高等应用数学 课件 第4章 不定积分

第4章不定积分

§4.1不定积分的概念§4.2基本积分公式和运算法则§4.3换元积分法§4.4分部积分法§4.1不定积分的概念

一、原函数

二、不定积分的概念

三、不定积分的几何意义内容提要

四、不定积分的性质一、原函数二、不定积分的概念三、不定积分的几何意义图4-1四、不定积分的性质1.原函数（1）理解原函数的概念，会求一些函数的原函数（2）掌握原函数存在定理2.不定积分的概念（1）理解不定积分的概念（2）会求一些函数的不定积分3.不定积分的几何意义小结（1）理解不定积分的几何意义（2）会利用不定积分的几何意义求曲线方程4.不定积分的性质掌握不定积分的性质，利用其求不定积分§4-2基本积分公式和运算法则

一、基本积分公式二、不定积分的运算法则内容提要一、基本积分公式二、不定积分的运算法则1.基本积分公式熟记基本积分公式，会求一些函数的不定积分2.不定积分的运算法则（1）理解不定积分运算法则（2）会利用直接积分法求不定积分，掌握常用的恒等变形小结§4.3换元积分法

一、第一类换元法(凑微分法)

二、第二类换元法内容提要利用不定积分的直接积分法所能计算的积分是十分有限的，因此，有必要进一步研究不定积分的求法．最常用的积分方法是换元积分法，简称换元法.换元积分法就是通过适当的变量替换，使所求积分在新变量下具有积分基本公式的形式或用直接积分法求解．一、第一类换元法(凑微分法)例1：求

分析：因为被积函数是一个复合函数，基本积分公式中没有这样的公式，所以不能直接应用公式解

因为函数是和复合成的，所以例1的解法特点是引入新变量，从而将原积分化为积分变量为的积分，再用积分基本公式求解．第一节多元函数MultipleFunction定理4-1若，且有连续函数，则这种先“凑”微分，再作变量代换的方法，称为第一类换元积分法，也称为凑微分法.一般地，我们可以得到如下的结论：第一类换元积分法的特点是被积函数由两部分组成，即复合函数和(复合函数内层函数的导数)，换元(凑微分)是将内层函数进行换元(凑微分).第一换元积分是复合函数微分的逆运算.在使用凑微分过程中，最常见的有以下类型：例2求不定积分（1）（2）（3）（4）,

.

（1）因为，所以解（2）因为，所以（4）因为，所以（3）因为，所以解利用凑微分法求不定积分需要一定的技巧，而且往往要作多次试探，初学者不要怕失败，应注意总结规律性的技巧，当运算熟练以后，变量代换和回代这两个步骤，可省略不写，直接按得出结果.第一节多元函数MultipleFunction

二、第二类换元法

在第一类换元积分法中，是选择新变量u代换被积函数中的可微函数进行换元.但有些积分，如等，却不易用上述方法代换，我们设想，如果令进行换元，那么则积分一般地，我们可以得到如下的结论：定理4-2若

是连续函数，

有连续的导数

,其反函数存在且可导，又设,则有换元公式：这种换元的方法称为第二类换元积分法.第一节多元函数MultipleFunction常见的第二类换元积分方法有：（一）简单根式代换例6求下列不定积分：（1）（2）解（1）因为被积函数含有根号，为了去掉根号，可先换元，令，即，于是

，所以（2）令，，则，于是有再回代，得出注使用第二类换元积分法的关键是如何选择函数.如果被积函数中含有根式时，一般可作变量代换去掉根式.*（二）三角代换例7求下列不定积分：（1）（2）

（3）

（1）为了去掉根号，考虑变量代换构造直角三角形(如图4-2)，则

，邻边，于是因为，所以，由图4-2，显然有代入上面的结果，有图4-2（2）为了去掉根号，考虑作变量代换(对于的情形可类似考虑)，构造直角三角形(如图4-3)，则，于是有根据图4-3，显然有，，回代得出图4-3，其中（3）对于()，构造直角三角形(如图4-4)，作变量代换，则斜边.于是有图4-4注如果被积函数含有可分别作，，的变换去掉根式，这种代换统称为三角代换.第二类换元积分法是变量代换法，主要有三角代换，根式代换和倒代换，适用于积分式中有根式的.1.第一类换元法(凑微分法)理解第一类换元法，会求带有复合函数的不定积分小结2.第二类换元法理解第二类换元法，会求带有根式的不定积分§4.4