2021～2022海淀区数学初三(上)期末试题含答案

数学初三(上)期末2021〜2022试卷海淀区含答案

2022.1

本试卷共8页，共100分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结

束后将答题卡交回。

第一部分选择题

一、选择题(共16分，每题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

.1在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象经过点(0,0)的是

(A)y=x+1(B)y=xz(C)y=(x-4)2(D)y=J

x

2下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是

(A)(B)(C)(D)

3.抛物线y=Q—2)2+1的顶点坐标是

(A)(2,1)(B)(112)(C)(-2,1)(D)(1)-2)

4在aABC中，CA^CB,点。为AB中点.以点C为圆心，C。长为半径作。C,则。C与AB的位置关系是

(A)相交(B)相切(C)相离(D)不确定

5小明将图案、二/某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度a,设计出一个外轮廓为正六边形的图案(如

图)，则a可以为

(A)30°(B)60°(C)90°(D)120°

O

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6把长为2m的绳子分成两段，使较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积.设较长一段的长为A-m,

依题意，可列方程为

(A)柒=2(2-x)(B)m=2(2+x)

(C)(2T)2=2X(D)X2=2-X

7.如图，4,B,C是某社区的三栋楼,若在AC中点。处建一个5G基站，其覆盖半径为300m,则这三栋楼中

在该5G基站覆盖范围内的是

(A)A,B,C都不在(B)只有B

(C)只有A,C(D)A,B,C

8.做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示:

抛掷次数m5001000150020002500300040005000

“正面向上”的次数n26551279310341306155820832598

n

“正面向上”的频率一

0.5300.5120.5290.5170.5220.5190.5210.520

m

下面有3个推断：

①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512,所以“正面向上”的概率是0.512；

②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向

上”的概率是0.520；

③若再次做随机抛掷该纪念币的实验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558

次.其中所有合理推断的序号是

(A)②(B)①③(C)②③(D)①②③

第二部分非选择题

二'填空题(共16分，每题2分)

09.已知某函数当x>0时，y随x的增大而减小，则这个函数解析式可以为.

10.在一个不透明袋子中有3个红球和2个黑球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则取

出红球的概率是.

11.若点A(-1,y),B(2,y)在抛物线y=2x2上，则y,y的大小关系为：yy(填"或"V").

121212

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2如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（-2,0），点B（0,1）.将线段BA绕点B旋转180°得到线段BC,则

点C的坐标为.

B若关于x的方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，则%的取值范围是.

«如图，PA,PB分别切。。于点A,B,Q是优弧AB上一点，若NP=40。，则NQ的度数是

6小明烘焙了几款不同口味的饼干，分别装在同款的圆柱形盒子中.为区别口味，他打算制作“**饼干”字样

的矩形标签粘贴在盒子侧面.为了获得较好的视觉效果，粘贴后标签上边缘所在弧所对的圆心角为90。（如

图）.已知该款圆柱形盒子底面半径为6cm,则标签长度/应为cm.（”取3.1）

6给定二元数对（p,q）,其中p=0或1,4=0或1.三种转换器A,B,C对（p,q）的转换规则如下:

/\

规则

a转换器A当输入（1,1）时，输出结果为1；其余输出结果均为

0.转换器B当输入（0,0）时，输出结果为0；其余输出结果均为

1.转换器C当输入（1,1）时，输出结果为0；其余输出结果均为

1.

♦h在幺日—由林坳哭附A一市一CnTDJ由―伸出____________________________>

（D在图1所示的“A—B—C”组合转换器中，若输入（1,0）,则输出结果为；

（1,0）B（0,1）-C

图1

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②在图2所示的“①一C一②"组合转换器中，若当输入(1,1)和(0,0)时，输出结果均为0,则该组合转

换器为“--C-―"(写出一种组合即可).

(p,q)①_)②0

图2

三'解答题(共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28

题，每题7分)解答应写出文字说明'演算步骤或证明过程.

17.解方程：A2—6x+8=0.

18已知。是方程2心-7》-1=0的一个根，求代数式a(2〃-7)+5的值.

19在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a(x-3)2-1经过点(2,1).

(1)求该抛物线的表达式；

(2)将该抛物线向上平移个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点.

2}如图，在Rt/XA8c中，ZACB=90°,ZBAC=30°,将线段CA绕点C逆时针旋转60°,得到线段CD,连接

AD,BD.

(1)依题意补全图形；

(2)若BC=1,求线段BD的长.

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A

21.“化圆为方”是古希腊尺规作图难题之一，即：求作一个正方形，使其面积等于给定圆的面积.这个问题困

扰了人类上千年，直到19世纪，该问题被证明仅用直尺和圆规是无法完成的.如果借用一个圆形纸片，我们

就可以化圆为方，方法如下：

已知：。。(纸片)，其半径为r.

求作：一个正方形，使其面积等于。。的面积.

作法：①如图1,取。0的直径AB,作射线BA,过点A作A8的垂线/；

②如图2,以点A为圆心，为半径画弧交直线/于点C；

③将纸片。。沿着直线/向右无滑动地滚动半周，使点A,8分别落在对应的4,B'处;

④取CB'的中点M,以点M为圆心，例C为半径画半圆，交射线BA于点E；

⑤以AE为边作正方形

AEFG.正方形AEFG即为所_________________________________

求.

图1图2

根据上述作图步骤，完成下列填空：

(1)由①可知，直线/为。。的切线，其依据是.

(2)由②③可知，AC=r,则仞C=,MA=_____________L用含「的代数式表示).

(3)连接ME，在Rt/XAME中，根据AM2+AE2=EM2,可计算得AE2=1(用含r的代数式表示).由

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此可得s

=s。0.

正方形A£AC

22已知关于x的一元二次方程柒+(2-心)》+1-"?=0.

(1)求证：方程总有两个实数根：

(2)若〃?<0,且此方程的两个实数根的差为3,求”?的值.

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4如图，ZvlBC内接于。0,高A。经过圆心。.

①求证：AB=AC；

②若5c=8,。。的半径为5,求△ABC的面积.

设邮票素有'‘国家名片"之称，方寸之间，包罗万象.为宣传2022年北京冬奥会，中国邮政发行了一套冬奥

会邮票，其中有一组展现雪上运动的邮票，如图所示：

越野滑雪（4-1）J高ft滑雪（4-2）J冬季两项（4-3）J自由式滑雪（4-4）J

③④

某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品.

①在抢答环节中，若答对一题，可从4枚邮票中任意抽取1枚作为奖品，则恰好抽到“冬季两项”的概率

是;

②在抢答环节中，若答对两题，可从4枚邮票中任意抽取2枚作为奖品，请用列表或画树状图的方法，求

恰好抽到“高ft滑雪”和“自由式滑雪”的概率.

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25如图，AB为。。的直径，弦CCA8于E,连接AC,过A作AFJ.AC,交。。于点F,连接。凡过8作

BGVDF,交。尸的延长线于点G.

(1)求证：BG是。。的切线；

(2)若NCE4=30。，。尸=4,求尸G的长.

25在平面直角坐标系xOy中，点(4,3)在抛物线y=公2+法+3(a>0)上.

(1)求该抛物线的对称轴；

(2)已知机>0,当2-机4x42+2,”时，y的取值范围是-1Wy43,求。，机的值；

(3)在(2)的条件下，是否存在实数〃，当"-2<x<〃时，y的取值范围是3〃-3<y<3〃+5,若存在,

直接写出〃的值；若不存在，请说明理由.

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27.如图，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=1,延长C8,并将射线C8绕点C逆时针旋转90。得到射线/,

。为射线/上一动点，点E在线段CB的延长线上，且BE=CO,连接DE,过点A作AM工DE于M.

①依题意补全图1,并用等式表示线段。M与ME之间的数量关系，并证明；

0取BE的中点M连接AN,添加一个条件：CD的长为,使得=成立，并证明.

2

图1备用图

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a在平面直角坐标系xOy中，图形W上任意两点间的距离有最大值，将这个最大值记为d.对点P及图形W

给出如下定义：点。为图形w上任意一点，若P,。两点间的距离有最大值，且最大值恰好为2d,则称点P

为图形W的“倍点”.

①如图1,图形印是半径为1的00.

①图形W上任意两点间的距离的最大值d为；

②在点尸(0,2),P(3,3),P(-3,0)中，。。的“倍点”是；

123

0如图2,图形W是中心在原点的正方形ABCD,已知点A(-1,1),若点E(t,3)是正方形ABCD的“倍

点”，法的值；

③图形W是长为2的线段MMT为MN的中点，若在半径为6的。。上存在的“倍点”，直接写出

满足条件的点T所构成的图形的面积.

PP~'P~

312川

4•

3'

2'

J-f

_1II________________II]a

-4-3-2-1o234x

---

DC

-2•

图1图2

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数学初三（上）期末2021〜2022试卷海淀区参考答案及评分标准

第一部分选择题

一、选择题（共16分，每题2分）

题号12345678

答案BCABBADC

第二部分非选择题

二、填空题（共16分，每题2分）

3

9.不唯一，例如y=y=1-x2等

5

11.<12.(2,2)

13.k<\14.70°

15.9.316.(1)1,(2)不唯一，A/A或B/A均可

三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28

题，每题7分）

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.（本题满分5分）

解：x2—6x+9=1

G-3）2=1

x-3=±1

x=4»x=9

12.

18.（本题满分5分）

解：〃（2。-7）+5=2〃2一7〃+5.

,:a是方程2x2-7x-1=0的根，

/.2a2—7a-1=0.

/.2。2-7。=1.

:.原式=6.

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19.(本题满分5分)

(1)解：：抛物线y=a(x-3》-1经过点(2,1),

/•a—1=

1.解得：

2.

・,・该抛物线的表达式为y=2(x-31-1.

(2)1.

20.(本题满分5分)

(1)如图所示:

(2)解：VZACB=90°,ZBAC=30°,BC=1,

：.AB=2BC=2.

：.AC=dAB2-BC2=用.

•/线段CA绕点C逆时针旋转60。得到线段CD,

.•.04=0)且/4。。=60°.

.♦.△AC。是等边三角形.

：.AD=AC=4^'ND4c=60。.

ZDAB=ZDAC+ZCAB=90°.

：.在RtAABD中,BD=14及+4》=".

21.(本题满分5分)

(1)经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；

(rt+1)r(7t-Or

(2)--------,--------；

22

(3)口2.

22.(本题满分6分)"/m2>Q,

(1)证明：依题意，得

A=(2-zn)2

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一4（1一%）=根2—4m+4-4+4/77=m2.

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Z.A>0.

该方程总有两个实数根.

(2)解：解方程，得x=-1,x=m--\.

12

m<0,

••—1>m—1.

•••该方程的两个实数根的差为3,

/•—1—(w—1)=：3.

m=—3.

23.(本题满分5分)

(1)证明：在0。中，

8c于D,

：.BD=CD.

.♦.49垂直平分BC.

：.AB=AC.

(2)解：连接0B,

:8c=8,又由(1)得BD=CD,

：.BD=,BC=4.

2

'：0A=0B=5,

：.0D=40B2-Bg=3.

AD=A0+0D=8.

：./XABC的面积S=：BC♦A。=32.

^ABC2

24.(本题满分6分)

⑴L

4

(2)解：直接使用图中的序号代表四枚邮票.

方法一：由题意画出树状图

第14页共18页

由树状图可知，所有可能出现的结果共有12种，即①②，①③，①④，②①，②③，②④，③①，③②，

③④，④①，④②，④③，并且它们出现的可能性相等.其中，恰好抽到“高ft滑雪”和“自由式滑雪”（记为事

件A）的结果有2种，即②④或④

・（）

..PA=-2-_—1—■

126

方法二：由题意列表

二枚

第一铲、①②③④

①①②①③①④

②②①②③②④

③③①③②③④

④④①④②④③

由表可知，所有可能出现的结果共有12种，即①②，①③，①④，②①，②③，②④，③①，③②，③④，

④①，④②，④③，并且它们出现的可能性相等.其中，恰好抽到“高ft滑雪”和“自由式滑雪”（记为事件A）

的结果有2种，即②④或④②.

/.P（A）=£=1

126,

25.(本题满分6分)

(1)证明：

:C,A,D,尸在00上，ZCAF=90°,

：.ZD=ZCAF=90°.

:ABLCE,BG1DF,

：.ZBED=ZG=20°.

四边形8EOG中，ZABG=90°.

：.半径OBLBG.

；.BG是。。的切线.

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（2）解：连接CF,

VZCAF=90°,

・・・CT是。。的直径.

:.OC=OF.

*/直径A3_LCQ于E,

・•・CE=DE.

・・・0E是△<:£>尸的中位线.

1

:.0E=-DF=2.

2

VAD=AD,ZAFD=30°,

・•・ZACD=ZAFD=3Q°.

：.^CAE=90°-ZACE=60°.

,.・OA=OC,

**•△AOC是等边三角形.

VCE1AB,

:・E为AO中点，

：.OA=2OE=4,013=4.

：.BE=BO+OE=6.

•?ZBED=ZD=ZG=90°,

J四边形BEDG是矩形.

：.DG=BE=6,

：.FG=DG-DF=2.

26.(本题满分6分)

(1)解：依题意，

・・•抛物线>=方2+以+3过点(0,3),(4,3),

・,・该抛物线的对称轴为直线工=2.

(2)解：:抛物线y=or2+bx+3对称轴为直线x=2,

,b

,,~—=2,即〃=-4a①.

2a

*.*m>0,

2-m<2<2+2ni.

,：a>0,抛物线开口向上，

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・••当x=2时，函数值在2-机KxK2+2加上取得最小值一1.

即4。+2b+3=-1②.

联立①②，解得〃=1,/?=-4.

二抛物线的表达式为y=x2-4x+3,即y=(x-2)2-1.

m>0,

，当2-m4x42时，y随x的增大而减小，当x=2-相时取得最大值，

当24x42+2"?时，y随x的增大而增大，当x=2+2〃?时取得最大值，

•.•对称轴为x=2,

：.x=2-w与x=2+m时的函数值相等.

2<2+m<2+2m,

...当x=2+2〃?时的函数值大于当x=2+〃?时的函数值，即x=2-,w时的函数值.

.•.当x=2+2,"时，函数值在2-机4x42+2机上取得最大值3.

代入有4〃?2-1=3,舍去负解，得加=1.

(3)