专题04 一元二次方程的3种应用-九年级数学上册（解析版）

专题04一元二次方程的3种应用考点1：面积问题；考点2：循环、分支、传染问题；考点3：变化率问题。题型01面积问题题型01面积问题1．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（）A．7m B．8m C．9m D．10m解：设原正方形的边长为xm，依题意有（x﹣3）（x﹣2）＝20，解得：x1＝7，x2＝﹣2（不合题意，舍去）即：原正方形的边长7m．答案：A．2．如图，在宽为20米，长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为（）A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米解：设修建的路宽应为x米根据等量关系列方程得：20×30﹣（20x+30x﹣x2）＝551，解得：x＝49或1，49不合题意，舍去，答案：A．3．（易错题）如图的六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和．若丙的腰长为2，且丁的面积比丙的面积小，则丁的腰长是多少？（）A．12 B．35 C．2−3解：设丁的腰长为a，且a＜2，∵甲面积+乙面积＝丙面积+丁面积，∴2a+2a=12×22+∴4a＝2+12a∴a2﹣8a+4＝0，∴a=8±(−8)2−4×1×42∵4+23＞4﹣23＜∴a＝4﹣23．答案：D．4．如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为214cm2，则此方格纸的面积是多少A．11 B．12 C．13 D．14解：方格纸的边长是x，x2−12•x•12x−12•12x•34xx2＝12．所以方格纸的面积是12，答案：B．5．如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为126m2，则修建的路宽应为1米．解：设道路的宽为xm，根据题意得：（10﹣x）（15﹣x）＝126，解得：x1＝1，x2＝24（不合题意，舍去），则道路的宽应为1米；答案：1．6．如图，要设计一本书的封面，封面长40cm，宽30cm正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果使四周的边衬所占面积是封面面积的五分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，上下边衬的宽度为（20−85）cm，左右边衬的宽度为（15﹣65）cm解：∵正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，设正中央的矩形长为4xcm，宽为3xcm，根据题意，得40×30﹣4x•3x=1解得x＝±45∵x＞0，∴x=45∴上下边衬宽为（40﹣4x）÷2＝（40−165）÷2＝20−85（左右边衬宽为（30﹣3x）÷2＝（30﹣125）÷2＝15﹣65（cm），答案：（20−85）cm，（15﹣65）cm7．（易错题）如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为2cm．解：设底面长为acm，宽为bcm，正方形的边长为xcm，根据题意得：2(x+b)=12a+2x=10解得a＝10﹣2x，b＝6﹣x，代入ab＝24中，得：（10﹣2x）（6﹣x）＝24，整理得：x2﹣11x+18＝0，解得x＝2或x＝9（舍去），答：剪去的正方形的边长为2cm．答案：2．8．你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x2+5x﹣14＝0即x（x+5）＝14为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是（x+x+5）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，据此易得x＝2．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程x2﹣4x﹣12＝0的正确构图是②．（只填序号）解：∵x2﹣4x﹣12＝0即x（x﹣4）＝12，∴构造如图②中大正方形的面积是（x+x﹣4）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×12+42，据此易得x＝6．答案：②．9．（易错题）如图，有一块矩形硬纸板，长30cm，宽20cm．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2？解：设剪去正方形的边长为xcm，则做成无盖长方体盒子的底面长为（30﹣2x）cm，宽为（20﹣2x）cm，高为xcm，依题意，得：2×[（30﹣2x）+（20﹣2x）]x＝200，整理，得：2x2﹣25x+50＝0，解得：x1=52，x当x＝10时，20﹣2x＝0，不合题意，舍去．答：当剪去正方形的边长为52cm时，所得长方体盒子的侧面积为200cm210．如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．（1）若扩充后的矩形绿地面积为800m，求新的矩形绿地的长与宽；（2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3．求新的矩形绿地面积．解：（1）设将绿地的长、宽增加xm，则新的矩形绿地的长为（35+x）m，宽为（15+x）m，根据题意得：（35+x）（15+x）＝800，整理得：x2+50x﹣275＝0解得：x1＝5，x2＝﹣55（不符合题意，舍去），∴35+x＝35+5＝40，15+x＝15+5＝20．答：新的矩形绿地的长为40m，宽为20m．（2）设将绿地的长、宽增加ym，则新的矩形绿地的长为（35+y）m，宽为（15+y）m，根据题意得：（35+y）：（15+y）＝5：3，即3（35+y）＝5（15+y），解得：y＝15，∴（35+y）（15+y）＝（35+15）×（15+15）＝1500．答：新的矩形绿地面积为1500m2．题型02循环、分支、传染问题题型02循环、分支、传染问题11．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是（）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，x（x﹣1）÷2＝21，解得x＝7或﹣6（舍去）．故应邀请7个球队参加比赛．答案：C．12．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是43，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是（）A．4 B．5 C．6 D．7解：设这种植物每个枝干长出x个小分支，依题意，得：1+x+x2＝43，解得：x1＝﹣7（舍去），x2＝6．答案：C．13．（易错题）某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场（）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个解：设这个航空公司有机场n个n(n−1)2n＝5或n＝﹣4（舍去）答案：B．14．毕业之际，某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品，每两个同学都相互赠送一件礼品，礼品店共售出礼品30件，则该兴趣小组的人数为（）A．5人 B．6人 C．7人 D．8人解：设该兴趣小组的人数为x人．x（x﹣1）＝30，解得x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去），答案：B．15．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了10个人．解：设每轮传染中平均每人传染了x人．依题意，得1+x+x（1+x）＝121，即（1+x）2＝121，解方程，得x1＝10，x2＝﹣12（舍去）．答：每轮传染中平均每人传染了10人．16．我市为了增强学生体质，开展了乒乓球比赛活动．部分同学进入了半决赛，赛制为单循环形式（即每两个选手之间都赛一场），半决赛共进行了6场，则共有4人进入半决赛．解：假设共有x人进入半决赛．∴12x（x解得：x1＝4，x2＝﹣3（舍去），答：共有4人进入半决赛．答案：4．17．某市计划举办青少年足球比赛，赛制采取双循环形式（即每两队之间都要打两场比赛），一共组织30场比赛．计分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．（1）该市举办方应该邀请多少支球队参赛？（2）此次比赛结束后，如果其中一支参赛球队共平了4场，负了2场，则该球队此次比赛的总积分是多少？解：（1）设该市举办方应邀请x支球队参赛，依题意得，x（x﹣1）＝30，解方程得，x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去），（2）（10﹣4﹣2）×3+4×1+2×0＝16，答：该市举办方应邀请6支球队参赛，该球队的总积分为16分．题型03变化率问题题型03变化率问题18．李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是（）A．10.5% B．10% C．20% D．21%解：设从1月到3月，每月盈利的平均增长率为x，由题意可得：3000（1+x）2＝3630，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去），答：每月盈利的平均增长率为10%．答案：B．19．某商品经过两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（）A．20% B．25% C．30% D．36%解：设每次降价的百分率为x，依题意得：25（1﹣x）2＝16，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去）．答案：A．20．若某银行经过两次降息，使三年期存款的年利率由4%降至3.24%，则平均每次降息的百分比是（）A．10% B．9% C．8% D．7%解：经过一次降息，是4%（1﹣x）；经过两次降息，是4%（1﹣x）2．则有方程4%（1﹣x）2＝3.24%．解方程得x＝0.1＝10%或x＝﹣1.9（舍去）．即：平均每次降息的百分率为10%．答案：A．21．某网络学习平台2022年的新注册用户数为100万，2023年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），则x＝30%（用百分数表示）．解：新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），依题意得：100（1+x）2＝169，解得：x1＝0.3，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．0.3＝30%，∴新注册用户数的年平均增长率为30%．答案：30%．22．某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁、三保障”的住房保障工作，去年已投入5亿元资金，并计划投入资金逐年增长，明年将投入7.2亿元资金用于保障性住房建设，则这两年投入资金的年平均增长率为20%．解：设这两年中投入资金的平均年增长率是x，由题意得：5（1+x）2＝7.2，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意舍去）．答：这两年中投入资金的平均年增长率约是20%．答案：20%．23．（易错题）某地区去年螃蟹放养面积为20万亩，每亩产量为40kg，为满足市场需要，今年该地区扩大了放养面积，并且全部放养了高产的新品种螃蟹．已知今年螃蟹的总产量为1500万kg，且螃蟹放养面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，则该地区今年螃蟹的亩产量千克．解：设螃蟹亩产量的增长率为x，则放养面积的增长率为2x．根据题意，得20（1+2x）•40（1+x）＝1500．解得：x1=14=25%，x∴今年的亩产量为40（1+25%）＝50千克，答案：螃蟹亩产量为50千克．24．（易错题）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2020年投入资金1000万元，2022年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；（2）2022年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2023年为提高老旧小区品