高中数学章末质量检测（五）第六章立体几何初步北师大版

章末质量检测(五)第六章立体几何初步一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列结论正确的是()A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，则过A，Q，B1三点的截面图形不可能的是()A．等边三角形B．矩形C．等腰梯形D．正方形3．若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S，则它的一个底面面积是()A．4SB．4πSC．πSD．2πS4．如果一个正四面体(各个面都是正三角形)的体积为9cm3，则其表面积为()A．18eq\r(3)cm2B．18cm2C．12eq\r(3)cm2D．12cm25．已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l，要得到直线m⊥平面β，还需要补充的条件是()A．m⊂αB．m∥αC．m⊥lD．m⊂α且m⊥l6．一个四面体共一个顶点的三条棱两两互相垂直，其长分别为1,eq\r(6)，3，其四面体的四个顶点在一个球面上，则这个球的表面积为()A．16πB．32πC．36πD．64π7.如图，在棱长为4的正方体ABCD­A1B1C1D1中，P是A1B1上一点，且PB1＝eq\f(1,4)A1B1，则多面体P­BCC1B1的体积为()A.eq\f(8,3)B.eq\f(16,3)C．4D．58．如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，AD的中点，将△ABF沿BF所在的直线进行翻折，将△CDE沿DE所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列说法错误的是()A．无论翻折到什么位置，A、C两点都不可能重合B．存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为60°C．存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为90°D．存在某个位置，使得直线AB与直线CD所成的角为90°二、多项选择题(大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是()A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥α，m∥n，n⊥β，则α∥β10．已知m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列说法正确的是()A．若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥nB．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βC．若m∥n，n⊂α，α∥β，m⊄β，则m∥βD．若m∥n，n⊥α，α⊥β，则m∥β11．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是()A．在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMBB．异面直线AD与PB所成的角为90°C．二面角P­BC­A的大小为45°D．BD⊥平面PAC12．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，N为底面ABCD的中心，P为线段A1D1上的动点(不包括两个端点)，M为线段AP的中点，则()A．CM与PN是异面直线B．CM＞PNC．平面PAN⊥平面BDD1B1D．过P、A、C三点的正方体的截面一定是等腰梯形三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的表面积为________，体积为________．14．已知正四棱锥的侧棱长为2eq\r(3)，侧棱与底面所成的角为60°，则该四棱锥的高为________．15．设α，β，γ是三个不同平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：(1)a∥γ，b∥β；(2)a∥γ，b⊂β；(3)b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的序号填上)．16.如图，已知六棱锥P­ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知正方体ABCD­A1B1C1D1.(1)证明：D1A∥平面C1BD；(2)求异面直线D1A与BD所成的角．18．(12分)如图，正方体ABCD­A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求：(1)三棱锥A′­BC′D的表面积与正方体表面积的比值；(2)三棱锥A′­BC′D的体积．19．(12分)在如图的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，点E，G，F分别为棱MB，PB，PC的中点，且AD＝PD＝2MA.求证：(1)平面EFG∥平面PMA；(2)平面PDC⊥平面EFG.20．(12分)如图平行四边形ABCD中，BD＝2eq\r(3)，AB＝2，AD＝4，将△BCD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.(1)求证：AB⊥DE.(2)求三棱锥E­ABD的侧面积．21．(12分)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．(1)求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值．(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．22．(12分)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠ACB＝90°，AC＝1，AA1＝BC＝2，点D在侧棱AA1上．(1)若D为AA1的中点，求证：C1D⊥平面BCD；(2)若A1D＝eq\r(2)，求二面角B­C1D­C的大小．章末质量检测(五)第六章立体几何初步1．解析：A错误．如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．B错误．如图2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．答案：D2．解析：当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图(1)；当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图(2)；当点Q不与点D、D1重合时，令Q、R分别为DD1、C1D1的中点，则截面图形为等腰梯形AQRB1，如图(3)．D是不可能的．答案：D3．解析：由题意知圆柱的母线长为底面圆的直径2R，则2R·2R＝4S，得R2＝S.所以底面面积为πR2＝πS.答案：C4．解析：设正四面体的棱长为acm，则底面积为eq\f(\r(3),4)a2cm2，易求得高为eq\f(\r(6),3)acm，则体积为eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)a2×eq\f(\r(6),3)a＝eq\f(\r(2),12)a3＝9，解得a＝3eq\r(2)，所以其表面积为4×eq\f(\r(3),4)a2＝18eq\r(3)(cm2)．答案：A5．解析：选项A，B，C的条件都不能得到直线m⊥平面β.而补充选项D后，可以得到直线m⊥平面β.理由如下：若两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．故选D.答案：D6．解析：将四面体可补形为长方体，此长方体的对角线即为球的直径，而长方体的对角线长为eq\r(12＋\r(6)2＋32)＝4，即球的半径为2，故这个球的表面积为4πr2＝16π.答案：A7．解析：V多面体P­BCC1B1＝eq\f(1,3)S正方形BCC1B1·PB1＝eq\f(1,3)×42×1＝eq\f(16,3).答案：B8．解析：在A中，点A与点C一定不重合，故A正确；在B中，存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为60°，故B正确；在C中，当平面ABF⊥平面BEDF，平面DCE⊥平面BEDF时，直线AF与直线CE垂直，故C正确；在D中，直线AB与直线CD不可能垂直，故D错误．故选D.答案：D9．解析：若m⊥α，则∃a，b⊂α且a∩b＝P使得m⊥a，m⊥b，又m∥n，则n⊥a，n⊥b，由线面垂直的判定定理得n⊥α，故A对；若m∥α，α∩β＝n，如图，设m＝AB，平面A1B1C1D1为平面α，m∥α，设平面ADD1A1为平面β，α∩β＝A1D1＝n，则m⊥n，故B错；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C对；若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又n⊥β，则α∥β，故D对；故选ACD.答案：ACD10．解析：若m∥α，n∥β且α∥β，则可以m∥n，m，n异面，或m，n相交，故A错误；若m∥n，m⊥α，则n⊥α，又n⊥β，故α∥β，B正确；若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，又α∥β，m⊄β，故m∥β，C正确；若m∥n，n⊥α，则m⊥α，α⊥β，则m∥β或m⊂β，D错误．故选BC.答案：BC11．解析：对于A，取AD的中点M，连PM，BM，则∵侧面PAD为正三角形，∴PM⊥AD，又底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD⊥BM，又PM∩BM＝M，PM，BM⊂平面PMB，∴AD⊥平面PBM，故A正确．对于B，∵AD⊥平面PBM，∴AD⊥PB，即异面直线AD与PB所成的角为90°，故B正确．对于C，∵平面PBC∩平面ABCD＝BC，BC∥AD，∴BC⊥平面PBM，∴BC⊥PB，BC⊥BM，∴∠PBM是二面角P­BC­A的平面角，设AB＝1，则BM＝eq\f(\r(3),2)，PM＝eq\f(\r(3),2)，在Rt△PBM中，tan∠PBM＝eq\f(PM,BM)＝1，即∠PBM＝45°，故二面角P­BC­A的大小为45°，故C正确．对于D，因为BD与PA不垂直，所以BD与平面PAC不垂直，故D错误．故选ABC.答案：ABC12．解析：C、N、A共线，即CN、PM交于点A，共面，因此CM、PN共面，A错误；记∠PAC＝θ，则PN2＝AP2＋AN2－2AP·ANcosθ＝AP2＋eq\f(1,4)AC2－AP·ACcosθ，CM2＝AC2＋AM2－2AC·AMcosθ＝AC2＋eq\f(1,4)AP2－AP·ACcosθ，又AP＜AC，CM2－PN2＝eq\f(3,4)(AC2－AP2)＞0，CM2＞PN2，即CM＞PN，B正确；由于正方体中，AN⊥BD，BB1⊥平面ABCD，则BB1⊥AN，BB1∩BD＝B，可得AN⊥平面BB1D1D，AN⊂平面PAN，从而可得平面PAN⊥平面BDD1B1，C正确；取C1D1中点K，连接KP，KC，A1C1，易知PK∥A1C1，又正方体中，A1C1∥AC，∴PK∥AC，PK、AC共面，PKCA就是过P、A、C三点的正方体的截面，它是等腰梯形，D正确．故选BCD.答案：BCD13．解析：设圆锥的底面半径为r，根据题意，得2πr＝2π，解得r＝1，根据勾股定理，得圆锥的高为eq\r(22－12)＝eq\r(3)，所以圆锥的表面积S＝eq\f(1,2)×π×22＋π×12＝3π，体积V＝eq\f(1,3)×π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)π.答案：3πeq\f(\r(3),3)π.14.解析：如图，过点S作SO⊥平面ABCD，连接OC，则∠SCO＝60°，∴SO＝sin60°·SC＝eq\f(\r(3),2)×2eq\r(3)＝3.答案：315．解析：(1)a∥γ，b∥β，不可以，举出反例如下：使β∥γ，b⊂γ，a⊂β，则此时能有a∥γ，b∥β，但不一定有a∥b；(2)a∥γ，b⊂β，可以，由a∥γ得a与γ没有公共点，由b⊂β，α∩β＝a，b⊂γ知，a，b在面β内，且没有公共点，故平行；(3)b∥β，a⊂γ可以，由b∥β，α∩β＝a知，a，b无公共点，再由a⊂γ，b⊂γ，可得两直线平行．综上可知满足的条件有(2)和(3)．答案：(2)(3)16．解析：对于①，因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AE，又EA⊥AB，PA∩AB＝A，所以EA⊥平面PAB，从而可得EA⊥PB，故①正确．对于②，由于PA⊥平面ABC，所以平面ABC与平面PBC不可能垂直，故②不正确．对于③，由于在正六边形中BC∥AD，所以BC与EA必有公共点，从而BC与平面PAE有公共点，所以直线BC与平面PAE不平行，故③不正确．对于④，由条件得△PAD为直角三角形，且PA⊥AD，又PA＝2AB＝AD，所以∠PDA＝45°，故④正确．综上①④正确．答案：①④17．解析：(1)证明：在正方体ABCD­A1B1C1D1中，∵AB∥D1C1，AB＝D1C1，∴四边形ABC1D1是平行四边形，∴AD1∥BC1，∵AD1⊄平面C1BD，BC1⊂平面C1BD，∴D1A∥平面C1BD.(2)由(1)知，AD1∥BC1，∴异面直线D1A与BD所成的角即为∠C1BD.易知△C1BD为等边三角形，∴∠C1BD＝60°，即异面直线D1A与BD所成的角为60°.18．解析：(1)∵ABCD­A′B′C′D′是正方体，∴A′B＝A′C′＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝eq\r(2)a，∴三棱锥A′­BC′D的表面积为4×eq\f(1,2)×eq\r(2)a×eq\f(\r(3),2)×eq\r(2)a＝2eq\r(3)a2.而正方体的表面积为6a2，故三棱锥A′­BC′D的表面积与正方体表面积的比值为eq\f(2\r(3)a2,6a2)＝eq\f(\r(3),3).(2)三棱锥A′­ABD，C′­BCD，D­A′D′C′，B­A′B′C′是完全一样的．故V三棱锥A′­BC′D＝V正方体－4V三棱锥A′­ABD＝a3－4×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)a2×a＝eq\f(a3,3).19．证明：(1)∵点E、G、F分别为棱MB、PB、PC的中点，∴EG∥PM，GF∥BC.又∵PM⊂平面PMA，EG⊄平面PMA，∴EG∥平面PMA.∵四边形ABCD是正方形，∴BC∥AD，∴GF∥AD.∵AD⊂平面PMA，GF⊄平面PMA，∴GF∥平面PMA.又∵EG∩GF＝G，∴平面EFG∥平面PMA.(2)由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA，∴PD⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC.∵四边形ABCD为正方形，∴BC⊥DC.又PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC.在△PBC中，∵G，F分别为PB，PC的中点，∴GF∥BC，∴GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG，∴平面PDC⊥平面EFG.20．解析：(1)证明：∵AB＝2，BD＝2eq\r(3)，AD＝4，∴AB2＋BD2＝AD2.∴AB⊥BD.∵平面EBD⊥平面ABD，且平面EBD∩平面ABD＝BD，∴AB⊥平面EBD.∵DE⊂平面EBD，∴AB⊥DE.(2)由(1)知AB⊥BD.∵CD∥AB，∴CD⊥BD，从而折叠后DE⊥BD.在Rt△DBE中，∵DB＝2eq\r(3)，DE＝DC＝AB＝2，∴S△DBE＝eq\f(1,2)DB·DE＝2eq\r(3)，又∵AB⊥平面EBD，BE⊂平面EBD，∴AB⊥BE.∵BE＝BC＝AD＝4，∴S△ABE＝eq\f(1,2)AB·BE＝4.∵DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，∴ED⊥平面ABD.又∵AD⊂平面ABD，∴ED⊥AD.∴S△ADE＝eq\f(1,2)AD·DE＝4.综上，三棱锥E­ABD的侧面积S＝8＋2eq\r(3).21．解析：(1)如图(1)，取AA1的中点M，连接EM，BM.∵E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，∴EM∥AD.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，∴EM⊥平面ABB1A1，从而∠EBM为直线BE与平面ABB1A1所成的角．设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，则EM＝AD＝2，BE＝eq\r(AB2＋AM2＋ME2)＝eq\r(22＋22＋12)＝3.在Rt△BEM中，sin∠EBM＝eq\f(EM