立体几何中的截面问题-【题型·技巧培优系列】2022-2023年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第三册）（解析版）

专题〃-3立体几何中的截面问题

。常考题型目录

题型1棱柱截面问题................................................................................5

♦类型1截面形状.............................................................................5

♦类型2其他截面问题........................................................................11

♦类型4延长线找交点法.....................................................................12

♦类型5平行线法............................................................................17

♦类型6截面周长............................................................................24

♦类型7截面面积............................................................................30

题型2棱锥微面...................................................................................38

题型3圆柱截面...................................................................................43

题型4圆锥截面问题...............................................................................47

题型5球截面问题.................................................................................48

题型6截面分体积问题.............................................................................51

题型7取值范围问题...............................................................................60

Q知识梳理

知识点一.截面定义：

1.定义：用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面，与几何体表面的交集(交

线)叫做截线，与几何体棱的交集(交点)叫做截点.用一个平面去截一个几何体所得到的平面图形称之为

截面，

2.作截线与截点的主要根据有：

(1)确定平面的条件

(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线.

(3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.

(4)如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.

(5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行。

3.模型分析：作正方体截面图形的关键是找出截面与正方体表面的交线，而找交线的关键是确定截面与

正方体棱的交点.

(1)平行法模型：平面EFG与平面ABCD有公共点E,且直线FG/平面ABCD,则根据基本事实三和定理

1可知两平面的交线I过公共点E且与直线FG平行，如图1所示.

(2)相交法模型：平面EFG与平面ABCD有公共点E，但是两个平面内均不易找出现成的直线与另一个

平面平行，此时，可以延长FG与平面ABCD交于点H,连接FH,由基本事实三知其为两平面的交线，如

图2所示.

(3)平行四边形法模型：在AiA的延长线上任取点E,在BBi,DDi上任取点F,H,连接EP交AB于点

G,连接EH交AD于点I,以EF、EH为邻边构造平行四边形，可以得出截面与正方体其它棱的交点,如

这里的点，依次连接各交点，五边形GFJH即为正方体截面图形，如图3所示.

此方法比较适用于截面图形是五边形、六边形这种复杂一点的截面图形.因为五边形截面、六边形截面中,

两不相邻边的延长线的交点一定在正方体棱的延长线上.

知识点二.常见正方体的截面情况:

1.正方体截面的作图方法

为了更好地诠释过正方体棱、面、体上不共线三点的截面图形作法，下面展示以下几种常规作图题型.

2.截面经过的三个已知点分别在正方体的棱上

(1)已知的三点E、F、G中任意两点的连线都在正方体的表面上，直接两两连接即得截面图形，如图4

所示.

图4

(2)已知的三点E、FG中任意两点的连线恰有两条在正方体的表面上，由平行法或相交法可得截面图形(如

图5所示).

平行法思路：连接GF,在平面ABBA内过点E作EH//GF,并交AAi于点H,则四边形EFGH为所求的截

面图形.

相交法思路：连接FE并延长交DA的延长线于点H,连接GH交AAi于点I,则四边形EFGH为所求的截

面图形.

（3）已知的三点E、F、G中任意两点的连线恰有一条在正方体的表面上，由相交法（作图思路略）或平行

四边形法可得截面图形（如图6所示）.

平行四边形法思路：连接FG并延长，交DDi的延长线于点P,连接PE交AiDi于点H,则点H为截面上

一点，以PE、PF为邻边做平行四边形PEQF,则QF与BC的交点I也为截面上的点，则五边形EIFGH即

为所求的截面图形.

（4）已知的三点E、F、G中任意两点的连线都不在正方体的表面上，可以通过做辅助平面的方法转到相交法来

处理（如图7.

u题型分类

题型1棱柱截面问题

♦类型1截面形状

【方法总结】

①若已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就可以得到截面与多面体的一个面的截线。

②若面上只有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二确定的点。

③若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个平面的交线与截面的交点。

④若两平行平面中一个平面与截面有交线，另一个面上只有一个已知点，则按平行平面与第三平面相

交，那么它们的交线互相平行的性质,可得截面与平面的交线。

⑤若有一点在面上而不在棱上，则可通过作辅助平面转化为棱上的点的问题；若已知点在体内，则可

通过辅助平面使它转化为面上的点，再转化为棱上的点的问题来解决。

【例题1-1】（2023•全国•高一专题练习）用平面截正方体，截面不可能是（）

A.菱形B.等腰梯形

C.正五边形D.正六边形

【答案】C

【分析】举例即可说明A、B、D正确；假设截面是正五边形，经分析得出必有两条截线平行，这与正五边

形的性质相矛盾，即可判断C项.

【详解】对于A项，当截面与正方体表面平行，且与正方体相交时，截面为正方形，即截面可能是菱形，

故A项正确；

对于B项，如图1,当&匚7=&。片&&时，有且□□丰口口,lit时截面。匚Z7R等

腰梯形，故B项正确；

对于C项，假若截面是正五边形，则截面中的截线必然分别在5个面内，由于正方体有6个面，分成两两

平行的三对，故必然有一对平行面中有两条截线，而根据面面平行的性质定理，可知这两条截线互相平行，

但正五边形的边中是不可能有平行的边的，故截面的形状不可能是正五边形，故C项错误;

图2

对于D项，如图2,aaaa。侬别为各边的中心，易证a□，口，□口磔面，且口口口口口小

正六边形，故D项正确.

故选：c.

【变式1-1]1.（2023•全国•高一专题练习）用一个平面去截一个正方体，截面边数最多有（）

A.5条B.6条C.7条D.8条

【答案】B

【分析】根据平面及其基本性质，结合图形进行分析判断即可得到答案.

【详解】正方体有六个面，用一个平面去截一个正方体，截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、

六边形，如图所示，

因此截面边数最多有6条.

故选：B.

【变式1-1]2.（2022・高一课时练习）如图，切正方体形状的土豆块，思考可以得到哪些类型的多面体？

【答案】一个四面体和一个七面体（或一个三棱锥和一个七面体）

【分析】按截面切正方体即可得到结果.

【详解】按照图中截面切正方体，可得如下图所示的一个七面体和一个四面体（或一个七面体和一个三棱

推）.

【点睛】本题主要考查了正方体简单的几何性质,属于基础题。

【变式1-1]3.（2023・高一课时练习）一个透明密闭正方体容器恰好盛有该容器一半体积的水，任意转

动这个正方体，则水面的形状可能是_____.（①三角形；②菱形；③矩形；④正方形；⑤正六边形）

【答案】②③④⑤

【分析】因为正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心，结合正方体

截面图形的特征判断即可.

【详解】因为正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心.

过正方体的一条棱和中心可作一截面，截面形状为矩形，如图（1）；

过正方体一面上一边的中点和此边外的顶点以及正方体的中心作一截面，其截面形状为菱形，如图（2）;

过正方体一面上相邻两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正六边形，如图（3）；

过正方体一面上相对两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正方形，如图（4）.

至于截面三角形，过正方体的中心不可能作出截面为三角形的图形,

故答案为：②③④⑤.

【变式1-1]4.（2023•全国•高一专题练习）用一个平面去截直三棱柱。£7£7-&。1口,交

□i口、口,口口,。侬别于点a口,口,□.若□【口＞5口】,则截面的形状可以为.（把你认

为可能的结果的序号填在横线上）

①一般的平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤梯形

【答案】②④⑤

【分析】由面a&〃面。口。可得截面交线oo//oo,进一步对口口与a。平行与否进行讨论即可.

【详解】□□□-4&&为直三棱柱，则面&&a〃面。£7£7,截面过面&a&、面□□□,则

当。冰与人0平行时，此时截得的EH不平行于FG,四边形梯形；

当口□“口、谢，此时截得的m/S

当□□中□四,四边形矩形•，当口□=OOB寸，四边形ODD磔正方形；

故答案为：②④⑤

【变式l-i]5.（2023•全国•高一专题练习）已知过口4的平面与正方体-相交，

分别交棱,□□[手口,。.则下列关于截面5勺说法中，不正确的是（）

A.截面5r能悬既B.截面OO4西能是菱形

c.截面。口4口可能是梯形D.截面0044不可能是正方形

【答案】C

【分析】选过特殊点（中点、对角顶点）且含体对角线oa的平面截取正方体，根据正方体的性质及结构特

征、勾股定理分析各选项的正误即可.

【详解】如下图，当aa分别与对角顶点重合时，显然怎矩形；

如下图，当。，。为口4,的中点时，显然口口。1。是菱形，由正方体的性质及勾股定理易知：

00&冰可能为正方形；

A------------------B

根据对称性，其它情况下班平行四边形；

综上,c不正确.

故选：C.

【变式1-1]6.（多选）（2022春•广东•高一统考期中）在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下

几种几何图形的4个顶点，这些几何图形可以是（）

A.旗

B.等腰梯形

C.每个面都是等边三角形的四面体

D.每个面都是直角三角形的四面体

【答案】ACD

【分析】结合正方体图形分析判断.

【详解】选择同一个平面上的四个顶点，得矩形，故A符合题意，B不符合题意；

如图（1）所示，四面体&。。口的每个面为等边三角形，故c符合题意；

如图（2）所示，四面体a口、，的每个面为直角三角形，故D符合题意.

故选：ACD

(1)

（2）

♦类型2其他截面问题

【例题1-21（2022•全国•高一假期作业）用一个平面去截一个几何体,截面的形状是三角形，那么这个几

何体不可能是（）

A.圆锥B.圆柱

C.三棱锥D.正方体

【答案】B

【分析】根据圆锥、圆柱、三棱锥和正方体的结构特征判断即可

【详解】用一个平面去截一个圆锥时，轴截面的形状是一个等腰三角形，所以A满足条件;

用一个平面去截一个圆柱时，截面的形状可能是矩形，可能是圆，可能是椭圆，不可能是一个三角形，所

以B不满足条件；

用一个平面去截一个三棱锥时，截面的形状是一个三角形，所以C满足条件；

用一个平面去截一个正方体时，截面的形状可以是一个三角形，所以D满足条件.

故选：B.

♦类型3直接法

【方法总结】

直接连接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交

线的过程.

【例题1-3](2022高一课时练习)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AC平行，且过正方体三个顶点

的截面是—.

【答案】平面A1C1D,平面A1C1B

【分析】根据题意，结合图形，得出与AC平行，且过正方体三个顶点的截面是平面A1C1D，平面A1C1B.

【详解】解：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AC平行，且过正方体三个顶点的截面是平面A1C1D,

平面A1C1B.

1.AA1IICC1,AA1=CC1，，四边形ACC1A1是平行四边形;

.'.ACllA1C1,

又ACC平面A1C1D,AlClu平面A1C1D，,ACII平面A1C1D;

同理人。1平面人1口8.

故答案为：平面A1C1D,平面A1C1B.

♦类型4延长线找交点法

.•-•-•「一•-，--•-•-•.;•一•一一•-•.:•.•「一•-•-•,•.;•-•-•-，•-•-•-•_--•-二•J

【方法总结】

作延长线找交点法：

(1)延长同一表面上的两点所在的直线.

(2)若过这两点的直线与棱的延长线交于一点，且该点与其他截点共表面，则连接这两点可得到新

的截点.（3）将新得的截点与已知的截点首尾连线，若所有连线均在表面上，则终止找截点的过程；

否则，重复步骤（1）

和（2）找出所有的截点，连接截点成截线，从而可得截面.

【例题1-4］（2022•高一单元测试）在长方体口。。。一口［口1口［口］中，口口=4、口口=3,口、为

别为棱□口的中点，点。在对角线a&上，且a。=3,过点口口、a乍一个截面，该截面的

形状为（）

A.三角形

B.四边形

C.顼形

D.六边形

【答案】C

【分析】找到截面与长方体的平面的交线，判断为五边形.

【详解】如图所示，延长口以口、口「使。。n□、口「□,连接£74、口口,

0tG

；：\：A

\IXI

I••«9、■/

f•»、■/

；//N

i•»/

jk-f--------------------------

II/“B

y□□=4、□□=3、□、□=3t

1.口、□I=5、□、£7=2,

,.口侬别为棱。旦的中点，

:,□□—□、□=2I

:ZZ7=6,

...器=第=1,又.、口、.三点共线，

:口aa三点共线一•.打在截面上，

延长£70、口1口,使□□△口、□=□,连接a0，标□、□□□□=口,

..・O在截面上，

连接£70、□□,

■:□□“□、口］,且□□=；口］口［

:口□H口比口口=口口,

又％。。中点，口、口、a三点共线，

:口口、片点共线，

截面为五边形&OSO,

故选：c.

【变式1-4］1.（2022春•贵州黔东南•高一凯里一中校考期中）如图，在长方体OZ7Z7O-方方中，

□口=□□=2,0方=3,点E,F分别是棱AB,BC的中点.

（1）求三棱锥O-勺体积；

⑵点E,F,方确定的平面为O,试作出平面。截长方体OZ7Z70-的截面图，并计算该截面的

面积（不必写出画法和理由）

【答案】⑴;

⑵作图见解析,苧

【分析】（1）由外皿小玛3/黄么皿XD询妾求解,

（2）延长DC交EF于点。‘，延长DA交EF于点方，仃仃交口仃与点、M,。‘方交。方于点N,则五边

形88'%求的截面,%面=口-2x口:

【详解】（'）口：□…小口2仃口

.・.三棱锥。一0口七是体积为:.

（2）延长DC交EF于点仃，延长DA交EF于点〃'，方交。与点M,方方交£7。'于点N,

平面板正方体Z7/7/7O-add方的截面图为五边形。u（如图所示）.

=”a,\uu\5□己.

同理=他。1,\nn\=^nd\,

易求得方方=dd=dd=VS2*4+32=3V2,

□白□□\DLJ\=□□=□口=|LJ[J\=V2,

2V3，27V3

-2x：x□□=---

42

该截面的面积为苧.

【变式1-4］2.（2023•全国高一专题练习）已知正方体。。口［口］口］口的棱长为2,E,F分别

为棱BC,O&的中点，G是棱AB上一点，目□□=2□□过G,E,F三点的平面截该正方体所得截面

为____边形（横线上填多边形的边数），该截面多边形的面积为.

【答案】五##5（旧#哼

OO

【分析】延长。a与a2勺延长线交于点。，连接&口延长口口与da的延长线交于点£7，连接aa,

设线段口依线段4口1于点口,趣妾口口,即可得到过G,E,F三点的平面截该正方体所得截面为五边

形□□□□、口,然后算出其面积即可.

【详解】

延长oa与的延长线交于点£7,连接a口，延长。。与aa的延长线交于点口，

因为E,F分别为棱BC,O4的中点，

所以△□□□.□□口,△□□□.□□、口,所以口□=口□=1,□]□=口□=1,

因为需=需=:,所以点a,口,a三点共线，

LJ\LJ\LJLJ\a

连接0D,设线段a次线段44于点O,连接DO,

则过G,E,F三点的平面截该正方体所得截面为五边形£7,

因为△4,所以霁=柴=；,所以&口=2a口,

LJyLJLJ\J

因为a。=□、口=同，口口=3五,所以△口口口中边口口上的高为」13-（崂2=亨，

所以口.口□=；x3代x亨=|V17,

因为口△□□□=口&□□口=三口皿□口,所以五边形OOO4面积为:么gx|VT7=,

故答案为：五；

O

【变式1-4]3.（2023春•全国•高一专题练习）在正方阵□□□□—口[口口&中，点Q是棱。口上

的动点，则过A,Q,&三点的截面图形是()

A.等边三角形B.矩形C.等腰梯形D.以上都有可能

【答案】D

【分析】由点口是棱上的动点，可考虑a分别在的端点以及中点，故可得过二口、a三点的

截面图形的形状.

【详解】所以当点。与a重合时，过以口、4三点的截面是等边三角形&；

当点o与看合时，过口、a三点的截面是矩形oa&o；

当点£7与O4的中点重合时，取口、□、的中彘口，由于砥以又

口口=□□、皿口、口、a三点的截面是等腰梯形。a如图所示：

所以过。，u,4三点的截面图形是可能是等边三角形、矩形或等腰梯形.

故选：D.

♦类型5平行线法

【方法总结】平行线法

平行线法作多面体的截面的基本步骤：

(1)连接同一表面a上的两点得直线.

(2)过表面a的平行表面B上一截点作的平行线，若该平行线与棱交于一点可得到新的截点。

(3)将新得的截点与已知的截点首尾连线。若所有连线均在表面上，则终止找截点的过程；否则，

重复步骤（1）和（2）找出所有的截点，连接截点成截线，从而可得截面.

【例题1-5]在正方体Z7Z7OO-口1口1口1口卉,D,侬别为Z7Z7,OO/的中点,则平面。。中证

方体所得的截面多边形的形状为（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

【答案】B

【分析】把截面002卜形可得利用四点共面可得.

【详解】解：如图，把截面口口塞卜形为四边形00007,

连接00,,□口1,

因为£7,。分别为。£7,口的中点,蛆口口11口口1,

又方体ZZ7ZZ7ZZ7ZZ7—ZZZ/Z^/ZZZ,ZZ??中，□□]]□□

所似,则a口力D,口四点共面.

则平面£70。截正方体所得的截面多边形的形状为四边形.

故选：B.

【变式1-5]1.（2023・全国•高一专题练习）如下图所示,在正方体£7。口〃一口1口1口1口1中,如果点

E是的中点，那么过点&、B、E的截面图形为（）

A.三角形B.矩形C.正方开?D.菱形

【答案】D

【分析】根据题意作出截面图形，然后利用正方体的性质求解即可.

【详解】分别取。口1,的中点aa,连接功□,□口,d□,口□,

如图aooogp为过点口、B、E截正方体所得的截面图形,

由题意可知：□、口“□口□、□=DO,所以四边形&OO%平行四边形，

所以a,又因为oay口、目口口=□[口1且口、□、=口、i

所以旦&&=,所以四边形&ooa为平行四边形，所以d□“□]口'

砥以口、口“□□,同理。所以四边形a平行四边形，

又因为〃口=口□,所以平行四边形a口。。为菱形，

【变式1-5】2.在长方体。Z7S一口1口1口1口1中,点P是棱的中点，画出过点O',U',但点的

截面。

分析：连结AiP,因为平面ADDiAi〃平面BCGBi,所以只要过P作AiDi,的平行线就可以了.取CCi

的中点Q连结PQ则AiDi〃PQ.连结DiQ得到截面AiPODi（见图2）.

小结：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线

找到几何体与截面的交线.

【变式1-5】3.（2023・全国•高一专题练习）已知在正方体OOL7O-OQQQ?中，口，口,。分别

是口□,口口,。彳。7的中点，则过这三点的截面图的形状是（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

【答案】D

【分析】利用平行画出截面，进而判断出正确答案.

【详解】分别取&&、□、□、的中点口、口、。，连接口□、,

•:在篁方悔口□□□一口、口1口1口、中，口，口,a分别是口口，口口,&&的中点，

•••六边形口口口口。。是过〃，口,。这三点的截面图,

•••过这三点的截面图的形状是六边形.

故选：D

【变式1-5]4.（2023春•全国•高一专题练习）在正方体。OOZ7-口5口功中,棱长为4‘□、的

别为棱口口的中点，点。在对角线。上，且万万=少过，过点々□、Of乍一个截面，该截

面的形状为（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

【答案】C

【分析】延长口口，分别交a4与au的延长线于a。，可得截面过口口、。，再根据直线与面

面相交的性质，分别确定截面与各棱的交点位置，进而确定截面的形状即可.

【详解】因为反4=西,故a为□□种中氤又□□□□一口、a□、a为正方体，故可延长,

分别交a4与&。的延长线于aa,设直线ou分别交a口”aa于a口,易得过点。、口、。的

面即平面。口a

因为少）£74中点，且/71£7||□口，W乙□□□=乙口1口口，□□=□]口，4□□□=乙口1口口，所以

△口□口=△口1口口，故□—口口—-口口--□、ZZ7|,即匚71口--口]口0^口、口||□]□,故ZZ7i口—

3口口又外口14的中点，同理可得4口、□□三&d口□,故a□=□[□=3aa,所以&〃=

口1口=3,故殳&&内.

连接OU交OO于。，综上可知点。、口、口^防体•□□□□-□1口1口、口[的番氤为五边形□□□□□.

【变式1-5]5.（2023•全国•高T题练习）如图所示，在直四棱柱OOOZ7-a&□、&中，底面ABCD

是等腰梯形，UUW□□,□□=200,乙□□□=60°,四边形0口。14是正方形.指出棱Z74与平

面口。口的交点E的位置（无需证明），并在图中将平面OO&截该四棱柱所得的截面补充完整；

【答案】E为〃&的中点，答案见解析

【分析】E为O4的中点，取。口的中点E,连接DE,051得答案；

【详解】E为的中点.作图如下：如图，取的中点E,连接DE,&平面即为该

四棱柱所得的截面（可通过证明来判断）.

【变式1-5]6.（多选）（2022•全国•高一专题练习）过正方体棱上三点D,E,F（均为棱中点）确定的

截面过点P（点P为BB1中点）有（）

【答案】AD

【分析】根据正方体的性质对ABD作出截面后判断，对C由四点不共面可判断.

【详解】A中过a口,a三点的截面如图，可知截面过a点，

B中过a口,a三点的截面如图，可知截面不过。点，

c中，aa。在正方体的一个侧面上，而。不在这个侧面上，因此a口,口,。四点不共面，过aaz

点的截面不过a点,

D中，过aaa三点的截面如图，可知截面过a点.

故选：AD.

♦类型6截面周长

【例题1-6]（2023・全国•高一专题练习）在长方体Z7Z7Z7Z7-口04&中若口口=2,□□==

4,口、侬别为、d口的中点，过点以口、口^团体□□□□-口1口&4的一截面，则该截面

的周长为（）

A.6V2B.6V5C.2V5+4V2D.4西+2夜

【答案】D

【分析】根据题意，做出截面然后分别计算各边长即可得到结果.

连接。o,过氤迎口□“□□^□i□三彘口,连接0a即可得到截面oom,

因为中点，所以□]口=；□、□=1,

因为口口=2,口□==4,则口O=V42+22=2>/5,目□口—g□□=V5,

□口=V22+22=2V2,□口=A/22+12=V5

所以截面OOZ75勺周长为2而+V5+2V2+V5=4V5+2V2

故选:D

【变式1-6]1（2023•全国高一专题练习旧知正四棱柱OOO0-口口1口1口1中?□口、=3口口=12,

点M是线段O&的中点，点N是线段。口上靠近D的三等分点，若正四棱柱OOOO-口[dd口1被

过点4,M,N的平面所截，则所得截面的周长为（）

A.10+8&B.10+7夜C.9+8夜D.9+7夜

【答案】B

【分析】先证明截面四边形为平行四边形，再求出截面的边长相加即得解.

【详解】解：作出图形如图所示.

延长&醒Q,使得£7。=1,连接MQ,NQ,则截面四边形口为平行四边形；

记MQ与BC交于点R,NQ与CD交于点P,

则□、口—4V2,口、£7=5,

□□=4$+$=3近,0/7=旧+=*£70=Jl2+g）2=|,

故所得截面的周长为□□+^0=5+372+1+y+472=10+7V2.

故选：B.

【变式1-6】2,（2023•全国•高一专题练习）已知正方体口。。。一aaaa的棱长为〃，口、a分

别是的中点，O在O4上且满足2口口,过口、口、a三点作正方体的截面，并计算

该截面的周长.

【答案】（¥+骞+竿）0

【分析】延长MP交DC的延长线于E,连接NE交BC于G,连接PG,延长PM交口□]的延长线于F,

连接NF交4口，连接MH,则五边形□□□□为过口、aa三点的平面截正方体所得的截面，

通过相似三角形及勾股定理计算依次求得各边长即可求得结果.

【详解】延长MP交DC的延长线于E,连接NE交BC于G,连接PG,延长PM交口□、的延长线于F,

连接NF交&,连接MH,则五边形口口口口与过口、口、一点的平面截正方体所得的截面.

由已知可得，得□□=Jg+g=等,

口口=2口口〔=网口口=；口口=/得口口=呼+萼=甯,则£70=g3=照+4炉=

V17Z7

口口1=小口口=合，皿□==,□□=

OOO

2叫原耳=等,

截面五边形的周长为等+喑+等+宇+等=喑+亭+牛=（乎+蜉+唔a

6128486248\6248/

【变式1-6]3.（2023•全国•高一专题练习）已知正方体Z7Z7Z7。-口、0&的棱长为6,E、F分别

是口1口1、O4的中点，则平面CEF截正方体所得的截面的周长为.

［答案］6V13+3V2

【分析】延长EF交DA的延长线于N,连接CN交AB于点G,连接FG；延长FE交O4的延长线于点

M,连接CM交口、&点H,连接EH;则正方体被平面CEF截得的截面为CHEFG则EF+FG+GC+CH

+HE为平面CEF截正方体所得的截面的周长，根据几何关系即可求解.

【详解】延长EF交DA的延长线于N,连接CN交AB于点G,连接FG;延长FE交的延长线于点

M,连接CM交aa点H,连接EH;

则正方体被平面CEF截得的截面为CHEFG.

BC

•・EF分别是&&、7的中点，则易知AN=g。。，

:心=：口口，：.□□=；□□=2,

:.口□=3V2,□□=V13,□□=2V13;

同理，口、□=%□口=2,口口=Vl3,□□=2VT3;

二平面CEF截正方体所得截面的周长为：

EF+FG+GC+CH+HE=3V2+V13+2^13+2Vl3+Vl3=6713+3企.

故答案为：6V13+3V2.

【变式1-6]4.（多选）（2023春•全国•高一专题练习）已知正四棱柱口口口。一口1口1口1口内?□口、=

3口□:12，点。是线段O4的中点，点a是线段上靠近。0勺三等分点，若正四棱柱OO0。-

口i口d4被过点口,口,j勺平面所截，则所得截面多边形的周长不能为（）

A.10+8&B.10+775c.9+8夜D.9+7夜

【答案】ACD

【分析】先证明截面四边形a为平行四边形，再求出截面的边长相加即得解.

延长4。至Q,使得。£7=1,连接MQ,NQ,

记MQ与BC交于点R,NQ与CD交于点P,

取0a的中点。，连结口□,所以,郎口[□"□□.目□[□=口口,

所以四边形a。。。是平行四边形，得口、□“□□，且口1口=口口

又因为□□“口、口山口口、,且口口=口1口、=4,所以四边形4s&是平行四边形，

得a□，口3=口、口,

所以□、口,且□□=/jo,所以四边形是平行四边形，

则截面为五边形为口□口口口,

则&ZZ7=4V2,□]口=5,

因为△口口□〜4口□□,所以需=焉=；,所以。口=3,□□=1,

同理：□□=%,□□=[

口口=V32+32=3V2,□口=旧+,口口=5

3

故所得截面的周长为a£7+□□+UD+£71O=5+3V2+^+y+4V2=10+7夜.

故选：ACD

【变式1-6］5.（2023•高一课时练习）正方体口0。。一4&&&中作一截面与口&垂直，且和正

方体所有面相交，如图所示.记截面多边形面积为。,周长为。，则（）

A.a为定值，冰为定值B.K为定值，型定值

C.3口处为定值D.3口侬不为定值

【答案】B

【分析】先证明1平面。,□口、1平面口功a，进而得到截面与平面&和平面a。。

均平行且介于两平行平面之间，如图中的六边形OO/7OZ7Z7,再设口、口，=口，口、口=□□］口人口€

［0,1］）,根据几何关系讨论周长与面积即可.

【详解】解：如图，由正方体的性质得。01平面□□□□,

因为UUu平面□□□□,OZ7O53正方形，所以口口［1口口,Z7Z71口口

因为O&n=口,匚^^口口口「所以0Z71平面05%,

因为u平面,所以口£71口□「

同理可证明0£7_LUd,

因为&Hn□□=口口口,DDu平面&口口,所以1平面口□□,

同理可证明O41平面o&a,

所以，所求截面与平面。a4和平面打。磔平行，如图中的六边形〃

因洗平面/平面□□□□□□,平面口1口口门平面□□□、□、=□、□I平面□□□、□]n平面

□□□□□□=□口,

所以,I□、口,同理可得0/17〃口、口!I□口tI□]□,,LJLJ//□、□[1

设&□[=口,口1ZZ7=□□]E[0,1]),则&ZZ7=(1—ZZ7)£7i

西为口口“,口口I□、口i

所以□□、□「□□=(1-口□、口,

因为a£7=口、□、

所以OZ27+□□=(1—6□]□+□□[□、=口、□[=V2ZZ7,

同理,□□+□□=□、□],□□+□□=□、□],

所以，截面多边形的周长为乃3&外正方体边长)，故a为定值；

当□=0时，该截面多边形由六边形变为正三角形&OO,此时面积为田仔；

当O=g时，该截面多边形为正六边形，此时面积为6X；4口口/=当d；

所以，该截面多边形的面积在变换，故冰为定值.

综上，冰为定值，孕定值.

♦类型7截面面积

【例题1-7](2023・全国•高一专题练习)在棱长为中]正方体。。。。一口1口5口1中，口,去别是

筋形□□□□、正方形勺中心，则过点Z7,D,厅勺平面截正方体的截面面积为.

【答案】知

【分析】连接AC,□［口O4,找到过点A、口、厅勺平面截正方体的截面，确定其形状，求得截面边长，

即可求得答案.

【详解】如图连接AC,则AC过点M,连接0口则&。经过点N,连接O4,

则过点A、口、5勺平面截正方体的截面为等边4口口口,

因为正方体棱长为。，故4边长为鱼。,面积为亨•（夜守=”‘

故答案为：］4

【变式1-7］1.（2023•全国•高一专题练习）如图，正方悻□□□□-40口、4的棱长为6,口］口=

gaa,点。是o/j的中点，则过a,口,z点的平面魂该正方体所得截面的面积为.

【答案】6V41

【分析】过碑口□II，连接4。，作出截面图形，根据面面平行的性质可得。为平行四

边形，然后利用平行四边形面积公式即可求解.

【详解】如图，过点、口乍口□II□口,连接4。,

由面面平行的性质可得：四边形匚匕%平行四边形，

又因为正方体口1口、口1口1的棱长为6,口1口晨

点。是的中点，所以点£70=1,所以S=V22+62=2ViO,

因为平行四边形O&DO的高为籍，

所以□□[□□□=2VT0x=6V4J,

故答案为：6V41.

【变式i-7]2(2023•全国•高一专题练习期悻□□□□-4□[□]&中棱长为a□、侬别是a&、

aa的中点，o是底面口ooo的中心，过口、ag乍截面，则所得截面的面积为.

【答案】:炉##(

【分析】会口口，口口，□口，□口，口、口、,□□,可证明口口11口口,然后可得截面为梯形。£700,然后

求出其面积即可.

连接oa□口,□□,□□甩为口、。分别是ad、口口的中点,

所以口口11口1口1,因为口、口川口口,所以

因为a是口。的中点，所以过以aa乍截面,所得截面为梯形口口口口，

因为正方体的棱长为。，所以口口=垃口,□□若□,□□=□□党□,

22

所以梯形的高为JgO）-（^£7）=苧£7,其面积为gx（苧+夜Z7）x苧口£炉,

故答案为：，万

O

【变式1-7]3.（2022春・浙江宁波・高一效实中学校考期中）辿体□□□□—口】W的棱长为

2,点a口,侬别是棱a口、,口、i。。中点，则过点a口,。三点的截面面积是（）

A.yB.V3C.2V3D.3V3

【答案】D

【分析】作图作出过点a口,。三点的截面，说明截面为正六边形，求得边长皆可求得截面面积.

【详解】如图,设AB的中点为H,连接HR并延长，交DA延长线于E,交DC延长线于F,连接PE交口口

于G,连接QF交&。于I,连接GH,RL则六边形PQIRHG为过点口,D,。三点的截面，

由题意可知，△□□□*UUU，则Z7£7=□□=1,

故^口口□任口、O，即G为口。的中点,

同理可证I为4。的中点，故可知六边形PQIRHG为正六边形，

且边长为四,

故其面积为6x苧x（夜）2=3V3,即过点口口,。三点的截面面积是3V5,

故选：D

【变式1-7】4.（2023・全国•高一专题练习）已知正方体。。。。-口】口口&是棱长为1的正方体，

M是棱O4的中点，过C、□［、M三点作正方体的截面，作出这个截面图并求出截面的面积.

【答案】作图过程见解析，I

O

【分析】连接&D,并延长，交口。延