高考数学大一轮复习课时174.2同角三角函数的基本关系和诱导公式课件

§4.2同角三角函数的基本关系和诱导公式教材研读考点突破考点一利用诱导公式化简考点二利用诱导公式求值考点三同角三角函数的基本关系1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系:①

sin2α+cos2α=1

.(2)商的关系:②

=tanα(α≠

+kπ,k∈Z)

.教材研读组序一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-α

-α

+α正弦sinα-sinα-sinαsinαcosα③

cosα

余弦cosα-cosαcosα④

-cosα

sinα-sinα正切tanαtanα-tanα⑤

-tanα

口诀函数名不变符号看象限

函数名改变符号看象限

记忆规律六组诱导公式可以统一成k·

±α(k∈Z)的形式,因此得记忆规律:奇变偶不变,符号看象限

易错警示1.α+k·2π(k∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上把α看成锐角时原函数值的符号;

±α的正弦(余弦)函数值,等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上把α看成锐角时原函数值的符号.α与

的奇数倍的和差角的正切值,不能直接用诱导公式求,但可以用同角三角函数关系将正切化为正弦与余弦的商,再利用正弦函数、

余弦函数的诱导公式解决.如:tan

=

=

=

.1.tan330°等于

(D)A.

C.

2.已知cos(-80°)=k,则tan100°=

(B)A.

C.

3.已知sin

=

,则cos

的值为

(D)A.

C.

4.sin2490°=

-

;cos

=

-

.5.化简

·sin(α-π)·cos(2π-α)的结果为

-sin2α

.

利用诱导公式化简典例1化简:

.考点突破解析原式=

=

=

=-

=-

·

=-1.规律总结任意负角的三角函数

任意正角的三角函数

0°到360°的角的三角函数锐角三角函数(1)切化弦,统一名.(2)用诱导公式,统一角.(3)用因式分解将式子变形,化为最简.1-1化简:

.解析原式=

=

=

=

.

典例2(1)sin(-1200°)cos1290°+cos(-1020°)·sin(-1050°)=

1

;(2)已知cos

=

,则cos

-sin2

的值为

-

.利用诱导公式求值解析(1)原式=-sin1200°cos1290°-cos1020°·sin1050°=-sin(3×360°+120°)cos(3×360°+210°)-cos(2×360°+300°)sin(2×360°+330°)=-sin120°cos210°-cos300°sin330°=-sin(180°-60°)cos(180°+30°)-cos(360°-60°)sin(360°-30°)=sin60°cos30°+cos60°sin30°=

×

+

×

=1.(2)因为cos

=cos

=-cos

=-

,sin2

=sin2

=sin2

=1-cos2

=1-

=

,所以cos

-sin2

=-

-

=-

.◆探究若本例(2)的条件不变,求sin

+sin

的值.解析

sin

=sin

=cos

=

,sin

=sin

=cos

=

,所以sin

+sin

=

.方法技巧用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思

想简化解题过程,常见的互余关系有

-α与

+α,

+α与

-α,

+α与

-α等,常见的互补关系有

-θ与

+θ,

+θ与

-θ,

+θ与

-θ等.2-1

求值:sin690°sin150°+cos930°cos(-870°)+tan120°·tan1050°.解析原式=sin690°sin150°+cos930°cos870°+tan120°·tan1050°=sin(360°+330°)sin150°+cos(360°×2+210°)cos(360°×2+150°)+tan120°tan(180°×5+150°)=sin330°sin150°+cos210°cos150°+tan120°tan150°=sin(360°-30°)sin(180°-30°)+cos(180°+30°)cos(180°-30°)+tan(180°-60°)tan(180°-30°)=-sin230°+cos230°+tan60°tan30°=-

+

+1=

.

同角三角函数的基本关系典例3(1)(2017杭州四校高三上期中)已知-

<α<0,sinα+cosα=

,则

的值为

(B)A.

B.

C.

D.

(2)(2017浙江镇海中学阶段性测试)已知3sinα+4cosα=5,则tanα=

.解析(1)∵sinα+cosα=

,∴1+2sinαcosα=

⇒2sinαcosα=-

,∴(cosα-sinα)2=

,又∵-

<α<0,∴cosα>0>sinα,∴cosα-sinα=

,∴

=

=

=

,故选B.(2)解法一:由题意知3sinα=5-4cosα,两边平方得9sin2α=25-40cosα+16cos2α,即25cos2α-40cosα+16=0,得cosα=

,则sinα=

,故tanα=

.解法二:把等式平方得(3sinα+4cosα)2=25,即9sin2α+24sinαcosα+16cos2α=25(sin2α+cos2α),两边同时除以cos2α,整理得16tan2α-24tanα+9=0,解得tanα=

.解法三:设4sinα-3cosα=x,则x2+25=(4sinα-3cosα)2+(3sinα+4cosα)2=25,故x=0,则tanα=

.解法四:因为3sinα+4cosα=5sin(α+φ),其中cosφ=

,sinφ=

.易知sin(α+φ)=1,有α+φ=2kπ+

(k∈Z),则sinα=sin

=cosφ=

,cosα=cos

=sinφ=

,故tanα=

.解法五:设x=cosα,y=sinα,则有4x+3y=5,且x2+y2=1,从而角α终边上的点P

(x,y)在单位圆上,且在直线l:4x+3yl与单位圆相切,故直线l与

角α的终边所在直线垂直,所以角α的终边所在直线的斜率为

,故tanα=

=

.方法指导同角三角函数基本关系式的使用技巧(1)利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用

=tanα可以实现角α的弦切互化.(2)应用公式时注意方程思想的应用:对于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子,利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα和(sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2,可以知一求二.(3)注意公式的逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.同类练1若tanα=2,则

+cos2α=

(A)A.

C.

解析∵tanα=2,∴

+cos2α=

+

=

+

=

.同类练2已知sinαcosα=

,且

<α<

,则cosα-sinα的值为

(D)A.

B.±

解析因为sinαcosα=

,所以(cosα-sinα)2=cos2α-2sinαcosα+sin2α=1-2sinαcosα=1-2×

=

,因为

<α<

,所以cosα<sinα,即cosα-sinα<0,所以cosα-sinα=-

.变式练已知θ是三角形的一个内角,且sinθ、cosθ是关于x的方程4x2+

px-2=0的两根,则θ等于

.解析由题意知sinθ