高中数学-双曲线及其标准方程教学设计学情分析教材分析课后反思

人教A版选择性必修第一册《双曲线及其标准方程》

教学设计

一.教学目标

1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问

题中的作用.

2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.

3.通过双曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。

5.提高数学能力：通过类比椭圆，发现和提出数学问题，猜测合理的

数学结论，提出解决问题的思路和方案，通过自主探索、合作探究论

证数学结论。

6.发展数学抽象、数学建模、数学运算的核心素养。

二、教学的重点和难点

重点：双曲线的几何特征，双曲线的标准方程，坐标化的基本思想。

难点：双曲线形成，标准方程的推导与化简，坐标法的应用。

三、教法、学法分析

根据这节课的特点和学生的认知水平，本节课的教法与学法定为:

引导发现，问题串教学，由浅入深、层层递进，将教材还原成生动活

泼的思维创造活动，启发学生积极思考，勇于探索，从而使学生产生

浓厚的学习兴趣，体现学生的主体地位.在学法的选择上，采用自主

探究法、实验操作、观察发现法、合作交流法、归纳总结法.

四、教学过程

结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节及时间分配如下:

课堂教学内容学生活动设计意图

环节

情景1.3D动画，平面截圆锥得截线1.了解圆锥曲线

的原始定义

引入2.学生研究性学习视频，了解双曲线在

2.激发学生学习

现实生活中的应用兴趣，引入课题

复习：.到两个定点距离和为定值的点的

学生类比通过类比椭圆，

轨迹。

椭圆定义发现和提出数学

问题，猜测合理

问题1：平面内与两个定点Fl、F2的距

的数学结论，培

离之差等于常数的点轨迹是什么？

问养学生发现问题

题方法的能力。

导

入

如图，、是两个定点，在线段外

ABPAB通过观察通过几何画

运动，在平面内取定点R,F2,以FI为

几何画板板演示，为椭圆、

圆心、线段PA为半径作圆，再以F?为

圆心、线段PB为半径作圆，M为两圆交演示，观双曲线之间的内

点。1F.F1>|AB|

实2察：哪些在关系留下伏笔

问(1)若IFlF21VlAB|,当点P在

验线段AB上运动时，那么两圆相交，其交量不变？

探点M的轨迹是什么？动点在运

究ABP动过程中

满足什么

几何条

件？

判断出动

点轨迹为

椭圆.

学生观察：通过观察引导学生类比椭

圆的生成过程思

(2)若IFlF2|>IAB|.几何画板

考双曲线的生成

让点P在线段AB外运动，演示，过程，进而找到

双曲线满足的几

问：这时交点M满足什么几何条件？哪些量不

何条件，培养学

两圆的交点M的轨迹是什么形状？变？生的数学抽象能

动点在运力.

使用拉链验证，

PAB动过程中

使学生从感官上

满足什么

认同

几何条

件？

生：MF1-MF2=PA-PB=AB为常数.

并得出双

师：（1）仅有一个条件吗？

曲线一般

生：|FlF2|>|AB|.

结论

师：（2）仅有一条吗？

生：两条

MF「MF2=PA-PB=-AB为常数.

师：||MFi|-1昵||=常数

师：||MF,|-|MF2I|=常数=0?

生：非零常数，构成三角形

拉链验证，确认

双曲线定义：学生归要想用探究结论

我们把平面内与两个定点几B的距离纳，抽象作为双曲线的定

定的差的绝对值等于非零常数（小于出双曲线义，用呆证它足够

义HBD的点的轨迹叫做双曲线.定义，并严密、起懒。

生①两个定点Fl、F2——双曲线的焦点；对问题继使学生养成思维

成②|FlF2|=2c——焦距.续深化问严谨、规范表达

问题：这个常数可以是任意正实数吗？题。的科学态度。

有什么限制条件吗？

若(1)常数=1F1F2|

(2)常数》IF1F2|，情况会发生什么

变化？

师：(1)类比椭圆的方程，如何求这优类比椭圆1.让学生进一

美的曲线的方程？学生进行步熟悉直接法求

(2)椭圆标准方程的推导过程的步骤？

化简，两方程的步骤及策

方生：1.建系个学生板略

程

如图，以后,尸2所在直线为X演。2.化简过程中

推轴，线段昆巳的垂直平分线、1彳

导运算量较大，提

为y轴，建立直角坐标系明,x

高运算技能可以

提升学生数学运

2.设点

算素养

设M(x,y)港双曲线上任意一点，

3.学会引入参

1F11=2c,则尸式―c,0),/(c,。)

数，使结构简洁

3.列式

优美，体会简洁

师：定义中的等量关系是什么？取什么

对称的方程带来

参数？

的便捷。

生：=2a

师：为什么取2a?

J(x+c)2+y2—V(x—c)24-y2=+2c

学生进行化简

(c2-a2)x2--a2y2——Q2)

Z1

学生要理

22

xy--1

222

ac—a解化简过

类比椭圆b的儿

令c2—a2=b2,其中b>0,

程中如何

何意义，形成方

/—庐=l(a>0,b>0)

引入参

师：(1)为什么要两边除以di-a?)?法迁移，体会圆

数。

(2)令/-a?=反的机理是什么？在本节课的应用

(3)为什么要令b>0?

类比椭圆回答

师：你能在y轴上找一点B,使得|0B|=b

吗？

学生小组

\讨论，寻

z找最优方

A3/%法。

/i\c2=a2+h2

师：当双曲线焦点在y轴上时

通过类比

类比椭圆

2/椭圆的两

*-*=l(a>0,b>0)

种标准方

两种标准方程的比较:程，得出

定义售

\\MF^-\MF2\\^2a(0<2a<LI)/、、工点在y

1

和1上的双

图形£匕

71t由1线标准

x2y2y22

标准方程x程，进

^-p=l(a>0,b>0)^-^=l(a>0,b：

Grbfcc2=a24-b2,c2=a2+b2,—•步总结

关系c>a>Q,c>b>Qc>a>0,c>b>0

焦点坐标(一c,O),(c,0)(0,-c),(0,c)1双曲线

标准方程

问：怎样根据双曲线的标准方程判断焦

的特征.

点位置？

类比椭圆

椭圆要看分母，焦点跟着大的走

为蹴靛搬，谶藕孤犍知识与学生反思培养学生大局

归技能？本节课学观，不仅横向研

纳

习过程。究还要纵向把

总

结握，形成学术探

究的基本能力。

1、必做：课本P121练习1-3学生课后巩固深化所学知

课2、选做课本P121练习4I------------1独立完成识

椭圆标

后习题3.22题.准勺程

类

比

作

।------------1类I

椭圆的双曲线定r双曲线

正义1—]।标准方

形q

1引进参

数a与b

2.K拓展R本节课中三次用到圆来解决对学习过程中解

问题，它的原理是什么？决问题所用到的

工具圆作深刻反

思。

3.对圆、椭圆、双曲线作横向总结，并视频观赏数学不仅仅是运

赋诗一首，开启几何性质的预演。算、思维，还有

诗和优美。

业

新人教A版选修1《双曲线及其标准方程》

学情分析

高二（1）班是一个物化地班级，学生数学基础扎实，课堂接受

容量较高。学生已经掌握了椭圆的定义及标准方程以及圆锥曲线的研

究方法，能够通过引导自主归纳双曲线定义、推导双曲线的方程。本

节课中学生要经历直观想象、数学运算、数据分析等过程，整个过程

对学生数学核心素养要求较高，因此对于物化地学生来说，本节课从

双圆锥截面所得曲线出发，从直观地立体几何体中得到平面曲线，进

而进行双曲线图象的探究活动，通过几何画板直观地展示图象的生成

过程。学生在过程中既动手操作，又能够直观地感知图象的来源，符

合学生的认知水平。双曲线标准方程的化简过程，是在已经推导出椭

圆标准方程的基础上进行，学生通过类比便可以自主探究，但对于一

部分运算能力差的学生，绝对值和根号的化简仍旧是个难点。

效果评价

袁老师的课堂声音抑扬顿挫，整节课充分调动学生的兴趣和注意.

学生通过探究，总结，讨论，展示做题过程等形式让学生积极参与课

堂，提高课堂效率.虽然隔着屏幕仍然能感受到老师和谐的师生关系

以及学生较好的数学素养，学生默契的配合老师的教学，从而产生思

维共振和感情共鸣.

课堂设计的问题，给与学生充分探索的空间，这种探索双曲线定

义及其标准方程的方法和过程一方面是对椭圆知识的再认识，另一方

面也使学生在探索中增强了类比、观察、发现、分析、归纳的能力.

整节课教师都采用类比的方法，让学生去推导，去探索，效果不错，

对于后续抛物线的学习可以放手给学生了.3D动画引入,让学生直观

的观察到圆锥曲线的由来，激发了学生探究它的热情，结尾富有诗情

画意的小诗，即点名了双曲线的本质，有为后续的学习指明了方向，

数学课不应只有计算和推理，也应该有诗和远方.

教材分析

《双曲线及其标准方程》是新课程人教A版选择性必修第一册，

第三章第2节第一课时。这一节是在学习了椭圆的基础上，运用类比的

方法进行研究，使学生体会联系、发展攀谕正观点。以多媒体课件为平台，直

观生动地对定义进行探究和对标准方程进行推导，使学生体验到数学发现

和仓峭的即呈进而培养学生提出问题、解决问题等研究性学习的育助。如果

双曲线研究的透彻清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章，所以说

本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双

曲线的简单性质的学习打下基础。也为后面的抛物线及其标准方程

做铺垫。双曲线是圆锥曲线中一个重要的几何模型，有许多几何性

质，这些性质在日常生活，生产和科学技术中有着广泛的应用。同

时它也是体现数形结合思想的重要素材。双曲线、椭圆、抛物线这

三种圆锥曲线方程，是平面解析几何的核心内容。双曲线及其标准

方程的概念与椭圆及其标准方程相类似，教材处理也相仿。学好本

节课内容是学好圆锥曲线关键之一，对后面能进一步理解掌握由曲

线求方程和由方程讨论曲线性质，从而借助形和数的对应关系，把

形的问题转化为数来研究，再把数的研究转化为形来讨论，这是解

析几何的基本思想和基本方法，从而提高学生分析问题，解决问题

的能力。

通过本节课的学习，可以帮助学生在平面直角坐标系中认识双曲

线的几何特征，建立它的标准方程，运用代数方法进一步认识圆锥曲

线的性质，以及它们的位置关系，运用平面解析几何方法解决简单的

数学问题和实际问题，感悟平面解析几何中蕴含的数学思想。

在平面解析几何的教学中，应引导学生经历以下过程，首先通过

实例了解几何图形的背景；进而，结合情景清晰地描述图形的儿何特

征与问题；再结合具体问题，合理地建立坐标系，用代数语言描述这

些特征与问题；最后，借助几何图形的特点，形成解决问题的思路,

通过直观想象和代数运算得到结果，并给出几何解释，解决问题。

应充分发挥信息技术的作用，通过计算机软件向学生演示方程中

参数的变化对方程所表示的曲线的影响，使学生进一步理解曲线与方

程的关系

在教学中可以组织学生收集、阅读平面解析几何的形成与发展的

历史资料，撰写小论文，论述平面解析几何发展的过程、重要结果、

主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献。

评测练习

A层

1、写出满足条件的双曲线的标准方程

(l)a=4,b=3,焦点在x轴上；

(2)经过点力(1,空用)，且a=4；

(3)经过点力(2,芈)，8(3,-272);

2222

2、若椭圆指X+=V=1和双曲线XF—£V=1有相同的焦点，则实数〃的

34nn16

值是.

B层

22

XV

3、已知方程三十^^=1的图形是双曲线，那么A的取值范围是

4、已知A(-5,0),£(-5,0),动点P满足|P£|-|P6|=2”,当a为

3和5时，点P的轨迹分别是____________________________________

22

5、已知E,£是双曲线±—21=1的左、右焦点，若P是双曲线左支

916

上的点，且附卜归鸟|=32,求明尸鸟的面积.

双曲线及其标准方程教学反思

在本节课的教学中，重点放在定义的形成与标准方程的推导上，

符合新课标重视过程与方法的理念。本节课可以充分调动学生已有的

知识，引导学生把新旧知识有机融合，掌握知识的系统结构。时时与

椭圆进行比较，强化学生已经理解和掌握了的建系求曲线方程的步骤。

在引导分析时，先留出“空白”，让学生去联想、探索，同时鼓励学

生大胆质疑，围绕中心各抒己见。围绕学生的最近发展区铺设问题，

把思路方法和需要解决的问题弄清。然后运用多种教学方法，使学生

获得自信和成功的体验，于不知不觉中改善了他们的思维品质，提高

了数学思维能力。

尤其值得一提的是信息技术在本课的应用。运用多媒体课件辅助教学,

既节省了板演的时间，又充分显示出信息技术与探究合作式教学理念

有机结合的教学优势。

1.从双圆锥截面所得的曲线入手，播放提前录制的微课视频使学生观

看，通过观察学生发现可以截到三种不同的曲线，可以激发学生学习

兴趣，并很自然地过渡到本节课的主题：双曲线及其标准方程。

2.本节课在新教材中引入环节进行了较大的改动，考虑几何画板追踪

点的轨迹可以更精确地得到双曲线的图象，因此本节课在几何画板上

下了功夫。让学生先自主思考探究