高中数学必修2期末模拟卷05（解析版）

期末模拟卷5

一.选择题(共8小题)

1.复数z满足W，l+2i)=4+3。则z等于()

A.2-iB.2+iC.1+2ZD.1-2i

【分析】利用复数的运算法则、共枷复数的定义即可得出.

【解答】解：：7(1+2力=4+3/,

.-4+3i_(4+3i)(l-2i)-10-5i=2-i

"z=l+2i(l+2i)(l-2i)5

：.z=2+i.

故选：B.

2.某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1000名志愿者服用此药，体重变化结果统计如

表:

体重变化体重减轻体重不变体重增加

人数600200200

如果另有一人服用此药，估计这个人体重减轻的概率约为()

A.0.1B.0.2C.0.5D.0.6

【分析】用样本的数字特征估计总体的数字特征，可得结论.

【解答】解：由题意可得，这个人体重减轻的概率约为3匕=0.6,

1000

故选：D.

3.若圆锥W的底面半径与高均为1,则圆锥W的表面积等于()

A.(A/2+D71B.&兀C.2irD.—

3

【分析】求出圆锥的母线长，再计算圆锥的侧面积和表面积.

【解答】解：圆锥的轴截面如图所示，C”

则圆锥的母线为/=仃不=血，

所以该圆锥的侧面积为5侧面积=豆〃=冗・1•五=&n，

圆锥的表面积为S表面积=S捌面积+S底面枳=\Z^TT+1T・|2=(J^+l)n.

故选:A.

4.不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件

“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（）

A.2张卡片都不是红色

B.2张卡片不都是红色

C.2张卡片至少有一张红色

D.2张卡片至多有1张红色

【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接判断.

【解答】解：不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡

片，

对于A,2张卡片都不是红色与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件，故4正

确；

对于•以2张卡片不都是红色与事件“2张卡片都为红色”是对立的事件，故8错误；

对于C,2张卡片至少有一张红色与事件“2张卡片都为红色”能同时发生，不是互斥事

件，故C错误：

对于。，2张卡片至多有1张红色现事件“2张卡片都为红色”是对立事件，故。错误.

故选：A.

5.ZXABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若A=45°,B=60°,a=V2，则方的

值为（）

A.A/2B.MC.A/6D.276

【分析】由已知利用正弦定理即可求解.

【解答】解：因为A=45°,8=60°,a=V2，

.RV2x-y-

所以由正弦定理一—一可得〃=a'sinB=_

sinAsinBsinAV2_

2

故选:B.

6.在三棱柱A8C-4B1C1中，上下底面均为等腰直角三角形，且AAi1

平面ABC,若该三棱柱存在内切球，则A4=（）

A.2B.2-V2C.2-+V2D.V2

【分析】易知，AB=®,8C=AC=1,由三角形内切圆的半径公式，可得AABC内切

圆的半径r,而内切球的半径R=r,棱柱的高〃=2R,再由平面A8C,可推出该三

棱柱为直三棱柱，故44=〃.

【解答】解：由题可知，△ABC为等腰直角三角形，

,:AB=®BC=®,:.AB=M，8C=AC=1,

A/\ABC内切圆的半径r=BC+AC-AB=2-返,

22

•••此三棱柱存在内切球，

/•内切球的半径R=r=之-近,且棱柱的高h=2R=2-版,

2

平面A8C,.•.该三棱柱为直三棱柱，

.\AA\=h=2-y]~2-

故选：B.

7.甲、乙两人独立地破译一份密码，破译的概率分别为工，工，则密码被破译的概率为()

32

A.AB.2C.5D.1

636

【分析】密码被破译的对立事件是甲、乙同时不能破译密码，由此利用对立事件概率计

算公式和相互独立事件概率乘法公式能求出密码被破译的概率.

【解答】解：甲、乙两人独立地破译一份密码，

设事件A表示甲能破译密码，事件8表示乙能破译密码，

则P(A)="1,P(B)="1,

32

密码被破译的对立事件是甲、乙同时不能破译密码，

...密码被破译的概率为：

p=l-p(AB)=1一p(A)p<B)

32

=2

3"

故选:B.

8.设机、〃是两条不同的直线，a、0是两个不同的平面，下列命题中错误的是（）

A.若胆_La,m//n,"〃0,则a_L0B.若&_1_0,wCa,m±P，则，〃〃a

C.若，〃_L。，〃?ua,则a_L。D.若aJ_0,〃?ua,〃u0,则,〃_L”

【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解.

【解答］解：若，"_La,m//n,〃〃0,

则由平面与平面垂直的判定定理得a±p,故A正确；

若a_LB，/nip,则由直线与平面平行的判定定理得m〃a,故B正确；

若mua,则由平面与平面垂直的判定定理得a，B，故C正确；

若a_LB，znua,“U0,则加与"相交、平行或异面，故。错误.

故选：D.

二.多选题（共4小题）

9.如图，在四棱锥B-ACDE中，AE//CD,CD=24E,点M,N分别为BE,BA的中点,

若DMCCN=P,DEHCA=Q,则下述正确的是（）

A.DM=DE+DBB.直线。E与8c异面

C.MN//CDD.B,P,。三点共线

【分析】对于A,DM=y（DE+DB）;对于B，由条件可知直线QE与8c是异面直线；

对于C,EllMN//AE,AE//CD,得MN〃CD；对于Q,B,P,Q是平面ABC和平面8DE

的公共点，从而B,P,。三点共线.

【解答】解：在四棱锥8-ACOE中，AE//CD,CD^IAE,

点用，N分别为BE,54的中点，DMCCN=P,DEHCA=Q,

对于A，DM=y（DE+DB）,故A错误；

对于B,OEu平面ACDE,BCn平面ACDE于C,C电DE,

，由异面直线判定定理得直线DE与BC是异面直线，故B正确；

对于C,•:点M,N分别为BE,的中点，J.MN//AE,

'：AE//CD,:.MN"CD,故C正确；

对于O,,:DMCCN=P,DEQCA=Q,平面ABCC平面

：.B,P,。是平面48c和平面的公共点，

：.B,P,。三点共线，故。正确.

故选：BCD.

10.某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为1〜1000的

1000名学生进行了调查.调查中使用了两个问题，问题1：您的编号是否为奇数？问题2：

您是否吸烟？被调查者随机从设计好的随机装置（内有除颜色外完全相同的白球100个，

红球100个）中摸出一个小球：若摸出白球则回答问题1,若摸出红球则回答问题2,共

有270人回答“是”，则下述正确的是（）

A.估计被调查者中约有520人吸烟

B.估计约有20人对问题2的回答为“是”

C.估计该地区约有4%的中学生吸烟

D.估计该地区约有2%的中学生吸烟

【分析】根据题意知被调查者回答第一个问题的概率为工，其编号是奇数的概率也是工，

22

计算可得随机抽出的1000名学生中回答第一个问题且为“是”的学生数，

由此求出回答第二个问题且为是的人数，由此估计此地区中学生吸烟人数的百分比，进

而估计出被调查者中吸烟的人数，判断选项可得结论.

【解答】解：随机抽出的1000名学生中，回答第一个问题的概率是1,

2

其编号是奇数的概率也是工，

2

所以回答问题1且回答是的人数为1000x1x1=250；

22

所以回答第二个问题，且为是的人数270-250=20；

由此估计此地区中学生吸烟人数的百分比为毁=4%.

500

估计被调查者中约有1000X4%=40人吸烟.

故表述正确的是BC.

故选：BC.

11.AABC中，。为边AC上的一点，且满足说］■正，若P为边8。上的一点，且满足

AP=mAB+nAC（m>0,〃>0）,则下列结论正确的是（）

A.m+2n=\B.的最大值为

12

C.9△的最小值为6+4MD.川+9“2的最小值为工

mn2

【分析】利用向量共线定理可得：〃?+3〃=1,再利用基本不等式以及“乘1法”逐一判

断即可.

【解答】解：因为薪14而，所以说］记

所以AP=mAB+nAC=mAB+3/JAD,

因为8、P、。三点共线，所以,〃+3〃=1,故A错误;

则（―+-11）2=_L,则

'2'412

即,“〃最大值为」j当且仅当"1=3"，即〃?=_1,"=」"时取等号，故8正确；

1226

匡」■=（9」■）（m+3n）=卫星+@+724T+7,当且仅当工生二皿时取等号，

mnmnmnmn

所以刍△的最小值为4立+7,故C错误；

mn

〃？+9〃2=（,”+3”）2-f）mn=1-6mn^\-6X_^_=当且仅当/„=A,〃=_1•时取等号，

12226

所以m2+9n2的最小值为工，故。正确.

2

故选：BD.

12.如图，线段AB为圆。的直径，点E,尸在圆。上，EF//AB,矩形ABC。所在平面和

圆0所在平面垂直，且AB=2,EF=AD=1,则下述正确的是（）

A.OF〃平面BCE

B.BFl5]2®ADF

C.点A到平面CDFE的距离为返1

7

D.三棱锥C-BE尸外接球的体积为遥兀

【分析】利用直线与平面平行的判定判断4证明直线与平面垂直判断以利用等体积法

求8到平面CDFE的距离，可得点A到平面C。尸E的距离判断C；找出三棱锥C-BE尸

外接球的球心，求出半径，进一步求得外接球的体积判断力.

【解答】解：'JEF//AB,.,.EF//OB,

又AB=2,EF=1,...EF=08=I,则四边形OFEB为平行四边形，

得OF//EB,而0年平面BCE,BEu平面BCE,

.♦.0尸〃平面8CE,故A正确；

'：DAVAB,平面A8CQ_L平面AFEB,且平面ABCQC平面AFEB=AD,

；.AO_L平面AFEB,则A£)_LBF,由BF_LAF,ADQAF^A,

平面40凡故8正确；

EtlAB//EF,平面CEF,EFcTi®CEF,可得A8〃平面CEF.

则点A到平面CDFE的距离等于B到平面CDFE的距离.

在中，由已知可得OE=OF=EF=1,则△OEF为等边三角形，

由对称性可知/BOE=/AOF=60°,而0A=0F=0E=08,

则△AO尸与△BOE也是等边三角形，且边长均为1.

可知BE-EFul,BF=a，NBEF=120°,

由已知结合勾股定理求得CE=V^，CF=2,EF=\,

则cosNCEF=_2+匕4__sinZrRF.

2X&X144__

•一一1、，厂、…，丁逶Wc1、一、,畲V3

..SFEF_qX&X]X4=4,SABEF^X1X-

设B到平面CDFE的距离为h,由VC-BEF=VB-CEF,

得工x爽"xi』x近'Xh，返工，故C正确：

34347

△BEF外接圆的圆心为。，则矩形ABCD对角线长的一半为三棱锥C-BEF外接球的半

径.

等于喙，则三棱锥C-BEF外接球的体积为V=A兀x停)3兀，故。错误.

故选：ABC.

三.填空题(共4小题)

13.向量a是单位向量，lbl=2,a-Lb>则la+bl=_d^_.

【分析】由题意可得a・b=O,进行向量的模的运算带入求值即可得答案.

【解答】解：:a_Lb=a,b=0;

••A+E尸d(Z)2+(E)2+2/E=&.

故答案为：Vs-

14.正三棱柱ABC-48iCi的底面边长和高均为2,点。为侧棱CO的中点，连接40,

BQ,则。。与平面A8。所成角的正弦值为返.

-2-

【分析】建立空间直角坐标系O-xyz,求出平面48。的法向量，利用空间向量的数量积

求解。。与平面A8。所成角的正弦值即可.

【解答】解：如图，建立空间直角坐标系0-DZ，

。为A/1的中点，由已知,A(-l,O,2),8(l,O,2),D(0,,1),5(0,晶，0),

所以瓶=(2,0,0)，AD=(1,V3.-1)•

设平面ABO的法向量为n=(x,y,z),

w

,fnAB=2x=0人一MI|_FT

住k一,，令y—1,则z—y3»

n*AD=x-h/3yz=0

所以平面ABD的法向量为；=S,1,V3),甲=(0,0,1)-

则C\D与平面ABD所成角的正弦值为：_।____2.

InllCjDl2

故答案为：返.

2

15.设角A,B,C是△ABC的二个内角，已知向量m=(sinA+sinC,sinB-sinA',

n=(sinA-sinC,sinB),且m_Ln.则角C的大小为一一•

【分析】由已知结合向量数量积的坐标表示及正弦定理，余弦定理即可求解.

【解答】解：由己知可得，m*n=sin2^-sin2C+sin2B-sinAsinB=O,

所以sin2A-sin2C+sin2B=sinAsinS,

由正弦定理可得，c^+b2-^ab,

所以cosC〜：+by.=L

2ab2

因为C为三角形的内角，

所以C=2匚

3

故答案为：2L

3

16.某人有3把钥匙，其中2把能打开门，如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能打开门

的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率为1;如果试过的钥匙又混进去，第二

-3一

次才能打开门的概率为2.

一9一

【分析】(1)第二次才能打开门是指第一次没有打开门，第二次打开门，由此利用相互

独立事件概率乘法公式能求出第二次才能打开门的概率；

(2)试过的钥匙又混进去，利用相互独立事件概率乘法公式能求出第二次才能打开门的

概率.

【解答】解：(1)某人有3把钥匙，其中2把能打开门，随机地取一把钥匙试着开门，

把不能打开门的钥匙扔掉，

第二次才能打开门是指第一次没有打开门，第二次打开门，

.•.第二次才能打开门的概率为尸=上'2=工：

323

(2)试过的钥匙又混进去，第二次才能打开门的概率为：尸=上*2=2.

339

故答案为：1,2.

39

四.解答题(共6小题)

17.已知，是虚数单位，复数Z1=i,z尸1+i，Zq」?、，Zi=~r^-

(1)求|Z1|,|Z2|,|Z3|,|Z4|;

(2)随机从复数Z2,Z3,Z4中有放回的先后任取两个复数，求所取两个复数的模之积等

于1的概率.

【分析】(1)利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解|Zl|,|Z2|.

|Z3|,|Z4|;

(2)写出随机从复数Z2,Z3,Z4中有放回的先后任取两个复数的事件数，求出所取两个

复数的模之积等于1的事件数，再由古典概型概率公式求解.

【解答】解：(1)由题意知：|Zi|=l,|Z21=71+1=72)

23十1=1±=7171=亚，

Z「l+i-(l+i)(l-i)-bj2-2'口41北72'

(2)设随机从复数Z2,Z3,Z4中有放回的任取两个复数的样本点为(a,b)，

则该随机试验的样本空间为。={(Z2,Z2),(Z2,Z3),(Z2,Z4),(Z3,Z2),(Z3,Z3),

(Z3,Z4),(Z4,Z2),(Z4,Z3),(24,Z0}

所以n(Q)=9,

设事件A="所取两个复数的模之积等于1”，

则事件A={(Z2,Z4),(Z3,ZO,(Z4.Z2),(Z4,Z3)},

⑷=4,故「0)=黯普

18.已知在四面体ABC。中，AB=AC,DB=DC,点、E,F,G,M分别为棱40,BD,DC,

BC上的点，且8M=MC,DF=2FB,DG=2GC,AE=AAD(0《入Wl).

(1)当人=工时，求证：AM〃平面EFG；

3

(II)当入变化时，求证：平面平面EFG.

【分析】(I)当人=』■时，AE』AD，推导出EF〃AB,EG//AC,从而平面ABC〃平面

33

EFG,由此能证明AM〃平面EFG.

(II)推导出DMLBC,BC//GF,从而8C_L平面ADM,GFJ_平面ADW,

由此能证明当入变化时，平面平面EFG.

【解答】证明：(I)当人=工时，前』位)，

33

•.•四面体A8C。中，AB=AC,DB=DC,

点E,F,G,M分别为棱AD,BD,DC,BC上的点，BM=MC,DF=2FB,DG=2GC,

：.EF//AB,EG//AC,又EFCEG=E,ABHAC^A,

平面ABC〃平面EFG,

平面ABC,〃平面EFG.

(II)；AB=AC,DB=DC,点、E,F,G,例分别为棱AZ),BD,DC,BC上的点，

DF=2FB,DG=2GC,AE^MD(OWaWl).

：.AM±BC,DMIBC,BC//GF,

,：AMC\DM=M,，8C_L平面AOM,

VGF//BC,；.GF_L平面AOM

VGFc5F®EFG,

：.当A变化时，平面4。例_L平面EFG.

19.在①sinBsincJ；②tanB+tanC邛这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，

TuO

并进行作答.

在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,tanBtanC^a=2«,.

3

(1)求角A,B,C的大小；

(2)求△ABC的周长和面积.

【分析】(1)若选择①：利用三角函数恒等变换的应用，结合范围8+C6(0,n),可求

打

K2利用两角差的余弦函数公式可求（）结合

B心三‘A，"'cosB-C=1,

B-CE（号,-y）（可求B-C=0,可得B=c吟;

若选择②：（法一）由题意，利用基本不等式可求tanB+tanC>2jtanB・tanC邛，

0

可得B=C=2L，利用三角形的内角和定理可求A的值；

6

（法二）设tan8,tanC为方程，乂2驾?乂卷=0的两根，利用元二次方程的解法可

得tanB=tancX^，且"Ce（°，/，可求B=C=?二利用三角形的内角和定理可求

36

A的值;

（2）由正弦定理可求匕=c=2,利用三角形的面积公式即可求解.

【解答】解：（1）若选择①:

因为tanBtanc""，sinBsinC=>7,所以cosBcosc4（2分）

344

所以cos（BS=cosBcosC-sinBsinC=^，

因为8+CW（0,n）,所以（4分）

又因为cos（B-C）=cosBcosC+sinBsinC=1,B-C£

所以8-C=0,B=C=匹（6分）

6

若选择②:

（法一）由题意知，tan8>0,tanOO,

所以tanB+1anC》2让anB-tanC/乎（2分）

o

因为当且仅当tanB=tancXa时，上式的等号成立，且&Ce（0,n）（3分）

3

所以B=c=三（5分）

6

所以A=7l-（B+C）N^您分）

（法二）设lanB,tanC为方程，.2_2,乂得二。的两根（2分）

解得tanB二tanC℃（°，口）（4分）

o

所以B《=工（5分）

6

所以A=7T-（B+C）WL（6分）

（2）由正弦定理知：（7分）

sinAsinBsinC

因为A/：，B=C=--,a=2V3

所以b=c=2（9分）

所以△ABC的周长为4+2（10分）

所以△ABC的面积SAABC^-bcsinA=V3（口分）

20.如图1,△ABC是等腰直角三角形/C4B=90°,AC=2a,E,F分别为AC,8c的中

点，沿EF将△CEF折起，得到如图2所示的四棱锥C'-ABFE

（I）求证：ABL平面AEC';

（II）当四棱锥C'-A8FE体积取最大值时，

（/）若G为BC'中点，求异面直线G尸与AC'所成角；

（"）在C'-ABFE中AE交8产于C,求二面角A-CC'-B的余弦值.

图1图2

【分析】（I）推导出EFLAE,EFLCE,从而E/H平面AEC,由此能证明A8J_平面

AEC.

（II）（/）取AC中点D,连接DE,EF,FG,GD,推导出四边形DEFG为平行四边形，

直线GF与AC所成角就是OE与力C所成角，由此能求出直线GF与AC所成角.

（n）分别以£4、EF、EC所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用

向量法能求出平面CAE与平面CBF的平面角的夹角的余弦值.

【解答】证明：（1）因为△ABC是等腰直角三角形，ZCAB=90°,E,F分别为4C,

BC的中点，

所以EFJ_AE,EFLCE.

又因为AEnC£=E,所以EF_L平面AEC.

由于E尸〃A8,所以有A8L平面AEC.4分

解：(H)(i)取AC中点Q,连接。E,EF,FG,GD,

由于GZ)为△ABC中位线，以及EF为△A8C中位线，

所以四边形。EFG为平行四边形.

直线GF与4。所成角就是DE与4。所成角.

所以四棱锥C-A8F£体积取最大值时，CE垂直于底面A8PE.

此时△AEC为等腰直角三角形，

EO为中线，所以直线EOLAC.

又因为ED〃GF,所以直线G尸与AC所成角为工.10分

2

(")因为四棱锥C-ABFE体积取最大值，

分别以EA、EF、EC所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图，

则C(0,0,a),B(a,2a,0),F(0,a,0),CB(a,2a,-a),CF(0,a,-a).

设平面C8E的一个法向量为崂=(X，y，z),

由「•口=ax+2ay-az=0得,取产］，得；=(_1)

n,C'F=ay-az=0

平面CA£的一个法向量7=<0,1,0).

所以cos<_2■*>=,

'ImI•InIV33

故平面CAE与平面C8尸的平面角的夹角的余弦值为返.14分

B

X

21.有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的l.OOppm(即百万分之

一)时，人食用它，就会对人体产生危害.现从一批该鱼中随机选出30条鱼，检验鱼体

中的汞含量与其体重的比值(单位：ppm),数据统计如图：

0.070.240.390.540.610.660.730.820.820.82

0.870.910.950.980.981.021.021.081.141.20

1.201.261.291.311.371.401.441.581.621.68

(1)求上述数据的中位数、众数、极差，并估计这批鱼该项数据的80%分位数；

(2)有A,B两个水池，两水池之间有10个完全相同的小孔联通，所有的小孔均在水下,

且可以同时通过2条鱼.

(i)将其中汞的含量最低的2条鱼分别放入A水池和8水池中，若这2条鱼的游动相

互独立，均有工的概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率；

3

(ii)将其中汞的含量最低的2条鱼都先放入A水池中，若这2条鱼均会独立地且等可

能地从其中任意一个小孔由A水池进入B水池且不再游回A水池，求这两条鱼由不同小

孔进入B水池的概率.

【分析】(1)由所给数据能求出数据的中位数，数据的众数，数据的极差，能估计这批

鱼该项数据的80百分位数.

(2)(i)记“两鱼最终均在A水池”为事件4记“两鱼最终均在B水池”为事件8,

利用相互独立事件概率乘法公式求出P(A),P(B),由事件A与事件8互斥，能求出

两条鱼最终在同一水池的概率.

(ii)记“两鱼同时从第一个小孔通过”为事件。，“两鱼同时从第二个小孔通过”为

事件C2,……依此类推.由两鱼的游动独立，得到「(,1)=「(，2)=“=。*看=焉，

由事件0,事件C2,……互斥，得到p©)=p(cUC2U…UC[0)=10X焉=，，

1乙1UU1U

记“两条鱼由不同小孔进入8水池”为事件C,由C与。UC2U…UCio对立，能求出

这两条鱼由不同小孔进入B水池的概率.

【解答】解：（1）由题意知，数据的中位数为.02=1，

2

数据的众数为0.82,

数据的极差为1.68-0.07=1.61,

估计这批鱼该项数据的80百分位数约为1•咒L37=].34；

（2）（i）记“两鱼最终均在4水池”为事件A,则p（A）=2x上上，

339

记“两鱼最终均在8水池”为事件B,则「但）=2乂工上，

v7339

因为事件A与事件B互斥，

（ii）记“两鱼同时从第一个小孔通过”为事件Ci,

“两鱼同时从第二个小孔通过”为事件C2,……依此类推.

因为两鱼的游动独立，所以「（&）=2（€^）="=1-乂1-=—^