东莞市2021－2022学年度第一学期期末教学质量检查数学试题和参考答案

2021-2022学年度第一学期教学质量检查高三数学一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1.设集合A={x|0≤x≤4}，B={x|x2-2x-3≤0}，则ANB=A.{x|0≤x≤3}+B.{x|-1≤x≤4}C.{x|-1≤x≤3}D.{x|0≤x≤1}2.(x+1)²+(x+1)’+(x+1)‘的展开式中x项的系数是A.9B.10C.11D.123.已知函数f(x)=sinx，g(x)=e'+e*，则下列结论正确的是A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数4.若a∈(0,/)，2tana=，则tana=cos2aA./2B.1C.2-√3D.√35.甲乙两人在数独APP上进行“对战赛”，每局两人同时解一道题，先解出题的人赢得一局，假设无平局，且每局甲乙两人赢的概率相同，先赢3局者获胜，则甲获胜且比赛恰进行了4局的概率是BD./1C.6.“中国天眼”(如图1)是世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜，其形状可近似地看成一个球冠(球冠是球面被平面所截的一部分，如图2所示，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的线段叫做球冠的高，若球面的半径是R，球冠的高度是h，则球冠的面积S=2πRh).已知天眼的球冠的底的半径约为250米，天眼的反射面总面积(球冠面积)约为25万平方米，则天眼的球冠高度约为(参考数值，--1≈0.52)图1图2A.52米B.104米C.130米D.156米7.已知直线/过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，且与该抛物线交于M,N两点.若线段MN的长为16，MN的中点到y轴距离为6，则AMON(0为坐标原点)的面积是A.8√3B.8√2C.6√2D.68、已知0为坐标原点，点P为函数y=cosx图象上一动点，当点P的横坐标分别为告告告时，对应的点分别为P,P,P，则下列选项正确的是A.|OP|>|OP|>|OP|B.|OP|>|OP,|>|OP|C.|OP|>\OP,|>|OP|D.|OP,|>|OP|>|OP|高三数学第1页(共4页)数学镇数学村二、多项选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分，请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.9.已知复数z,z,ら3，云是z的共轭复数，则下列结论正确的是A.若z+z₂=0，则|z|=|=|B.若z₂=云，则|z|=|z₂|C.若z₃=z,½2，则|²|=|=,||²=|D.若|+1|=|²₂+1|，则|z|=|z2|10.已知函数f(x)=asinx+bcosx,若f(0)=√3且对任意x∈R都有f(x)≤f(/号)则下列结论正确的是A.f(x)=2v3cs(x+/)B.f(x)=2√3sin(x+/)c.f(x)的图象向左平移个单位后，图象关于原点对称D.f(x)的图象向右平移，个单位后，图象关于y轴对称11.气象意义上从春季进入夏季的标志为“当且仅当连续5天每天日平均温度不低于22℃”.现有甲、乙、丙三地连续5天日平均温度的记录数据(数据均为正整数，单位C)且满足以下条件:甲地:5个数据的中位数是24，众数是22;乙地:5个数据的中位数是27，平均数是24;丙地:5个数据有1个是30，平均数是24，方差是9.6;根据以上数据，下列统计结论正正确的是A，甲地进入了夏季B.乙地进入了夏季C.不能确定丙地进入了夏季D.恰有2地确定进入了夏季[9x2-12x+4x≤112.已知函数(x)=÷f(x-1)x>1，则下列结论正确的是A.f(n)=4'-",neN"B.3x∈(0,+∞),f(x)>-C.关于x的方程f(x)=4'"(neN’)的所有根之和为㎡+”D.关于x的方程f(x)=4'"(neN')的所有根之积小于(n!)三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.13.已知F为双曲线c:=1的一个焦点，则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为91614.已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为15π，则该圆锥的体积为_15.桌面上有一张边长为2的正三角形的卡纸，设三个顶点分别为A，B，C，将卡纸绕顶点C顺时针旋转，得到A、B的旋转点分别为4、B，则A·BB=.高三数学第2页(共4页)16.龙曲线是由一条单位线段开始，按下面的规则画成的图形:将前一代的每一条折线段都作为这一代的等腰直角三角形的斜边，依次画出所有直角三角形的两段，使得所画的相邻两线段永远垂直(即所画的直角三角形在前一代曲线的左右两边交替出现)，例如第一代龙曲线(图3)是以AA为斜边画出等腰直角三角形的直角边AA，A,A,所得的折线图，图4、图5依次为第二代、第三代龙曲线(虚线即为前一代龙曲线)，A，A，A为第一代龙曲线的顶点，设第n代龙曲线的顶点数为a，由图可知a=3，a,=5，a,=9,则a=___;数列2”a,an+i的前n项和s„=__.A3A4A3AsA3AA2A1AA5A9图3图4图5四、解答题:本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.17.(本小题满分10分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a²=bcosC+ccosB.(1)求a;(2)若A=/，△ABC的面积为/，求△ABC的周长.18.(本小题满分12分)设等差数列{a„}的前n项和为S„，且a,=17，S」=2az+22.(1)求数列{a„}的通项公式;(2)在任意相邻两项a和a+(k=1,2,3,...)之间插入2“个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列{„}，求数列{b„}的前200项的和T200.19.(本小题满分12分)如图6，在正四棱锥S-ABCD中，点O，E分别是BD,BC中点，点F是SE上的一点.(1)证明:OF1BC;(2)若四棱锥S-ABCD的所有棱长为2√2，求直线OF与平面SDE所成角的正弦值的最大值.DCEB图6高三数学第3页(共4页)数学镇数学村20.(本小题满分12分)已知某次比赛的乒乓球团体赛采用五场三胜制，第一场为双打，后面的四场为单打.团体赛在比赛之前抽签确定主客队.主队三名选手的一单、二单、三单分别为选手A、B、C，客队三名选手的一单、二单、三单分别为选手X、Y、Z、比赛规则如下:第一场为双打(YZ对阵BC)、第二场为单打(X对阵A)、第三场为单打(Z对阵C)、第四场为单打(Y对阵A)、第五场为单打(X对阵B)。已知双打比赛中YZ获胜的概率是一，，单打比赛中X、Y、Z分别对阵A、B、C时，X、Y、Z获胜的概率如下表:选手ABC选手2-31-21-31-31-22-3Y1-42-31-2(1)求主、客队分出胜负时恰进行了3场比赛的概率;(2)客队输掉双打比赛后，能否通过临时调整选手Y为三单、选手z为二单使得客队团体赛获胜的概率增大?请说明理由.21.(本小题满分12分)已知点4为椭圆C:/+2=1(a>b>0)的左顶点，点F(1,0)为右焦点，直线1:x=4与x轴的交点为N，且|AF|=\FN|，点M为椭圆上异于点A的任意一点，直线AM交/于点P.(1)求椭圆C的标准方程;(2)证明:∠MFN=2ZPFN.22.(本小题满分12分)已知a>0且a≠1，函数f(x)=log„x+-ax2.(1)若a=e，求函数f(x)在x=1处的切线方程;(2)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围.高三数学第4页(共4页)2021-2022学年度第一学期教学质量检查高三数学参考答案单项选择题题号1234568答案ABCBDCBD二、多项选择题(全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)题号9101112答案ABCBDACACD三、填空题(16题第一空2分，第二空3分)13.414.12π15.4+2√316.17;32+1四、解答题17.解:(1)方法一:因为a²=bcosC+ccosB，由正弦定理a0sinAsinBsinC'得asinA=sinBcosC+sinCcosB，…………….………………...2分即asinA=sin(B+C)，…………--3分由B+C=π-A，得asinA=sin(B+C)=sinA，…………4分因为sinA>0，所以a=1....…5分方法二:因为a=bcosC+ccosB，由余弦定理得a2=ba2+b2-è+a2+2-b2,-.2分2ab2ac化简得2a’=a²+b²-c²+a2+c²-b²，即a=a2，…-.-----4分因为a≠0，则a=1...-5分(2)-=.…………6分解得bc=1，…7分由a2=b²+c²-2bccosA,即a2=b²+c-bc，即b+c=2，……………8分由(b+c)²=b²+c2+2bc=4，得b+c=2，………9分故a+b+c=3，所以AABC的周长为3.………-10分18.解:(1)设等差数列{a„}的公差为d，a3=17a,+4d=17由题得[4a,+4d=2(a,+d)+22’{s」=2a₂+22’即…..+.++++..+....++++++*.…++++-+-2分∫a,+4d=17整理得{a,+2d=11'.....….3分解得9=5[d=3'……………4分所以a„=3n+2..……-…5分数学镇数学村(2)方法一:由题意可知，{b„’的各项为9,LLa,,1LLa,11,1,,…a丛!……即5,1,1,8,1,1,1,1,11,1,1,11,11,11..3k+2,11...k+*...……….因为2+22+2³+2*+25+26+7=133<200，且2+2²+2’+2*+25+26+27+7=261>200,-----..….---------------8分所以a,a2,az,a,as,a,a,会出现在数列{b}的前200项中，所以a,前面(包括a,)共有126+7=133项，所以a,后面(不包括a,)还有67个1,……10分所以T∞=(5+8+11+14+17+20+23)+(2+22+23+24+25+26)+67=291.…12分方法二:在数列{b„}中，a前面(包括a共有2+22+23+2*+.2*-+k=2*+k-2项,.......-6分令2*+k-2≤200(k=1,2,…)，则k≤7，……...…8分所以a,a2,az,a,a,a,a,会出现在数列{b„}的前200项中，所以a前面(包括a,)共有126+7=133项，所以a,后面(不包括a)还有67个1，…10分所以T2∞=(5+8+11+14+17+20+23)+(2+22+2’+24+2³+20+67=291.-…12分19.解:(1)如图，连接SO和OE，因为S-ABCD是正四棱锥，所以SO1平面ABCD，又因为BCc平面ABCD，所以SO⊥BC①….………….……1分因为ABCD是正方形，所以DCLBC，又因为点O，E分别是BD,BC中点，所以OE//DC，所以OE⊥BC②…3分又因为OE∩SO=0，OE、SOC平面SOE，所以BC工平面SOE.…….….……4分因为OFC平面SOE，所以OF⊥BC:…..............5分(2)易知OB,OC,OS两两相互垂直，如图，以点0为原点，OB，OC，OS为x，y，z轴建立空间直角坐标系，DBX因为四棱锥S-ABCD的所有棱长为2√2，所以BD=4，SO=2，所以0(0,0,0)，S(0,0,2)，D(-2,0,0)，E(1,1,0)，…...............…..….…………6分设SF=λSE(0<λ<1)，得F(λ,λ,2-2λ)，则SD=(-2,0,-2)，死=(3,1,0)，F=(λ,λ,2-2a)…………….-…7分设平面SDE的法向量为n=(x,y,z)，则[n.SD=-2x-2z=0Jz=-xn.DE=3x+y=0，解得{y=-3x，取x=1，得n=(1,-3,-)…………分设直线OF与平面SDE所成角为0，则sinθ=|cos<π,℉>|=_|λ-3λ-2+2λ|√√+22+(2-2a)22(0<λ<1)，…√1.√6λ²-8λ+411分当=---1时，62-82+4取得最小号，此时sin日取得最大值12分20.解:(1)设“主、客队分出胜负时恰进行了3场比赛”事件为事件A，则事件A包含“主队3场全胜”和“客队3场全胜”两类事件，.--1分“主队3场全胜”的概率为(1)(1/)(1/1)-言...……….………2分“客队3场全胜”的概率为*/1,3分所以P(A)=+1-s81224所以主、客队分出胜负时恰进行了3场比赛的概率为/4.….…..….……4分(2)能，理由如下:设“剩余四场比赛未调整Y、Z出场顺序，客队获胜”为事件M，第二场单打(X对阵A)、第三场单打(Z对阵C)、第四场单打(Y对阵A)、第五场单打(X对阵B)的胜负情况分别为:胜胜胜、胜负胜胜、胜胜负胜、负胜胜胜:….............5分则P(M)=/3x/x3+/x1x3+/x/+33x1---7分设“剩余四场比赛调整Y、Z出场顺序，客队获胜”为事件N，第二场单打(X对阵A)、第三场单打(Y对阵C)、第四场单打(Z对阵A)、第五场单打(X对阵B)的胜负情况分别为:胜胜胜、胜负胜胜、胜胜负胜、负胜胜胜;...8分则P()=/x/x++*++/4x1-2-/3..……0分因为P(M)<P(N)，………..…..…………-…11分所以客队调整选手Y为三单、选手Z为二单获胜的概率更大.…………12分21.解:(1)由题知|AF|=|FN|，得a+c=4-c，….…………1分又因为右焦点为F(1,0)，则c=1,解得a=2，………...……2分所以b=√²-α=√3，....…........++++…3分所以椭圆C的方程+=1.…...4分(2)设点M的坐标为(x,%)，则k=x2所以直线AM的方程是=₂(+2)，-5分当x=4时，’=x+2'6y所以点P的坐标为(4.)………6分所以unPN„-，=---分2.2y02tan∠PFNx0+2_4(x。+2)y所以tan2∠PFN=.…..8分1-tan’∠PFN1-(x+2)-4因为点M(x3)在÷+上,+/=14=123x*---所以tan2∠PFN=_4(x。+2)y_4(+2)y。(x+2)²-4y(x。+2)-(12-3x。2)4(x。+2)y。_(x。+2)%__y=M………………4x2+4x。-8¯(x。-1)(x+2)x-1又因为ZPFN和∠MFN是锐角，所以∠MFN=2∠PFN.……