统考版2025届高考数学全程一轮复习选修4-4坐标系与参数方程第一节坐标系学生用书

第一节坐标系·最新考纲·1．了解坐标系的作用．2．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的改变状况．3．了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．4．能在极坐标系中给出简洁图形表示的极坐标方程．·考向预料·考情分析：极坐标与直角坐标、极坐标方程与直角坐标方程的互化，极坐标方程的应用．将是高考考查的热点，题型仍将是解答题．学科素养：通过极坐标方程的求解及应用考查数学运算、逻辑推理的核心素养．积累必备学问——基础落实赢得良好开端一、必记2个学问点1．极坐标的概念(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O，叫做________，从O点引一条射线Ox，叫做________，选定一个单位长度和角及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个平面极坐标系，简称为________．(2)极坐标：对于平面内随意一点M，用ρ表示线段OM的长，θ表示以Ox为始边、OM为终边的角度，ρ叫做点M的________，θ叫做点M的________，有序实数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．当点M在极点时，它的极径________，极角θ可以取________．(3)点与极坐标的关系：平面内一点的极坐标可以有多数对，当k∈Z时，(ρ，θ)，(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，θ＋(2k＋1)π)表示________，而用平面直角坐标表示点时，每一个点的坐标是唯一的．假如规定ρ＞0，0≤θ＜2π，或者－π＜θ≤π，那么，除极点外，平面内的点和极坐标就一一对应了．2．极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景：把平面直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的单位长度，如图所示．(2)互化公式：设M是坐标平面内随意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ＞0，θ∈[0，2π))，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：点M直角坐标(x，y)极坐标(ρ，θ)互化公式x=_______________ρ2＝________tanθ＝________在一般状况下，由tanθ确定角时，可依据点M所在的象限取最小正角．二、必明2个常用结论1．极坐标的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，四者缺一不行．2．常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆____________________圆心为(r，0)，半径为r的圆____________________圆心为r，π半径为r的圆____________________过极点，倾斜角为α的直线(1)θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)(2)θ＝α(ρ≥0)和θ＝π＋α(ρ≥0)过点(a，0)，与极轴垂直的直线____________________过点a，π极轴平行的直线____________________过点(a，0)，倾斜角为α的直线____________________提升关键实力——考点突破驾驭类题通法考点一直角坐标系中的伸缩变换[基础性]1．求双曲线C：x2－y264＝1经过φ：x'2．若函数y＝f(x)的图象在伸缩变换φ：x'=2x，y'=3y的作用下得到曲线的方程为y′＝3sinx'+反思感悟伸缩变换公式应用时的两个留意点(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上随意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时肯定要区分变换前的点P的坐标x，y与变换后的点(2)已知变换后的曲线方程f(x，y)=0，一般都要改写为方程f(x'，y')=0，再利用换元法确定伸缩变换公式．考点二极坐标与直角坐标的互化[综合性][例1]在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsin(θ－π4)＝22(ρ≥0，0≤(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．听课笔记：反思感悟极坐标方程与直角坐标方程的互化(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ干脆代入直角坐标方程并化简即可．(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，再应用公式进行代换，其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．【对点训练】以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝21-(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O作直线l交曲线C于点P，Q，若|OP|＝3|OQ|，求直线l的极坐标方程．考点三曲线的极坐标方程及应用[综合性]角度1曲线的极坐标方程[例2][2024·全国乙卷]在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C(2，1)，半径为1.(1)写出⊙C的一个参数方程；(2)过点F(4，1)作⊙C的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．听课笔记：反思感悟求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上随意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上随意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．角度2极坐标方程的应用[例3][2024·陕西省部分学校检测]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=3+sinφ-2cosφy=cosφ+2sinφ(φ为参数)，以坐标原点O(1)求曲线C1的极坐标方程并推断C1，C2的位置关系；(2)设直线θ＝α-π2<α<π2，ρ∈R分别与曲线C1交于A，B两点，与曲线C2交于听课笔记：反思感悟极坐标方程及其应用的解题策略(1)求点到直线的距离．先将极坐标系下点的坐标、直线方程转化为平面直角坐标系下点的坐标、直线方程，然后利用直角坐标系中点到直线的距离公式求解．(2)求线段的长度．先将极坐标系下的点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程，然后再求线段的长度．【对点训练】1．在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4，0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．2．[2024·昆明市质量检测]在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=2+ty=1+t(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ(1)求C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；(2)若C1，C2交于A，B两点，求|OA|·|OB|.选修4－4坐标系与参数方程第一节坐标系积累必备学问一、1．(1)极点极轴极坐标系(2)极径极角ρ＝0随意值(3)同一个点2．(1)ρcosθρsinθx2＋y2yx(x二、2．ρ＝r(0≤θ＜2π)ρ＝2rcosθ(－π2≤θ＜π2)ρ＝2rsinθ(0≤θ＜π)ρcosθ＝a-π2＜θ＜π2ρsinθ＝a(0＜θ＜π)ρsin(提升关键实力考点一1．解析：设曲线C′上随意一点P′(x′，y′)，由上述可知，将x=代入x2－y264＝1，得化简得x'2即x29-则焦点F1(－5，0)，F2(5，0)为所求．2．解析：由题意，把变换公式代入曲线y′＝3sinx得3y＝3sin2x+π整理得y＝sin2x+π故f(x)＝sin2x+π所以y＝f(x)的最小正周期为2π2考点二例1解析：(1)圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ.故圆O的直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0，直线l：ρsinθ-π4＝22，即ρsinθ－ρ则直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程，将两方程联立得x2+即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0，1)，转化为极坐标为1，π2，故直线l与圆O的公共点的极坐标为对点训练解析：(1)因为ρ＝x2+y2，ρsinθ＝y，ρ＝21-sinθ可化为ρ－ρsin(2)设直线l的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R)，依据题意21-sinθ0＝3·21-sinθ0+π，解得θ0＝π6或θ0＝5π6，所以直线l的极坐标方程为θ＝π6(考点三例2解析：(1)由题意知⊙C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，则⊙C的参数方程为x=2+cosαy=1+(2)由题意可知，切线的斜率存在，设切线方程为y－1＝k(x－4)，即kx－y＋1－4k＝0，所以2k-1+1-4kk2+12则这两条切线方程分别为y＝33x－433＋1，y＝－33故这两条切线的极坐标方程分别为ρsinθ＝33ρcosθ－433＋1，ρsinθ＝－33ρcos例3解析：(1)曲线C1：x-3=sinφ-2①2＋②2得(x－3)2＋y2＝5，即x2＋y2－6x＋4＝0，将x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ代入上式，得曲线C1的极坐标方程为ρ2－6ρcosθ＋4＝0.由ρ2-6ρcosθ所以C1，C2相离．解析：(2)由ρ得ρ2－6ρcosα＋4＝0，因为直线θ＝α与曲线C1有两个交点A，B，所以Δ＝36cos2α－16>0，得cosα>23设方程ρ2－6ρcosα＋4＝0的两根分别为ρ1，ρ2，则ρ因为|AB|＝3|OA|，所以|OB|＝4|OA|，即ρ2＝4ρ1⑤，由③④⑤解得ρ1＝1，ρ2＝4，cosα＝56，满意Δ由ρcosθ+2=0θ=α得ρ＝-2cosα＝－125对点训练1．解析：(1)因为M(ρ0，θ0)在C上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sinπ3＝2由已知得|OP|＝|OA|cosπ3设Q(ρ，θ)为l上除P的随意一点．连接OQ，在Rt△OPQ中，ρcosθ-π3＝|经检验，点P2，π3在曲线ρcos(θ－所以，l的极坐标方程为ρcosθ-π(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，即ρ＝4cosθ.因为P在线段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范围是π4所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈π42．解析：(1)消去参数t，得C1的一般方程为x－y＝1，又x＝ρcosθ，y＝ρsin