=1,相减得gf）片次）+佻二铝"出=0。

a2b2a2b2a2b2

又洛=1,则1+空=0=与+?=o=a2=3阮.②

a2bzazb2

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由式①知PQ的中点一9。

因为点M在直线PQ上，所以，一^=募一3=6+3c=6.③

由a2=b2+c2及式②、③消去a、b得

(6-3c尸+c2=3(6-3c)c=>19c2-54c+36=0。

解得c=淮!。

19

但由式③有c<2,则°=生辿。

19

故右焦点坐标为(号立,0).

16.设过点M(2,0)的直线，与抛物线y2=轨交于点儿B,与圆(X—4.5产+y2=知交于点c、D。若|4C|=|BD|

且|4B|H|C0|,则直线(的方程为。

［答案］x=2,y—2x+4=0,y+2x—4=0

【解析】

在4、B、C、。的24中排列中,同时满足14cl=|BD|且|AB|叩|CO|的有如下8种:A,C,D,B;A,D,C,B；B,C,

D,A；B,D,C,A；C,A,B,D；D,A,B,C；C,B,A,D；D,B,A,C.

它们的共同特点是，线段48与线段CD的中点重合。

设直线l:x=my+2.①

将直线2与抛物线y2=4x联立，消去x得关于y的一元二次方程必一4my一8=0。

于是，48中点的纵坐标为尢=2mo

同理，CD中点的纵坐标为y'0=而翟石。

由48与CD的中点重合得27n=就不。

从而，m(4m2-1)=0=>m=0,±1,,

所以，满足条