八年级数学一次函数教案

变量与函数(1)

知识技能目标

1.掌握常量和变量、自变量和因变量(函数)基本概念；

2.了解表示函数关系的三种方法：解析法、列表法、图象法，并会用解析法表示数量关系.

过程性目标

1.通过实际问题，引导学生直观感知，领悟函数基本概念的意义；

2.引导学生联系代数式和方程的相关知识，继续探索数量关系，增强数学建模意识，列出函数关系式.

教学过程

一、创设情境

在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题.

问题1如图是某地一天内的气温变化图.

看图回答：

⑴这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温.

(2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？

(3)这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？解(1)这天的6时、10时和14

时的气温分别为-1℃、2℃、5℃；

(2)这一天中，最高气温是5℃.最低气温是一4℃；

(3)这一天中，3时〜14时的气温在逐渐升高.0时〜3时和14时〜24时的气温在逐渐降低.

从图中我们可以看到，随着时间t(时)的变化，相应地气温T(℃)也随之变化.那么在生活中是否还有其

它类似的数量关系呢？

二、探究归纳

问题2银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率，下表是20XX年7月中国工商银行为“整存整取”

的存款方式规定的年利率：

存期X三月六月一年二年三年五年

年利率1.71001.89001.98002.25002.52002.7900

观察上表，说说随着存期x的增长，相应的年利率y是如何变化的.

解随着存期x的增长，相应的年利率y也随着增长.

问题3收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的.下面是一些对应的数值:

波长Z(m)30050060010001500

频率逐KHz)1000600500300200

观察上表回答:

(1)波长1和频率f数值之间有什么关系？

(2)波长1越大，频率f就.

解(1)1与f的乘积是一个定值，即

If=300000,

f_300000

或者说1.

(2)波长1越大，频率f就越小.

问题4圆的面积随着半径的增大而增大.如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积则S与r之间满足下列

关系：S—.

利用这个关系式，试求出半径为1cm、1.5cm、2cm、2.6cm、3.2cm时圆的面积，并将结果填入下表：

・・・

半径r(cm)11522.63.2

圆面积S(cm2)•••

由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就

解S=7tr2.

半径广(cm)11.522.63.2•••

.・・

圆面积S(cm2)3.147.06512.5621,226432,1536

圆的半径越大，它的面积就越大.

在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律.这里出现了各种各样的量，特

别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量.例如问题1中，刻画气温变化规律的量是时间t和气温

T,气温T随着时间t的变化而变化，它们都会取不同的数值.像这样在某一变化过程中，可以取不同数

值的量，叫做变量(variable).

上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关.一般地，如果在一个变化过程中，有两

个变量，例如x和y,对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量(independent

variable),y是因变量(dependentvariable),此时也称y是x的函数(function).表示函数关系的方法通常有

三种：

于300000

(1)解析法，如问题3中的।，问题4中的S=7tr2,这些表达式称为函数的关系式.

(2)列表法，如问题2中的利率表，问题3中的波长与频率关系表.

(3)图象法，如问题1中的气温曲线.

问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量(constant),如问题3中的300000,

问题4中的兀等.

三、实践应用

例1下表是某市2000年统计的该市男学生各年龄组的平均身高.

年龄组(岁)7891011121314151617

男生平均

115.4118.3122.2126.5129.6135.5140.4146.1154.8162.9168.2

身高(cm)

(1)从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少吗?

(2)该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加？

(3)上表反映了哪些变量之间的关系?其中哪个是自变量?哪个是因变量？

解(1)平均身高是146.1cm；

(2)约从14岁开始身高增加特别迅速；

(3)反映了该市男学生的平均身高和年龄这两个变量之间的关系，其中年龄是自变量，平均身高是因变量.

例2写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量：

(1)圆的周长C与半径r的关系式；

(2)火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s(千米)和所用时间t(时)的关系式；

(3)n边形的内角和S与边数n的关系式.

解(l)C=2wr,2兀是常量，r、C是变量；

(2)s=60t,60是常量，t、s是变量；

(3)S=(n—2)X180,2、180是常量，n、S是变量.

四、交流反思

1.函数概念包含：

(1)两个变量；

(2)两个变量之间的对应关系.

2.在某个变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量；数值始终保持不变的量，叫做常量.例如x和y,

对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量.

3.函数关系三种表示方法：

(1)解析法；

(2)列表法;

(3)图象法.

五、检测反馈

1.举3个日常生活中遇到的函数关系的例子.

2.分别指出下列各关系式中的变量与常量：

(1)三角形的一边长5cm,它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm)的关系式是2；

(2)若直角三角形中的一个锐角的度数为a,则另一个锐角p(度)与a间的关系式是p=90-a；

(3)若某种报纸的单价为a元，x表示购买这种报纸的份数，则购买报纸的总价y(元)与x间的关系是：y

=ax.

3.写出下列函数关系式，并指出式中的自变量与因变量：

(1)每个同学购一本代数教科书，书的单价是2元，求总金额Y(元)与学生数n(个)的关系；

(2)计划购买50元的乒乓球，求所能购买的总数n(个)与单价a(元)的关系.

4.填写如图所示的乘法表，然后把所有填有24的格子涂黑.若用x表示涂黑的格子横向的乘数，y表示纵

向的乘数，试写出y关于x的函数关系式.

变量与函数（2）

知识技能目标

1.掌握根据函数关系式直观得到自变量取值范围，以及实际背景对自变量取值的限制；

2.掌握根据函数自变量的值求对应的函数值.

过程性目标

I.使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识；

2.联系求代数式的值的知识，探索求函数值的方法.

教学过程

一、创设情境

问题I填写如图所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么?如果把这些涂黑的格

子横向的加数用x表示，纵向的加数用y表示，试写出y与x的函数关系式.

解如图能发现涂黑的格子成一条直线.

函数关系式：y=10—x.

问题2试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式.

解y与x的函数关系式：y=180-2x.

问题3如图，等腰直角aABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm,AC与MN在同一直线上,

开始时A点与M点重合，让向右运动，最后A点与N点重合.试写出重叠部分面积ycm2与MA

长度xcm之间的函数关系式.

y=­x

解y与x的函数关系式：.2.

二、探究归纳

思考(1)在上面问题中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗？如果有，写出它的取值范围.

(2)在上面问题1中，当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？当纵向的加数为6时，横向的

加数是多少？

分析问题1，观察加法表中涂黑的格子的横向的加数的数值范围.

问题2,因为三角形内角和是180°，所以等腰三角形的底角的度数x不可能大于或等于90。.

问题3,开始时A点与M点重合，MA长度为0cm,随着4ABC不断向右运动过程中，MA长度逐渐增长,

最后A点与N点重合时，MA长度达到10cm.

解(1)问题1,自变量x的取值范围是：l<x<9；

问题2,自变量x的取值范围是：0Vx<90；

问题3,自变量x的取值范围是：OWxWlO.

(2)当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是7；当纵向的加数为6时，横向的加数是4.上面

例子中的函数，都是利用解析法表示的,又例如：

s=60t,S=TCR2.

在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义.在确定函数中自变量的取值范围时，

如果遇到实际问题，不必须使实际问题有意义.例如，函数解析式S=7tR2中自变量R的取值范围是全体

实数，如果式子表示圆面积S与圆半径R的关系，那么自变量R的取值范围就应该是R>0.

对于函数y=x(30—x),当自变量x=5时，对应的函数y的值是

y=5X(30—5)=5X25=125.

125叫做这个函数当x=5时的函数值.

三、实践应用

1

y~

例1求下列函数中自变量x的取值范围：⑴y=3x—1；(2)y=2x2+7；(3)x+2；

⑷y=

分析用数学式子表示的函数，一般来说，自变量只能取使式子有意义的值.例如，在(1),(2)中，x取任

1____

意实数，3x-l与2x2+7都有意义；而在(3)中，x=-2时，X+2没有意义；在(4)中，x<2时，卜一2

没有意义.

解(l)x取值范围是任意实数；

(2)x取值范围是任意实数；

(3)x的取值范围是xW—2；

(4)x的取值范围是x22.

归纳四个小题代表三类题型.(1),(2)题给出的是只含有一个自变量的整式；(3)题给出的是分母中只含有

一个自变量的式子；(4)题给出的是只含有一个自变量的二次根式.

例2分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围:

(1)某市民用电费标准为每度0.50元，求电费y(元)关于用电度数x的函数关系式；

(2)己知等腰三角形的面积为20cm2,设它的底边长为x(cm),求底边上的高y(cm)关于x的函数关系式；

(3)在一•个半径为10cm的圆形纸片中剪去一个半径为r(cm)的同心圆，得到一个圆环.设圆环的面积为

S(cm2),求S关于r的函数关系式.

解(l)y=0.50x,x可取任意正数；

40

y-1

(2)X,X可取任意正数;

(3后=100兀一仃2,1•的取值范围是0Vr<10.

例3在上面的问题(3)中，当MA=lcm时，重叠部分的面积是多少?

解设重叠部分面积为ycm2,MA长为xcm,y与x之间的函数关系式为

当x=l时，22

£

所以当MA=lcm时，重叠部分的面积是2cm2.

例4求下列函数当x=2时的函数值：

(l)y=2x-5；(2)y=-3x2；

2____

(3)卜x-1；(4)卜=12-x.

分析函数值就是y的值，因此求函数值就是求代数式的值.

解(1)当x=2时，y=2X2-5=-1；

(2)当x=2时，y=-3X22=-12；

2

(3)当x=2时,y=2-l=2；

(4)当x=2时，y=42-2=0.

四、交流反思

1.求函数自变量取值范围的两个依据:

(1)要使函数的解析式有意义.

①函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；

②函数的解析式分母中含有字母时，自变量的取值应使分母W0；

③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数20.

(2)对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义.

2.求函数值的方法：把所给出的自变量的值代入函数解析式中，即可求出相应的函数值.

五、检测反馈

1.分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围：

(1)一个正方形的边长为3cm,它的各边长减少xcm后，得到的新正方形周长为ycm.求y和x间的关系

式；

(2)寄一封重量在20克以内的市内平信，需邮资0.60元，求寄n封这样的信所需邮资y(元)与n间的函

数关系式；

⑶矩形的周长为12cm,求它的面积S(cm2)与它的一边长x(cm)间的关系式，并求出当一边长为2cm时这

个矩形的面积.

2.求下列函数中自变量x的取值范围：

(l)y=—2x—5x2；(3)y=x(x+3)；

_6x

(3)'%+3；(4)、=.

3.一架雪橇沿一斜坡滑下，它在时间t(秒)滑下的距离s(米)由下式给出：s=10t+2t2.假如滑到坡底

的时间为8秒，试问坡长为多少？

4.当x=2及x=-3时，分别求出下列函数的函数值：

x+2

y=~~

(1)y=(x+l)(x—2)；(2)y=2x2—3x+2；(3)X—71.

函数的图象(1)

知识技能目标

1.掌握平面直角坐标系的有关概念；

2.能正确画出直角坐标系，以及根据点的坐标找出它的位置、由点的位置确定它的坐标；

3.初步理解直角坐标系上的点和有序实数对是一一对应的含义.

过程性目标

1.联系数轴知识、统计图知识，经历探索平面直角坐标系的概念的过程；

2.通过学生积极动手画图，达到熟练的程度，并充分感受直角坐标系上的点和有序实数对是一一对应的含

义.

教学过程

一、创设情境

如图是一条数轴，数轴上的点与实数是一一对应的.数轴上每个点都对应一个实数，这个实数叫做这个点

在数轴上的坐标.例如，点A在数轴上的坐标是4,点B在数轴上的坐标是一2.5.知道一个点的坐标，这

个点的位置就确定了.

Iii.BiiIai■A.■

-5.4-3-2-1012345x

我们学过利用数轴研究一些数量关系的问题，在实际生活中.还会遇到利用平面图形研究数量关系的问题.

二、探究归纳

问题1例如你去过电影院吗？还记得在电影院是怎么找座位的吗？

解因为电影票上都标有“X排X座”的字样，所以找座位时，先找到第几排，再找到这一排的第几座就

可以了.也就是说，电影院里的座位完全可以由两个数确定下来.

问题2在教室里，怎样确定一个同学的座位？

解例如，XX同学在第3行第4排.这样教室里座位也可以用一对实数表示.

问题3要在一块矩形ABCD(AB=40mm,AD=25mm)的铁板上钻一个直径为10mm的圆孔，要求:

⑴孔的圆周上的点与AB边的最短距离为5mm,

(2)孔的圆周上的点与AD边的最短距离为15mm.

试问：钻孔时，钻头的中心放在铁板的什么位置？

分析圆O的中心应是钻头中心的位置.因为。O直径为10mm,所以半径为5mm,所以圆心O到AD边

距离为20mm,圆心O到AB边距离为10mm.由此可见，确定一个点(圆心O)的位置要有两个数(20

和10).

在数学中，我们可以用一对有序实数来确定平面上点的位置.为此，在平面上画两条原点重合、互相垂直

且具有相同单位长度的数轴(如图)，这就建立了平面直角坐标系(rightangledcoordinatessystem).通常把

其中水平的一条数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的

数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两数轴的交点0叫做坐

标原点.11

在平面直角坐标系中，任意一点都可以用一对有序实数来表示.例：义__!__尸(3,2)

如，图中的点P,从点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为

1■

M和N.这时，点M在x轴上对应的数为3,称为点P的横坐标，，，____,,1M;

(abscissa)；点N在y轴上对应的数为2,称为点P的纵坐标-3-2-10123_

(ordinate).依次写出点P的横坐标和纵坐标，得到一对有序实数-1-

(3,2),称为点P的坐标(coordinates).这时点P可记作P(3,2).在

直角坐标系中，两条坐标轴把平面分成如图所示的I、II、III、in一；IV

IV四个区域，分别称为第一、二、三、四象限.坐标轴上的点不

属于任何一个象限.

三、实践应用

S『2,3j,Q(2,3)

例1在上图中分别描出坐标是(2,3)、(一2,3)、(3,—2)的点Q、S、

R，Q(2,3)与P(3,2)是同一点吗？S(—2,3)与R(3,—2)是同一点2..尸32)

吗？

1-

解

111111’

-3-2-10123%

Q(2,3)与P(3,2)不是同一点；1.

...43-2)

5(—2,3)与R(3,-2)不是同一点.

例2写出图中的点A、B、C、D、E、F的坐标.观察你所写出的这些点的坐标，回答：(1)在四个象限内

的点的坐标各有什么特征？

(2)两条坐标轴上的点的坐标各有什么特征？

->--'——>

23x

七

-3

解A(-1,2)、B(2,l)、C(2,-l)>E(0,3)、F(-2,0).

(1)在第一象限内的点,横坐标是正数，纵坐标是正数：

在第二象限内的点,横坐标是负数，纵坐标是正数；

在第三象限内的点,横坐标是负数，纵坐标是负数；

在第四象限内的点,横坐标是正数，纵坐标是负数；

(2)x轴上点的纵坐标等于零；

y轴上点的横坐标等于零.

说明从上面的例1、例2可以发现直角坐标系上每一个点的位置都能用一对有序实数表示，反之，任何一

对有序实数在直角坐标系上都有唯一的一个点和它对应.也就是说直角坐标系上的点和有序实数对是一一

对应的.

例3在直角坐标系中描出点A(2「3),分别找出它关于x轴、y轴及原点的对称点，并写出这些点的坐标.观

察上述写出的各点的坐标，回答：

(1)关于x轴对称的两点的坐标之间有什么关系？

(2)关于y轴对称的两点的坐标之间有什么关系？

(3)关于原点对称的两点的坐标之间又有什么关系？

解

LB.3".(2,3)

2-

1-

--3-2-\0-123x

-1■

，2-

(一2「3?$

(1)关于x轴对称的两点：横坐标相同，纵坐标绝对值相等，符号相反:

(2)关于y轴对称的两点：横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标相同；

(3)关于原点对称的两点：横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标也绝对值相等，符号相反.

例4在直角坐标平面内，(1)第一、三象限角平分线上点的坐标有什么特点？(2)第二、四象限角平分线上

点的坐标有什么特点？

分析如图，P为第一、三象限角平分线上位于第一象限内任一点，作PM_Lx轴于M,在RtZ\PMO中，

N1=N2=45°,所以|OMI=IMP|,则P点的横坐标，纵坐标绝对值相等，又因为P点位于第一象

限内，0M为正值，MP也为正值，所以P点横坐标与纵坐标相同.同样若P点位于第三象限内，则0M

为负值，MP也为负值，所以P点横坐标与纵坐标也相同.若P点为第

二、四象限角平分线上任一点，则0M与MP-正一负，所以P点横坐

标与纵坐标互为相反数.

解(1)第一、三象限角平分线上点：横坐标与纵坐标相同；

(2)第二、四象限角平分线上点：横坐标与纵坐标互为相反数.

四、交流反思

1.平面直角坐标系的有关概念及画法；

2.在直角坐标系中，根据坐标找出点；由点求出坐标的方法；

3.在四个象限内的点的坐标特征；两条坐标轴上的点的坐标特征；第一、

三象限角平分线上点的坐标特征；第二、四象限角平分线上点的坐标特征;

4.分别关于x轴、y轴及原点的对称的两点坐标之间的关系.

五、检测反馈

1.判断下列说法是否正确：

(1)(2,3)和(3,2)表示同一点；

(2)点(-4,1)与点(4,-1)关于原点对称；

(3)坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0；

(4)第一象限内的点的横坐标与纵坐标均为正数.

2.在直角坐标系中描出下列各点，顺次用线段将这些点连起来，并将最后一点与第一点连起来，看看得到

的是一个什么图形？

(—,0),(—,1),(—3—,1),(—1—,3),(—2—,3),

22222

(——，6),(-1,6)，(0,8)，(1,6),(-,6)，(2-,3)，

222

(1-,3)，G-,1)，(-,1),(-,0)

2222

3.指出下列各点所在的象限或坐标轴：

A(—3,—5),B(6,—7),C(0,—6),D(—3,5),E(4,0).

4.填空：

(1)点P(5,-3)关于x轴对称点的坐标是；

(2)点P(3,—5)关于y轴对称点的坐标是；

(3)点P(-2,-4)关于原点对称点的坐标是

5.如图是一个围棋棋盘，我们可以用类似于直角坐标系的方法表示各个棋子的位置.例如，图中右下角的

一个棋子可以表示为(12,十三).请至少说出图中四个棋子的“位置”.

12345678910111213141516171819

函数的图象(2)

知识技能目标

I.掌握用描点法画出一些简单函数的图象；

2.理解解析法和图象法表示函数关系的相互转换.

过程性目标

1.结合实际问题，经历探索用图象表示函数的过程；

2.通过学生自己动手，体会用描点法画函数的图象的步骤.

教学过程

一、创设情境

问题1在前面，我们曾经从如图所示的气温曲线上获得许多信息，回答了一些问题.现在让我们来回顾一

下.

二、探究归纳

先考虑一个简单的问题：你是如何从图上找到各个时刻的气温的？

分析图中，有一个直角坐标系，它的横轴是t轴，表示时间；它的纵轴是T轴，表示气温.这一气温曲线

实质上给出了某日的气温T(℃)与时间t(时)的函数关系.例如，上午10时的气温是2℃,表现在气温

曲线上，就是可以找到这样的对应点，它的坐标是(10,2).实质上也就是说，当t=10时，对应的函数值T

=2.气温曲线上每一个点的坐标(t,T),表示时间为t时的气温是T.

问题2如图，这是20XX年3月23日上证指数走势图，你是如何从图上找到各个时刻的上证指数的？

±UBB®1[000001]分时图2004/3/23-15:00

分析图中，有一个直角坐标系，它的横轴表示时间；它的纵轴表示上证指数.这一指数曲线实质上给出

了3月23日的指数与时间的函数关系.例如，下午14:30时的指数是1746.26,表现在指数曲线上，就是

可以找到这样的对应点，它的坐标是(14:30,1746.26).实质上也就是说，当时间是14:30时，对应的函数

值是1746.26.

上面气温曲线和指数走势图是用图象表示函数的两个实际例子.

一般来说，函数的图象是由直角坐标系中的一系列点组成的图形.图象上每一点的坐标(x,y)代表了函数

的一对对应值，它的横坐标x表示自变量的某一个值，纵坐标y表示与它对应的函数值.

三、实践应用

例1画出函数y=x+l的图象.

分析要画出一个函数的图象，关键是要画出图象上的一些点，为此，首先要取一些自变量的值，并求出

对应的函数值.解取自变量x的一些值，例如x=-3,-2,-1,0,1,2,3…，计算出对应的函数值.为

表达方便，可列表如下：

.・・.・・

X-3-2-10123

y•••-2-101234•••

由这一系列的对应值，可以得到一系列的有序实数对：

…，(-3,-2),(-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3),(3,4),…在直角坐标系中，描出这些有序实数对(坐

标)的对应点，如图所示.

4

3

2

x

(-3.-2)1------------2,

-4

通常，用光滑曲线依次把这些点连起来，便可得到这个函数的图象，如图所示.

通常称为描点法.

1

y=­x

例2画出函数.2的图象.

分析用描点法画函数图象的步骤：分为列表、描点、连线三步.

解列表：

X•••-3-2-10123•••

・・・

y•••4.520.500.524.5

描点:

用光滑曲线连线:

四、交流反思

由函数解析式画函数图象，一般按下列步骤进行：

1.列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；

2.描点：以表中对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；

3.连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用光滑的曲线连结起来.

描出的点越多，图象越精确.有时不能把所有的点都描出，就用光滑的曲线连结画出的点，从而得到函数

的近似的图象.

五、检测反馈

1

y——x

1.在所给的直角坐标系中画出函数2的图象（先填写下表，再描点、连线）.

X-3-2-10123

y

4

3■

2■

1■

-4-3-2-101234x

-1■

-2-

-3-

4

6

y=—

2.画出函数x的图象（先填写下表，再描点、然后用光滑曲线顺次连结各点）.

x-6一3—2-11236

*I

3.(1)画出函数y=2x—1的图象(在一2与2之间，每隔0.5取一个x值，列表；并在直角坐标系中描点画

图).

(2)判断下列各有序实数对是不是函数y=2x—l的自变量x与函数y的一对对应值，如果是，检验一下具

有相应坐标的点是否在你所画的函数图象上：

(—2.5,—4),(0.25,—0.5),(1,3),(2.5,4).

1c

y——1+2

4.(1)画出函数3的图象(在一4与4之间，每隔1取一个x值，列表；并在直角坐标系中描点

画图).

y=--x+2

(2)判断下列各有序实数对是不是函数3的自变量x与函数y的一对对应值，如果是，检验一下

具有相应坐标的点是否在你所画的函数图象上:

(一起),(",G4

5.画出下列函数的图象：

(l)y=4x—1；(2)y=4x+l.

函数的图象(3)

知识技能目标

1.使学生掌握用描点法画实际问题的函数图象；

2.使学生能从图形中分析变量的相互关系，寻找对应的现实情境，预测变化趋势等问题.

过程性目标；

通过观察实际问题的函数图象，使学生感受到解析法和图象法表示函数关系的相互转换这一数形结合的思

想.

教学过程

一、创设情境

问题王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山.有一天，小强让爷爷先上，然后追赶爷

爷.图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离(米)与爬山所用时间(分)的关系(从小强开始

问图中有一个直角坐标系，它的横轴(x轴)和纵轴(y轴)各表示什么？

答横轴(x轴)表示两人爬山所用时间，纵轴(y轴)表示两人离开山脚的距离.

问如图，线段上有一点P,则P的坐标是多少？表示的实际意义是什么？

答P的坐标是(3,90).表示小强爬山3分后，离开山脚的距离90米.

我们能否从图象中看出其它信息呢？

二、探究归纳

看上面问题的图，回答下列问题：

(I)小强让爷爷先上多少米？

(2)山顶离山脚的距离有多少米？谁先爬上山顶？

分析(1)小强让爷爷先跑的路程，应该看表示爷爷的这条线段.由于从小强开始爬山时计时的，因此这时

爷爷爬山所用时间是0,而x轴表示爬山所用时间，得x=0.可在线段上找到这一点A(如图).A点对

应的函数值y=60.

⑵y轴表示离开山脚的距离，山顶离山脚的距离指的是离开山脚的最大距离，也就是函数值y取最大值.可

分别在这两条线段上找到这两点B、C(如图)，过B、C两点分别向x轴、y轴作垂线，可发现交y轴于

同一点Q(因为两人爬的是同一座山)，Q点的数值就是山顶离山脚的距离，分别交x轴于M、N,M、N

点的数值分别是小强和爷爷爬上山顶所用的时间，比较两值的大小就可判断出谁先爬上山顶.

解(1)小强让爷爷先上60米；

(2)山顶离山脚的距离有300米，小强先爬上山顶.

归纳在观察实际问题的图象时，先从两坐标轴表示的实际意义得到点的坐标意义.如图中的点P(3,90),

这一点表示小强爬山3分后，离开山脚的距离90米.再从图形中分析两变量的相互关系，寻找对应的现

实情境.如图中的两条线段都可以看出随着自变量x的逐渐增大，函数值y也随着逐渐增大，再联系现实

情境爬山所用时间越长，离开山脚的距离越大，当x达到最大值时，也就是到达山顶.

三、实践应用

128

y=—x~\—x

例1王强在电脑上进行高尔夫球的模拟练习，在某处按函数关系式.55击球，球正好进洞.其

中，y(m)是球的飞行高度，x(m)是球飞出的水平距离.

(1)试画出高尔夫球飞行的路线：

(2)从图象上看，高尔夫球的最大飞行高度是多少？球的起点与洞之间的距离是多少？

128

y——xH—x

分析(1)高尔夫球飞行的路线，也就是函数.55的图象，用描点法画出图象.在列表时要注意

自变量x的取值范围，因为x是球飞出的水平距离，所以x不能取负数.在建立直角坐标系时，横轴(X

轴)表示球飞出的水平距离，纵轴(y轴)表示球的飞行高度.

(2)高尔夫球的最大飞行高度就是图象上函数值y取最大值的点，如图点P,点P的纵坐标就是高尔夫球的

最大飞行高度；球的起点与球进洞点是球飞出的水平距离最小值的点和最大值的点，如图点O和点A,点

O和点A横坐标差的绝对值就是球的起点与洞之间的距离.

解(1)列表如下：

X012345678

y01.42.433.232.41.40

（2）高尔夫球的最大飞行高度是3.2m,球的起点与洞之间的距离是8m.

例2小明从家里出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家.下

面的图描述了小明在散步过程中离家的距离s（米）与散步所用时间t（分）之间的函数关系.请你由图具

体说明小明散步的情况.

450

400

350

300

250

200

150

100

50

分析从图中可发现函数图象分成四段，因此说明小明散步的情况应分成四个阶段.

线段OA：O点的坐标是（0,0）,因此。点表示小明这时从家里出发，然后随着x值的增大，y值也逐渐增

大（散步所用时间越长，离家的距离越大），最后到达A点，A点的坐标是（3,250）,说明小明走了约3分

钟到达离家250米处的一个阅报栏.

线段AB：观察这一段图象可发现x值在增大而y值保持不变（小明这段时间离家的距离没有改变），B点

横坐标是8,说明小明在阅报栏前看了5分钟报.

线段BC：观察这一段图象可发现随着x值的增大，y值又逐渐增大，最后到达C点，C点的坐标是（10,450）,

说明小明看了5分钟报后，又向前走了2分钟，到达离家450米处.

线段CD：观察这一段图象可发现随着x值的增大，而y值逐渐减小（10分钟后散步所用时间越长，离家

的距离越小），说明小明在返回，最后到达D点，D点的纵坐标是0,表示小明已到家.这一段图象说明

从离家250米处返回到家小明走了6分钟.

解小明先走了约3分钟，到达离家250米处的一个阅报栏前看了5分钟报，又向前走了2分钟，到达离

家450米处返回，走了6分钟到家.

四、交流反思

1.画实际问题的图象时，必须先考虑函数自变量的取值范围.有时为了表达的方便，建立直角坐标系时，

横轴和纵轴上的单位长度可以取得不一致；

2.在观察实际问题的图象时，先从两坐标轴表示的实际意义得到点的坐标的实际意义.然后观察图形，分

析两变量的相互关系，给合题意寻找对应的现实情境.

五、检测反馈

1.下图为世界总人口数的变化图.根据该图回答：

⑴从1830年到1998年，世界总人口数呈怎样的变化趋势？

(2)在图中，显示哪一段时间中世界总人口数变化最快？

2.一枝蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧掉5厘米，则下列3幅图象中能大致刻画出这枝蜡烛点燃后剩下

的长度h(厘米)与点燃时间t之间的函数关系的是().

3.已知等腰三角形的周长为12cm,若底边长为ycm,-—腰长为xcm.

(1)写出y与x的函数关系式；

(2)求自变量x的取值范围；

(3)画出这个函数的图象.

4.周末，小李8时骑自行车从家里出发，到野外郊游，16时回到家里.他离开家后的距离S(千米)与时

间t(时)的关系可以用图中的曲线表示.根据这个图象回答下列问题：

(1)小李到达离家最远的地方是什么时间？

(2)小李何时第一次休息？

(3)10时到13时，小骑了多少千米？

(4)返回时，小李的平均车速是多少？

知识技能目标

1.理解一次函数和正比例函数的概念；

2.根据实际问题列出简单的一次函数的表达式.

过程性目标

1.经历由实际问题引出一次函数解析式的过程，体会数学与现实生活的联系；

2.探求一次函数解析式的求法,发展学生的数学应用能力.

教学过程

一、创设情境

问题1小明暑假第一次去北京.汽车驶上A地的高速公路后，小明观察里程碑，发现汽车的平均车速是95

千米/小时.已知A地直达北京的高速公路全程为570千米，小明想知道汽车从A地驶出后，距北京的路程

和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系，以便根据时间估计自己和北京的距离.

分析我们知道汽车距北京的路程随着行车时间而变化，要想找出这两个变化着的量的关系,并据此得出相

应的值，显然，应该探求这两个变量的变化规律.为此，我们设汽车在高速公路上行驶时间为t小时，汽车距北

京的路程为s千米，根据题意,s和t的函数关系式是

s=570-95t.

说明找出问题中的变量并用字母表示是探求函数关系的第一步,这里的s、t是两个变量，s是t的函数，t

是自变量，s是因变量.

问题2小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来.他已存有50元,从现在起每个月节存12元.试写出

小张的存款与从现在开始的月份之间的函数关系式.

分析我们设从现在开始的月份数为x,小张的存款数为y元,得到所求的函数关系式为：y=50+12x.

问题3以上问题1和问题2表示的这两个函数有什么共同点？

二、探究归纳

上述两个问题中的函数解析式都是用自变量的一次整式表示的.函数的解析式都是用自变量的一次整式表

示的，我们称它们为一次函数(linearfunction).一次函数通常可以表示为y=kx+b的形式，其中k、b是

常数，k#0.

特别地，当b=0时，一次函数y=kx(常数kWO)出叫正比例函数(directproportionalfunction).正比例函

数也是一次函数，它是一次函数的特例.

三、实践应用

例1下列函数关系中，哪些属于一次函数，其中哪些又属于正比例函数？

⑴面积为10cm2的三角形的底a(cm)与这边上的高h(cm)；

(2)长为8(cm)的平行四边形的周长L(cm)与宽b(cm)；

(3)食堂原有煤120吨，每天要用去5吨，x天后还剩下煤y吨；

(4)汽车每小时行40千米，行驶的路程s(千米)和时间t(小时).

分析确定函数是否为一次函数或正比例函数，就是看它们的解析式经过整理后是否符合y=kx+b(kW0)

或丫=1„(1<之0)形式，所以此题必须先写出函数解析式后解答.

20

Q=----

解(1)人，不是一次函数.

(2)L=2b+16,L是b的一次函数.

(3)y=150-5x,y是x的一次函数.

(4)s=40t,s既是t的一次函数又是正比例函数.

例2已知函数y=(k—2)x+2k+l,若它是正比例函数，求k的值.若它是一次函数，求k的值.

分析根据一次函数和正比例函数的定义，易求得k的值.

解若y=(k—2)x+2k+l是正比例函数，则2k+l=0,即k=2.

若y=(k-2)x+2k+1是一次函数，则k-2#0,即kW2.

例3已知y与x—3成正比例，当x=4时，y=3.

(1)写出y与x之间的函数关系式；

(2)y与x之间是什么函数关系；

(3)求x=2.5时，y的值.

解(1)因为y与x—3成正比例，所以y=k(x—3).

又因为x=4时，y=3,所以3=k(4—3),解得k=3,

所以y=3(x—3)=3x—9.

(2)y是x的一次函数.

(3)当x=2.5时，y=3X2.5=7.5.

例4已知A、B两地相距30千米，B、C两地相距48千米.某人骑自行车以每小时12千米的速度从A

地出发，经过B地到达C地.设此人骑行时间为x(时)，离B地距离为y(千米).

(1)当此人在A、B两地之间时，求y与x的函数关系及自变量x取值范围.

(2)当此人在B、C两地之间时，求y与x的函数关系及自变量x的取值范围.

分析(1)当此人在A、B两地之间时，离B地距离y为A、B两地的距离与某人所走的路程的差.

A---------------------B--------------------------------------------C

30千米兆千米

(2)当此人在B、C两地之间时，离B地距离y为某人所走的路程与A、B两地的距离的差.

/1人2K、

y

——*

金A--------------------------------------------------------------C

<___，B*___，

30千米48千米

解(l)y=30-12x.(0WxW2.5)

(2)y=12x-30.(2.5WxW6.5)

例5某油库有一没储油的储油罐，在开始的8分钟时间内，只开进油管，不开出油管，油罐的进油至24

吨后，将进油管和出油管同时打开16分钟，油罐中的油从24吨增至40吨.随后又关闭进油管，只开出

油管，直至将油罐内的油放完.假设在单位时间内进油管与出油管的流量分别保持不变.写出这段时间内

油罐的储油量y(吨)与进出油时间x(分)的函数式及相应的x取值范围.

分析因为在只打开进油管的8分钟内、后又打开进油管和出油管的16分钟和最后的只开出油管的三个阶

级中，储油罐的储油量与进出油时间的函数关系式是不同的，所以此题因分三个时间段来考虑.但在这三

个阶段中，两变量之间均为一次函数关系.

解在第一阶段：y=3x(0WxW8)；

在第二阶段：y=16+x(8WxW16)；

在第三阶段：y=—2x+88(24WxW44).

四、交流反思

一次函数、正比例函数以及它们的关系：

函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的，我们称它们为一次函数(linearfunction).一次函数通常可

以表示为丫=1«+13的形式，其中k、b是常数，kWO.

特别地，当b=0时，一次函数y=kx(常数k#0)出叫正比例函数(directproportionalfunction).正比例函

数也是一次函数，它是一次函数的特例.

五、检测反馈

1.已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7

⑴写出y与x之间的函数关系.

(2)y与x之间是什么函数关系.

(3)计算y=-4时x的值.

2.甲市到乙市的包裹邮资为每千克0.9元，每件另加手续费0.2元，求总邮资y(元)与包裹重量x(千克)

之间的函数解析式，并计算5千克重的包裹的邮资.

3.仓库内原有粉笔400盒.如果每个星期领出36盒，求仓库内余下的粉笔盒数Q与星期数t之间的函数关

系.

4.今年植树节，同学们种的树苗高约1.80米.据介绍，这种树苗在10年内平均每年长高0.35米.求树高

与年数之间的函数关系式.并算一算4年后同学们中学毕业时这些树约有多高.

5.按照我国税法规定：个人月收入不超过800元，免交个人所得税.超过800元不超过1300元部分需缴纳

5%的个人所得税.试写出月收入在8