北师大版数学选修4-4新素养讲义第一章22.1极坐标系的概念

§2极坐标系2．1极坐标系的概念1.了解极坐标系的概念.2.理解点的极坐标的不唯一性.3.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置.eq\a\vs4\al(1.)极坐标系的概念如图所示，在平面内取一个定点O，叫作极点，从O点引一条射线Ox，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系．1．建立极坐标系需要哪几个要素？提示：建立极坐标系的要素是(1)极点；(2)极轴；(3)单位长度；(4)角度的正方向，四者缺一不可．eq\a\vs4\al(2.)极坐标的概念对于平面内任意一点M，用ρ表示线段OM的长，θ表示以Ox为始边、OM为终边的角度，ρ叫作点M的极径，θ叫作点M的极角，有序实数对(ρ，θ)叫作点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．特别地：当点M在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值．eq\a\vs4\al(3.)点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，θ＋(2k＋1)π)(k∈Z)表示同一个点，特别地：极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)．和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．2．要使平面内的点和极坐标一一对应，应作何规定？提示：建立极坐标后，如果规定ρ＞0，0≤θ＜2π或者－π＜θ≤π，那么除极点外，平面内的点和极坐标就一一对应了．根据点的位置确定点的极坐标已知边长为a的正六边形ABCDEF，建立适当的极坐标系，写出各顶点的极坐标．[思路点拨]因正六边形的中心到各顶点的距离都等于边长a，可以其中心为极点，以中心及一顶点所在的射线为极轴建立极坐标系，然后找出各顶点的极角即可．[解]以正六边形中心O为极点，OC所在射线为极轴建立如图所示的极坐标系．由正六边形的性质得：C(a，2kπ)，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(π,3)＋2kπ))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(2π,3)＋2kπ))，F(a，π＋2kπ)，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(4,3)π＋2kπ))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(5,3)π＋2kπ))，k∈Z.[规律方法]在极坐标系下确定各点的极坐标，关键是由几何图形的性质确定该点的极径和极角，注意点的极坐标形式并不唯一．变式训练1已知边长为2的正方形ABCD的中心在极点，且一组对边与极轴Ox平行，求正方形的顶点的极坐标．(限定ρ＞0，0≤θ＜2π)解：如图所示，由题意知|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|＝eq\r(2)，∠xOA＝eq\f(π,4)，∠xOB＝eq\f(3π,4)，∠xOC＝eq\f(5π,4)，∠xOD＝eq\f(7π,4).∴正方形的顶点的极坐标分别为Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(3π,4)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(5π,4)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(7π,4))).由极坐标确定点的位置在极坐标系中，作出以下各点：A(4，0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,4)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(7π,4))).[思路点拨]eq\x(\a\al(建立极,坐标系))eq\o(→,\s\up7(极角))eq\x(\a\al(作出极角,的终边))eq\o(→,\s\up7(极径))eq\x(\a\al(以极点O为圆心，以,极径为半径分别画弧))→eq\x(\a\al(点的,位置))[解]如图，A，B，C，D四个点分别是唯一确定的．[规律方法]由极坐标确定点的位置的步骤：①取定极点O；②作方向为水平向右的射线Ox为极轴；③以极点O为顶点，以极轴Ox为始边，通常按逆时针方向旋转极轴Ox确定出极角的终边；④以极点O为圆心，以极径为半径画弧，弧与极角终边的交点即是所求点的位置．变式训练2在极坐标系中，若等边△ABC的两个顶点是Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,4)))、Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5π,4)))，那么顶点C的坐标可能是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(3π,4))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(3)，\f(3π,4)))C．(2eq\r(3)，π) D．(3，π)解析：选B.如图，由题设，可知A、B两点关于极点O对称，即O是AB的中点．又|AB|＝4，△ABC为正三角形，∴|OC|＝2eq\r(3)，∠AOC＝eq\f(π,2)，C对应的极角θ＝eq\f(π,4)＋eq\f(π,2)＝eq\f(3π,4)或eq\f(5π,4)＋eq\f(π,2)＝eq\f(7π,4)，即C点的极坐标可能为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(3)，\f(3π,4)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(3)，\f(7π,4))).极坐标系的实际应用(12分)某大园的部分平面示意图如图所示．用点O、A、B、C、D、E、F分别表示校门、器材室、公寓、教学楼、图书馆、车库、花园，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标．(限定ρ≥0，0≤θ＜2π且极点为(0，0))．[思路点拨]解答本题先选定极点作极轴，建立极坐标系，再求出各点的极径和极角，即可得出各点的极坐标．[规范解答]以点O为极点，OA所在的射线为极轴Ox(单位长度为1m)，建立极坐标系，如图所示． 6分由|OB|＝600m，∠AOB＝30°，∠OAB＝90°，得|AB|＝300m，|OA|＝300eq\r(3)m， 8分同样求得|OD|＝2|OF|＝300eq\r(2)m，|OE|＝|OC|＝300m． 10分所以各点的极坐标分别为O(0，0)，A(300eq\r(3)，0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(600，\f(π,6)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(300，\f(π,2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(300\r(2)，\f(3π,4)))，E(300，π)，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(150\r(2)，\f(3π,4))). 12分[规律方法]在极坐标系中，由点的位置求极坐标时，随着极角的范围的不同，点的极坐标的表示也会不同，只有在ρ＞0，θ∈[0，2π)的限定条件下，点的极坐标才是唯一的．互动探究3(1)本例中，如果限定ρ＞0，θ∈R，如何求点A、C、D的坐标？(2)本例中，如果点Heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(200，\f(3π,2)＋2kπ))，k∈Z表示地铁入口，试问点H在点O的什么位置？解：(1)由例3解析知A(300eq\r(3)，2kπ)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(300，\f(π,2)＋2kπ))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(300\r(2)，\f(3,4)π＋2kπ))，其中k∈Z.(2)由于Heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(200，\f(3,2)π＋2kπ))，k∈Z，结合图形可知，点H在点O正南200m.极坐标系下两点间的距离在极坐标系中，已知两点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－\f(π,3)))、Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2π,3)))，求A、B两点间的距离．[思路点拨]数形结合，根据A，O，B的位置关系求解．[解]∵∠AOB＝eq\f(2π,3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝π，∴A，O，B三点共线．∴A、B两点间的距离为|AB|＝3＋1＝4.[规律方法]在极坐标系下，确定给定点的位置，若给定两点与极点共线，则极角相差2kπ(k∈Z)时，距离为两极径的差；极角相差kπ(k∈Z)时，距离为两极径的和；若给定两点与极点不共线时，可借助余弦定理求出两点间的距离．变式训练4在极坐标系中，求Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(7π,36)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12，\f(43π,36)))两点间的距离．解：A，B在过极点且与极轴成eq\f(7π,36)的直线上，它们位于极点的两侧，∴|AB|＝5＋12＝17.[A基础达标]eq\a\vs4\al(1).在极坐标系中，下列点与点M(1，eq\f(2π,3))为同一点的是()A．(－1，eq\f(π,3)) B．(1，－eq\f(π,3))C．(－1，－eq\f(4π,3)) D．(－1，－eq\f(π,3))解析：选D.由极坐标的定义可以得，在极坐标系中，(－1，－eq\f(π,3))与M(1，eq\f(2π,3))表示同一点．eq\a\vs4\al(2).点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))关于极轴的对称点的极坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(π,3))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2π,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(4π,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5π,3)))解析：选D.在极坐标系中确定点P位置，再作出其关于极轴的对称点P′知D正确．eq\a\vs4\al(3.)在极坐标系中，点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(π,6)))的位置，可按如下规则确定()A．作射线OP，使∠xOP＝eq\f(π,6)，再在射线OP上取点M，使|OM|＝2B．作射线OP，使∠xOP＝eq\f(7π,6)，再在射线OP上取点M，使|OM|＝2C．作射线OP，使∠xOP＝eq\f(7π,6)，再在射线OP的反向延长线上取点M，使|OM|＝2D．作射线OP，使∠xOP＝－eq\f(π,6)，再在射线OP上取点M，使|OM|＝2解析：选B.当ρ＜0时，点M(ρ，θ)的位置按下列规则确定：作射线OP，使∠xOP＝θ，在OP的反向延长线上取|OM|＝|ρ|，则点M就是坐标(ρ，θ)的点，故选B.eq\a\vs4\al(4.)将极轴Ox绕极点顺时针旋转eq\f(π,6)得到射线OP，在OP上取点M，使|OM|＝4，则ρ＞0，θ∈[0，2π)时点M的极坐标为________．解析：如图所示ρ＝0，OM＝4，极角θ＝eq\f(11,6)π∈[0，2π)．∴M点的极坐标为Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(11,6)π)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(11,6)π))[B能力提升]eq\a\vs4\al(5.)在极坐标系中，已知点M(－5，eq\f(π,3))，下列所给出的点不能表示点M的坐标的是()A．(5，－eq\f(π,3)) B．(5，eq\f(4π,3))C．(5，－eq\f(2π,3)) D．(－5，－eq\f(5π,3))解析：选A.由(ρ，θ)，(ρ，θ＋2kπ)、(－ρ，θ＋(2k＋1)π)，k∈Z表示同一个点可知B、C、D与M重合．eq\a\vs4\al(6.)若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M1(ρ1，θ1)与点M2(ρ2，θ2)的位置关系是()A．关于极轴所在直线对称B．关于极点对称C．关于过极点垂直于极轴的直线对称D．关于过极点与极轴成eq\f(π,4)角的直线对称解析：选A.因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)，由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是关于极轴所在直线对称，故选A.eq\a\vs4\al(7.)下列点在极轴上方的是()A．(3，0) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(7π,6)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(7π,4))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(17π,4)))解析：选D.分别作出各点，观察可知．eq\a\vs4\al(8.)在极坐标系中，已知点A(－2，－eq\f(π,2))，B(eq\r(2)，eq\f(3π,4))，O(0，0)，则△ABO为()A．正三角形B．直角三角形C．等腰锐角三角形D．等腰直角三角形解析：选D.作出各点观察可知．eq\a\vs4\al(9.)已知A，B的极坐标分别是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,4)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(π,12)))，则A和B之间的距离等于()A.eq\f(3\r(2)＋\r(6),2) B．eq\f(3\r(2)－\r(6),2)C.eq\f(3\r(6)＋3\r(2),2) D．eq\f(3\r(6)－3\r(2),2)解析：选C.A、B在极坐标系中的位置，如图，则由图可知∠AOB＝eq\f(13π,12)－eq\f(π,4)＝eq\f(5π,6).在△AOB中，|AO|＝|BO|＝3，所以，由余弦定理得|AB|2＝|OB|2＋|OA|2－2|OB|·|OA|·coseq\f(5π,6)＝9＋9－2×9×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))＝18＋9eq\r(3)＝eq\f(9,2)(1＋eq\r(3))2.∴|AB|＝eq\f(3\r(6)＋3\r(2),2).eq\a\vs4\al(10).点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(5π,6)))到极轴所在直线的距离为________．解析：依题意，点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(5π,6)))到极轴所在直线的距离为d＝6×sineq\f(5π,6)＝3.答案：3eq\a\vs4\al(11).已知极坐标系中，极点为O，0≤θ＜2π，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,3)))，则在直线OM上与点M的距离为4的点的极坐标为________．解析：如图所示，|OM|＝3，∠xOM＝eq\f(π,3)，在直线OM上取点P，Q，使|OP|＝7，|OQ|＝1，显然有|PM|＝|OP|－|OM|＝7－3＝4，|QM|＝|OM|＋|OQ|＝3＋1＝4.点P，Q都满足条件．且∠xOP＝eq\f(π,3)，∠xOQ＝eq\f(4π,3).故满足条件的点的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，\f(π,3)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(4,3)π)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，\f(π,3)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(4,3)π))eq\a\vs4\al(12).已知A、B两点的极坐标分别是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(5π,6)))，求A、B两点间的距离和△AOB的面积．解：求两点间的距离可用如下公式：|AB|＝eq\r(4＋16－2×2×4×cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－\f(π,3))))＝eq\r