高等应用数学 课件 第5章 定积分及其应用

第5章定积分及其应用§5.1定积分的概念§5.2微积分基本定理§5.3定积分的换元积分法和分部积分法§5.4定积分的应用§5.1定积分的概念

一、引例

二、定积分的定义

三、定积分的几何意义内容提要

四、定积分的性质定积分在几何学、力学、工程技术以及物理学等领域中都有广泛的应用．虽然随着计算机的高度发展和广泛应用，积分的计算已逐渐被各种程序和软件包所代替．然而，积分学中的基本思想和方法仍是解决实际问题的一种有力工具．本章将从两个实际问题中引出定积分的概念，然后讨论定积分的性质及计算方法，最后介绍定积分的应用．第一节多元函数MultipleFunction

一、引例1.曲边梯形的面积

设函数y=f(x)

在区间[a,b]上连续，且f(x)≥0，则称由直线x=a，x=b，y=0及曲线y=f(x)所围成的平面图形为曲边梯形。

在矩形的面积公式，矩形的高是不变的，而曲边梯形在底边上各点处的高f(x)

在区间[a,b]上是变动的，因此它的面积不能直接计算。但是，由于曲边梯形的高f(x)

在区间[a,b]上是连续变化的，所以在一个很小的区间上它的变化很小，近似于不变。所以可把该曲边梯形沿着轴方向切割成许多窄窄的长条（小曲边梯形）。把每个小曲边梯形近似看作一个小矩形，用小矩形面积作为小曲边梯形面积的近似值。y=f(x)Oyabx所有小矩形面积之和就是曲边梯形面积的近似值。分割越细，误差越小。当所有的小矩形宽度趋于零时，这个阶梯形面积的极限就成为曲边梯形面积的精确值了。Oyabxy=f(x)确定曲边梯形面积的具体步骤如下：（1）分割（化“整”为“零”）abx

y=f(x)yO（2）近似（以“粗”代“精”）abx

y=f(x)yO（3）求和（合“零”为“整”）（4）取极限（去“粗”取“精”）abx

y=f(x)yO2.变速直线运动的路程（1）分割（2）近似（3）求和（4）取极限

从上面两个引例可以看出，虽然两个问题的背景不同，但解决问题的思路和方法是相同的，都是用“分割、近似、求和、取极限”这四步解决，最后都统一为求具有相同结构的一种特定和式的极限.还有许多实际问题也是用这种方法解决，我们抛开这类问题的实际意义，抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括，抽象出下述定积分的概念.

二、定积分的定义

三、定积分的几何意义图5-3图5-3

四、定积分的性质由定积分定义知，定积分是和式的极限，由极限的运算法则，容易推出定积分的一些简单性质．以下假设所给函数在所给出区间上都是可积的．性质1

函数的和（差）的定积分等于它们定积分的和（差），即显然，这个性质可以推广到有限个函数。

性质2

被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即这两个性质是定积分的线性性质。

性质3（积分区间的可加性）如果将积分区间分成两部分，则整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和，即设a<c<b，则

注：值得注意的是不论a，b，c的相对位置如何，上面的等式总成立。

如右图所示，a<c<b

时，等式同样成立。奇偶函数的定积分如果f(x)

在区间[–a,a]上连续且为奇函数，则如果f(x)

在区间[–a,a]上连续且为偶函数，则－aOaxy－aOaxy

性质4

如果在区间[a,b]上f(x)≡1，则y1Oa

b

x

性质5（积分的比较性质）如果在区间[a,b]上f(x)≥g(x)，则

性质6（积分估值定理）设M

与m

分别是f(x)

在区间[a,b]上的最大值与最小值，则yMmOa

b

xy=f(x)

性质8（积分中值定理）如果函数f(x)

在区间[a,b]上连续，则至少存在一点ξ∈[a,b]，使得这个公式称为积分中值公式。积分中值定理的几何意义：曲边梯形的面积等于同一底边而高为f(ξ

)的一个矩形的面积。由积分中值公式所可得这个公式称为函数f(x)

在区间[a,b]上的平均值。Oaxbxyf

(x)y=f(x)第5章定积分及其应用§5.1定积分的概念§5.2微积分基本定理§5.3定积分的换元积分法和分部积分法§5.4定积分的应用§5.2微积分基本定理

一、引例

二、变上限的定积分内容提要三、微积分基本定理

根据定积分的定义，求定积分的值是非常复杂的，下面我们通过讨论变速直线运动的路程函数与速度函数之间的联系，导出计算定积分的公式——牛顿—莱布尼兹公式．

一、引例

二、变上限的定积分

设函数f(x)

在区间[a,b]上连续，x

为区间[a,b]上的一点。由于

x∈[a

,

b]，f(x)

在[a,x]上仍连续，因此定积分存在。这个定积分的写法有一个不方便之处，就是

x

既表示积分上限，又表示积分变量。为避免混淆，我们把积分变量改写成t，于是这个积分就写成

对于其他的变限积分函数利用定积分的补充定义或定积分的可加性均可化为变上限函数．如．

定理1（原函数存在定理）若函数f(x)

在区间[a,b]上连续，则积分上限的函数在[a,b]上可导，且其导数三、微积分基本定理

定理2如果函数f(x)

在区间[a,b]上连续，而F(x)

是f(x)

的一个原函数，则有上式称为牛顿—莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式。

微积分基本公式进一步揭示了定积分和不定积分之间的联系，它把定积分问题转化为求不定积分的问题，即定积分的值等于被积函数的任一原函数在积分区间上的增量.这给定积分计算找到了一条捷径，大大降低了定积分的计算复杂性.例3计算定积分解例4计算定积分解例5已知，求解第5章定积分及其应用§5.1定积分的概念§5.2微积分基本定理§5.3定积分的换元积分法和分部积分法§5.4定积分的应用§5.3定积分的换元积分法和分部积分法

一、定积分的换元积分法

二、定积分的分部积分法内容提要由牛顿-莱布尼茨公式可知，计算连续函数的定积分最终归结为求它的原函数。这说明连续函数的定积分计算与不定积分计算有着密切的联系。在不定积分的计算中有换元法和分部积分法，因此在一定条件下也可以在定积分的计算中应用。

一、定积分的换元积分法

若应用第一类换元积分法（即凑微分法）可以求出被积函数的原函数，即可直接凑微分求出原函数，然后应用牛顿-莱布尼茨公式求出结果。1.第一类换元积分法例1计算定积分解2.第二类换元积分法设函数f(x)

在区间[a,b]上连续，而函数x=φ(t)满足下列条件：（1）

φ(α)=a，φ(β)=b，（2）

x=φ(t)在α和

β之间的闭区间上是单值连续函数，且当t在α和

β之间变化时，a≤

φ(t)≤b，这是定积分的第二类换元积分法。（3）x=φ(t)在α和

β之间的闭区间上有连续导数，则有：注:

定积分的换元积分法与不定积分的换元积分法不同之处在于：定积分的换元积分法换元后，积分上、下限也要作相应的变换，即“换元必换限”，“换限必对应”.在换元换限后，按新的积分变量做下去，不必还原成原变量.

二、定积分的分部积分法例5计算解例6计算解第5章定积分及其应用§5.1定积分的概念§5.2微积分基本定理§5.3定积分的换元积分法和分部积分法§5.4定积分的应用§5.4定积分的应用

一、定积分的微元法

二、平面图形的面积

三、旋转体的体积内容提要

四、平行截面面积已知的立体的体积第一节多元函数MultipleFunction

一、定积分的微元法定积分是求某个不均匀分布的整体量的有力工具.实际中,有不少几何、物理的问题需要用定积分来解决,广泛采用的是将所求量U（总量）表示为定积分的方法¬¬¬微元法，这个方法的主要步骤如下：（1）由分割写出微元。根据具体问题，选取一个积分变量，例如x为积分变量，并确定它的变化区间[a,b]，任取[a,b]的一个区间微元[x

,x+dx]，求出相应于这个区间微元上部分量ΔU的近似值，即求出所求总量U的微元（2）由微元写出积分。

将微元dU

在区间[a,b]上积分（无限累加），即得到所求量的积分表达式这种方法叫做微元法，dU=f(x)dx称为

U的微元。

二、平面图形的面积图5-9例1求由两条抛物线和所围成的图形面积。解所围平面图形如右图所示

y1O1x

y=x2

y2=x解方程组取x

为积分变量，x

的变化范围为[0,1]，则得交点(0,0)及(1,1)。

例2求由抛物线和直线所围成的图形面积。解解方程组取y

为积分变量，y

的变化范围为[–2,4]，则，得交点坐标(2,–2)及(8,4)。

三、旋转体的体积

旋转体