高中数学第八章《立体几何初步》提高训练题 28(含答案解析)

第八章《立体几何初步》提高训练题（28）

一、单项选择题（本大题共7小题，共35.0分）

1.在三棱锥P-4BC中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且48=2,PA=PC=的,

PB与底面ABC所成的角的余弦值为竽，则三棱锥P-ABC的外接球的体积为（）

C.97r

如图，四棱锥S-ABC。中，底面是正方形，各侧棱都相等，记直

线S4与直线4。所成角为a,直线SA与平面ABC。所成角为/?,

二面角S-4B-C的平面角为y,则

A.a>0>丫K

彳

B.y>a>p

C.a>y>P

D.y>p>a

3.己知三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且尸A、PB、PC的长分别为以a、6、c,又（a+b）2c=

16夜，侧面PA8与底面ABC成45。角，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为（）

A.10?rB.407rC.207rD.187r

4.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱%&

（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”.如图，三棱柱4BC-4

48传1为一个“堑堵”，底面EMBC是以AB为斜边的直角三角形且/：

AB=5,4c=3,点P在棱BBi上，且PC1PCr当13apG的面积：：，'夕

取最小值时，三棱锥P-ABC的外接球表面积为（

45湘开

C.3077

D.I-lT

5.平面a过正方体ABCD-4氏加劣的顶点A,BC11a,点E、尸分别为44、CC1的中点，C^G=

2E，若aC平面ABCD=m,an平面EFG=n,则直线机与直线〃所成角的正切值为（）

6.将直角三角形ABC沿斜边上的高A。折成12（）的二面角，已知直角边48=4%，4c=4病，

下面说法正确的是（）

A.平面ZBC，平面ACD

B.四面体。—4BC的体积是苧逐

C.二面角4-BC-0的正切值是?

D.BC与平面AC。所成角的正弦值是更

14

7.正方体4BCD—&B1C1D1中，过点A作平面&B0的垂线，垂足为点H.以下结论中，错误的是（）

A.点，是AAiBO的垂心B.4"_1平面。81。1

C.A”的延长线经过点GD.直线A”和BBi所成的角为45。

二、多项选择题（本大题共9小题，共36.0分）

8.在棱长为2的正方体4BCD中，E为BB1的中点，P为四边形。。口久内一点（包含边

界），若P4〃平面AEC,则下列结论正确的是

A.P41BD、B.三棱锥&-P&B的体积为定值

C.线段PA1长度的最小值为等D.N4PD1的最小值是45°

9.如图1,四边形ABCD是边长为4的菱形，现将△4BC沿对角线4c折起，连接BD,形成如图2

所示的四面体A8CD,在图2中，设棱AC的中点为M,的中点为N,下列结论正确的是（）

A.AC1BD

B.若AC=4或，则四面体A8C£＞的外接球的半径为2企

C.若AC=4企，则四面体A8CZ）的体积的最大值为16企

D.若力C=4,且四面体A8CZ）的外接球的球心在四面体的内部，则线段长度的取值范围

为（2,2百）

10.已知直三棱柱ABC-A/iG中，AB1BC,AB=BC=BB「力是AC的

中点，。为41c的中点,点P是BG上的动点，则下列说法正确的是（）

A.当点尸运动到Bq中点时，直线4P与平面41B1G所成的角的正切值为

V5

B.无论点P在BCi上怎么运动，都有4P10当

C.当点P运动到叫中点时，才有&P与。Bi相交于一点，记为Q,且詈=：

D.无论点P在BCi上怎么运动，直线&P与AB所成角都不可能是30°

11.佩香囊是端午节传统习俗之一.香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效.因

地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目.图1的平行四边

形ABC。由六个边长为1的正三角形构成.将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的

香囊.那么在图2这个六面体中（）

A.AB与CD是异面直线B.AB与CD是相交直线

C.存在内切球，其表面积为以D.存在外接球,其体积为野兀

12.在正方体ABCO-AiBiGDi中，AB=2,E、F分别为BB>C。中点，P是BQ上的动点，则下

列说法正确的有（）

B.三棱锥P-AEDi的体积与点P位置有关系

C.平面AEDi截正方体4BC。-公&6。的截面面积为1

D.点占到平面AE£）i的距离为直

13.如图，在正方体ABCD4B1GD1中，点P在线段&C上运动，则下列结论正确的是（）

A.直线3D1JL平面&GD

B.三棱锥P&GD的体积为定值

C.异面直线4尸与&D所成角的取值范围是弓,丹

D.直线C】P与平面所成角的正弦值的最大值为当

14.已知图1中，A,B,C,。是正方形EFG”各边的中点，分别沿着AB,BC,CD,D4把△A8F,

△BCG,△CDH,AaDE向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面ABCQ垂直，再顺次

连接EFGH,得到一个如图2所示的多面体，贝女）

A.A4EF是正三角形

B.平面AEF_L平面CGH

C.直线CG与平面AEF所成角的正切值为企

D.当4B=2时，多面体ABC。-EFG，的体积为|

15.如图，在正方体ABC。一43修1。1中，点P在线段BQ上运动,

则下列判断中正确的有

A.平面PBi。_L平面力CD】

B.4P〃平面力CD】

C.异面直线公尸与所成角的取值范围是（0,外

D.三棱锥久-4PC的体积不变

16.我国古代仇章算术少中将上、下两个面为平行矩形的六面体成为刍童.如图刍童4BCD-EFGH

有外接球，且AB=5,AD=>f7,EF=4,EH=2.平面A8CD与平面EFGH的距离为1,则下列

说法中正确的有（）

A.该刍童外接球的体积为36兀

B.该刍童为棱台

C.该刍童中AC,EG在一个平面内

D.该刍童中二面角B—AD—H的余弦值为更

5

三、填空题（本大题共7小题，共35.0分）

17.在梯形ABCD中，AD//BC,AB1BC,AD=2AB=2BC=2,

将么ABC沿对角线AC翻折到△力MC,连结MD.当三棱锥M-ACD的

体积最大时，该三棱锥的外接球的表面积为

——

18.分别为菱形ABC。的边BC,CD的中点，将菱形沿对角线AC折BL------得

起，使点。不在平面ABC内，则在翻折过程中,以下命题正确的是___________.（写出所有正

确命题的序号）

D

Ozz

AA

①MN〃平面ABD；②异面直线4C与所成的角为定值：③在二面角D-4C—8逐渐渐变

小的过程中，三棱锥。-4BC的外接球半径先变小后变大；④若存在某个位程，使得直线

与直线BC垂直，则的取值范围是（0《）.

19.如图是一正方体的表面展开图.B、N、。都是所在棱的中点.则在原正方体中①MN与CD异面;

②MN〃平面PQC；③平面MPQ1平面CQN；④EQ与平面AQB形成的线面角的正弦值是|；⑤

二面角M—BQ—E的余弦值为:其中真命题的序号是.

20.如图，已知在正方体ABC。一冬当加为中，4B=4,点E为棱CG上的一个动点，平面BE%与

棱4公交于点尸，给出下列命题：

①无论E在CG如何移动，四棱锥/-BE/F的体积恒为定值；

②截面四边形BED/的周长的最小值是84；

③当E点不与C,G重合时，在棱AO上恒存在点G,使得CG〃平面BE。1；

④存在点E,使得&D1平面ADiE；

其中正确的命题是.

21.我国古代数学名著仇章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱

）称之为“堑堵”.如图，三棱柱ABC—aBiG为一个“堑堵”，底面ZL4BC是以AB为斜边的直

角三角形，且48=5,4c=3,点P在棱B区上，且PC1PG，当ZL4PG的面积取最小值时，

三棱锥P-4BC的外接球的表面积为.

22.如图是一正方体的表面展开图8、N、Q都是所在棱的中点.则在原

正方体中(1)MN与CD异面；(2)MN〃平面PQC；(3)平面MPQ1平

面CQM(4)EQ与平面AQB形成的线面角的正弦值是|；(5)二面

角M-BQ-E的余弦值为，其中真命题的序号是

23.下列四个命题正确的是

(X)a//b,b〃c=Q〃C(2)a1b,b工c0alic

(3)a//a,bua=Q〃匕(4)a//6,b//aa//a

四、解答题(本大题共7小题，共84.0分)

24.如图，在四棱锥尸一48CD中，底面ABCO为直角梯形，其中=PC=AD=

2CD=^AB=2,点E在线段4。上，DE=ADA(O<A<1),CEJL平面PBC.

p

(1)求;l的值；

(2)求点B到平面PCE的距离.

如图，已知多面体，均垂直于平面

25.ABC&BiGArA,B$,QCABC,AABC=120%41A=4,

CrC=1,AB=BC=B]B=2.

B

⑴证明:平面为B1G；

⑵求直线4G与平面ABB1所成的角的正弦值.

26.如图，四棱锥P-4BCC的底面为正方形，PZ)，底面4BCD.设平面与平面P8C的交线为

(1)证明：11平面PDC;

(2)已知P0=4C=l,。为/上的点，求PB与平面QCQ所成角的正弦值的最大值.

27.如图(1)所示，在直角梯形2CEF中，BFHCE,Z.FBC=90°,CE=2BF=4,BC=L点A,

。分别是线段BF和CE上的动点，且4D//BC.将四边形AOEF沿AO翻折后成多面体A8CCEF,

如图(2)所示.

(1)求证：BF〃平面CCE；

(2)若平面4DEF_L平面ABCD,多面体4BCDE尸的体积为点求C£＞的长.

28.如图，点C是以AB为直径的圆上的动点(异于A,B),已知48=2,AE=小，四边形BEDC

为矩形，平面ABC1平面BCDE.设平面EAD与平面ABC的交线为I.

AB

(1)证明：11平面AC。；

(2)当三棱锥4-BCE的体积最大时，求平面AOE与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.

29.如图，在四边形48CZ）中，AB//CD,4ABD=30°,AB=2CD=2AD=2,DE1平面A8CD,

EF//BD,ELBD=2EF.

(I)求证：平面ADE，平面BDEF；

(II)若二面角C-BF-。的大小为60。，求CF与平面ABCD所成角的正弦值.

30.如图所示，直角梯形ABC。中，AD//BC,4014B,AB=BC=2AD=2,四边形EDCF为矩

形，CF=V3.平面EDCF1平面ABCD.

(/)求证：DF〃平面ABE；

(〃)求平面A8E与平面EFB夹角的余弦值.

(〃/)在线段。尸上是否存在点P,使得直线8P与平面A8E所成角的正弦值为手，若存在，求出

线段8P的长，若不存在，请说明理由.

【答案与解析】

1.答案：A

解析：

本题考查了等腰三角形的性质、球的体积计算公式、余弦定理、线面面面垂直的判定与性质定理，

考查了推理能力与计算能力，属于较难题.

如图所示，取AC的中点。，连接BO,PD.由BC=4C,PA=PC,利用等腰三角形的性质，线面垂

直的判定定理即可得出：4cL平面P2D,进而得出：平面PBD_L平面A2C,可得为PB与底

面48c所成的角，其余弦值为苧.在APBD中，设PB=x,利用余弦定理可得：X.由PB=3,取PB

的中点0,连接0。，利用余弦定理可得00，可得点0为三棱锥P-ABC的外接球的球心，即可得

出外接球的体积V.

解：如图所示，取AC的中点。，连接B。，PD.

■：BC=AC,PA=PC,

■■■AC1BD,AC1PD.BDHPD=D,BD,PDu平面P8O,

AC1平面PBD,又ACu平面ABC,

・•・平面PBO_L平面ABC,

LPBD为PB与底面48c所成的角，其余弦值为也.

3

AC==2V2•

PD=yjPA2-AD2=W，

在4PBD中，设PB=x,由余弦定理可得：cos乙PBD=—=>+（尤*（叫

32V2x

解得x=3,即PB=3,取尸B的中点。，连接。£>,则0。2=（@2+（|）2-2X/X|X¥=[,

解得。D=

0D2+DB2=OB2,OD1DB.

可得点。为三棱锥P—ABC的外接球的球心，其外接球的半径r=|,体积昨等x(|)3=等.

故选A.

2.答案：C

解析：

【试题解析】

本题考查异面直线所成角、直线和平面所成角和二面角的概念和计算，属于中档题.

过S作SO,平面ABC。，过。分另I］作F,连接。4,SE,SF,贝U

ZS.4Fn,ZS.4O3、£SEO二7,应用正切函数知识求解，而后比较大小，即可得出答案.

解：如图，过S作SO_L平面4BCD,过。分别作OE_LAB.OF_L.4O于E、F,连接O4,SE,SF,

则ZSAF=a,£SAO=卅NSEO=7，

因为tan£=当<tany=巳所以0<y,

UAUt,

因为tany=能Vtana=彩所以yVa,

OEAr

综上可得，a>y>p,

故选C.

3.答案：A

解析：

本题考查基本不等式：a2+b2>2ab,三棱锥的体积公式，线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，

二面角的平面角.属于中档题.

V=3abc(Lx“a+b)2c="=*,当a=b时取”="，即a=b时，三棱锥的体积最大.过户

664243

作底面4BC的垂线，垂足为0,连接C。并延长交AB于。，并连接PO,能够说明NPDC是侧面P4B

和底面ABC所成二面角的平面角，所以NPDC=45。.在直角三角形中，根据边角的关系可求得c=熠,

2

由体积求得。的值，再求出外接球的半径，利用表面积公式求解.

解：如图，

因为(a+b)2=a2+2ab+炉》4a6(当且仅当a=b时取等号)，

根据已知条件得：V=|abc<|xi(a+b)2c=噤=苧(当且仅当a=b时取等号)，

过户作底面A8C的垂线，垂足为0,连接C。并延长交AB于。：

•••PC1PA,PC1PB,PAQPB=P；

PC_L平面PAB,ABu平面PAB；

•••PC1AB,BP/IF1PC；

又PO1底面ABC,ABu底面ABC-,

•••POLAB,即AB_LP。，PCnP0=P；

AB1,平面PCO,COu平面PC0-.

•••ABLCO,即4BJ.CD,连接PC,•••4B1PO,AB1.CD,CDnPO=0；

AB_L平面PCD,PDu平面PCD；

ABLPD,"DC是侧面PAB与底面ABC所成二面角的平面角，；.乙PDC=45°；

.,•在RtaPCD中，/.CPD=90°,Z.PDC=45°,

_yj2ay/2a

PC=c=PDtan450=——•tan45°=——

22

•1.V~-abc=—a3=—，解得：a=b=2,c=V2.

6123

•••外接球的半径为，az+bz+cl=卜+22+两=叵,

2~2-2

•••外接球的表面积为47rx（乎）IOTT.

故选A.

4.答案：D

解析：

本题考查几何体外接球的表面积计算，注意根据几何体的特征，合理确定球心的位置，属于较难题.

令4PCB=e=4CiPBi，则C/=白，CP=^-,4P=卜+d)2=+$

11sm0coseykcos077cos20

2

可得SAAPC=-C1P-AP=/164+^-+64tan0,当且仅当卢聂=64taM9时,

22

△A尸52iqtan0tan0

SMPQ取最小值，42=36.可得42为外接球直径，即可求解；

解：令乙PCB=8=cC\PBi，

则GP=T—r,CP=——r,AP-)9+(――r)2=19H—

smOCOS。yj、cos6，7COS20

又因为AC_L平面CBBiG，GPu平面CBBiG

所以ACiqP,

又CPICiP,ACQCP=C,AC,CPu平面ACP

所以GP_L平面ACP,­：APu平面ACP,

所以4C1PA=90°.

/4(sin20+cos2^)/g16(sin20+cos20)J(4+^^)(25+16tan261)=J164++64tan26(

{sin20dcos20

当且仅当热=64tan2。时，S^pq取最小值，

此时tan。=—，

2

AP=卜+^；=V25+16tan20=3通.

yjcos20

在三棱锥P-ABC中，因为NACP=Z71BP=90。，取AP中点为O,

则OC=OB=|/IP=OA=OP,

故0为三棱锥P-ABC的外接球的球心,

所以AP为外接球直径，

S球=4nR2=71Ap2=457r.

故选D

5.答案：B

解析：

本题考查异面直线所成角的求法以及正方体的结构特点，考查空间想象能力以及计算能力.

取aDi的三等分点N,使得以N=可补正方体4B/K-4B/H,作平面EFG与正方体

ABiQDi-ABCD的截面，画出图形，设4B=3,判断出机、〃所成角，通过计算求解即可

解：如图，取公。1的三等分点M使得5N=：N4，

可补正方体AB/K-a/i/H,如图，作平面EFG与正方体4道16。1-4BC。的截面，设4B=3

而D[N=|41D1=1

又点E、尸分别为44、eq的中点

则AKi=Ah=A”=2

BCi1BI,BG1AB

又B/CAB=B

：.8cl1平面ABIH,

则平面ABIH即为平面a,

因此直线M/i为直线〃，直线4B为直线机

则N4/1M为直线m与直线n所成角

设AM=a,MH=b

由△HKIMSAHMN得

(a+b=3>/2

I

U5

解得Q=迎

7

在Rt△句iM中，tan4VlM=丝=越.

A/17

故选&

6.答案：D

解析：

本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查二面角，线面角，棱锥的体积，考查空间想象能

力、运算能力和推理论证能力，属于较难题.

A,由题意可知NBDC为B-力。-C的平面角，即NBDC=120。，即可判断；

B,四面体D-ABC的体积V=：XSABCDX4。；

C,根据题意先利用直角三角形求出AO,BD,DC,再利用余弦定理求出8C,利用面积法求出。F,

利用定义证明445。为二面角4-BC-。的平面角，在三角形AZ)F中求出此角即可；

D,BC与平面4。所成的角是NBCC,解得其正弦值计算即可.

解：沿4。折后如图，

由题易得40_LC0,AD1BD,CDCBD=D,

AD_L平面BCD,BCu平面BCD,

所以AD1BC,

且易知NCDB是二面角C一4。-B的平面角,

故NCDB=120°,CD=8,BD=4,AD=4位.

在ACDB中，由余弦定理得=CD2+BO2-2CD-BDCOS120。，可得BC=4近,

过点。作。F1BC于凡连接A凡则/尸J.BC,

由面积相等得:「。-3。曲112。lDFBC,可得。F=犯红.

227

①易知平面A8C与平面AC。不垂直，A错；

②由于力-ABC=^A-BCD~^SRBCD，人。

="(；x8x4xsin1200)x4V

2B错;

3

③易知乙4尸。为二面角4-BC-。的平面角,

ttuiAAFD=—

DF

4V2V42…

=亘=亏，c错；

7

④BC与平面ACD所成的角是NBCD,

sinNBC。=—=—.。正确.

CD14

故选：D.

7.答案：D

解析：

【试题解析】

本题主要考查棱柱的结构特征，线面垂直的判定和性质，异面直线所成的角，属于较难题.

由线面垂直的性质得到线线垂直，说明，是三角形&BD的垂心，判断A的正误；由面4BD,

平面4BD〃平面可得4Hl平面CBiDi；由过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条，可得

A4与4G重合，判断C正确；通过解三角形求得直线A”与所成的角，即可判断Q.

解：依题意，作出图形，如图所示，

因为4H1平面BCu平面&BD,

所以BDLAH,

因为他，平面ABCD,BDu平面ABCD,

所以8。1441，

又4"n441=4,AH,441u平面A4iH,

所以BD_L平面441H,又41Hu平面441H,

所以41H1BD,

同理可证BH_L4i。，

所以点H是AAiBD的垂心，A正确；

正方体ABCD-Z/iGDi中，

易知B15//B0,Bi。1C平面4iBD,BDu平面41BD,

所以回。1〃平面

同理〃平面4BD,

又皿03也=。1，CD1，B15u平面CB1D1，

所以平面4BD〃平面CB/i，

所以AH1平面CB15，B正确;

在正方体4BCC—4B1GD1中，可知BDJ.4C,BD1CCr,

5LACnCCi=C,AC、CCiu平面"。出，

所以BD_1平面4CG&,又4Gu平面ACC1人,

所以AQ1BD,

同理可得，力C114D,

又BOn&D=D,BD、&Du平面&BD,

所以4cl，平面4/。，

因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，

所以ZG和重合，故C正确；

因为441//8当,

所以NaAH为直线AH和SB1所成的角或其补角，

设正方体力BCD-的棱长为1,则=1,

△4BD是边长为鱼的等边三角形，点〃为△A/D的垂心，即为重心，

则A/=9，sinN&AH—智=日，

所以乙414H丰45°,所以直线A4和BBi所成的角不是45。，

故。错误.

故选D

8.答案：BCD

解析：

本题主要考查空间中直线与直线的位置关系，棱锥体积的求法，点到线的距离问题，以及运用基本

不等式求最值问题，属于中档题；取中点为G,易得平面aCG〃平面从而得

P4〃平面也就明确点P在线段GG上，进而取特殊情况点P与点G重合时，显然不符合A；

运用等体积法，易得B正确；由题意知线段P4长度的最小值为点4到线段GG的距离人，运用等面

积法，易得h；在RtAAP"中，根据8s=布=&干=了有，结合基本不等式即可求得

乙4$Di的最小值.

解析：

对于A：取。5中点为G,连接&G,易得小G〃平面AEJ,又.1|C〃平面AEC,

且4GC41cl=A\,A\G,A\CiC平面4GG,所以平面AiGG〃平面AEC,

又P是四边形。CC15内一点（包括边界），PA〃平面AEC,

所以点尸在线段CiG上，

当点P在G处时，显然P4与不垂直，故A错误；

对于B：咚拗一尸人/=咚椅推户-从山场=咚掩=QXQX2X2X2=Q,故5正确;

JN«5

对于C：线段P4长度的最小值为点儿到线段QG的距离上在△&GG中，

易得41G=GG=低41cl=2近，

故由等面积法得］xV5x/l=1x2V2xJ（伺2一（匈2,

所以线段P①长度的最小值％=等，故C正确；

对于。：设£）iP=x,x€［誓,21易得&P=7x2+%

所以COSN&P。］=诉=忘<三，

当且仅当x=2时,等号成立，又N&PD16［0°,180°］,

所以乙4/5的最小值是45°,故。正确.

故选BCD.

9.答案：ABD

解析：

本题主要考查了线面垂直的判定与性质定理，四面体的外接球的体积，属于较难题.

利用面面垂直的判定与性质判断4先确定球心为何，再求出半径判断B；当平面BAC与平面4。

垂直时，体积最大，判断G利用球心与三棱锥的底面的外心垂直于底面确定出球心的位置，再利

用已知的数据分析出线段的取值范围.

解：4连接BM,DM,因为菱形ABC。，

所以力C_LBM,4clOM,BMCtDM=M,BM,DMu平面8cM,

所以4CJ_平面8OM,8。<=平面3。〃，

所以ACLBD,故A正确；

8.若4c=4近，因为42+42=（4立）2,所以NCB4=乙4。。=90。，所以M为外接球的球心，则四

面体ABCD的外接球的半径为|AC=1X4V2=2近，故B正确；

C若4c=4近，若平面BAC与平面ACC垂直，则四面体ABCD的体积的最大,

此时四面体ABCD的体积为!x|x4V2x2V2x2V2=

则四面体A8CD的体积的最大值为处2故C错误.

3

D由题意△ABC的外心01在中线8M上，过01作直线及，平面A8C,垂足为0「

同理，△4DC的外心。2在中线。M上，过。2作直线GJ■平面ADC,垂足为外，

由题意得，2u平面BDM,

由对称性得，1，L的交点。在MN上，

根据外接球的性质得。是四面体A-BCD的外接球的球心，

•••四边形A8CD是边长为4的菱形，其对角线4C=4,

DM=BM=4x?=2遍，CMAM=2,0rM=痘,

设4BMN=0,()</?<；*,

MN=BMcosG=2\p3cos6<2V3>

CMN0M

vcos0=——=1,

BMOM

OM-MN=0rM•BM=4,

OM<MN,MN2>14,MN>2.

综上，线段MN长度的取值范围为(2,2b).故。正确.

故选ABD.

10.答案:ABD

解析：

本题考查了异面直线所成角，直线与平面所成的角的求法，也考查了空间中线线、线面、面面间的

位置关系等应用问题，考查了空间想象能力、运算求解能力，属于较难题.

根据题意，分别对选项中的命题进行分析、判断正误即可.

解：设AB=BC=BB1=2,

对于A,当点P运动到BG的中点时，取BiG的中点N,

则PN〃BiB,B/l平面814C1，

所以PN_L平面BMiCi，连接&N,

直线4P与平面4B1G所成的角是NP4N,

2

PN=1,&N=131T81cly=V5.

tan/PAiN=言=t=学所以A正确：

对于B,补形成正方体ABCM-

则。Bi与正方体对角线BiM重合，

MC，面为8。。1，BC]u面B1BCC1，

所以MC1BG，

又BGJ.B1C,MCnBrC=C,MC,&Cu面/MC,

所以BG_1_面/”。，

因为BIMu面B】MC,所以BG1

同理BGCiBA】=B,BCX,u面&GB,

所以J•面4QB,即O&l面&BG，

又41Pu面4BC1，

所以AJLOBi，因此B正确；

对于C,P为BG的中点时，有4P与OB1相交于一点。,

在AAiBiC中，P也是&C的中点，Q是A/liBiC的重心,

PQ1

由重心性质可知方7~所以C不正确;

对于D,A^J/AB,直线&P与A8所成角即直线4P与4/1所成角,

当点P从8运动到G时，异面直线&P与&Bi所成角由大到小再到大，

且P为BQ的中点时角最小，其正切值为整=">£,最小角大于30。，所以。正确;

Al%23

故选：ABD.

11.答案：BC

解析:

本题考查几何体的结构特征，考查球的表面积，题目较难.

折起后，根据各点的位置，即可判断选项A、8；点。到六个面的距离相等，因此O即为六面体的

内切球的球心，根据条件求出球半径，即可判断C；△48。的中心为。，点0到顶点M、Q的距离

与点。到点A、B、。的距离不等，可判断D.

解：如图所示：

折起后，4c重合，BP重合，ND重合，因此AB与相交，A错误，B正确；

折起后，设等边三角形ABD的中心为。，取AB中点T,连接QT,0T,在RHOTQ中，作OEJL7Q于

点、E.

由4BL0T,AB10Q,且OQ、0T为平面0T。中的两条相交直线，所以4B_L平面07Q.

又OEu平面0T。，所以AB10E.又7。、AB为平面AB。中的两条相交直线，所以0E1平面ABQ.所

以0E即为六面体的内切球的半径.

因为平行四边形河。由六个边长为1的正三角形构成，所以。A=OB=OC=^OT=*QT=今

因此。Q=J(3-(剪罟

在RtAOTQ中，可求得0E=互算=当所以内切球的表面积为:

若该六面体有外接球.根据。4=。8="=争0Q号可知，点。不是六面体的外接球的球心.

所以不存在点到顶点M、Q的距离与到点A、B、。的距离相等，因此，该六面体没有外接球.故。

错误.

故选BC.

12.答案：AC

解析：解：A选项，取AB中点G,连接FG,4G,记4G与4E交点为0,

在正方体ABC。-Z1B1GD1中，AAr=AB,^ArAG=/.ABE=p

因为E,F分别为BB],CQ中点，所以AG=BE,FG//AD,

HiltRtAAXAG=Rt△ABE,所以NAAiG=NB4E,/.A^GA=Z.AEB,

因此NtMG+40GA=/BAE+Zu41G4=],因止匕4A0G=],BPAE].AXG,

又在正方体ABC。-•力道传1。1中，ADJ_平面ABB12,所以FGJ■平面ABB14,

因为力Eu平面ABB14，所以尸G14E,

又4GCFG=G,FG,&GU平面&FG,即4E_L平面/hFG,

所以4/14E,故A正确.

8选项，因为在正方体中4B〃Ci5，且4B=CiD「

所以四边形ABC1。1为平行四边形，

因此BCJ/ADi，又BG，平面AEDi，ADru平面AED「

所以Bq〃平面AE。].

因此棱BQ上的所有点到平面AECi的距离都相等，

又P是棱BQ上的动点，

所以三棱锥P-AEDi的体积始终为定值，故B错误.

C选项，取BiG的中点M,连接EM,MD1，则EM〃BC「且£”=加6，

则EM//AD1,

又正方体中，AB=2,所以MD】=4E=72?+M=一,

BCi=ADr=2传

因此EM=|BCX=V2,

所以平面AEDi截正方体ABCD-&B1GD1所得截面为等腰梯形EM^A,

因此该等腰梯形的高为闯用一芦声悔=6|=竽.

所以该截面的面积S="力。1+EM)♦h=£故C正确.

。选项，设点4到平面AEDi的距离为以

因为BB"/平面441。山，

所以点E到平面4415。的距离为AB=2,

即点E到平面的距离为2,

所以'f.LhDj；S△乩415X2=；；2?2；,

222

在△AECi中，ADr=2V2,AE=V5.ED1=V2+2+I=3.

所以cos®。］=墨亳=噂，因此sin/Eg=罂,

所以SEAD.=g•AD】•AE•sm^EAD1=/2夜•6•警=3，

'又=匕1-4ED1=3'SAAEDI,d=§,所以d=g,

即点&到平面AED1的距离为%故。错误.

故选：AC.

A选项，取AB中点为G,连接FG,&G,记&G与AE交点为O,根据线面垂直的判定定理,可得AE1

平面&FG,进而可得&F1AE.

B选项，证明BG〃平面AEDi，即可判定B错.

C选项，补全截面，得到平面AE/截正方体ABC。-4BiGA所得的截面为等腰梯形，进而可根据

题中条件，求出截面积.

。选项，根据等体积法，由=以「4£5,求出点到的距离，即可判定.

本题考查立体几何中，直线与直线位置关系，点到直线的距离，体积，截面积，解题中注意等体积

法的应用，属于中档题.

13.答案：ABD

解析：

本题考查线面垂直的判定，异面直线所成角，线面角，考查空间想象能力及逻辑推理能力，属于较

难题.

在选项A中，推导出为C11BD1，DCJBDi，从而直线8劣_L平面&的。；在选项B中，由&C〃平

面4GD,得到P到平面4GD的距离为定值，再由△4GD的面积是定值，从而三棱锥P-4G。的

体积为定值；在选项C中，可得异面直线AP与4。所成角的取值范围是1.J；在选项。中，以力

为原点，D4为x轴，DC为），轴，。名为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可.

解：在选项A中，

也，AiG_LBBi，B1D1nBB1=Br,

4G1平面BB1D1，BQu平面BBiA，&Ci_LBO】，

同理，DC11BDi，

•••4GnDg=G，.•.直线BQ1平面AiGD,故A正确；

在选项B中，

VA\D〃B\C,AXDU平面&Cl。,B£平面&G。，

•••BiC〃平面&Ci。，：点P在线段BiC上运动，

P到平面4G。的距离为定值，又△4G。的面积是定值，

••・三棱锥P-&GD的体积为定值，故B正确；

在选项C中，

•••41。〃8传，.•.异面直线AP与4。所成角为直线AP与直线&C的夹角.

易知△AB】C为等边三角形，

当P为B]C的中点时，4P1B1C；

当户与点名或C重合时，直线AP与直线BiC的夹角为二.

故异面直线AP与乙。所成角的取值范围是；.不，故C错误；

在选项。中，

以。为原点，D4为x轴，力C为y轴，DQ为z轴，建立空间直角坐标系，

设正方体ABCD—4B1GD1的棱长为1,P{a,\,a),则G(O,1,1),8(1,1,0),。式0,0,1)，

守=(a,0，a-1)，D^B=(1,1,-1).

由A选项正确：可知而=(1,1,一1)是平面的一个法向量，

\C[PD^B\_1_1

••・直线C[P与平面&C1。所成角的正弦值为：|物.函I=Ja2+(a-l产於=点/2(即字+?

・•・当a=：时，直线QP与平面&C1。所成角的正弦值的最大值为亭故。正确.

故选ABD.

14.答案：AC

解析：

本题考查几何体的体积、线面垂直的性质、异面直线所成角，属于难题.

对于A,利用折叠之后图形变换即可判断，对于B和C,利用空间直角坐标系，求得平面法向量,

即可得到答案，对于。，根据空间几何体的体积公式可得答案.

解：因为E,尸在平面ABC。的射影分别为A£>,AB中点，所以在图2中，

H

EF=：BD,由图1可知，AF=AE=^BD,故A正确;

对于8和C,可建立如图空间直角坐标系,

设AC=4,

则有4(2,0,0),C(-2,0,0),遮)，F(1,1,V2),夜)，H(-1,-1,V2)

可知，CG=(1,1,72)，CH=(1,-1,V2),

设平面CGH的法向量元=(x,y,z),

则g.旦=0,易得平面CGH的一个法向量元=(V2,0,-1)，

同理可得，平面AE尸的一个法向量沅=(夜,0,1),

平面CG”的一个法向量元=(四m.n=10,

所以平面AEF和平面CG”不相互垂直，所以B错误；

记直线CG与平面AEF所成角为仇

sin”|cos画洞1=禺儒=争

所以tan6=V^,故C正确；

对于。，当48=2时，下底面面积为4,上底面面积为2,高为1,

所以所求多面体的体积为V=4x1-gx(4-2)x1=与，故O错误.

故选AC.

15.答案：ABD

解析：

本题主要考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判

定，要注意使用转化的思想.利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解.

连结。8,容易证明OB】上平面AC%,从而可以证明面面垂直；连接&B,&G容易证明平面B41cJ/

平面从而由线面平行的定义可得；分析出41P与4历所成角的范围，从而可以判断真假

；VD1-APC=VP-AD1C＞尸到平面4。住的距离不变，且三角形4/C的面积不变，从而可以判断真假.

解：对于A,连结。8,因为正方体中，BBil平面ABC。，AC在平面ABC。内，所以BaIAC,

又因为DB1AC,DB,BBi为平面内两条相交直线，所以AC_L平面。,因为在平面OBB1

内，所以DB1J.4C,同理可得J.4D1，4么、AC为平面AC以内两条相交直线，可得_L平面

ACDr,OB1在平面PBi。内，从而平面PBi。J_平面AC。1，A正确；

对于8,连接48,4