高中数学选修第一册：第2课时 直线与椭圆的位置关系及其应用

第2课时直线与椭圆的位置关系及其应用

基础过关练

题组一直线与椭圆的位置关系

1.直线y=x+l与椭圆］W=1的位置关系是（）

A.相交B.相切

C.相离D.无法判断

2.（2020江西南昌二中高二上第一次月考）直线y=kx-k+l与椭圆g+==l的位置关

94

系为（）

A.相交B.相切

C.相离D.不确定

22

3.若直线y=kx+2与椭圆尹?1有且只有一个交点,则斜率k的值是（）

人点B.-^C.±^D.±^

3333

4.已知直线y=kx+l和椭圆x2+2y2=l有公共点，则k的取值范围是（）

我

V2-B-<一

A.k<2V2-2

2

或<k

V2-k>V2-DV2wkWV2

\-一-

2222

题组二直线与椭圆的相交弦问题

5.过椭圆x2+2y2M的左焦点作倾斜角为三的弦AB,则弦AB的长为（）

Ag>B.—7C—UD6-

22

6.直线y=x+l被椭圆：+三=1所截得线段的中点的坐标是（）

A・能）B.能）

C（IW）M-”）

丫2

7.经过椭圆3+y2=l的一个焦点作倾斜角为45。的直线1,交椭圆于A,B两点.设0为

坐标原点，则瓦5,丽等于()

A.-3B.-|C.［或-3D.±g

22

8.(2019广东深圳中学高二上期中)若椭圆才+1的弦被点(4,2)平分，则此弦所在直

线的斜率为.

9.过椭圆9+9=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点Q为坐标原

点，则aOAB的面积为.

10.(2020河北唐山一中高二上期中)已知椭圆C:左。1(a>b>0)的离心率e为景短

轴长为4.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过P(2,l)作弦且弦被P平分，求此弦所在的直线方程及弦长.

题组三直线与椭圆位置关系的综合运用

22

11.设椭圆C：3+号=1的左,右焦点分别为Fl,F2,以F1F2为直径的圆与C在第一象限

74

的交点为P,则直线PR的斜率为()

11百

a一

-B-CV3-

A.3232

22

12.若点0和点F分别为椭圆—+5=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则

4a

OP•司的最大值为

22

13.已知P(m,n)(m>0,n>0)为椭圆3+—=1上一点,Q,R,S分别为P关于y轴,原点,x轴

oZ

的对称点.

⑴求四边形PQRS面积的最大值；

(2)当四边形PQRS面积最大时,在线段PQ上任取一点M(不与端点重合)，若过M

的直线与椭圆相交于A,B两点，且AB中点恰为M,求直线AB斜率k的取值范围.

能力提升练

题组一直线与椭圆的相交弦问题

1.(*7)已知椭圆x2+^=l和点AG，J,BC，1),若椭圆的某弦的中点在线段AB上,

且此弦所在直线的斜率为k,则k的取值范围为()

A.[-4,-2]B.[-2,-l]

C.[-4,-l]

2.(多选)(*)已知直线l:y=2x+3被椭圆C:，》=l(a>b>0)截得的弦长为7,则下列直

线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有()

A.y=2x-3B.y=2x+1

C.y=-2x-3D.y=-2x+3

3.(2020吉林长春实验中学高二上期中,聚：)已知中心在原点，焦点坐标为(0,±5或)的

椭圆截直线3x-y-2=0所得的弦的中点的横坐标为今则该椭圆的方程

为

4.(2020山东师大附中高二上第五次学分认定*)设椭圆亲。l(a>b>0)的短轴长

为4,离心率为当

⑴当直线y=x+m与椭圆有公共点时,求实数m的取值范围；

(2)设点M(2,l)是直线1被椭圆所截得的线段AB的中点，求直线1的方程.

5.（2020辽宁大连高二上期中,*）如图，设P是圆x2+y-25上的动点，点D是P在x

轴上的射影,M为PD上一点，且|MD|W|PD|.

（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程;

（2）求过点（3,0）且斜率为（的直线被C所截线段的长度.

题组二直线与椭圆位置关系的综合运用

6.（2019黑龙江牡丹江一中高二上期中,站?）若直线mx+ny=4和圆x?+y2=4没有交点,

22

则过点（m,n）的直线与椭圆高+3=1的交点的个数为（）

A.0或1B.2

C.lD.0

22

7.（2018吉林省实验中学期末*）已知椭圆q+9=l（a>b>0）的左,右焦点分别为FI,F2,

过Fi且与x轴垂直的直线交椭圆于A,B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C,

若SMBC=3SABCF2,则椭圆的离心率为（）

710^3V3

C-D..

22

8.(多选)(")已知椭圆C:??l的左，右两个焦点分别为BE,直线y=kx(kWO)与

C交于A,B两点,AE_Lx轴,垂足为E,直线BE与C的另一个交点为P,则下列结论

正确的是()

A.四边形ABBF2为平行四边形

B.ZFIPF2<90°

C.直线BE的斜率为夫

D.ZPAB>90°

9.(2020海南海口海南中学高二上期中,站?)已知点P是椭圆，+9=1上任意一点，则

当点P到直线4x-5y+40=()的距离达到最小值时，点P的坐标为.

10.(2020山东烟台高二上期末,")过椭圆C:*5=l(a>b>0)的左焦点B作斜率为g

的直线1与C交于A,B两点，若|OB|=|OA|,则椭圆C的离心率为.

22

11.(2020辽宁省实验中学高二上期中,")已知椭圆今+%=1(a>b>0)的左、右焦点分

别为Fi、F2,且过点(1,日)和停,日).

(1)求椭圆的标准方程；

(2)如图，点A为椭圆上一位于x轴上方的动点,AF2的延长线与椭圆交于点B,AO的

延长线与椭圆交于点C,求4ABC面积的最大值，并写出取到最大值时直线BC的

方程.

12.(2020北京通州高二上期末,")已知椭圆*5=l(a>b>0)的焦点是FiE,且

|FIF2|=2,离心率为今

(1)求椭圆的方程；

(2)过椭圆右焦点F2的直线1交椭圆于A(xi,yi),B(X2,y2)(xGx2)两点.

⑴求|AF2|•|BF2|的最小值；

(ii)点Q是直线1上异于F2的一点，且满足的=督，求证:点Q在一条定直线上.

2、,2、万

13.(")已知椭圆C：av+/=l(a>b>())的离心率e号，过椭圆的左焦点F且倾斜角为30°

的直线m与圆x2+y2=b2相交所得弦长为国.

(1)求椭圆C的方程；

(2)是否存在过点P(0,3)的直线1与椭圆C交于A、B两点，且|PA|=2|AB|?若存在，求

直线1的方程;若不存在，说明理由.

答案全解全析

基础过关练

1.A解法一:直线y=x+l过点(0,1),将(0,1)代入士+}=1得,0+%,即点(0,1)在椭圆内

544

部，所以直线与椭圆相交.

(y=x+1,

解法二:联立直线与椭圆的方程，得1消去y得,9x2+l0x-l5=0,

A=100-4x9x(-l5)=640>0,所以直线与椭圆相交.

2.A直线y=kx-k+l=k(x-l)+l恒过定点(1,1),因为：+卜1,所以点(1,1)在椭圆内部，故

直线与椭圆相交.

ry=kx+2,

3.C由*2

消去y并整理，

W(2+3k2)x2+12kx+6=0,

由题意知A=(12k)2-4x6x(2+3k2)=0,

解得k=±渔，故选C.

3

4.C由一¥[1]得(2k2+l)x2+4kx+l=0.

+2yz=1,

•.•直线与椭圆有公共点，

.,.A=16k2-4(2k2+l)^0,

解得kW-正或k»正.

22

5.B设直线AB的方程为y=kx+b(kWO),易求直线AB的方程为y=V^(x+&).由

牝=8?)式)'消去y并整理，得7x2+12V2x+8=0.

设A(xi,yi),B(X2,y2)则xi+x2=-^,xix2=^.

由弦长公式，得|AB|=V1+A.|X|-

X2|=V1+k2•，(久1+%2)2-4比1比2=J1+(遮)2*J-4义

(y=x+1,

6.C联立方程，得了一2消去y并整理，得3x2+4x-2=0.设直线与椭圆的交点

匕+]=1d，

A(xi,y)B(X2,y2),中点M(xo,yo).

xI+x2=-g,xo=，^=-：,yo=xo+1；•中点坐标为.

7.B由彳+y2=l,得a?=2,b2=l,c2=a2-b2=l,则焦点坐标为(±1,0).

不妨设直线1过右焦点，又倾斜角为45。,则直线1的方程为y=x-l.

代入尹y2=l得x2+2(x-l)2-2=0,EP3x?-4x=().设交点A(xi,yi),B(X2,y2),

贝IJX1X2=0,Xl+X2=-,yiy2=(xl-1)(X2-1)=X1X2-(X1+X2)+1=1---

所以0/•OB=x\X2+yiy2=0_~=-3,

8.答案4

解析设弦两端点分别为人区,丫|)》仪2,丫2).因为(4,2)是线段AB的中点，所以

xi+x2=8,yi+y2=4,将A,B两点代入椭圆方程，

但+S=12222

1

得代''两式相减得”3=0,整理得①=-上工，即kAB=^=-.

[以+丝=]369交』4(72+打)交』2

1369'

9.答案-

3

解析由题意知，右焦点的坐标为(1,0),直线的斜率k=2,所以直线的方程为y=2(x-l),

将其与：+：=1联立，消去y,得3x2-5x=0.设A(xi,yi),B(X2,y2),则xi+x2=：,xiX2=(),所以

|AB|=V1+k2,|xi-X2|=Vl+卜2又1(x、+%2)2-4%1%2=，1+22XJG)-4X0=乎.设原

点到直线的距离为d,则€1=7^=^.

V(-l)2+225

所以SAOAB=^|AB|•d=；x苧、半二；.

10.解析⑴由e―二造可设,a=2t,c=gt(t>0),贝ijb=t=2,因止匕a=4,

a2

22

所以椭圆的标准方程为土以=1.

164

(2)设以点P(2,l)为中点的弦与椭圆交于A(xi,yi),B(x2,y2),

_e+4=1,

则xi+x2=4,yi+y2=2,将A,B两点坐标分别代入椭圆的方程得《t两式相减

-+^=1,

\164

可得，

(xi+x2)(xi-X2)+4(yi+y2)(yi-y2)=0,

4(xi-X2)+8(yi-y2)=0,

二弦所在直线的斜率k=d=」，

"12

二以点P(2,l)为中点的弦所在直线的方程为x+2y-4=0,

联立椭圆的方程得xZ4x=0,解得x=0或x=4,

因此弦长|AB|=，1+H•|XI-X2|=2，^.

11.B依题意得,a2=9,b2=4,；.c2=5,

因此以BF2为直径的圆的方程为x2+y2=5.

又点P在第一象限,.丁(9,卓)，

又Fi(-V5,0),

运0,

；・斜率kpFiTvl厂二?故选B.

—+V5乙

12.答案6

解析由甘亡=1,可得F(-1,O).

43

设P(x,y),-2WxW2,则而=(x,y),而=(x+l,y),

所以OP•FP=x2+x+y2=x2+x+3,(1—y^=^x2+x+3=^(x+2)2+2,

当且仅当x=2时，赤•而取得最大值，最大值为6.

22

13.解析⑴由p在椭圆上得巴u=i,

82

•••m>0,n>0,...利用基本不等式得1=吧+眩22X少弓=%，当且仅当贮上二，即m=2,n=l

82V8V22822

时，等号成立，

易知S四边形pQRs=2mx2n=4mnW8,当m=2,n=l时取等号，

故当m=2,n=l时,四边形PQRS的面积取最大值，最大值为8.

(2)由⑴得P(2,l),则Q(-2,l),设M的坐标为其中-2<t<2,A(xi,yD,B(X2,y2),

件+9=1，

则有V8

雪

\82

两式相减得为+丫2)(*)

82

•••M为线段AB的中点，

.・.勺+气二1%+乞二］

2'2，

...(*)化为吟匚-(y「y2),

能力提升练

1.A设椭圆x2R=l的某弦的两个端点分别为P(xi,yi),Q(X2,y2),中点为M(xo,yo),则

4

+：=1,①

[据+?=1,②

①-②，得(*-xl)+；(光-yl)=(),

即k=9=_4(A+、2)=_%.

可寺yt+y2y0

,：点M在线段AB上，

二xog衿yo〈i，

.•永=-%=:2W三忘4,故-44一忘-2,则kW[-4,-2],故选A.

y0y0y。％

2.ACD直线y=2x-3与直线1关于原点对称，直线y=-2x-3与直线1关于x轴对称,

直线y=-2x+3与直线1关于y轴对称，因此A、C、D中的直线被椭圆C截得的弦

长一定为7,而直线y=2x+l被椭圆C截得的弦长大于7.故选ACD.

3•答案》S=1

解析设椭圆方程为f2=l(a>b>0),则a2=b2+c2=t>2+5().①

设直线3x-y-2=O与椭圆相交的弦的端点为A(xi,yD,B(X2,y2),则

(b2yl+a2xl=a2b2,

\b2yj+a2%2=a2b2,

:.b2(yi-y2)(yi+y2)+a2(xi-x2)(xi+x2)=O.

/.b2x3x(-1)+a2x1=(),BPa2=3b2.@

联立①②得,a2=75,b2=25.

故该椭圆的方程为片1=1.

7525

4.解析(1)因为离心率e-=£所以c2=%2,又因为椭圆的短半轴长b=2,aZb2=c2,所

a24

以a2=16,b2=4,

即椭圆方程为乙乙=1,

164

m1

因此，卜6+4'=5x2+8mx+4m2-16=0,因为直线y=x+m与椭圆有公共点，所以

{,y=x+m

A=64m2-4x5x(4m2-16)^0,@Pm2^2(),解得-2遥Wm<2遍.

⑵设A(xi,yD,B(X2,y2).

解法一:当斜率不存在时,不符合题意;当斜率存在时，设直线方程为y-l=k(x-2),

联立方程y2=>(4k2+l)x2+8k•(l-2k)x+16k2-16k-12=0,

I--1--=1

k164

所以手=甯=2,解得k=T，所以直线1的方程为x+2y-4=0.

解法二:蒋+匕=1=x2+4y2=16,

2+42

X1y1

2+4216=(x』)(x52)+4(yLy2)•(%+丫2)=0=詈=就产；,

X2y2

所以斜率k=g所以直线1的方程为x+2y-4=().

5.解析⑴设M的坐标为(x,y),P的坐标为(xp,yp),

由已知得｛1=:因为P在圆上，所以x2+gy)2=25,即点M的轨迹C的方程为

2516

⑵过点(3,0)且斜率为:的直线方程为y=gx-3),

设直线与C的交点为A(xi,yD,B(X2,y2),将直线方程y=g(x-3)代入C的方程，得

二”』，

2525

2

整理得x2-3x-8=0,所以XI+X2=3,XIX2=-8,所以|AB|=J1+(g)•y/(xx+x2)-4x1x2=p

6.B因为直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有交点，所以点三>2,所以m2+n2<4,而

已1,因此点(m,n)在椭圆内部，从而过点(m,n)的直线与椭圆二^=1必有两

944494

个交点，故选B.

7.A设F(的坐标为(-c,()),F2的坐标为(c,0),故过Fi且与x轴垂直的直线方程为x=-

c,代入椭圆方程可得丫二土三可设A(-Gf),C(x,y),由题意可得4ABF2的面积是

，2c—2c

△BCF2的面积的2倍，故福=2或，即有&c,-f)=2(x-c,y),即2y'

b2则

广-，代入椭圆方程可得［g=l,即竽弯=1,

(y=------,a24a2a24a2

«2a

.,.4e2+Ue2=l,解得e=4负值舍去).故选A.

445

8.ABC由椭圆的对称性知,四边形ABBF2是平行四边形，故A正确;

a2=4,b2=2,:.c2=2,

二ZFIAF2<90°,

又NFIPF2<NFIAF2<90°,

故B正确；

结合图形，不妨设k>°，则A(募,高)，

B(-高，-品)田(高，。)，

2k

，kBE=—=*,故C正确；

取k=2,则AG3，B(-*),EG，0)

二直线BE的方程为y=x-j,与椭圆方程联立得,PG，?,.,.刀=(-油,而=($勺,

...万・方吟合0,二4AB>90。错误.故选ABC.

9.答案(4,；)

解析设平行于4x-5y+4()=0,且与椭圆相切的直线方程为4x-5y+c=()(cW40).

由偿5；獴；225,得25x2+8cx+c2一225=0,

令A=(8C)2-4X25X(C<225)=0得,

c?=625,解得c=±25.

结合图形(图略)取c=25,此时,x2+8x+16=0=>x=-4.

代入4x-5y+25=()得,y=g，

.♦.P㈤).

10.答案?

解析如图所示，设右焦点为F2,

又tanZAFiFz=-,

2

.-.|AFI|=^C,|AF2|=^C.

因此,2a=|AFi|+|AF2|=鸣:=e=-=—.

5a3

=1,解得偿：I

11.解析(1)将两点代入椭圆方程，得K9+塌

“2

所以椭圆的标准方程为:+y2=l.

⑵设A(xi,yi),B(X2,y2).由A在x轴上方，可知直线AF?的斜率不为0,所以设直线

AF2的方程为x=ty+l,

+y2=

联立71)=>(t2+2)y2+2ty-l=0,

.x=ty+1

得，1+及二刀'所以|AB|="T^•卜~2|=粤毡

1yly2="产+2

设原点到直线AF2的距离为d,%=意,

2/2(1+产)_2yli

所以SAABC=2SZ\OAB=2x；x|AB|xd二:—^V2,

产+2Vl+t2+-

Vi+t2

当且仅当=*，即t=0时，等号成立，此时直线AB的方程为x=l,所以

Vi+t2

所以此时直线BC的方程为y=1.

12.解析⑴因为椭圆的焦点是FiE,且|FE|=2,所以半焦距c=L

因为离心率为近，所以a=VI所以b=l.所以椭圆的方程是Oy2=l.

22

(2)(i)由⑴知F2(l,0),

当直线1的斜率不存在时,不妨设A(1，9),B(1,-9),所以|AF2|•|BF2|三.

当直线1的斜率存在时，直线1的方程可设为y=k(x-l).

联立方程[亍+必=1'消去y,整理得(l+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.

ly=fc(x-l),

r-r4k22k2.2

月「以Xl+X2=--—,X1X2=---

l+2k21+2/

所以|AF2|=J(久1-1)2+y/=，l+12