2025版新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.2函数的表示法第2课时分段函数导学案新人教A版必修第一册

第2课时分段函数【学习目标】(1)通过实例了解简洁的分段函数．(2)驾驭分段函数的应用．题型1分段函数求值【问题探究】为了爱护水资源，提倡节约用水，我市对居民用水实行“阶梯水价”，计算方法如下表：每户每月用水量水价不超过12m3的部分3元/m3超过12m3的部分但不超过18m3的部分6元/m3超过18m3的部分9元/m3假如你家本月用了15m3水，请你算一算你家本月交了多少水费？例1已知函数f(x)＝1+(1)求f(f(－2))的值；(2)若f(a)＝32，求a一题多变将本例中函数f(x)的解析式改为已知f(x)＝3x2-题后师说(1)分段函数求值的步骤留意：若题目是含有多层“f”的问题，要依据“由里到外”的依次，层层处理．(2)已知函数值求字母取值的步骤跟踪训练1(1)已知函数f(x)＝x2-xA．6B．3C．2D．－1(2)已知函数f(x)＝x2+1，x≤0-题型2分段函数的图象及应用例2已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者)．(1)分别用图象和解析式表示φ(x)；(2)求函数φ(x)的定义域，值域．学霸笔记：分段函数图象的画法(1)对含有肯定值的函数，要作出其图象，首先应依据肯定值的意义去掉肯定值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特殊留意连接点处点的虚实，保证不重不漏．跟踪训练2(1)函数f(x)＝x＋xx(2)已知函数f(x)的图象如图所示，在区间[0，4]上是抛物线的一段，求f(x)的解析式．题型3分段函数的实际应用例3“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．探讨表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在肯定的条件下，把每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)表示为养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数．当0<x≤4时，v的值为2；当4<x≤20时，v是关于x的一次函数．当x＝20时，因缺氧等缘由，v的值为0.(1)当0<x≤20时，求函数v(x)的表达式；(2)当x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)f(x)＝x·v(x)可以达到最大？并求出最大值．学霸笔记：分段函数的实际应用(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往须要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也须要分段画．(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类探讨，从而写出相应的函数解析式．跟踪训练3某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：①5公里以内(含5公里)，票价2元；②5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里的按5公里计算)．假如某条线路的总里程为20公里，(1)请依据题意，写出票价与里程之间的函数关系式；(2)画出该函数的图象．随堂练习1.函数y＝|x－1|＋1可表示为()A．y＝2-x，xC．y＝x，x<122．函数f(x)＝xx3．函数f(x)＝x-2，x<2A．1B．3C．－1D．－34．已知函数f(x)＝-x+4，x<0x2，课堂小结1.会用解析法和图象法表示分段函数．2．解决分段函数的求值问题．3．能用分段函数解决生活中的问题．第2课时分段函数问题探究提示：3×12＋3×6＝54(元)．例1解析：(1)∵－2<－1，∴f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，∴f(f(－2))＝f(－1)＝2.(2)当a>1时，f(a)＝1＋1a＝32，∴当－1≤a≤1时，f(a)＝a2＋1＝32，∴a＝±2当a<－1时，f(a)＝2a＋3＝32，∴a＝－3综上，a＝2或a＝±22一题多变解析：由题知，f(10)＝f(10－3)＝f(7)，f(7)＝f(7－3)＝f(4)，f(4)＝f(4－3)＝f(1)，f(1)＝f(1－3)＝f(－2)，f(－2)＝3×(－2)2－5＝7，∴f(10)＝7.跟踪训练1解析：(1)由题意，在f(x)＝x2f(－2)＝|－2|＋1＝3.故选B.(2)当a≤0时，由f(a)＝a2＋1＝10可得a＝－3；当a>0时，由f(a)＝－2a<0，此时f(a)＝10无解．综上所述，a＝－3.答案：(1)B(2)－3例2解析：(1)在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①.由图①中函数取值的状况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②.令－x2＋2＝x，得x＝－2或x＝1.结合图②，得出φ(x)的解析式为φ(x)＝-(2)由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1，∴φ(x)的值域为(－∞，1].跟踪训练2解析：(1)依题意，原函数化为：f(x)＝x+1，x>0x-1，明显当x>0时，图象是经过点(0，1)的直线y＝x＋1在y轴右侧部分，当x<0时，图象是是经过点(0，－1)的直线y＝x－1在y轴左侧部分，依据一次函数图象知，符合条件的只有选项B.故选B.(2)由图可知，当x<0时，f(x)＝3，当0≤x≤4时，设f(x)＝a(x－2)2－1(a≠0)，把点(1，0)代入得a－1＝0，解得a＝1，所以f(x)＝(x－2)2－1，当x>4时，设f(x)＝kx＋b(k≠0)，把(4，3)，(5，0)代入得，4k+b=35k+b=0，解得k=所以f(x)＝－3x＋15，所以f(x)＝3，答案：(1)B(2)见解析例3解析：(1)依题意，当0<x≤4时，v(x)＝2；当4<x≤20时，v(x)是关于x的一次函数，假设v(x)＝ax＋b(a≠0)，则4a+b=220a+b=0，解得a=所以v(x)＝2，(2)当0<x≤4时，v(x)＝2⇒0<f(x)＝x·v(x)＝2x≤8；当4<x≤20时，v(x)＝－0.125x＋2.5⇒f(x)＝－0.125x2＋2.5x，当x＝－2.52×-0.125＝10时，f(因为12.5>8，所以当x＝10时，鱼的年生长量f(x)可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．跟踪训练3解析：(1)依题意，令x为里程数(单位：公里)，f(x)为行驶x公里的票价(单位：元)，当0<x≤5时，f(x)＝2，当5<x≤10时，f(x)＝3，当10<x≤15时，f(x)＝4，当15<x≤20时，f(x)＝5，所以票价与里程之间的函数关系式为f(x)＝2，(2)由(1)得函数f(x)的图象，如图：[随堂练习]1．解析：当x<1时，y＝1－x＋1＝2－x