新教材适用2025版高考数学一轮总复习练案60第十章计数原理概率随机变量及其分布第四讲随机事件的概率古典概型

练案[60]第四讲随机事务的概率古典概型A组基础巩固一、单选题1．(2024·湖北十市联考)从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事务是(D)A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是红球”C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”[解析]A中的两个事务是包含关系，不是互斥事务；B中的两个事务是对立事务；C中的两个事务都包含“一个黑球一个红球”的事务，不是互斥关系；D中的两个事务是互斥而不对立的关系．2．(2024·课标全国Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是(D)A.eq\f(1,6) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)[解析]记“两位女同学相邻”为“事务A”，则P(A)＝eq\f(A\o\al(2,3)A\o\al(2,2),A\o\al(4,4))＝eq\f(1,2)，故选D.3．(2024·全国甲卷)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为(C)A.eq\f(1,5) B．eq\f(1,3)C．eq\f(2,5) D．eq\f(2,3)[解析]从6张卡片中无放回抽取2张，共有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，15种状况，其中数字之积为4的倍数的有(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)，6种状况，故概率为eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).故选C.4．(2024·湖南部分校教化联盟摸底)从0,2,4,6,8中任取2个不同的数分别记作a，b，则|a－b|≥3的概率是(D)A.eq\f(1,5) B．eq\f(3,10)C．eq\f(2,5) D．eq\f(3,5)[解析]从0,2,4,6,8中任取2个不同的数a，b，共有Ceq\o\al(2,5)＝10个基本领件，取出的2个数之差的肯定值等于2的有(0,2)，(2,4)，(4,6)，(6,8)，4个基本领件，所以所求概率为P＝1－eq\f(4,10)＝eq\f(3,5).5．(2024·辽宁辽南协作体模拟)马林·梅森(MarinMersenne，1588～1648)是17世纪法国闻名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物．梅森在欧几里得、费马等人探讨的基础上对2p－1作了大量的计算、验证工作．人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2p－1(其中p是素数)的素数，称为梅森素数(素数也称质数)．在不超过30的素数中，随机选取3个不同的数，至少有一个为梅森素数的概率是(A)A.eq\f(8,15) B．eq\f(1,5)C．eq\f(7,15) D．eq\f(65,120)[解析]不超过30的素数，2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，一共有10个．其中梅森素数为：3,7，共有2个．则随机选取3个素数，至少有一个梅森素数的概率为P＝1－eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(8,15).故选A.6．(2024·广东惠州调研)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．下图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形ABCD内部为“赵爽弦图”，正方形ABCD外部四个阴影部分的三角形称为“风叶”．现从该“数学风车”的8个顶点中任取2个顶点，则2个顶点取自同一片“风叶”的概率为(A)A.eq\f(3,7) B．eq\f(4,7)C．eq\f(3,14) D．eq\f(11,14)[解析]从“数学风车”的八个顶点中任取两个顶点的基本领件有Ceq\o\al(2,8)＝28种，其中这两个顶点取自同一片“风叶”的基本领件有4Ceq\o\al(2,3)＝12种，故所求概率P＝eq\f(12,28)＝eq\f(3,7).故选A.7．(2024·衡水中学四川分校开学考)在集合{1,2}和{3,4,5}中各取一个数字组成一个两位数，则这个两位数能被4整除的概率为(C)A.eq\f(1,12) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,6)[解析]在{1,2}和{3,4,5}两个集合中各取一个数字组成一个两位数的全部事务有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(2,2)＝12个，其中能被4整除的两位数是24,32,52共3个，所求概率为eq\f(3,12)＝eq\f(1,4).故选C.8．(2024·内蒙古包头模拟)将4个A和2个B随机排成一行，则2个B相邻且不排在两端的概率为(D)A.eq\f(2,3) B．eq\f(2,5)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,5)[解析]由4个A不区分依次、2个B不区分依次，可得总状况有eq\f(A\o\al(6,6),A\o\al(4,4)A\o\al(2,2))＝15种，先排4个A有1种排法，在形成的3个中间的空中插入B即可，故2个B相邻且不排在两端的状况有Ceq\o\al(1,3)＝3种，故概率为eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).9．(2024·湖北武汉质检)从3双不同的鞋子中随机任取3只，则这3只鞋子中有两只可以配成一双的概率是(C)A.eq\f(2,5) B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,5) D．eq\f(2,3)[解析]所求概率P＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5).故选C.10．(2024·浙江舟山中学质检)现有A，B，C，D，E五名志愿者安排到甲，乙，丙三个不同社区参与志愿者活动，每个社区至少支配一人，则A和B安排到同一社区的概率为(C)A.eq\f(3,20) B．eq\f(3,25)C．eq\f(6,25) D．eq\f(6,35)[解析]把A，B，C，D，E分成三组有1,1,3和1,2,2两种状况，①当为1,1,3时，基本领件的个数为N＝Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(3,3)＝60；②当为1,2,2时，基本领件的个数为N＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2)A\o\al(3,3),A\o\al(2,2))＝90，所以基本领件的总数为N＝60＋90＝150；A和B安排到同一社区包含的基本领件个数为n＝Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝36，所以A和B安排到同一社区的概率为P＝eq\f(36,150)＝eq\f(6,25)，故选C.二、多选题11．(2024·重庆巴蜀中学月考)已知甲袋中有5个大小相同的球，4个红球，1个黑球；乙袋中有6个大小相同的球，4个红球，2个黑球，则(ACD)A．从甲袋中随机摸出一个球是红球的概率为eq\f(4,5)B．从乙袋中随机摸出一个球是黑球的概率为eq\f(2,3)C．从甲袋中随机摸出2个球，则2个球都是红球的概率为eq\f(3,5)D．从甲、乙袋中各随机摸出1个球，则这2个球是一红球一黑球的概率为eq\f(2,5)[解析]A明显正确；从乙袋中摸出一球是黑球的概率P1＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，B错；从甲袋中摸出2球都是红球的概率P2＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,5)，C正确；从甲、乙袋中各摸一球一红球一黑球的概率P3＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,2)＋C\o\al(1,1)C\o\al(1,4),C\o\al(1,5)C\o\al(1,6))＝eq\f(2,5)，D正确．故选ACD.12．将4男、4女共8位同学随机地分成人数相等的甲、乙两组，则下列说法正确的是(AB)A．4位女同学分到同一组的概率为eq\f(1,35)B．男生甲和女生乙分到甲组的概率为eq\f(3,14)C．有且只有3位女同学分到同一组的概率为eq\f(32,35)D．4位男同学不同时分到甲组的概率为eq\f(34,35)[解析]8位同学随机地分成人数相等的甲、乙两组的不同分法为Ceq\o\al(4,8)·Ceq\o\al(4,4)＝70，A选项，4位女同学分到同一组的不同分法只有2种，其概率为eq\f(2,70)＝eq\f(1,35)，对；B选项，男生甲和女生乙分到甲组的不同分法为Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(4,4)＝15，其概率为eq\f(15,70)＝eq\f(3,14)，对；C选项，有且只有3位女同学分到同一组Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(1,4)·2＝32种，则有且只有3位女同学分到同一组的概率为eq\f(32,70)＝eq\f(16,35)，错；D选项，4位男同学同时分到甲组只有1种，其概率为eq\f(1,70)，则4位男同学不同时分到甲组的概率为1－eq\f(1,70)＝eq\f(69,70)，错，故选AB.三、填空题13．(2024·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为eq\f(6,35).[解析]从正方体的8个顶点中任取4个，有n＝Ceq\o\al(4,8)＝70个结果，这4个点在同一个平面的有m＝6＋6＝12个，故所求概率P＝eq\f(m,n)＝eq\f(12,70)＝eq\f(6,35).14．(2024·湖北龙泉中学、荆州中学、宜昌一中联考)5人并排站成一行，甲、乙两人之间恰好有一人的概率是eq\f(3,10).(用数字作答)[解析]5人排一行共有Aeq\o\al(5,5)种排法，甲、乙两人之间恰有一人有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)种排法，故所求概率P＝eq\f(C\o\al(1,3)A\o\al(2,2)A\o\al(3,3),A\o\al(5,5))＝eq\f(3,10).四、解答题15．(2024·贵州贵阳四校联考)2024年底，湖北省武汉市等多个地区接连出现感染新型冠状病毒肺炎的患者，为刚好有效地对疫情数据进行流行病学统计分析，某地探讨机构针对该地实际状况，依据该地患者是否有武汉旅行史与是否有确诊病例接触史，将新冠肺炎患者分为四类：有武汉旅行史(无接触史)，无武汉旅行史(无接触史)，有武汉旅行史(有接触史)和无武汉旅行史(有接触史)，统计得到以下相关数据：有接触史无接触史总计有武汉旅行史4无武汉旅行史10总计2545(1)请将上面列联表填写完整，并推断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为有武汉旅行史与有确诊病例接触史有关系？(2)已知在无武汉旅行史的6名患者中，有2名无症状感染者．现在从无武汉旅行史的6名患者中，选出2名进行病例探讨，求2人中至多有1名是无症状感染者的概率．下面的临界值表供参考：P(x2≥xα)0.150.100.050.0250.0100.0050.001xα2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：x2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.[解析](1)列联表补充如下：有接触史无接触史总计有武汉旅行史15419无武汉旅行史101626总计252045x2的观测值为2＝eq\f(45×15×16－4×102,25×20×19×26)≈7.827>6.635＝x0.010.所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为有武汉旅行史与有确诊病例接触史有关系．(2)所求概率P＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,2)＋C\o\al(2,4),C\o\al(2,6))＝eq\f(14,15)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或P＝1－\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,6))＝1－\f(1,15)＝\f(14,15))).即2人中至多有1名是无症状感染者的概率为eq\f(14,15).B组实力提升1.(2024·全国卷Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的改变，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在全部重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是(A)A.eq\f(5,16) B．eq\f(11,32)C．eq\f(21,32) D．eq\f(11,16)[解析]重卦是由从下到上排列的6个爻组成，而爻有“阳爻”和“阴爻”两种，故全部的重卦共有26＝64种，重卦中恰有3个“阳爻”的共有Ceq\o\al(3,6)×Ceq\o\al(3,3)＝20种．故所求概率P＝eq\f(20,64)＝eq\f(5,16)，故选A.2．(2024·福建安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州试验中学泉州联考)将含有甲、乙、丙的6人平均分成两组参与“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣扬资料，则甲、乙至少一人参与指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为(C)A.eq\f(3,20) B．eq\f(3,40)C．eq\f(9,20) D．eq\f(9,40)[解析]所求概率P＝eq\f(C\o\al(1,3)＋C\o\al(2,3)＋C\o\al(1,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(9,20)，故选C.3．(2024·陕西宝鸡金台区质检)青春因奉献而漂亮，为了响应党关于“乡村振兴”精神，现有5名公费师范高校毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名高校生安排去甲学校的概率为(A)A.eq\f(2,5) B．eq\f(3,5)C．eq\f(1,5) D．eq\f(2,15)[解析]全部状况共有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C\o\al(3,5)＋\f(C\o\al(2,5)C\o\al(1,3),A\o\al(2,2))))Aeq\o\al(3,3)＝150种．满意条件的共有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝60种，故P＝eq\f(60,150)＝eq\f(2,5).4．(2024·河北衡水模拟)共有5名同学参与演讲竞赛，在支配出场依次时，甲、乙排在一起，且丙与甲、乙都不相邻的概率为(B)A.eq\f(1,10) B．eq\f(1,5)C．eq\f(1,6) D．eq\f(2,5)[解析]把甲、乙捆绑在一起，然后与余下的两个排列，再把捆绑的甲、乙和丙一起插空，所求概率为eq\f(2A\o\al(2,2)A\o\al(2,3),A\o\al(5,5))＝eq\f(24,120)＝eq\f(1,5).5．(2024·河北衡水中学调研)“2024年全国城市节约用水宣扬周”已于5月9日至15日实行，成都市围绕“贯彻新发展理念，建设节水型城市”这一主题，开展了形式多样，内容丰富的活动，进一步增加全民爱护水资源，防治水污染，节约用