北师大版《数学》(八年级上册)知识点总结

北师大版《数学》(八年级上册)知识点总结组勾股数分别是：2n,n2-l,n2+l米，梯子滑动后停在DE位置上，如图(2)所示，测

第一章勾股定理如：(6,8,10)(8,15,17)(10,24,26)……得得BD-0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？

1、勾股定理4、常见题型应用：

<1)直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c(1)已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上

的平方，即。2+82=。2的高线/周长/面积……

(2)勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面(2)已知任意一条的边长以及另外两条边长思维入门指导：梯子顶端A下落的距离为AE,即

积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法……之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面求AE的长。已知AB和BC,根据勾股定理可求AC,

(通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法积……只要求出EC即可。

或等积法)(3)判定三角形形状：1+b2>c2锐角a2解：在RtZ\ACB中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.5M,

(3)勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形+bJc2直角a?+日<(?钝角~；.AC=2

2、勾股定理的逆定理判定直角三角形a..找最长边；b.比较长边的VBD=0.5,.\CD=2

如果三角形的三边长a,b,c有关系/+/=。2,平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c.

那么这个三角形是直角三角形。确定形状在RfAEC。中，EC2=ED2-CD2=2.52-22=2.25

3、勾股数：满足/+b2=。2的三个正整数a,b,(4)构建直角三角形解题，EC=1.5

c,称为勾股数。例1.已知直角三角形的两直角边之比为3：4,斜边为/.AE=AC-EC=2-I5=Q5

答：梯子顶端下滑了0.5米。

常见的勾股数有：(6,8,10)(3,4,5)(5,12),13)10o求直角三角形的两直角边。

点拨：要考虑梯子的长度不变。

(9,12,15)(7,24,25)(9,40,41)...解：设两直角边为3x,4x,由题意知：

例5.如图所示的一块地，AD=12m,CD=9m,Z

规律：(1),短直角边为奇数，另一条直角边与斜边

ADC=90°,AB=39m,BC=36m,求这块地的面积。

是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。(3x)2+(4x)2=100,9/+16/=100,25/=100,/

即当a为奇数且a<b时，如果b+c=a2那么a,b,c就；.x=2,则3x=6,4x=8,故两直角边为6,8。

是一组勾股数.如(3,4,5)(5,12,,13)(7,24,25)中考突破

(1)中考典题

(9,40,41)..思维入门指导：求面积时一般要把不规则图形分割成规则图形，若连结BD,

例.如图(1)所示，一个梯子AB长2.5米，顶端似乎不得要领，连结AC,求出S4iac-5AAe0即可。

(2)大于2的任意偶数，2n(n>l)都可构成一

A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5解：连结AC,在Rl/XADC中，

算术平方根定义如果一个非负数x的平方等于负有理数

那么这个非负数x就叫做a的算术平方根，记为右,

正无理数

算术平方根为非负数石2（）

.正数的平方根有2个，它们互为相反数无理数无限不循环小

22222

AC=CD+AD=12+9=225平方根《

（）的平方根是9数

二.AC=15负数没有平方根

负无理数

2.无理数的表示-定义：如果一个数的平方等于小即V=a,那么这个数就

在△ABC中，AB?=1521

叫做。的平方根，记为土而2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

2222

AC+BC=15+36=1521正数的立方根是正数

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时

AB2=AC2+BC2,Z.ACB=90°立方根•负数的立方根是负数

0的立方根是0之，归纳起来有四类：

SMBC-=/AC,BC—-AD-CD定义：如果•个数A,的立方等于4,即1=4,那么这3衿一开方开不尽的数,如五近等;

就叫做a的立方根，记为近.

=：*15*36-；x12x9=270-54=216（1）（2）有特定意义的数，如圆周率兀，或化简后含

答：这块地的面积是216平方米。概念有理数和无理数统称实数有兀的数，如山3+8等;

点拨：此题综合地应用了勾股定理和直角三角正数（3）有一定规律，但并不循环的数，如

有理数

形判定条件。分类或00.1010010001…等;

无理数

负数（4）某些三角函数值，如sin6（T等

3.实数及其相关概念

第二章实数

绝对值、相反数、倒数的意义同有理数-、实数的倒数、相反数和绝对值

基本知识回顾实数与数轴上的点是一一对应

1、相反数

1.无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。实数的运算法则、运算规律与有理数的运算法则

实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两

运算规律相同。

个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上

看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,

一、实数的概念及分类

如果a与b互为相反数，则有a+b=0,a=—b＞反之

1、实数的分类

亦成立。

正有理数

2、绝对值

有理数冬有限小数和

在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫

无限循环小数

做该数的绝对值。（间沙）。零的绝对值是它本身，也根。特别地，。的算术平方根是0。正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右

可看成它的相反数，若|a|=a,则a0；若|a|=-a,则把0。表示方法：记作“右”，读作根号a。边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。

3、倒数性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的2、实数大小比较的几种常用方法

如果a与b互为倒数，则有ab=l,反之亦成立。算术平方根是零。（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边

倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。2、平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即的数总比左边的数大。

4、数轴x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。（2）求差比较：设a、b是实数，

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴表示方法：正数a的平方根记做“士后”，读作“正、a-b>0<^>a>b,

（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。负根号a”。a—b=0=。=b,

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；a—b<Q<^>a<h

数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。零的平方根是零；负数没有平方根。（3）求商比较法：设a、b是两正实数，

a..a..a.,

5、估算开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。—>1o67>b\—=104=b\—<1o。

hbb

利用非负数解题的常见类型注意后的双重非负性：被开方数与结果均为非

（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则

例］已।知Jx—5+|y-3|=0,求-2y的值。负数。即a20,

同>|Z?|oa<bQ

解：3、立方根

（5）平方法：设a、b是两负实数，则

一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=a那

22

a>b<^>a<bo

.■.V7^5=0,|y-3|=0么这个数x就叫做a的立方根（或三次方根）。

（6）倒数法：设a、b是同正，如果则aV

x-5=0,y-3=0表示方法：记作后

b;同负,如果l/a>l/b,则a>b

..x=5,y=3性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有

五、算术平方根有关计算（二次根式）

x2-2y=25-6=19一个负的立方根；零的立方根是零。

1、含有二次根号“«”；被开方数a必须是非

点拨：利用算术平方根，绝对值非负性解题.注意：口=”,这说明三次根号内的负号可

三、平方根、算数平方根和立方根以移到根号外面。负数。

1、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等四、实数大小的比较2、性质：

于a,即x'a,那么这个正数x就叫做a的算术平方1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，（1）（八尸=a（a>0）

(2)VCl2=同=r20)(1)(V2+1)(72-1)=；移后的点连成线段，即为原线段平移后的线段；

I-4("0)

(2)(6+五=；作法2：将线段一端点平移，然后过平移后的点

(3)4ah=y[a•4b{a>0,/?>0)(3)(2+V3)(2-V3)=；作原线段的平行线，在该平行线适当方向截取长度为

(4ci•4b=4ab(a>0,Z?0))(4)於+21道-2)=.指定线段长度，则所得线段为所求.

(4)需冬“3”通过以上计算，观察规律，写出用n(n为正整数)

表示上面规律的等式___________。二、旋转

卷书"20，b>0))解：1、定义：在平面内，将一个图形绕某一定点沿某个

3、运算结果若含有“JZ”形式，必须满足：(>/2)2-1=1；(⑸-(可=1；4-(V3)：=1；阳=4=1方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个

(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；规律：(标+网(标—4)=1定点称为旋转中心，转动的角叫做旋转角。

(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因2、要素(或条件)：旋转中心(定点)、旋转方向(顺

式第三章图形的平移与旋转时针/逆时针)、旋转角度(0~360°)

六、实数的运算一、平移3、性质：旋转前后两个图形是全等图形，对应点到

(1)六种运算：力口、减、乘、除、乘方、开方1、定义：在平面内，将一个图形整体沿某方向移动旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成

(2)实数的运算顺序一定的距离，这样的图形运动称为平移。的角等于旋转角。

先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果2、要素(或条件)：方向，即前后对应点的射线方向；4、旋转作图：

有括号，就先算括号里面的。距离，即对应点之间的距离(1)作图步骤：观察基本图案(确定关键点)-

(3)运算律3、性质：平移前后两个图形的形状和大小不变(即确定旋转的三要素——找到对应点——连接对应点

加法交换律a+b=b+a全等图形)，对应点连线平行(或在同一条直线上)——作答

力口法结合律(a+b)+c=a+(b+c)且相等，对应线段平行(或在同一条直线上)且相等，(2)旋转作图的方法：1、把各关键点依次与旋转中

对应角相等。心连接

乘法交换律ab=ba

4、平移作图：2、按要求向顺时针/逆时针

乘法结合律(ab)c=a(bc)

线段的平移作法：旋转相应角度

乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac

作法1：将线段两端点分别平移，然后将两个平3、截取对应线段

例.计算:

4、连接对应点2、平行四边形的性质相等）

5、作答（1）平行四边形的对边平行且相等。两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条

三、简单的图案设计：（2）平行四边形相邻的角互补，对角相等直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

第四章四边形性质探索（3）平行四边形的对角线互相平分。5、平行四边形的面积：S饰醐;祈底边长、高=211

一、四边形的相关概念（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对三、菱形

1、四边形：在同一平面内，由不在同一直线上的角线的交点。1、菱形的定义

四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形。常用点：（1）若一直线过平行四边形两对角线的有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

2、四边形具有不稳定性交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对2、菱形的性质

3、四边形的内角和定理及外角和定理角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面（1）菱形的四条边相等，对边平行

四边形的内角和定理：四边形的内角和等于积。（2）菱形的相邻的角互补，对角相等

360°o（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对

四边形的外角和定理：四边形的外角和等于3、平行四边形的判定角线平分一组对角

360°。（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对

推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等边形称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距

于（n-2）X180°；（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。

多边形的外角和定理：任意多边形的外角四边形3、菱形的判定

和等于360°。（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形

6、设多边形的边数为n,从n边形的一个顶点出四边形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形

发能引（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱

角形。多边形的对角线共有，&条。边形形

（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平4、菱形的面积

二、平行四边形

行四边形S演=底边长乂高=两条对角线乘积的一半

1、平行四边形的定义

4、两条平行线之间的距离（平行线间的距离处处四、矩形

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

1、矩形的定义每一条对角线平分一组对角AE=J._BE2=J?_(|)=|百

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。(4)正方形既是中心对称图形又是轴对称图形；对

S*步=—V3x5=—yf3cm2

2、矩形的性质称中心是对角线的交点；对称轴有四条，是对角线所£形22

(1)矩形的对边平行且相等在的直线和对边中点连线所在的直线。另一种解法：如图所示，连结AC、BD,相交于

(2)矩形的四个角相等，都是直角3、正方形的判定点O。

(3)矩形的对角线相等且互相平分判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途

(4)矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；对径有两种：

称中心是对角线的交点(对称中心到矩形四个顶点的先证它是矩形，再证它是菱形。

•/ABAD：ZABC=2：1

距离相等)；对称轴有两条，是对边中点连线所在的先证它是菱形，再证它是矩形。

:.^ABC=60°,XAB=BC

直线。4、正方形的面积

.♦.△ABC是等边三角形，；.AC=5

3、矩形的判定设正方形边长为a,对角线长为b

又•.•Q4=OC,OA^-

(1)定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形S访ku*=嗅2

(2)定理1：有三个角是直角的四边形是矩形yAO±BD,OB=y/AB2-OA2

例L菱形的周长为20cm,相邻两内角的比为1：2,

(3)定理2：对角线相等的平行四边形是矩形

求菱形的面积？

4、矩形的面积：长又宽=25

解：如图所示，菱形ABCD,由于周长为20cm,:.BD=56

五、正方形(3~10分)

/.AB=5cm

1、正方形的定义

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边点拨：菱形的两种求面积的方法都比较常用，注

形叫做正方形。意根据题中所给的条件灵活选择。有时要与一些特殊

2、正方形的性质又•・•"Zfi=2：1,角，比如30°、60°角的特殊性质联系起来。

(1)正方形四条边都相等，对边平行.\ZA=120°,ZB=60°

六、梯形

(2)正方形的四个角都是直角过点A作BC的垂线，垂足为E,则/BAE=30°

(-)1、梯形的相关概念

(3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分,

BE=-AB=-

22一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做

梯形。(3)等腰梯形的对角线相等。

梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫(4)等腰梯形是轴对称图形,它只有一条对称轴,(5)顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的

做上底，较长的底叫做下底。即两底的垂直平分线。四边形是‘；

梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。3、等腰梯形的判定(6)顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中

梯形的两底的距离叫做梯形的高。(1)定义：两腰相等的梯形是等腰梯形点所得的四边形是［「；

2、梯形的判定(2)定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等(7)顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形

(1)定义法：一组对边平行而另一组对边不平行腰梯形四边中点所得的四边形是一工；

的四边形是梯形。(3)对角线相等的梯形是等腰梯形。(选择题和八、中心对称图形

(2)一组对边平行且不相等的四边形是梯形。填空题可直接用)1、定义

(-)直角梯形的定义：一腰垂直于底的梯形叫(四)梯形的面积在平面内，一个图形绕某个点旋转180°,如果

做直角梯形。(1)如图，旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对

一般地，梯形的分类如下：SfWM/ie=5（C。+AB）•DE称图形，这个点叫做它的对称中心。

r一般梯形(2)梯形中有关图2、性质

梯成r直角梯形

形的面积:(1)关于中心对称的两个图形是全等形。

翻^形

①^MBD=S^BAC：(2)关于中心对称的两个图形，对称点连线都经

等腰梯形②^&AOD=M3OC；过对称中心，并且被对称中心平分。

(三)等腰梯形③Sgoc=$&BCD(3)关于中心对称的两个图形,对应线段平行(或

1、等腰梯形的定义七、有关中点四边形问题的知识点:在同一直线上)且相等。

两腰相等的梯形叫做等腰梯形。(1)顺次连接任