2024-2025学年高中数学第3章直线与椭圆的位置关系同步练习湘教版选择性必修第一册

PAGEPAGE1培优课直线与椭圆的位置关系A级必备学问基础练1.已知直线l过点(3,-1),且椭圆C:x225+y236=1,则直线A.1 B.1或2 C.2 D.02.直线y=x+1被椭圆x24+yA.23,53 B.43C.-23,13 D.-132,-3.(2024四川成都蓉城名校联盟高二期中)直线y=x+m与椭圆x22+y2=1交于A,B两点,若弦长|AB|=423,则实数A.±12 B.±1 C.±34.(多选题)已知直线l:y=2x+3被椭圆C:x2a2+y2b2A.y=2x-3 B.y=2x+1C.y=-2x-3 D.y=-2x+35.已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A,B两点,且|AB|=3,则C的标准方程为.

6.若P,Q是椭圆C:x24+y23B级关键实力提升练7.已知椭圆x24+y2b2=1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,若|AF2|+|BFA.1 B.2 C.32 D.8.若点O和点F分别为椭圆x22+y2=1的中心和左焦点,P为椭圆上的随意一点,则|OP|2+|PF|2的最小值为(A.1 B.2 C.3 D.49.经过椭圆x22+y2=1的右焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A,B两点.设O为坐标原点,则OA·10.已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M,则直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为.

11.(2024云南昆明一中高二期中)已知椭圆C:x2a2+y2b(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点F1(-2,0)作斜率为2的直线l交椭圆C于M,N两点,F2(2,0)是椭圆的右焦点,求△F2MN的面积.C级学科素养创新练12.(2024四川阆中中学高二期中)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x2a2+y2b2(1)求椭圆C的标准方程;(2)已知直线l:x-y+27=0,椭圆C上是否存在一点,它到直线l的距离最大?最大距离是多少?

参考答案培优课直线与椭圆的位置关系1.C因为直线过定点(3,-1)且3225+(-1)22.C联立y=x+1,x24+y22=1设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点M(x0,y0),则x1+x2=-43,x0=x1+x22=-23,y0故中点坐标为-23,13.B设A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=x+m,x22+y2=1,则x1+x2=-4m3,x1x2=所以弦长|AB|=1+12·(x1+4.ACD∵椭圆C:x2a2+y2b2直线y=2x+3关于原点、x轴、y轴对称的直线分别为y=2x-3,y=-2x-3,y=-2x+3,∴选项A,C,D中的直线被椭圆C:x2a2+y5.x24+y23=1设椭圆C的标准方程为x2因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点,且|AB|=3,所以b2又b2=a2-c2,所以a2=4,b2=3,椭圆的标准方程为x24+6.4由于椭圆中长轴是最长的弦,所以|PQ|max=4.7.D由题意|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8.∵|AF2|+|BF2|的最大值为5,∴|AB|的最小值为3.当且仅当AB⊥x轴时,|AB|取得最小值,此时两交点坐标为-c,32,-c,-32,代入椭圆方程可得c24+94b2=1,利用c2=4-b8.B依题意可得F(-1,0),设P(x,y),则|OP|2+|PF|2=x2+y2+(x+1)2+y2=2x2+2x+1+2y2.因为x22+y2所以|OP|2+|PF|2=x2+2x+3=(x+1)2+2,故当x=-1时,|OP|2+|PF|2取最小值,最小值等于2.9.-13依题意,当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为y-0=tan45°(x-1),即y=x-1将y=x-1代入椭圆方程x22+y2=1并整理得3x2-4x=0,解得x=0或x=所以两个交点坐标为(0,-1),43,13,所以OA·OB=(0,-1)·4310.-9易知直线l的斜率存在且不为0,设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).将y=kx+b代入9x2+y2=m2,得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,得xM=x1+x22=-kbk2+9故直线OM的斜率kOM=yMxM则kOM·k=-9,所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为-9.11.解(1)因为2c=2所以椭圆C的标准方程为x24+(2)由题意可知直线MN的方程为y=2(x+2),设M(x1,y1),N(x2,y2),联立直线方程与椭圆方程可得5x2+82x+4=0,所以x1+x2=-825,x1x2=所以|MN|=1+(又因为F2(2,0)到直线MN的距离d=|2所以△F2MN的面积为S=|MN12.解(1)由题意可得2b=2所以椭圆的标准方程为x24+(2)设平行于直线l的直线l'的方程为x-y+m=0.联立x24+y23=1,x-y+即7x2+8mx+4m2-12=0,由Δ=(8m)2-4×7×(4m2-12)=