江苏专版2024-2025学年新教材高中数学第四章数列4.4数学归纳法分层作业新人教A版选择性必修第二册

4.4数学归纳法A级必备学问基础练1.[探究点一·2024福建福州检测]用数学归纳法证明“”时,假设时命题成立,则当时,不等式的左边比当时增加的项为()A. B.C. D.2.［探究点一］用数学归纳法证明：.从到，若设，则()A. B.C. D.3.［探究点一］（多选题）已知一个命题,.若当,2,,时,成立,且当时也成立,则下列推断中正确的是()A.对成立 B.对每一个自然数都成立C.对每一个正偶数都成立 D.对某些偶数可能不成立4.［探究点一］（多选题）对于不等式，某学生的证明过程如下：①当时，，不等式成立.②假设时，不等式成立，即，则时，，所以当时，不等式成立.关于上述证明过程的说法正确的是()A.证明过程全都正确 B.当时的验证正确C.归纳假设正确 D.从到的推理不正确5.[探究点五·2024江西新余月考]用数学归纳法证明能被14整除时,当时,对于应变形为.6.［探究点四］在数列中，,.（1）求出，并猜想的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想.7.[探究点三·人教B版教材例题]求证：当是大于或等于5的正整数时，.8.［探究点二·北师大版教材习题］平面内有条直线，其中任何两条都不平行，任何三条都不经过同一点，用数学归纳法证明：交点的个数.B级关键实力提升练9.用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边()A.增加了 B.增加了C.增加了 D.增加了10.利用数学归纳法证明等式:,当时,左边的和,记作,则当时左边的和,记作,则()A. B.C. D.11.（多选题）设是定义在正整数集上的函数,且满意：当成立时,总有成立.则下列命题总成立的是()A.若成立,则成立B.若成立,则当时,均有成立C.若成立,则成立D.若成立,则当时,均有成立12.用数学归纳法证明“当时,能被8整除”时,其次步“假设当时,能被8整除,证明当时也能被8整除”的过程中,得到,则的表达式为.13.是否存在，，使等式对一切都成立？若不存在，说明理由；若存在，用数学归纳法证明你的结论.14.［北师大版教材例题］用数学归纳法证明：（其中,）.15.已知数列满意，（1）求，，并猜想的通项公式；（2）用数学归纳法证明猜想.C级学科素养创新练16.视察下列不等式：,,,,.（1）依据这些不等式,归纳出一个关于正整数的命题;（2）用数学归纳法证明（1）中得到的命题.4.4数学归纳法A级必备学问基础练1.D[解析]当时,不等式的左边等于,且,当时,不等式的左边等于,当时,不等式的左边比当时增加的项为.故选.2.B[解析]由数学归纳法证明时，从“”到“”的证明，左边需增加的一个因式是，则.3.AD[解析]由题意知对,4,6,,成立,当取其他值时不能确定是否成立,故选.4.BCD[解析]的验证及归纳假设都正确，但从到的推理中没有运用归纳假设，而通过不等式的放缩法干脆证明，不符合数学归纳法的证题要求.故选.5.[解析]6.（1）解由,，得，.猜想.（2）证明①当时，，结论成立.②假设当时，结论成立,即，那么，当时，，结论成立.由①和②可知对随意，都有成立.7.证明当时，，，明显,所以此时命题成立.②假设（其中）时命题成立，即.因为,所以,因此.可知不等式当时也成立.综上可知，不等式对任何大于或等于5的正整数都成立.8.证明当时，两条直线只有一个交点.而,命题成立.②假设当时，命题成立，即.那么，当时，第条直线与前条直线均有一个交点，即新增个交点.即,即当时，命题成立.由①②知，对于原命题成立.B级关键实力提升练9.D[解析]当时,，当时，，左边增加了.10.C[解析]依题意,,则,.11.AD[解析]选项中，若不成立,则,由题意知,与成立冲突,所以成立,故正确;选项中，若成立,则,即,结合,所以当时,均有成立,故正确;选项中,同选项,应有成立,故错误;不肯定成立.所以选.12.[解析]因为,.故.13.解取,2,3可得解得，，.下面用数学归纳法证明.即证，①当时，左边，右边，等式成立；②假设当时等式成立，即成立，则当时，等式左边，故当时等式成立.由数学归纳法，综合①②当等式成立，故存在，，使已知等式成立.14.证明当时，左边,右边,命题成立.②假设当时，命题成立，即.那么，当时，因为，所以.依据假设知，,所以.因为，所以.从而.这表明，当时命题也成立.依据①和②,该命题对于随意正整数都成立.15.（1）解,.猜想：（2）下面用数学归纳法证明，①当时，，明显成立.②假设当时，猜想成立，即，则当时，,即对时，猜想也成立.结合