高一数学函数知识点总结归纳

高一数学函数学问点总结归纳

中学阶段学习难度、强度、容量加大，学习负担及压力明显加重，不

能再依靠初中时期老师"填鸭式"的授课，"看管式"的自习，"吩咐式”的作

业，要逐步培育自己主动获得学问、巩固学问的实力，下面为大家带来（高

一数学）函数学问点（总结）归纳，希望大家喜爱！

高一数学函数学问点总结归纳

一、函数的概念与表示

1、映射

⑴映射：设A、B是两个集合，假如依据某种映射法则f,对于集合A

中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包

括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作

f：A玲B。

留意点：（1）对映射定义的理解。（2）推断一个对应是映射的（方法）。

一对多不是映射，多对一是映射

2、函数

构成函数概念的三要素

①定义域②对应法则③值域

两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同

二、函数的解析式与定义域

1、求函数定义域的主要依据：

⑴分式的分母不为零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；

(3)对数函数的真数必需大于零；

(4)指数函数和对数函数的底数必需大于零且不等于1;

三、函数的值域

1求函数值域的方法

①干脆法：从自变量x的范围动身，推出y=f(x)的取值范围，适合于

简洁的复合函数；

②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内

外皆为一次式；

③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围;

适合分母为二次且回R的分式；

④分别常数：适合分子分母皆为一次式(x有范围限制时要画图)；

⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；

⑥图象法：二次函数必画草图求其值域；

⑦利用对号函数

⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含肯定值

函数

四.函数的奇偶性

1.定义:设y=f(x),x0A,假如对于随意回A,都有,则称y=f(x)为偶函数。

假如对于随意回A,都有，则称y=f(x)为奇

函数。

2.性质：

①y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称,y=f(x)是奇函数y=f(x)的图

象关于原点对称，

②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0

③奇士奇=奇偶±偶=偶奇、奇=偶偶、偶=偶奇、偶=奇［两函数的定义域

DI,D2,D1CD2要关于原点对称］

3.奇偶性的推断

①看定义域是否关于原点对称②看f(x)与f(-x)的关系

五、函数的单调性

1、函数单调性的定义：

2、设是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则在M上

是减函数;若f(x)与g(x)的单调性相同，则在M上是增函数。

高一数学函数学问点汇总

一：函数及其表示

学问点详解文档包含函数的概念、映射、函数关系的推断原则、函数

区间、函数的三要素、函数的定义域、求详细或抽象数值的函数值、求函

数值域、函数的表示方法等

1.函数与映射的区分：

2,求函数定义域

常见的用解析式表示的函数f(x)的定义域可以归纳如下：

①当f(x)为整式时，函数的定义域为R.

②当f(x)为分式时，函数的定义域为使分式分母不为零的实数集合。

③当f(x)为偶次根式时，函数的定义域是使被开方数不小于0的实数

集合。

④当f(x)为对数式时，函数的定义域是使真数为正、底数为正且不为

1的实数集合。

⑤假如f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各

部分式子都有意义的实数集合，即求各部分有意义的实数集合的交集。

⑥复合函数的定义域是复合的各基本的函数定义域的交集。

⑦对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域除上述外，还要受

实际问题的制约。

3,求函数值域

(1)、视察法：通过对函数定义域、性质的视察，结合函数的解析式，

求得函数的值域；

(2)、配方法;假如一个函数是二次函数或者经过换元可以写成二次函

数的形式，那么将这个函数的右边配方，通过自变量的范围可以求出该函

数的值域；

(3)、判别式法：

(4)、数形结合法;通过视察函数的图象，运用数形结合的方法得到函

数的值域；

(5)、换元法;以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变

量为自变量的函数形式，进而求出值域；

(6)、利用函数的单调性;假如函数在给出的定义域区间上是严格单调

的，那么就可以利用端点的函数值来求出值域；

(7)、利用基本不等式：对于一些特殊的分式函数、高于二次的函数可

以利用重要不等式求出函数的值域；

⑻、最值法：对于闭区间［a,b］上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区

间［a,b］内的极值，并与边界值f(a).f(b)作比较，求出函数的最值，可得到函数v

的值域;

(9)、反函数法：假如函数在其定义域内存在反函数，那么求函数的值

域可以转化为求反函数的定义域。

高一数学函数学问点整理

1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区分，映射是一种特殊

的对应，而函数又是一种特殊的映射.

2、对于函数的概念，应留意如下几点：

(1)驾驭构成函数的三要素，会推断两个函数是否为同一函数.

(2)驾驭三种表示法一一列表法、解析法、图象法，能根实际问题寻求

变量间的函数关系式，特殊是会求分段函数的解析式.

(3)假如y=f(u),u=g(x),那么y=f[g(x)]叫做f和g的复合函数,其中g(x)

为内函数，f(u)为外函数.

3、求函数y=f(x)的反函数的一般步骤：

(1)确定原函数的值域，也就是反函数的定义域；

(2)由y=f(x)的解析式求出x=f-l(y);

⑶将x,y对换，得反函数的习惯表达式丫=客1仅)，并注明定义域.

留意①：对于分段函数的反函数，先分别求出在各段上的反函数，

然后再合并到一起.

②熟识的应用，求f；(xO)的值，合理利用这个结论，可以避开求反函

数的过程，从而简化运算.

1、函数及其定义域是不行分割的整体，没有定义域的函数是不存在

的，因此，要正确地写出函数的解析式，必需是在求出变量间的对应法则

的同时，求出函数的定义域.求函数的定义域一般有三种类型：

(1)有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量X有实际意义，求

定义域要结合实际意义考虑；

(2)已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可.如:

①分式的分母不得为零；

②偶次方根的被开方数不小于零；

③对数函数的真数必需大于零；

④指数函数和对数函数的底数必需大于零且不等于1;

⑤三角函数中的正切函数y=tanx(x!3R,且kHZ),余切函数y=cotx(x0R,

x#kn,k0Z)等.

应留意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义

的自变量取值的公共部分(即交集).

(3)已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑定义域

的深刻含义即可.

已知f(x)的定义域是[a,b],求f[g(x)]的定义域是指满意a<g(x)<b的x

的取值范围,而已知f[g(x)]的定义域[a,b]指的是x!3[a,b],此时f(x)的定

义域，即g(x)的值域.

2、求函数的解析式一般有四种状况

(1)依据某实际问题需建立一种函数关系时，必需引入合适的变量，依

据数学的有关学问寻求函数的解析式.

⑵有时题设给出函数特征，求函数的解析式，可接受待定系数法.比

如函数是一次函数，可设f(x)=ax+b(awO),其中a,b为待定系数，依据题

设条件，列出方程组，求出a,b即可.

⑶若题设给出复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法求函数f(x)的

表达式，这时必需求出g(x)的值域，这相当于求函数的定义域.

(4)若已知f(x)满意某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其

他未知量(如f(-x),等)，必需依据已知等式，再构造其他等式组成方程组，

利用解方程组法求出f(x)的表达式.

1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论接受何种方法求函数

值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：

(1)干脆法：亦称视察法，对于结构较为简洁的函数，可由函数的解析

式应用不等式的性质，干脆视察得出函数的值域.

⑵换元法：运用代数式或三角换元将所给的困难函数转化成另一种简

洁函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换

元，当根式里是二次式时，用三角换元.

(3)反函数法：利用函数f(x)与其反函数f-l(x)的定义域和值域间的关系,

通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a，0)的函数值域可接受

此法求得.

(4)配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用

配方法.

(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b2[a,随(0,+8)]可以求某些

函数的值域，不过应留意条件“一正二定三相等"有时需用到平方等技巧.

(6)判别式法：把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程，利用“团20”求值

域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.

⑺利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个定

义域的子集上)的单调性，可接受单调性法求出函数的值域.

(8)数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几

何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域.

2、求函数的最值与值域的区分和联系

求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上,

假如在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.

因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而

答题的方式就有所相异.

如函数的值域是(0,16],值是16,无最小值.再如函数的值域是(-8,

-2]0[2,+8),但此函数无值和最小值，只有在变更函数定义域后，如X0

时，函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.

3、函数的最值在实际问题中的应用

函数的最值的应用主要体现在用函数学问求解实际问题上，从文字表

述上常常表现为"工程造价最低"，"利润"或"面积(体积乂最小)”等诸多现实

问题上，求解时要特殊关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最

值.

1、函数的奇偶性的定义：对于函数f(x),假如对于函数定义域内的随

意一个x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函

数).

正确理解奇函数和偶函数的定义，要留意两点：(1)定义域在数轴上关

于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2)f(x)=-f(x)或

f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.(奇偶性是函数定义域上的整体性质).

2、奇偶函数的定义是推断函数奇偶性的主要依据。为了便于推断函

数的奇偶性，有时须要将函数化简或应用定义的等价形式：

留意如下结论的运用：

(1)不论f(x)是奇函数还是偶函数，f(|x|)总是偶函数；

(2)f(x)、g(x)分别是定义域D1、D2上的奇函数，那么在D1CD2上,f(x)+g(x)

是奇函数，f(xNg(x)是偶函数，类似地有"奇士奇=奇""奇、奇=偶"，"偶±偶=

偶"〃偶、偶=偶"〃奇、偶=奇"；

(3)奇偶函数的复合函数的奇偶性通常是偶函数；

(4)奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数。

3、有关奇偶性的几特性质及结论

⑴一个函数为奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数

为偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称.

(2)如要函数的定义域关于原点对称且函数值恒为零，那么它既是奇函

数又是偶函数.

⑶若奇函数f(x)在x=0处有意义，则f(0)=0成立.

(4)若f(x)是具有奇偶性的区间单调函数，则奇(偶)函数在正负对称区

间上的单调性是相同(反)的。

⑸若f(x)的定义域关于原点对称，则F(x)=f(x)+f(-x)是偶函数，

G(x)=f(x)-f(-x)是奇函数.

⑹奇偶性的推广

函数y=f(x)对定义域内的任一x都有f(a+x)=f(a-x),则y=f(x)的图象关于

直线x=a对称，即y=f(a+x)为偶函数.函数y=f(x)对定义域内的任-x都有

f(a+x)=-f(a-x),则y=f(x)的图象关于点(a,0)成中心对称图形，即y=f(a+x)为

奇函数。

1、单调函数

对于函数f(x)定义在某区间［a,b］上随意两点xl,x2,当xlx2时，都

有不等式f(xD(或)f(x2)成立，称f(x)在［a,b］上单调递增(或递减);增函数或

减函数统称为单调函数.

对于函数单调性的定义的理解，要留意以下三点：

⑴单调性是与"区间”紧密相关的概念.一个函数在不同的区间上可以

有不同的单调性.

(2)单调性是函数在某一区间上的"整体”性质，因此定义中的xl,x2

具有随意性，不能用特殊值代替.

⑶单调区间是定义域的子集，探讨单调性必需在定义域范围内.

(4)留意定义的两种等价形式：

设xl、x20［a,b］,那么：

①在［a、b］上是增函数；

在［a、b］上是减函数.

②在［a、b］上是增函数.

在［a、b］上是减函数.

须要指出的是：①的几何意义是：增(减)函数图象上随意两点(xl,

f(xl))、(x2,f(x2))连线的斜率都大于(或小于)零.

(5)由于定义都是充要性命题，因此由f(x)是增(减)函数，且(或xlx2),

这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正

逆互推

5、复合函数y=f［g(x)j的单调性

若u=g(x)在区间［a,b］上的单调性，与y=f(u)在［g(a),g(b)］(或g(b),g(a))

上的单调性相同，则复合函数y=f［g(x)］在［a,b］上单调递增;否则，单调递

减.简称"同增、异减

在探讨函数的单调性时，常须要先将函数化简，转化为探讨一些熟知

函数的单调性。因此，驾驭并熟记一次函数、二次函数、指数函数、对数

函数的单调性，将大大缩短我们的推断过程.

6、证明函数的单调性的方法

⑴依定义进行证明.其步骤为：①任取xl、x20M且xl(或)f(x2);③依

据定义，得出结论.

⑵设函数y=f(x)在某区间内可导.

假如F(x)O,则f(x)为增函数;假如F(x)O,则f(x)为减函数.

函数的图象是函数的直观体现，应加强对作图、识图、用图实力的培

育，培育用数形结合的思想方法解决问题的意识.

求作图象的函数表达式

与f(x)的关系

由f(x)的图象需经过的变换

y=f(x)±b(bO)

沿y轴向平移b个单位

y=f(x±a)(aO)