适用于新教材2025版高中数学课时素养检测二十七直线与平面平行新人教A版必修第二册

PAGE二十七直线与平面平行(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共25分，多选题全部选对得5分，选对但不全对的得2分，有选错的得0分)1．已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则()A．GH∥SAB．GH∥SDC．GH∥SCD．以上均有可能【解析】选B.因为GH∥平面SCD，GH⊂平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，明显GH与SA，SC均不平行，故选B.2．(2024·苏州高一检测)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是()A.平行B．相交C．异面D．平行或异面【解析】选A.由长方体的性质知，EF∥AB，EF⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以EF∥平面ABCD，因为EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，所以EF∥GH.又EF∥AB，所以GH∥AB.3．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，……，那么这些交线的位置关系为()A．都平行B．都相交且肯定交于同一点C．都相交但不肯定交于同一点D．都平行或交于同一点【解析】选A.因为直线l∥平面α，所以依据直线与平面平行的性质知l∥a，l∥b，l∥c，……，所以a∥b∥c∥…….4．假如点M是两条异面直线外一点，则过点M且与a，b都平行的平面()A．有两个B．恰有一个C．没有或只有一个D．有多数个【解析】选C.将a，b平移至过点M时，只能确定一个平面．若a或b在此平面内时，不符合条件，即不存在这样的平面；若a，b均不在此平面内时，符合条件，即只有一个平面．5．(多选题)若直线a平行于平面α，则下列结论正确的是()A．a平行于α内的全部直线B．α内有多数条直线与a平行C．直线a上的点到平面α的距离相等D．α内存在多数条直线与a成90°角【解析】选BCD.因为直线a平行于平面α，所以a与平面α内的直线平行或异面，选项A错误；选项B，C，D正确．二、填空题6．(5分)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则A1C1与平面ACE的位置关系为________．【解析】因为A1C1∥AC，A1C1⊄平面ACE，AC⊂平面ACE，所以A1C1∥平面ACE.答案：平行三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.【证明】如图，连接AC，交BD于点O，连接MO.因为四边形ABCD是平行四边形，所以点O是AC的中点．又因为点M是PC的中点，所以AP∥OM.又因为AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，所以AP∥平面BDM.因为平面PAHG∩平面BDM＝GH，AP⊂平面PAHG，所以AP∥GH.【补偿训练】如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，点D是AB的中点．求证：BC1∥平面CA1D.【证明】如图所示，连接AC1交A1C于点O，连接OD，则O是AC1的中点．因为点D是AB的中点，所以OD∥BC1.又因为OD⊂平面CA1D，BC1⊄平面CA1D，所以BC1∥平面CA1D.8．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1延长线的交点，且PB1∥平面BDA1，求证：CD＝C1D.【证明】如图，连接AB1与BA1交于点O，连接OD，因为PB1∥平面BDA1，PB1⊂平面AB1P，平面AB1P∩平面BDA1＝OD，所以OD∥PB1，又因为AO＝B1O，所以AD＝PD，又因为AC∥C1P，所以CD＝C1D.(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下列结论中正确的是()A．E，F，G，H肯定是各边的中点B．G，H肯定是CD，DA的中点C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GCD．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC【解析】选D.由于BD∥平面EFGH，由线面平行的性质定理，有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.2．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线()A．至少有一条 B．至多有一条C．有且只有一条 D．没有【解析】选B.设这n条直线的交点为P，则点P不在直线a上，那么直线a和点P确定一个平面β，则点P既在平面α内又在平面β内，则平面α与平面β相交．设交线为直线b，则直线b过点P.又直线a∥平面α，a⊂平面β，则a∥b.很明显这样作出的直线b有且只有一条，那么直线b可能在这n条直线中，也可能不在，即这n条直线中与直线a平行的直线至多有一条．3．四棱锥S­ABCD的全部的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为()A．2＋eq\r(3)B．3＋eq\r(3)C．3＋2eq\r(3)D．2＋2eq\r(3)【解析】选C.由AB＝BC＝CD＝DA＝2，得AB∥CD，即AB∥平面DCFE，因为平面SAB∩平面DCFE＝EF，所以AB∥EF.因为E是SA的中点，所以EF＝1，DE＝CF＝eq\r(3).所以四边形DEFC的周长为3＋2eq\r(3).二、填空题(每小题5分，共15分)4.(2024·郑州高一检测)如图，已知四棱锥P­ABCD的底面是平行四边形，AC交BD于点O，E为AD中点，F在PA上，AP＝λAF，PC∥平面BEF，则λ的值为________．【解析】设AO交BE于点G，连接FG.因为O，E分别是BD，AD的中点，所以eq\f(AG,AO)＝eq\f(2,3)，则有eq\f(AG,AC)＝eq\f(1,3)，因为PC∥平面BEF，平面BEF∩平面PAC＝GF，所以GF∥PC，则eq\f(AF,AP)＝eq\f(AG,AC)＝eq\f(1,3)，即λ＝3.答案：35．在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，P是上底面A1B1C1D1内一点，若AP∥平面BDEF，则线段AP长度的取值范围是__________．【解析】如图所示，分别取棱A1B1，A1D1的中点M，N，连接MN，连接B1D1，因为M，N，E，F为所在棱的中点，所以MN∥B1D1，EF∥B1D1，所以MN∥EF，又MN⊄平面BDEF，EF⊂平面BDEF，所以MN∥平面BDEF；连接NF，由NF∥A1B1，NF＝A1B1，A1B1∥AB，A1B1＝AB，可得NF∥AB，NF＝AB，则四边形ANFB为平行四边形，则AN∥FB，而AN⊄平面BDEF，FB⊂平面BDEF，则AN∥平面BDEF.又AN∩NM＝N，所以平面AMN∥平面BDEF.又P是上底面A1B1C1D1内一点，且AP∥平面BDEF，所以P点在线段MN上．在Rt△AA1M中，AM＝eq\r(AAeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋A1M2)＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，同理，在Rt△AA1N中，求得AN＝eq\r(5)，则△AMN为等腰三角形．当P在MN的中点时，AP最小为eq\r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq\f(3\r(2),2)，当P与M或N重合时，AP最大为eq\r(5).所以线段AP长度的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)，\r(5))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)，\r(5)))6．设m，n是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m∥n；②m∥α；③n∥α.以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造命题，写出你认为正确的两个命题：________；________(用序号表示).【解析】设过m的平面β与α交于l，因为m∥α，所以m∥l，因为m∥n，所以n∥l.因为n⊄α，l⊂α，所以n∥α.答案：①②⇒③①③⇒②三、解答题(每小题10分，共20分)7.(2024·菏泽高一检测)如图，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形．【证明】因为四边形ABCD为矩形，所以BC∥AD，因为AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，所以BC∥平面PAD，因为平面BCFE∩平面PAD＝EF，BC⊂平面BCFE，所以BC∥EF.因为AD＝BC，AD≠EF，所以BC≠EF，所以四边形BCFE是梯形．【补偿训练】已知直线a，b和平面α，若a∥b，a∥α，b⊄α，求证：b∥α.【证明】如图，过a，与平面α内一点P作平面β，则平面β与平面α相交，设交线为c.因为a∥α，a⊂β，α∩β＝c，所以a∥c.因为a∥b，所以b∥c.又因为c⊂α，b⊄α，所以b∥α.8．如图，AB，CD为异面直线，且AB∥α，CD∥α，AC，BD分别交α于M，N两点．求证：AM∶MC＝BN∶ND.【证明】连接AD交平面α于点E，连接ME和NE.如图所示，因为平面ACD∩α＝ME，CD∥α，所以CD∥ME，所以eq\f(AM,MC)＝eq\f(AE,ED).同理可得EN∥AB，所以eq\f(AE,ED)＝eq\f(BN,ND).所以eq\f(AM,MC)＝eq\f(BN,ND)，即AM∶MC＝BN∶ND.【补偿训练】1.如图所示，直线a∥平面α，A∉α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB，AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，求EF的长．【解析】由于点A不在直线a上，则确定一个平面β，所以α∩β＝EF，因为a∥平面α，a⊂β，所以EF∥a，所以eq\f(EF,BC)＝eq\f(AF,AC)，所以EF＝eq\f(AF×BC,AC)＝eq\