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工业机器人拉格朗日方程一、拉格朗日法二、拉格朗日函数及方程三、建立动力学方程的步骤四、二自由度工业机器人动力学方程1/7拉格朗日法一拉格朗日在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。他写了经典力学著作《分析力学》，把完整和谐的力学体系建立起来，使力学分析化。

拉格朗日Lagrange(1736-1814年)2/7拉格朗日法一工业机器人是由多个连杆和多个关节组成的一个非线性

（一个系统中如果其输出不与其输入成正比,则它是非线性的）

的复杂的动力学系统，具有多个输入和多个输出。因此要分析机器人的动力学特性，必须采用非常系统的方法，目前可采用的分析方法很多，包括拉格朗日(Lagrange)法、牛顿—欧拉(Newton-Euler)法、高斯(Gauss)法、凯恩(Kane)法，旋量对偶数法和罗伯逊—魏登堡(Roberson-WitTenburg)法等。

在上述这些方法当中拉格朗日法不仅能以最简单的形式（由于可以不考虑杆件之间的相互作用力）建立非常复杂的系统动力学方程，且方程的物理意义比较明确，便于对工业机器人动力学的理解，成为机器人动力学分析的代表性方法。3/7拉格朗日函数及方程二拉格朗日法是根据全部杆件的动能和势能求出拉格朗日函数，再代入拉格朗日方程式中，导出机械运动方程式的分析方法。拉格朗日函数L(又称拉格朗日算子)通常表达成一个机械系统的动能Ek和势能Ep之差，即：

式中为系统动能，为系统势能。（1）拉格朗日函数（2）拉格朗日方程如图所示为具有n个自由度的工业机器人系统简图，关节i

处于杆件i-1和杆件i的连接部位。在杆件i上设置i坐标系xi，yi，zi，使zi轴和关节轴重合。4/7拉格朗日函数及方程二该系统的拉格朗日方程为：(i＝1，2，…，n)

式中，L为拉格朗日函数；n为连杆数目；

称为关节i的广义驱动力；是使系统具有完全确定位置的广义关节变量，是相应的广义关节速度。根据物理知识我们知道，势能和广义关节速度

没关系，所以式也可以简化为：

(i＝1，2，…，n) 5/7建立动力学方程的步骤三

(1)选取坐标系，选定独立的广义关节变量

（i＝1，2，…，n）(2)选定相应的关节上的广义力

；当

是是位移变量时，则

为力；当是角度变量时，则为力矩。(3)求出工业机器人各构件的动能和势能。(4)构造拉格朗日

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