高考数学二轮专题复习与测试专题强化练（四）等差数列与等比数列

专题强化练(四)等差数列与等比数列1．(2022·汕头一模)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，4a1，2a3，a5成等差数列，则a1＝()A．5eq\r(2)－5 B．5eq\r(2)＋5C．5eq\r(2) D．5解析：设各项均为正数的等比数列{an}的公比为q，q>0，由前4项和为15，4a1，2a3，a5成等差数列，可得a1＋a1q＋a1q2＋a1q3＝15，4a3＝4a1＋a5，即4a1＋a1q4＝4a1q2，即q2－2＝0，解得q＝eq\r(2)，a1＝5eq\r(2)－5，故选A.答案：A2．(2022·顺德区三模)已知公比为q的等比数列{an}的前n项和Sn＝c＋2·qn，n∈N*，且S3＝14，则a4＝()A．48 B．32C．16 D．8解析：因为公比为q的等比数列{an}的前n项和Sn＝c＋2·qn，根据等比数列和的特点可知c＝－2，Sn＝2qn－2，所以S3＝2q3－2＝14，则q＝2，a1＝2，则a4＝24＝16.故选C.答案：C3．(2022·汕头三模)已知数列{an}中，a1＝－eq\f(1,4)，当n>1时，an＝1－eq\f(1,an－1)，则a2022＝()A．－eq\f(1,4) B．eq\f(4,5)C．5 D．－eq\f(4,5)解析：由a1＝－eq\f(1,4)，当n>1时，an＝1－eq\f(1,an－1)，得a2＝5，a3＝eq\f(4,5)，a4＝－eq\f(1,4)，a5＝5，…，可知各项取值周期为3，所以a2022＝a3＝eq\f(4,5).故选B.答案：B4．(2022·茂名模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，a2＝－8，a7＝eq\f(1,4)，则S6＝()A．－eq\f(21,2) B．eq\f(15,2)C．eq\f(21,2) D．eq\f(63,2)解析：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，若a2＝－8，a7＝eq\f(1,4)，则q5＝eq\f(a7,a2)＝－eq\f(1,32)，则q＝－eq\f(1,2)，又由a2＝－8，则a1＝eq\f(－8,－\f(1,2))＝16，故S6＝eq\f(a1（1－q6）,1－q)＝eq\f(16×（1－\f(1,64)）,\f(3,2))＝eq\f(21,2)；故选C.答案：C5．(2022·广东一模)已知正项数列{an}满足an＝neq\a\vs4\al(\f(1,n))(n∈N*)，当an最大时，n的值为()A．2 B．3C．4 D．5解析：根据题意，设y＝xeq\a\vs4\al(\f(1,x))，两边取对数可得：lny＝eq\f(1,x)lnx，设f(x)＝eq\f(1,x)lnx，取导数可得f′(x)＝eq\f(1,x2)－eq\f(lnx,x2)＝eq\f(1－lnx,x2)，在区间(0，e)上，f′(x)>0，f(x)为增函数，在区间(e，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)为减函数，则f(x)的最大值为f(e)，即当x＝e时，lny取得最大值，对于y＝xeq\a\vs4\al(\f(1,x))，当x＝e时，函数y＝xeq\a\vs4\al(\f(1,x))取得最大值，对于an＝neq\a\vs4\al(\f(1,n))(n∈N*)，有a2＝2eq\a\vs4\al(\f(1,2))＝eq\r(2)，a3＝3eq\a\vs4\al(\f(1,3))＝eq\r(3,3)，有a2<a3，即当an最大时，n的值为3；故选B.答案：B6．(多选题)(2022·汕头三模)意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和．后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列．下面关于斐波那契数列{an}说法正确的是()A．a12＝144B．a2022是奇数C．a2022＝a1＋a2＋a3＋…＋a2020D．a2020＋a2024＝3a2022解析：易知，数列{an}满足递推关系an＋2＝an＋1＋an.选项A：a12＝a11＋a10＝2a10＋a9＝3a9＋2a8＝5a8＋3a7＝8a7＋5a6＝8×13＋5×8＝144；故A正确；选项B：观察数列可知，数列每三项都是奇、奇、偶重复循环，2022＝674×3，恰好能被3整除，且a3为偶数，所以a2022也为偶数，故B错误；选项C：若选项C正确，又a2022＝a2021＋a2020，则a2021＝a1＋a2＋…＋a2019，同理a2020＝a1＋a2＋…＋a2018，a2019＝a1＋a2＋…＋a2017，依次类推，可得a4＝a1＋a2，显然错误，故C错误；选项D：a2024＝a2023＋a2022＝2a2022＋a2021，又a2020＋a2024＝a2020＋2a2022＋a2021＝2a2022＋(a2020＋a2021)＝3a2022，故D正确．故答案为AD.答案：AD7．(多选题)(2022·广东模拟)已知数列{an}的各项均为正数，a1＝a，an＋1＝an－eq\f(1,n2)aeq\o\al(2,n).下列说法正确的是()A．0<a2≤eq\f(1,4)B．an＋1<anC．eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)>eq\f(1,n2)D．数列{an＋1－an}为递减数列解析：对于A，a2＝a1－aeq\o\al(2,1)>0，因为－aeq\o\al(2,1)＋a1＝－(a1－eq\f(1,2))2＋eq\f(1,4)，所以当a1＝eq\f(1,2)时，a2取得最大值eq\f(1,4)，所以a2∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))，故选项A正确；对于B，an＋1－an＝－eq\f(1,n2)aeq\o\al(2,n)<0，所以an＋1<an，故选项B正确；对于C，eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(an－an＋1,anan＋1)＝eq\f(\f(1,n2)aeq\o\al(2,n),anan＋1)＝eq\f(1,n2)eq\f(an,an＋1)，由B可知an>an＋1>0，所以eq\f(an,an＋1)>1，所以eq\f(1,n2)eq\f(an,an＋1)>eq\f(1,n2)，即eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)>eq\f(1,n2)，故选项C正确；对于D，(an＋1－an)－(an－an－1)＝－eq\f(1,n2)aeq\o\al(2,n)＋eq\f(1,（n－1）2)aeq\o\al(2,n－1)>eq\f(1,n2)(aeq\o\al(2,n－1)－aeq\o\al(2,n))>0，所以数列{an＋1－an}为递增数列，故选项D错误．故选ABC.答案：ABC8．(多选题)(2022·大连二模)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”(下图所示的是一个4层的三角跺)．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，设第n层有an个球，从上往下n层球的球的总数为Sn，则()A．an－an－1＝n＋1(n≥2)B．S7＝84C．a98＝eq\f(98×99,2)D．eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＋…＋eq\f(1,a2022)＝eq\f(4044,2023)解析：因为a1＝1，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，以上n个等式累加可得：an＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n（n＋1）,2)(n≥2)，a1＝1满足上式，所以an＝eq\f(n（n＋1）,2).所以an－an－1＝n，所以A选项不正确．又因为a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，a5＝15，a6＝21，a7＝28.所以S7＝84.故B选项正确．又因为a98＝eq\f(98×99,2).所以C选项正确．因为eq\f(1,an)＝eq\f(2,n（n＋1）)＝2×(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1))．所以eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,a2022)＝2[(1－eq\f(1,2))＋(eq\f(1,2)－eq\f(1,3))＋…＋(eq\f(1,2022)－eq\f(1,2023))]＝eq\f(4044,2023)，故D选项正确．故选BCD.答案：BCD9．(2022·广东三模)在数列{an}中，a3＝3，3an＋1＝an，Sn为{an}的前n项和，则S4＝________．解析：由题知3an＋1＝an，则eq\f(an＋1,an)＝eq\f(1,3)，于是数列{an}是以a1＝27为首项，以eq\f(1,3)为公比的等比数列，则S4＝eq\f(27（1－\f(1,34)）,1－\f(1,3))＝40.答案：4010．(2022·潮州二模)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，S3＝eq\f(3,4)，则a4＝________．解析：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，若a1＝1，S3＝eq\f(3,4)，则S3＝a1＋a1q＋a1q2＝1＋q＋q2＝eq\f(3,4)，解可得q＝－eq\f(1,2)，则a4＝a1q3＝－eq\f(1,8)；答案：－eq\f(1,8)11．(2022·揭阳模拟)已知数列{an}为等差数列，数列{an}的前5项和S5＝20，a5＝6，则a10＝________．解析：因为{an}为等差数列，所以S5＝5a3＝20，所以a3＝4，因为a5＝6，a3＝4，所以2d＝a5－a3＝6－4＝2，即d＝1，所以a10＝a5＋5d＝6＋5＝11.答案：1112．(2022·广东模拟)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4，S5，S7∈{－5，0}，则Sn的最小值为________．解析：①当a4＝0时，所以S7＝eq\f(7×（a1＋a7）,2)＝7a4＝0，所以S5＝5a3＝－5，所以a3＝－1，所以d＝a4－a3＝1，a1＝a3－2d＝－3，所以an＝－3＋(n－1)＝n－4，令an≤0得，n≤4，所以Sn的最小值为S4＝4a1＋eq\f(4×3,2)×d＝－6，②当a4＝－5时，所以S7＝eq\f(7×（a1＋a7）,2)＝7a4＝－35，不符合题意，综上所述，Sn的最小值为－6，答案：－613．(2022·禅城区模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}为单调递增数列，且数列{Sn}为单调递减数列，写出满足上述条件的一个数列{an}的通项公式____________．解析：因为等比数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}为单调递增数列，且数列{Sn}为单调递减数列，所以a1<0，0<q<1，所以满足上述条件的一个数列{an}的通项公式为：an＝－eq\f(1,2n)(答案不唯一：满足a1<0，0<q<1即可)．答案：an＝－eq\f(1,2n)(答案不唯一：满足a1<0，0<q<1即可)14．(2022·河南三模)“物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二．问物几何？”它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的．大衍求一术(也称作“中国剩余定理”)是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题．已知问题中，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，则在不超过2022的正整数中，所有满足条件的数的和为________．解析：由题意可知，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，则这个正整数的最小值为23，因为3、5、7的最小公倍数为105，由题意可知，满足条件的数形成以23为首项，以105为公差的等差数列，设该数列为{an}，则an＝23＋105(n－1)＝105n－82，由an＝105n－82≤2022，可得n≤eq\f(2104,105)，所以n的最大值为20，所以满足条件的这些整数之和为20×23＋eq\f(20×19×105,2)＝20410.答案：2041015．(2022·福田区校级一模)设数列{an}满足a1＝1，a3＝3且an＋2－2an＋1＋an＝2，则a4－a3＝________，数列{an}的通项an＝________．解析：由a1＝1，a3＝3且an＋2－2an＋1＋an＝2，得a3－2a2＋a1＝2，即3－2a2＋1＝2，即a2＝1，当n＝2时，a4－2a3＋a2＝2，即a4＝1＋2×3＝7，则a4－a3＝7－3＝4；因为an＋2－2an＋1＋an＝2，所以an＋2－an＋1－(an＋1－an)＝2，可得数列{an＋1－an}是以a2－a1＝0为首项，以2为公差的等差数列，所以an＋1－an＝0＋2(n－1)＝2n－2.所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2