高中数学选修2-3《1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理》测试卷解析版

高中数学选修2-3《1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理》

测试卷解析版

—.选择题(共40小题)

1.如图，用四种不同的颜色给图中的A,B,C,D,E,F,G七个点涂色，要求每个点涂

一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有()

C.600D.以上答案均不对

【分析】根据题意，结合计数原理，先排E,F,G,然后根据4,B,C,力的情况讨论.

【解答】解：E,F,G分别有4,3,2种方法，

①当A与F相同时，A有1种方法，此时8有2种，

(1)C若与P相同有C有1种方法，同时。有3种方法，

(2)若C与F不同，则此时。有2种方法，

故此时共有：4X3X2X1X2X(1X3+1X2)=240种方法；

②当A与G相同时，A有1种方法，此时B有3种方法，

(1)若C与F相同，C有1种方法，同时。有2种方法，

(2)若C与尸不同，则力有1种方法，

故此时共有：4X3X2X1X3X(1X2+1X1)=216种方法；

③当A既不同于尸又不同于G时，A有1种方法，

(1)若8与F相同，则C必须与A相同，同时。有2种方法；

(2)若8不同于尸，则B有1种方法，

(I)若C与F相同则C有1种方法同时。有2种方法；

(II)若C与尸不同则必与A相同，C有1种方法，同时。有2种方法；

故此时共有：4X3X2X1X[1X1X2+1X(1X2+1X2)]=144种方法；

综上共有240+216+144=600种方法.

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故选：c.

【点评】本题考查了计数原理，考查了分类讨论思想的应用，分类时要做到不重不漏.本

题属于难题.

2.若X&4,则工£包就称A是伙伴关系集合，集合0,—,—,1,2,3,4｝

x43

的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（）

A.15B.16C.32D.256

【分析】首先根据题意找出满足条件的集合，然后排列组合即可.

【解答】解：子集中，｛-1｝、⑴、g,3｝、［-1,4｝均满足条件，两两组合、三个

组合或四个一起也满足条件，

一共有4+cj+c；+c：=15个满足题意.

故选：A.

【点评】该题不适用列出所有子集再找满足条件的集合，应先找出满足条件的集合，然

后组合后也满足条件.

3.设（xi,Ki,X3,X4,X5）是1,2,3,4,5的一个排列，若（XLX,'+I）（xz+1-x（+2）<0

对一切立｛1,2,3｝恒成立，就称该排列是“交替”的.“交替”的排列的数目是（）

A.8B.16C.24D.32

［分析］由已知可得：Xi-Xi+\与Xi+l-Xi+2异号，有两种情况：（1）Xi-x；+i>0且Xi+\-

Xi+2V0;

（2）刘-川+1<0且xi+i-xi+2>0,分别讨论可以求得结果，也可以列举得解.

【解答】解：由己知可得：XLM+1与Xi+LXi+2异号，有两种情况：

（1）xi-xt+i>0且xi+1-x»+2<0,此时

①当第二和第四位是1或2时，有AgxA：=12种；

②当第一位是2,第二位和第四位是1或3时有慰XA尸4种，

共计12+4=16种.

（2）xi-xi+i<0且xi+i-xi+2>0,此时

①当第二位和第四位是4或5时，有A1XAg=12种；

②当第一位是3,第二位和第四位是4或5时，有A：XA：=4种，

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共计12+4=16种.

综上可得，一共有16+16=32种.

故选：

【点评】本题考查分类计数原理，属于难度较大题目.

4.现有5种不同的颜色，给四棱锥P-A8CD的五个顶点涂色，要求同一条棱上的两个顶

点颜色不能相同，一共有（）种方法

A.240B.360C.420D.480

【分析】根据题意，要求符合题意的方法分两步，①先涂顶点；②再涂底面4点；采用

排列分析可得答案.

【解答】解：（1）涂顶点，有5种方法

（2）在底面的四个点中，有4种颜色可选；

选不相邻的两个涂色；

若同色，则涂底面的方法有：A?X3X3=36种；

若异色，则涂底面的方法有：A4?X2X2=48种；

（3）由分步计算原理总的涂色方法有：5X（36+48）=420种，

故选：C.

【点评】本题考查排列组合的运用，考查分步计算原理，是一道典型的题目，注意解题

的特殊方法.

5.将2封信随意投入3个邮箱，不同的投法有（）

A.3种B.6利।C.8种D.9种

【分析】根据题意，分析可得2封信中，每一封信都有3种投法，由分步计数原理计算

可得答案.

【解答】解：根据题意，2封信随意投入3个邮箱，

每一封信都有3种投法，则一共有3X3=9种不同的投法；

故选：D.

【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意分步计数原理与排列、组合的区别.

6.某省示范高中将6名教师分配至3所农村学校支教，每所学校至少分配一名教师，其中

甲必去A校，乙、丙两名教师不能分配在同一所学校的不同分配方法数为（）

A.36B.96C.114D.130

【分析】按照其余5人是否都去A校分类计数.

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【解答】解：甲去A校，再分配其他5个人，

①如果都不去A校，则分配方法有考*2X2X2=16种；

②如果5人分成1,1,3三组，则分配方法有（C3-C1）A3=42种；

533

c菅cW

③如果5人分成1,2,2三组，则分配方法有（一33-CDA3=72种；

A233

A2

由加法原理可得不同分配方法有16+42+72=130种.

故选：D.

【点评】本题考查排列、组合的应用，注意要先分组，再进行排列，属于中档题.

7.今有6个人组成的旅游团，包括4个大人，2个小孩，去庐山旅游，准备同时乘缆车观

光，现有三辆不同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘3人，为了安全起见，小孩乘缆

车必须要大人陪同，则不同的乘车方式有（）种

A.204B.288C.348D.396

【分析】分乘坐3辆缆车和乘坐两辆缆车讨论，①乘坐3辆缆车则4个大人被分成2,1,

1三组按分步原理计算方法数即可，②若乘两辆缆车，则4个大人被分成2,2或者3,1

两组，然后按计算原理处理即可，最后将两类相加即可.

【解答】解：①若6人乘坐3辆缆车，则将4个大人分成2,1,1三组有cj=6种方法,

然后将三组排到三个缆车有A9=6种方法，再将两个小孩排到三个缆车有3X3-1=8种

方法，所以共有6X6X8=288种方法.

②若6人乘坐2辆缆车，

（1）两个小孩不在一块：则大人分成2,2两组的方法有Y=3种方法，将两组排到两

4

辆缆车有种方法，再将两个小孩排到两辆缆车有种方法，

A2=6A2=2

故共有3义6义2=36种方法.

（2）两个小孩在一块：则大人分成3,1两组，分组方法为c：=4种方法，小孩加入1

人的组有1种方法，再将两组从3辆缆车中选两辆排入有人§=6种方法，故共有4X1X

6=24种方法.

综上共有：288+36+24=348种方法.

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故选：c.

【点评】本题考查了分类加法原理，分步乘法原理，考查了排列数公式，组合数公式等

知识，但是本题容易漏掉一些情况，分类时要注意.本题属于难题.

8.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、

兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，三

位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个

吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（）

A.30种B.50种C.60种D.9（）种

【分析】讨论甲同学选择的两种不同的情况，确定乙，丙的个数.

【解答】解：①甲同学选择牛，乙有2种，丙有10种，选法有1X2X10=20种，

②甲同学选择马，乙有3种，丙有10种，选法有1X3X10=30种，

所以总共有20+30=50种.

故选:B.

【点评】本题考查分步计数原理，属于简单题.

9.一个国际象棋棋盘（由8X8个方格组成），其中有一个小方格因破损而被剪去（破损位

置不确定）.“L”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示.现要将这个破损的棋盘剪

国际象棋棋盘

A.至多能剪成19块“L”形骨牌

B.至多能剪成20块“Z,”形骨牌

C.一定能剪成21块形骨牌

D.前三个答案都不对

【分析】由右图的一个图形能剪成2块“L”形骨牌，在个国际象棋棋盘（由8X8个方

格组成），其中有一个小方格因破损而被剪去（破损位置不确定），共包含有10个这样的

能剪成2块“L”形骨牌的图形，且包含一个田字图形，这个田字图形能剪成1块“L”

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形骨牌，由此能这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，一定能剪成“L”形骨牌的块数.

【解答】解：由下图的一个图形能剪成2块‘Z"形骨牌，

i

在个国际象棋棋盘（由8X8个方格组成），其中有一个小方格因破损而被剪去（破损位

置不确定），

共包含有10个这样的能剪成2块“L”形骨牌的图形，

且包含一个田字图形，这个田字图形能剪成1块“L”形骨牌，

故要将这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，一定能剪成21块“L”形骨牌.

故选：C.

【点评】本题考查满足条件的“L”形骨牌个数的求法，考查简单的计数问题等基础知识,

考查化归与转化思想、数形结合思想，考查推理论论能力，是基础题.

10.以正六边形的6个顶点中的3个作为顶点的三角形中，等腰三角形的个数为（）

A.6B.7C.8D.12

【分析】根据题意，分2种情况讨论：①，包含正六边形2条边的等腰三角形，②，由

正六边形的对角线构成的等腰三角形；结合图形分析可得每种情况等腰三角形的数目，

由加法原理计算可得答案.

【解答】解：根据题意，如图正六边形ABCQEF,分2种情况讨论：

①，包含正六边形2条边的等腰三角形：有△ABC,△BCD,/XCDE,/\DEF,△EFX,

△FAB,共6个；

②，由正六边形的对角线构成的等腰三角形：有ABDF,/XACE,共2个；

则等腰三角形一共有6+2=8个；

【点评】本题考查分类计数原理的应用，注意分析等腰三角形的情况.

11.已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲没有银

联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰

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好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有（）种

A.19B.26C.7D.12

【分析】由题意，根据甲丙丁的支付方式进行分类，根据分类计数原理即可求出.

【解答】解：顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可

以，

①当甲丙丁顾客都不选微信时，则甲有2种选择，当甲选择现金时，其余2人422=2种，

当甲选择支付宝时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支

付宝或现金，故有1+C21c21=5,

故有2+5=7种，

②当甲丙丁顾客都不选支付宝时，则甲有2种选择，当甲选择现金时，其余2人A2?=2

种，

当甲选择微信时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信

或现金，故有1+C21c21=5,

故有2+5=7种，

③当甲丙丁顾客都不选银联卡时，若有人使用现金，则C3%22=6种，

若没有人使用现金，则有C32A22=6和I,

故有6+6=12种，

根据分步计数原理可得共有7+7+6+6=26种，

故选：B.

【点评】本题考查了分步计数原理和分类计数原理，考查了转化思想，属于难题

12.某人有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有（）

A.8种B.15种C.种D.53种

【分析】每个邮件选择发的方式有3种不同的情况，利用乘法原理，可得要发5个电子

邮件，发送的方法的种数.

【解答】解：•••每个邮件选择发的方式有3种不同的情况，

要发5个电子邮件，发送的方法的种数有3X3X3X3X3=35种，

故选：C.

【点评】本题考查乘法原理的运用，考查学生的计算能力，比较基础.

13.设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2、3、3、4条路，只从一面上山，而从任意

一面下山的走法最多，应（)

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A.从东边上山B.从西边上山C.从南边上山D.从北边上山

【分析】分别计算从不同的方位上山的种数，再比较即可.

【解答】解：东边上山的种数为：2(3+3+4)=20,

西边上山的种数为：3(2+3+4)=27

南边上山的种数为：3(2+3+4)=27

北边上山的种数为:4(2+3+3)=32,

故只从一面上山，而从任意一面下山的走法最多的为从北边上山，

故选：D.

【点评】本题主要考查了分步计数原理，属于基础题.

14.高三某6个班级从“照母山”等6个不同的景点中任意选取一个进行郊游活动，其中1

班、2班不去同一景点且均不去“照母山”的不同的安排方式有多少种()

A.C2A4B.C264

545

C.A2A4D.A264

545

【分析】分两步，第一步，安排1班、2班，从5个景点选2个，第二步，安排另外4

个班级，每个班级都有6种选法，根据分步计数原理可得答案.

【解答】解：分两步，第一步，安排1班、2班，从5个景点选2个，由A52种，

第二步，安排另外4个班级，每个班级都有6种选法，故有64种，

根据分步计数原理，共有4264种，

故选：D.

【点评】本题主要考查分步计数原理，关键是分步，属于基础题.

15.从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、

乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有()种

A.36B.30C.12D.6

【分析】由题意知本题是一个有约束条件的排列组合问题，先从除甲与乙之外的其余3

人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，写出即可.

【解答】解：从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育

委员，

其中甲、乙二人不能担任文娱委员，

；先从其余3人中选出1人担任文娱委员，

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再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，

...不同的选法共有C31・A12=3X4X3=36种.

故选：A.

【点评】排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有

限制条件的元素.排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题.

16.现有4种不同品牌的小车各2辆（同一品牌的小车完全相同），计划将其放在4个车库

中且每个车库放2辆，则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有（）

A.144种B.108种C.72种D.36种

【分析】根据题意，分3步进行分析：①、在4种不同品牌的小车任取2个品牌的小车，

②、将取出的2个品牌的小车任意的放进2个车库中，③、剩余的4辆车放进剩下的2

个车库，相同品牌的不能放进同一个车库，分别分析每一步的情况数目，由分步计数原

理计算可得答案.

【解答】解：根据题意，分3步进行分析：

①、在4种不同品牌的小车任取2个品牌的小车，有C42种取法，

②、将取出的2个品牌的小车任意的放进2个车库中，有A，2种情况，

③、剩余的4辆车放进剩下的2个车库，相同品牌的不能放进同一个车库，有1种情况，

则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有C42A42X1=72种，

故选：C.

【点评】本题考查排列、组合的应用，需要分析如何满足“恰有2个车库放的是同一品

牌的小车”的要求.

17.有5位学生和2位老师并坐一排合影，若教师不能坐在两端，且要坐在一起，则有多少

种不同坐法（）

A.7!种B.240种C.480种D.960种

【分析】先排5位学生，由排列公式可得其坐法数目，要求2位教师坐在一起，用捆绑

法，插入到5个学生符合要求的4个空位中，易得其有2A3种坐法，由分步计数原理计

算可得答案.

【解答】解：先排5位学生，有种坐法，

2位教师坐在一起，将其看成一个整体，可以交换位置，有2种坐法，

将这个，，整体”插在5个学生的空位中，又由教师不能坐在两端，则有4个空位可选，

则共有2A55A3=960种坐法.

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故选：D.

【点评】本题考查排列、组合的运用，关键在于掌握常见的问题的处理方法，如相邻问

题用捆绑法，不相邻问题用插空法.

18.4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一

名大学生的情况有（）

A.24种B.36种C.48种D.60种

【分析】分两类，第一类，有3名被录用，第二类，4名都被录用，则有一家录用两名，

根据分类计数原理即可得到答案

【解答】解：分两类，第一类，有3名被录用，有人；=24种，第二类，4名都被录用，

则有一家录用两名，有3A尸36,

根据分类计数原理，共有24+36=60（种）

故选：D.

【点评】本题考查排列、组合的综合运用，解题时要先确定分几类，属于基础题

19.古代“五行”学认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克

水，水克火，火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种

物质不相邻，则这样的排列方法有多少种（结果用数字表示）.（）

A.5B.10C.20D.120

【分析】由题意，可看作五个位置排列五种事物，由分步原理求解即可，本题需要考虑

的因素：相克的两种物质不相邻，注意满足此规则，计算符合条件的排列方法种数

【解答】解：由题意，可看作五个位置排列五种事物，第一位置有五种排列方法，不妨

假设排上的是金，

则第二步只能从土与水两者中选一种排放，故有两种选择不妨假设排上的是水，

第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，

故总的排列方法种数有5X2X1XIX1=10

故选：B.

【点评】本题考查排列排列组合及简单计数问题，解答本题关键是理解题设中的限制条

件及“五行”学说的背景，利用分步原理正确计数，本题较抽象，计数时要考虑周详，

本题以实际问题为背景，有着实际背景的题在现在的高考试卷上有逐步增多的趋势

20.5人站成一排，甲、乙两人相邻的不同站法的种数为（）

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A.24B.36C.48D.60

【分析】利用捆绑法，把甲乙二人看作一个复合元素，再和另外3的全排列.

【解答】解：把甲、乙看成一个人来排有种，而甲、乙也存在顺序变化，所以甲、乙

相令B排法种数为A：Ag=48种

【点评】本题考查了排队问题，审清题意，选择合理的方法是关键，属于中档题.

21.完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种

方法，从这9个人中选1人完成这项工作，一共有多少种选法？（）

A.5B.4C.9D.20

【分析】分两类：第一类有5种选法，第二类有4种选法，即可得出结论.

【解答】解：分两类：第一类有5种选法，第二类有4种选法，共9利I

故选：C.

【点评】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础.

22.5个男生，2个女生排成一排，若女生不能排在两端，但又必须相邻，则不同的排法有

（）种.

A.480B.720C.960D.1440

【分析】捆绑法：把2名女生看成1个元素，和5个男生可作6个元素的全排列，去掉

其中女生在两端的情形，可得总的方法种数为：2A/A?，计算可得.

【解答】解：把2名女生看成1个元素，和5个男生可作6个元素的全排列，

又2名女生的顺序可调整，共有煤,A狎方法，

去掉其中女生在两端的情形共2A＞种，

故总的方法种数为：2A京

=^5（6X2-2X2）=120X8=960

故选：C.

【点评】本题考查计数原理的应用，涉及捆绑法和间接法的应用，属中档题.

23.从1、2、3、4、5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字有2

和3时，则2需排在3的前面（不一定相邻），这样的三位数有（）

A.9个B.15个C.45个D.51个

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【分析】①当这个三位数中，数字2和3都有时，这样的三位数的个数有3XA,个；②

当这个三位数中，2和3只

有一个时，这样的三位数的个数为C^CFA小③当这个三位数中，2和3都没有时，

这样的三位数的

个数为A3,再把求得的这三个数相加，即得所求.

【解答】解：①当这个三位数中，数字2和3都有时，需从剩余3个数中再选一个数，

方法有3种，

再把这3个数进行排列，方法有Ag种，故含有数字2和3的三位数共有3XA'=18个.

其中满足2排在3的前面的三位数占总数的一半，故满足条件的三位数共有18X1=9

2

个.

②当这个三位数中，和只有一个时，这样的三位数的个数为

23C1-C2-A3=36.

③当这个三位数中，2和3都没有时，这样的三位数的个数为A3=6.

综上可得，满足条件的三位数的个数为9+36+6=51,

故选：D.

【点评】本题主要考查分步计数原理的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题.

24.把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分法共有（）

A.4种B.5种C.6种D.7种

【分析】利用分类：三堆中“最多”的一堆为5个，其他两堆总和为5,三堆中“最多”

的一堆为4个，其他两堆总和为6,列出分组方法即可.

【解答】解：分类：三堆中“最多”的一堆为5个，其他两堆总和为5,每堆至少1个，

只有2种分法.即1和4,2和3个有两种方法.

三堆中“最多”的一堆为4个，其他两堆总和为6,每堆至少1个，只有2种分法.即2

和4；3和3两种方法.

三堆中“最多”的一堆为3个，那是不可能的.

所以不同的分法共有2+2=4.

故选：A.

【点评】本解法从“最多”的一堆分情况考虑开始，分别计算不同分法，然后求和.用

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列举法也可以，形象、直观易懂.

25.用0、1、2、3、4这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）

A.60个B.40个C.30个D.24个

【分析】数字0不能排在首位，末位是0时又是偶数，当末位是0时，十位和百位从4

个元素中选两个进行排列，当末位不是0时，只能从2和4中选一个，百位从3个元素

中选一个，十位从三个中选一个，相加得到结果.

【解答】解：由题意知本题是一个分类计数原理，

在所给的数字中，0是一个比较特殊的数字，0在末位和0不在末位结果不同，

末位是0时，十位和百位从4个元素中选两个进行排列有A42=12种结果，

当末位不是0时，只能从2和4中选一个，百位从3个元素中选一个，十位从三个中选

一个共有A2IA3IA3I=18种结果，

根据分类计数原理知共有12+18=30种结果，

故选：C.

【点评】本题考查计数原理的应用，本题解题的关键是包含数字0的排数问题，要分类

来解，0在末位是偶数，并且0还不能排在首位，在分类时要做到不重不漏，本题是一个

基础题.

26.某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5位同学只会用综合法证明，有3

位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数有（）

种.

A.8B.15C.18D.30

【分析】本题是一个分类计数问题，解决问题分成两个种类，一是可以用综合法证明，

有5种方法，一是可以用分析法来证明，有3种方法，根据分类计数原理知共有3+5=8

种结果.

【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，

解决问题分成两个种类，一是可以用综合法证明，有5种方法，

一是可以用分析法来证明，有3种方法，

根据分类计数原理知共有3+5=8种结果，

故选：A.

【点评】本题看出分类计数问题，本题解题的关键是看清楚完成这个过程包含两种方法，

看出每一种方法所包含的基本事件数，相加得到结果.

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27.现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同

一种颜色，则不同的着色方法共有（）

A.24种B.30种C.36种D.48种

【分析】需要先给最上面一块着色，有4种结果，再给中间左边一块着色，有3种结果,

再给中间右边一块着色有2种结果，左后给下面一块着色，有2种结果，相乘得到结果.

【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，

需要先给最上面一块着色，有4种结果，

再给中间左边一块着色，有3种结果，

再给中间右边一块着色有2种结果，

最后给下面一块着色，有2种结果，

根据分步计数原理知共有4X3X2X2=48种结果，

故选：D.

【点评】本题考查分步计数原理，这种问题解题的关键是看清题目中出现的结果，几个

环节所包含的事件数在计算时要做到不重不漏.

28.甲、乙、丙3人进行擂台赛，每局2人进行单打比赛，另1人当裁判，每一局的输方当

下一局的裁判，由原来的裁判向胜者挑战，比赛结束后，经统计，甲共打了5局，乙共

打了6局，而丙共当了2局裁判，那么整个比赛共进行了（）

A.9局B.11局C.13局D.18局

【分析】根据丙当了2局裁判，甲乙比赛2局，甲丙比赛5-2局.甲乙比赛2局，乙丙

比赛6-2局，从丙的比赛过程来看整个比赛，得到比赛的场数.

【解答】解：；丙当了2局裁判，

...甲乙比赛2局，甲丙比赛5-2=3局.

甲乙比赛2局，乙丙比赛6-2=4局

...以丙的比赛过程来看整个比赛

甲丙+乙丙+丙裁判=3+4+2=9局

故选：A.

【点评】本题考查计数原理的应用，考查根据所给的条件分析题目中包含的数学问题，

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本题的题干比较特别，可以引起同学们的兴趣，题目比较新颖，是值得借鉴的.

29.三边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数为（）

A.25B.26C.36D.37

【分析】本题是一个分类计数问题，最长的边长度是11,另外两边长用x,y表示，要构

成三角形必须x+y212,列举出当y分别从11,10,9,8,7,6时，对应的三角形的个

数，根据分类计数原理得到结果.

【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，

另外两边长用x,y表示，且不妨设iWxWyWll,要构成三角形，必须x+y>12.

当y取值11时，x=l,2,3,…，11,可有11个三角形；

当y取值10E1寸，x=2,3,…，10,可有9个三角形；

当），取值分别为9,8,1,6时，x取值个数分别是7,5,3,1,

根据分类计数原理知所求三角形的个数为11+9+7+5+3+1=36.

故选：C.

【点评】本题考查分类计数原理，考查组成三角形的条件，考查分类讨论思想的应用，

是一个比较简单的综合题目，这种题目出现的几率比较大.

30.从集合｛0,1,2,3,4,5,6｝中任取两个互不相等的数a,b,组成复数a+历，其中虚

数有（）

A.36个B.42个C.30个D.35个

【分析】本题是一个分步计数问题，从集合中任取两个互不相等的数a,小组成复数a+bi,

要求是一个虚数，也就是b不能为0,先选有限制条件的元素6,不能选0,在根据两个

互不相等的数a,b,根据分步计数原理得到结果.

【解答】解：•••〃，人互不相等且为虚数，

所有6只能从｛1,2,3,4,5,6｝中选一个有6种，

a从剩余的6个选一个有6种，

根据分步计数原理知虚数有6X6=36（个）.

故选：A.

【点评】本题考查分步计数原理，考查复数的概念，是一个综合题，解题的关键是要求

复数是一个虚数，限制了b的取值.

31.袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在有放回抽取的条件

下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量序则E所有可能取值的个数是（）

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A.5B.9C.10D.25

【分析】由题意，这是有放回抽样，将号码之和可能的情况列举可得答案.

【解答】解：根据题意，分析可得，

这是有放回抽样，号码之和可能的情况为：2、3、4、5、6、7、8、9、10,

共9种；

故选：B.

【点评】本题考查列举法的运用，难度不大，注意又放回与不放回抽样的区别.

32.已知x€{l,2,3,4},>€{5,6,7,8）,则孙可表示不同的值的个数为（）

A.2B.4C.8D.15

【分析】根据分步计数原理即可求出.

【解答】解：xG{l,2,3,4},）05,6,7,8）,

从x中选一个，从y选一个，共有4X4=16种，

其中3X8=4X6,

故孙可表示不同的值的个数为16-1=15个，

故选：D.

【点评】本题考查了分步计数原理属于基础题

33.“数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1到9

这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一个数，且9个空格

的数字各不相同.若中间空格已填数字5,且只填第二行和第二列，并要求第二行从左到

右及第二列从上至下所填的数字都是从小到大排列的，则不同的填法种数为（）

5

A.36B.72C.144D.196

【分析】根据题意，如图假设第二行的两个空格为2、D,第二列的两个空格为A、C,

分2步进行分析：①，对于空格A、B,需要在1、2、3、4四个数字中任选2个，②，

对于空格C、D,需要在6、7、8、9四个数字中任选2个，由分步计数原理计算可得答

案.

【解答】解：根据题意，如图假设第二行的两个空格为8、D,第二列的两个空格为A、

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c,

分2步进行分析：

①，对于空格4、B,需要在1、2、3、4四个数字中任选2个，有442=12种选法,

②，对于空格C、D,需要在6、7、8、9四个数字中任选2个，有412=12种选法,

则有12X12=144种不同的填法；

故选：C.

A

B5D

C

【点评】本题考查排列、组合的应用，注意分析表格的特点，属于基础题.

34.如图所示，从甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，从甲地不经

过乙地到丙地有2条水路可走.则从甲地经乙地到内地和从甲地到丙地的走法种数分别

乙

A.6,8B.6,6C.5,2D.6,2

【分析】根据分步和分类计数原理可得.

【解答】解：根据分步计数原理，从甲地经乙地到丙地的方法有3X2=6利

从甲地直接到到内地的走法有2种，故从甲地到丙地的走法种数2+6=8种，

故选：A.

【点评】本题考查了分步计数原理，属于基础题

35.某市农技推广中心拟将A,B,C,D,E五名技术员派到三个农场去作技术指导，每个

农场至少有1名技术

指导员，其中A和8不能去同一农场,A和C必须去同一农场，则该中心拟派方案有（）

A.240种B.120种C.60种D.30种

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【分析】A和C必须去同一农场，则将A和C捆绑在一起记为F（捆绑法），在将B,D,

E,F分成三组，然后分给三个农场，用分步计数原理计算，然后剔除尸和B去同一农场

的种数求解.

【解答】解：因为A和C必须去同一农场

则可将A和C捆绑在一起记为F,

则B和F不能去同一农场.

c^xci

先将5,D,E,尸分成三组，共有,-42=6（种）

4

再将这三组分给三个农场，

则共有A§=6（种）

故将2,D,E,尸派到三个农场去作技术指导，每个农场至少有1名技术

指导员共有6X6=36（种）

又当5,F同在一个农场的情况共有A9=6（种）

故该中心拟派方案有36-6=30（种）

故选：D.

【点评】本题考查了平均分组3问题与相邻问题，同时考查了分步计数原理.

36.某班六位学生参演一个文艺节目，分别饰演其中的6个不同角色，其中1号角色只能由

小丁或小军出演，6号角色不能由小丁出演，则不同的角色分配方案有（）

A.192种B.288种C.240种D.216种

【分析】根据分类计数原理即可求出.

【解答】解：若1号角色由小丁出演，则其余的全排列即可，故有A55=120种，

若1号角色由小军出演，6号从除了小丁中的4人选一人，则其余的全排列即可，故有

C41A44=96种，

根据分类计数原理可得，共有120+96=216种，

故选：D.

【点评】本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于基础题

37.本周日有5所不同的高校来我校作招生宣传，学校要求每位同学可以从中任选