高中数学必修二第八章第六节《空间直线、平面的垂直》解答题提高训练 26

必修二第八章第六节《空间直线'平面的垂直》解答题提高训练(26)

1.如图，三棱锥P—ABD,Q—BCD均为底面边长为2百、侧棱长为竽的正棱锥，且四边形ABC。

是边长为2百的菱形(点忆Q在平面ABCQ的同侧)，AC,8。交于点。.

(1)证明：平面PQO，平面ABCD；

(2)求点P到平面Q8C的距离.

2.如图，在四棱锥P-ABCD中，AD1平面PDC,AD//BC,PD1PB,AD=1,BC=3,CD=4,

PD=2.

(1)求异面直线AP与8C所成角的余弦值；

(2)求直线4B与平面P8C所成角的正弦值.

3.如图，在四棱锥P—ZBCD中，底面ABCD是直角梯形，Z.ABC*90。，AB//CD,PA_L平面

ABCD,AB=2,PA=AD=DC=1.

p,

(1)求证：平面P4C1平面P8C；

(2)求点D到平面PBC的距离.

4.如图，在四棱锥P-4BC。中，底面A8CZ)是正方形，且4D=PD=1,平面PCD1平面ABC。,

NPDC=120。，点E为线段PC的中点，点F是线段AB上的一个动点.

(1)求证：平面DEF1平面PBC；

(2)设二面角C-DE-F的平面角为。，试判断在线段AB上是否存在这样的点F,使得sin。=源

若存在，求出黑的值；若不存在，请说明理由.

5.在边长为2的菱形ABC。中，ABAD=60°,点E是边AB的中点(如图1),将△4DE沿OE折起

到△公0£的位置，连接&B,ArC,得到四棱锥4-BCDE(如图2).

图1图2

(1)证明：平面4BE1平面BCDE；

(2)若&EJ.BE,连接CE,求直线CE与平面41co所成角的正弦值.

6.如图甲，三棱锥P-48。，Q-BC0均为底面边长为2旧、侧棱长为竽的正棱锥，且四边形ABCZ)

是边长为2百的菱形(点尸，Q在平面A8CD的同侧)，AC,BD交于点O.

乙

(1)证明：平面PQ01平面ABCD；

(2)如图乙，设AP,CQ的延长线交于点M,求二面角4一MB-C的余弦值.

7.如图，在四棱锥P—4BCD中，底面4BCO是矩形，PDl¥ffiABCD,M是棱PC的中点，点N

在棱PB上，且MNA.PB.

p

(1)求证：PA〃平面BMD；

(2)若4。=2CD,直线尸C与平面ABC。所成的角为60。，求平面OWN与平面PA力所成的锐二

面角的余弦值.

8.如图，在三棱柱ABC—481G中，441_L平面4816，4B=BC=4C=&a=2,E,尸分别

为&G，BiG的中点.

(I)在四边形4BB14内是否存在点G,使平面GEF〃平面ABG?若存在，求出该点的位置；若

不存在，请说明理由；

(II)设。是QC的中点，求OA与平面ABC1所成角。的正弦值.

9.图甲是由正方形A8CD,等边△ABE和等边ABCF组成的一个平面图形，其中4B=6,将其沿

AB,BC,AC折起得三棱锥P-4BC,如图乙.

I)

(1)求证：平面24cl平面ABC；

(2)过棱AC作平面ACM交棱PB于点且三棱锥P-4cM和B-ACM的体积比为1:2,求点B

到平面ACM的距离.

10.在如图所示的几何体中，平面2CE1平面48C£>,四边形48C。为平行四边形，Z.CAD=90°,

EF//BC,EF=^BC,AC=2,AE=EC=也.

(1)求证：A,D,E,尸四点共面，且平面ADEF_L平面C£>E；

(2)若二面角E-AC-F的大小为45。，求点D到平面ACF的距离.

11.四面体ABC。中，AaBC是正三角形，△ACD是直角三角形，乙ABD=XBD，AB=BD.

(1)证明：平面4CD1平面ABC；

(2)过AC的平面交8。于点E,若平面AEC把四面体ABCC分成体积相等的两部分，求二面角D-

4E-C的平面角的余弦值.

12.如图，在正方体48C。一中，E,尸分别为441，CC］的中点,

(1)求证：四边形BFQE是平行四边形.

(2)BE与CQ所成的角的正切值：

13.如图所示，在四棱锥P-ABCD^,PD1底面ABCD,四边形ABCD为矩形，CD=2,PD=4。=

y/2,E为0c的中点.

(I)求证：AE1平面PBZ)；

(n)求二面角C-PB-E的余弦值.

14.在多面体ABCGABi中，四边形ZBB/i为菱形，乙B隹A=60°,平面Ju平面ABC,BC=

泊。；,AC1BC,AB1BrC.

(1)若0是线段AB的中点，证明：平面ABC1平面/0C；

(2)求二面角G-AC-B的正弦值.

15.如图，在山△ABC中，乙4cB=90。，NB=30。，D,E分别为AB,CO的中点，AE的延长线交

CB于F.现将△力CD沿CO折起，折成二面角A-CD-B,连接AF.

(/)求证：平面AEF1平面CBD-.

(〃)当二面角A-CD-B为直二面角时，求直线A8与平面CBO所成角的正切值.

16.三棱柱48。-公8©被平面截去一部分后得到如图所示几何体，88—平面ABC,

^ABC=90°,BC=BBi，E为棱B1C上的动点(不包含端点)，平面A8E交41c于点F.

(I)求证：AB，平面当"；

(H)求证：EF//AB-,

(ID)试问是否存在点E,使得平面4BE_L平面&B1C?并说明理由.

17.四棱锥P-ABC。中，PC=4B=1,BC=a,448c=60。，底面A8CC为平行四边形，PC_L平

面ABC。，点M,N分别为A。，PC的中点.

(1)求证：MN〃平面「48；

(2)若4PAB=90。，求二面角B-4P—D的正弦值.

p

18.如图，在四棱锥P-4BC0中，△H4D为等边三角形，边长为2,LABC

为等腰直角三角形，AB1BC,AC1,A.DAC=90°,平面PAD1平

面ABCD.

(1)证明：4CJ■平面PAD；

(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值;

(3)棱P。上是否存在一点E,使得AE〃平面PBC?若存在，求出言的值；若不存在，请说明理由.

19.如图，在直四棱柱4BCD-4B1GD1中，底面4BCC是菱形，且4B="4=1,E是棱人儿的

中点，EC=V3.

(1)求证：平面EO%_L平面EQC；

(2)求三棱锥&-DEC的体积.

20.如图，已知梯形ABCO中，AD//BC,=90。，AB=BC=2AD=2,四边形E£»C5为矩

形，DE=2,平面EOCFL平面ABCD.

(1)求证：。/7/平面A8E；

(2)求平面ABE与平面8EF所成二面角的正弦值;

(3)若点尸在线段EF上，且直线AP与平面8EF所成角的正弦值为4,求线段AP的长.

14

【答案与解析】

1.答案：（1）证明：如图，连接PO,OQ,PQ,

•：PB=PD,。为8。的中点，

•••PO1DB.

同理，QOLDB,

又PODOQ=。，PO,OQa5）2®POQ,

BD1平面POQ.

又BDu平面ABCD,

二平面POQ_L平面4BCD.

（2）解：如图，分别过P,Q作平面ABC。的垂线，垂足分别为Oi，02,

则01，。2在AC上，且01，4分别为40,OC的三等分点，

且POlAQOz，

.••四边形为矩形，•,•PQ〃AC.

且PQ=01。2=2x/o=|ao=|xyx2A/3=2,

•••P01=」AP2一A0]2=dAP2_0@=J（竽）2一4=等，

取BC的中点E,^\QE=y/QB2-BE2=

又由(1),平面POQ_L平面4BCD,

而平面POQCI平面ABC。=",BO1AC,B。u平面ABC。，

BO_L平面PQC.

设点P到平面QBC的距离为d,

则由%-Q8c=^B-PQC>可得mSgiQBc,d=§S©PQC,BO,

即RE•BE.d=[x»Q•P01.BO,

即WxV5d=，2x速x遍，

323

解得d=竺.

7

解析：【试题解析】

本题考查了面面垂直和空间距离，是一般题.

(1)根据面面垂直的判定定理进行解答；

(2)根据由/_QBC=%-PQC等体积原理求出P到平面28c的距离.

2.答案:解：⑴因为AD〃BC,

所以NR4P或其补角就是异面直线AP与BC所成的角，

因为4。平面PDC,PDU平面PDC,

所以AD_LPD,

在Rt△PZM中，AP=y/AD2+PD2=场,

故COSND4P=—=―,

AP5

所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为

(2)过点。作AB的平行线交BC于点F,连接尸F,

则。F与平面PBC所成的角等于A8与平面PBC所成的角.

p

H

•：ADLPD,AD〃BC,PDLBC,

又PD1PB,PBCBC=B,

PB.BCU平面PB「，

PD_L平面PBC,

•••40FP为直线OF和平面P8C所成的角.

由于4D〃BC,DF//AB,故BF=AD=1,

由已知，得CF=BC-BF=2.

y.AD1DC,故BC1DC,

在RtAOCF中，可得=NDC?+CF2=2通.

在RtAOPF中，siMDFP="=恒.

DF5

所以，直线AB与平面P3C所成角的正弦值为正.

5

解析：本题考查了空间角的计算，做出空间角是解题的关键，属于中档题.

⑴由4D〃BC可知NDAP或其补角就是异面直线AP与BC所成的角，在Rt△ADP中计算cos"力。即

可；

(2)证明P。_L平面P2C,过。作A3的平行线。F,计算sin/OFP即可.

3.答案：解：(1)证明：由已知得4c=yjAD2+CD2=&，BC=JAD?+(AB-CD)2=a,AB=2,

AC2+BC2=AB2,.-.BC1AC,

•••PA_L平面ABCD,BCu平面ABCD,PA1BC,

PACtAC=A,ABCJ_平面PAC,

•••BCu平面PBC,；.平面PAC1平面PBC.

(2)解：由(1)得BC1平面PAC,：.BCA.AC,

BC=V2>PC-J]2+(yfz')2—8，

设点D到平面PBC的距离为d,

^P-BCD=匕-PBC'

：.-x-xDCxADxPA=-x-xPCxBCxd,

3232

-xixlxlxl=ixixV3x>/2xd,

3232

解得d=渔，，点D到平面PBC的距离为渔.

66

解析：本题考查面面垂直，和利用等体积法求点到面的距离，属于中档题.

(1)利用条件计算出BC1AC,进而证明BC，平面PAC,再用面面垂直的判定定理即可证明；

(2)利用三棱锥中的等体积法：VP_BCD=VD_PBC,求解即可.

4.答案：(1)证明：•••四边形A8C。是正方形，

BC1DC.

•••平面PCDJ■平面ABCD,

且平面PC。C平面力BCO=CD,BCu平面ABCD,

BC，平面PCD,

DEu平面PDC,

：.BC1DE,

•••40=P0=0C,点E为线段PC的中点，

PC1DE.

又•：PCCCB=C,PC,C8u平面PBC,

DE1平面PBC.

又：DEu平面DEF,

平面DEF1平面PBC；

(2)解：在平面PC。内过。作DG1DC交PC于点G,

•••平面PCDJ■平面ABCD,

且平面PC。n平面4BC0=C。，OGu平面PCD,

DGJ_平面ABCD.

以。为原点，以D4,DC,OG所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示空间直角坐标系D—xyz.

则。(0,0,0),C(0,l,0),p(0,_消),

又E为PC的中点，二后。,3,9)，

假设在线段A8上存在这样的点F,使得sin。=源

13

设?(1"，0)(0<m<l),

则屁=(0,；,分DF=(1,771,0).

设平面QEF的法向量为％=(x,y,z),

则匹•三=。，

向.DF=0

x+my=0

・,•hyf3令y=W，

-yH—z=0

则瓦=(一6-1)，

•••AD1平面PCD,

・•・平面PCD的一个法向量石=(1,0,0),

■:sin9—；.cos9=-»

1313

V0<m<1,解得m=P

二四=工

[FB|2"

解析：本题考查了面面垂直的判定，考查空间向量与空间角的计算，考查逻辑推理能力和空间想象

能力，属于中档题.

(1)证明BC_L平面PC。可得DE1BC,由PD=C。可得DE1PC,故而DE1平面尸8C,于是平面

DEF，平面PBC；

(2)以。为原点建立空间坐标系，设尸(1M，0),求出平面C。尸和平面。E尸的法向量，根据二面角

的大小列方程计算m的值即可得出结论.

5.答案：⑴证明：•.•菱形ABC。，且/BAD=60°,

•••△ABD为等边三角形,

•••石为/^的中点，；.。^!.?^,

•••DE1BE,DE1A^E,

又BEn&E=E,BE、&Eu平面&BE,

•••DE1平面&BE,

DEu平面BCDE,

二平面AiBE1平面BCDE.

(2)解：由(1)知，平面&BEL平面8CDE,

■：AXELBE,平面&BEn平面BW=BE,

AArE1平面BCDE,

以E为原点，ED,EB,E4所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则4(0,0,1),C(V3,2,0),D(V3,0,0),£(0,0,0),

~EC=(V3,2,0),A^D=(V3,0,-1),CD=(0,-2,0),

设平面4CC的法向量为记=(%)，，z),贝式记,3，=°,即[‘|"一彳=(),

In-CD=0J2y=0

令％=1»则y=0,z=A/3,•**n=(1,0,V3),

设直线CE与平面4CD所成角为。，则sin8=|cos(记，点＞|=|[^|=|昌|=绊,

|7l|,|cC|2XV714

故直线CE与平面4CC所成角的正弦值为

解析：本题考查空间中线与面的位置关系、线面角的求法，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理与

性质定理，以及利用空间向量处理线面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理

能力和运算能力，属于中档题.

(1)易知AABD为等边三角形，进而可得DE1BE,DE1A.E,再结合线面垂直、面面垂直的判定定

理，得证；

(2)由平面&BE_L平面BC3E,推出&E1平面BCOE,再以E为原点建立空间直角坐标系，求得平

面aCD的法向量元，设直线CE与平面41co所成角为。，由sin。=|cos<元，£C>|,即可得解.

6.答案：(1)证明：如图，连接P。，OQ,PQ,

•:PB=PD,。为8。的中点，P。JLDB.

同理，Q01DB,

又P0C10Q=0,PO,OQu平面POQ,

：.BD1平面POQ,又BDu平面ABCD,

平面POQ1平面4BCD.

(2)解：如图，分别过P,。作平面ABCO的垂线，垂足分别为01，02,

则。i，。2在AC上，且。1，。2分别为40,0C的三等分点,

1

且P01=Q02>P°1°1。2,

.,•四边形POQQ为矩形，PQ//AC.

17

且PQ=0Q=2x10="0,

••・M4=MC="P*x竽=2"

MO1AC,由(1)得MO,OB,0C两两垂直.

又4。=2Hx曰=3，

•••MO=>JMA2-AO2=V3.

如图，以。为原点，分别以OB,OC,0M为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则4(0,-3,0),F(V3,0,0),C(0,3,0),M(0,0,回

AB=(V3,3,0).MB=(V3,0,-®BC=(-V3,3,0).

设左=Qi，Zi),斤=(如y2»Z2)分别为平面AA/B与平面MBC的法向量，

则朦噜二一9T何

设。为二面角a-MB-C的平面角，

由于区3均指向半平面的外部，

•••cose=-cos(a,耳)=一器=

二面角A-MB-C的余弦值为一*

解析：【试题解析】

本题考查面面垂直的判定、利用空间向量求二面角，考查空间想象能力、推理能力和计算能力，属

中档题.

(1)连接PO,OQ,PQ,可证BD_L平面PO。，又8。U平面ABC。，利用面面垂直的判定定理即可证

明平面POQ1平面ABCD；

(2)分别过P,。作平面ABC。的垂线，垂足分别为5,02,结合(1)得MO,OB,OC两两垂直，分

别以08,OC,0M为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，分别求平面与平面MBC的法向

量及=(b，-1,V3).耳=(6，1,V3).即可得到二面角4-MB-C的平面角的余弦值.

7.答案：(1)证明：连结AC交3。于点0,连结0M,因为四边形A8C。是矩形，所以40=0C,

又因为PM=MC,所以。M〃P4,

又因为24C平面BMD,OMu平面BMD,所以PA〃平面BMD.

(2)解：由已知得。4,DC,OP两两垂直，以点。为原点建立如图所示的坐标系，因为PDJ•平面

ABCD,所以NPC。就是直线PC与平面ABC。所成的角，所以NPC7)6(1,故DP=百。。,设CD=1,

则。(0,0,0),C(0,1,0),P(0,0,V3),B(2,l,0),M(0*,日)，

于是用?=(0,i乎)，屈=(0,0,何同=(2,1,-6).

设两=4而，

贝IJ而=9+4而=(2A,A,>/3-V3A\MN=DN-DM

=(2A,A—~V31),

由A/N_LP3，得丽•丽=0，

即44+A-i-V3(y-V3A)=0.

解得％=：，所以丽=dJ,迪).

4'2'4'4'

设平面OMN的一个法向量为沅=(xfy,z),

1V3

则由［F•丝=0,得］y+令Z=-1,得记=(6,行,-1),

Im-DN=0,lx+Iy+^z=0,

V24Z4

又平面PDA的一个法向量为元=(0,1,0)，

所以3〈沆，力=器=得=亨

所以平面ZWN与平面叫所成的锐二面角的余弦值为尊

解析：本题考查线面平行和用空间向量求二面角，是一般题.

(1)根据线面平行的判定定理进行解答；

(2)由已知得。A,DC,DP两两垂直，以点。为原点建立如图所示的坐标系，求出平面。MN和平

面POA的法向量，根据公式求出二面角的余弦值.

8.答案：解：(I)如图，取BiB的中点M,N,连接ME,MN,NF,EF.BC「

因为E,尸分别为&G，BiG的中点,

所以在直三棱柱ABC-41B1Q中,EF////MN//AB.

又因为EFC平面4BG，ABu平面所以EF〃平面ABC1.

同理可证ME〃平面ABC；.

又MECEF=E,所以平面MEF〃平面4BG，即平面MNFE〃平面ABC1，

所以四边形4BB14内存在点G,即线段MN上任意一点，使平面GEF〃平面4BC「

(口)取AC的中点O,连接。8,OE,则在直三棱柱中，OB,OC,。£两两垂直，以

。为坐标原点，08所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，OE所在的直线为z轴，建立如图所

示的空间直角坐标系。-xyz.

E

因为4B=BC=AC=ArA=2,

所以4(0,-1,0),B(遮,0,0)，Cj(0,1,2),D(0,l,1),

则丽=(0,—2,-1)，AB=(V3,l,0)，苑=(0,2,2).

设平面ABC1的法向量为司=(x,y,z),

则1退元=0,即［岳+y=o,

IAC1-n=0,12y+2z=0.

令x=冬则y=—1,z=1,所以?1=谭—1,1),

*+(-l)x(-2)+lx(-l)_Vi05

所以cos(DA-n)

所以DA与平面ABC1所成角。的正弦值sin。=|cos（丽，创=等.

解析：本题考查空间中面面平行的判定定理、线面角，考查空间想象能力、运算求解能力，考查逻

辑推理核心素养.属于中档题.

（1）取4遇，BiB的中点M,N,连接ME,MN,NF,EF,ACr,BJ,利用中位线定理得到线线平

行，再利用面面平行的判定定理即可求解；

（口）建立合适的空间直角坐标系，求出面与平面ABC1的一个法向量，再利用空间向量的夹角公式即

可求解.

9.答案：（1）证明：如图，取AC的中点为。，连接8。，PO.

PA=PC,•••PO1AC.•••PA=PC=6,AAPC=90°,

•••PO=|J4C=3V2,同理BO=3>/2.

又PB=6,•••PO2+OB2=PB2,：.PO1OB.

■■■ACHOB=0,AC,OBu平面ABC,P。1平面ABC.

又POu平面PAC,二平面H4C1平面ABC.

(2)解：方法一：连接MO,过B作于〃，

贝卜P014C,BOLAC,POCtBO=0,PO,。8u平面尸03,

ACPOB,ACACM,

平面ACM1平面P08,BH1MO,平面ACMn平面POB=OM,

BHJ_平面ACM,

即BH就是点B到平面ACM的距离.

•.•三棱锥P-ACM^WB-4cM的体积比为1；2,

2

PM：BM=1:2,BM=-PB=4,

•••MO=yjBM2+BO2-2-BMBO-cos450=V10.

由:•MO•8H='BM.BO.sin45。，得

.・.点B到平面ACM的距离是gVIU.

方法二：等体积法

...Vp-ACM=1APM：BM=1：2,■-BM=IPB=4,

VB-AOM23

作MN_L平面ABC于N,由(1)知P。1平面ABC于。nPO//MN,

且MN=|P0=2在，即M到平面ABC的距离为2企.

SRABC=5X6x6=18,

在44BM中，AM2=62+42-2X6X4cos60°=28,

同理CM=AM=V28,

在^AMC中，cosZ-AMC=-------=——=>smz.AMC=——，

2X2877

SgiAMc=5X28X—y-6,\/5>

设B到平面AMC的距离为d,VB,ACM=VM.ABCnd=第.

解析：本题考查了面面垂直的判定、棱锥得体积，余弦定理，考查逻辑推理能力和空间想象能力，

属于中档题.

(1)先证得P。_L平面ABC,即可证平面PAC_L平面ABC；

(2)方法一：连接MO,过B作BH1M。于H,可证BH1平面ACM,利用由，M0•BH=18M•8。•

sin45°,得BH,

方法二：等体积法，利用力YCM=UMMBC=d=^

10.答案：(1)证明：因为E/7/BC,BC//AD,

所以E/7/4D,

所以A,D,E,F四点共面；

•••平面力CE_L平面ABCC,且平面ACECI平面4BCD=AC,ADLAC,ADu平面ABC。,

AD_L平面AEC,

又因为CEu平面AEC,

AD1CE,

又AC=2,AE=EC=V2.

•••AC2=AE2+CE2,

•••AE1EC,

又4ECtAD=A,AD,AEu平面ADEF,

CE1平面ADEF

■:CEu面CDE,

・•・平面ADEFJL平面CDE.

(2)因为平面ACEL平面A.BCD,乙CAD=90°,

如图以A为原点建立空间直角坐标系。-盯z,

设4。=2a(a>0),则A(0,0,0),C(2,0,0),E(l,0,l),F(l,-a,1)

由4。_L面ACE知，平面ACE的一个法向量元=(0,1,0)

设平面AC尸的一个法向量沆=(x,y,z),

"AC=(2,0,0),XF=(1,-a,1)，

(m-AC=2x=0而M

八，MXz=a,则y=1l,

{m■AF=x-ay+z=0

所以记=(0,1,a)

因为二面角E-AC-F的大小为45。,

所以c°s45°=1篇|=|普|=当，解得a=l,

所以记=(0,1,1),AD=(0,2,0),

设点D到平面ACF的距离为d,贝卜=率瞿=4=V2>

所以点。到平面ACF的距离鱼.

解析：本题考查利用空间向量求二面角，以及点到平面的距离，直线与平面垂直的判定定理以及面

面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题.

(1)证明ADJ"平面AEC,推出AD1CE,AE1EC,推出CE1平面AOEF,即可求证.

(2)以A为原点建立空间直角坐标系O—xyz,设AD=2a,求出平面ACE的一个法向量，平面AC尸

的一个法向量利用二面角E-4C-F的大小为45。，求出m设点。到平面ACF的距离为乩利用公

式求解即可.

11.答案：(1)证明：取4c的中点。，连接BO,0D.

•••△ABC是等边三角形，［OB1.AC,

△ABD与ACBD中，AB=BC,乙ABD=£CBD,BD=BD,

•••△ABD=^CBD,■■■AD=CD,

・••△4CD是直角三角形，

A4c是斜边，AN/WC=90°,

DO=-AC,

2

：.DO2+BO2=AB2=BD2,

：.4BOD=90°,

•••OB1OD,

又DOCAC=0,DOu平面AC。，ACu平面ACO,

OB1平面ACD,

又OBu平面ABC,

••・平面ACD，平面ABC.

(2)解：是正三角形,所以AB=CB,

又/.ABD=乙CBD,AB=BD,

ABD=△CBD,AAD=CD,即△ACO为等腰直角三角形，

取AC中点，连接。O,BO,

则DO1AC,

又•.•平面4CD1平面ABC且交于AC,DOu平面ABC,

：.DO，平面ABC,：.DO1AC,DO1BO,

又•••△ABC是正三角形，BO1AC,

设点。，B到平面ACE的距离分别为岫，%则用=第

••・平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,

,2ShACEhD_M_DE_]

3S"CE•如hBBE

点E是8。的中点.

建立如图所示的空间直角坐标系.

不妨取AB=2,

则0(0,0,0),4(1,0,0),C(-l,0,0),。(0,0,1),F(0,V3,0)>E(0,今3，

AD=(-1,0,1),AE=AC=(-2,0,0),

设平面A£>E的法向量为沅=(x,y,z),

则｛可嚼=：,即｛_：：蔓"一0,可得沅=(3,6,3)，

-AE=0I%十2y十？z_u

同理可得，平面ACE的一个法向量为元=(0/，-V3),

,—»—♦、TH-n-2V3yp7

•••cos<m,n>=——=-；=-=---,

|m||n|VHX27

由图可知，二面角。一4E-C的平面角为锐角，

二面角D-AE-C的平面角的余弦值为叱.

7

解析：本题考查了面面垂直的证明，利用空间向量求二面角，考查了推理能力与计算能力，属于中

档题.

(1)可得0BJ.4C,OB10D,可证0B1平面ACZ),即可得证；

(2)建立空间直角坐标系，不妨取AB=2,利用空间向量进行求解即可.

12.答案：(1)证明：取的中点M.连接MA,MF,

在正方形力。。送1中，E,M分别为A%,0久中点，

0AE）DrM=为平行四边形=EDr=AM>

同理MF=DC=ABMFB4为平行四边形,得BF=AM'

//

ED】=AM=>BF=ED】=BFZ\E为平行四边形；

BF=AM，

（2）解：0为C£〃BB，〃AAi，所以4AE8即为异面直线BE,CC1所成的角（或其补角）,

设正方形边长为Q.则在中，AE=^,AB=a.

则tan4AEB=1=2,

2

即8E与CCi所成的角的正切值为2.

解析：本题考查空间中直线与直线的位置关系和异面直线的夹角，属于一般题.

（1）通过求证BF幺EDj即可求证四边形BFDIE是平行四边形；

（2）先判断NAEB即为异面直线8E,CG所成的角（或其补角），再利用三角知识求解.

13.答案：解：（1）;四边形43。。为矩形，；.乙4。£=448=1，

tanz.EAD=tanZTlBD=—>

2

Z.EAD=Z.ABD,又乙4DB+乙4BD=去

•••Z.EAD+Z.ADB=p

AE1BD,

XvPDABCD,AEa^ABCD,：.AE1.PD,

•••BDC\PD=D,BD,PDu平面PBD,

AE，平面PBD.

（H）建立如图空间直角坐标系。-孙z,

则C(0,2,0),F(V2,2,0),P(0,0,A/2),F(0,l,0),

设沆=(Xi，yi，Zi),n=02/2*2)分别为平面PBC和平面P8E的法向量,

=0

则5,££,7fiC=(-V2,0,0),PC=(0,2,-V2),

m-PC=0

(-V2x1=0

12yl—企Zi=0

令Z[=近,得沆=(0/，V2).

日,竺二%•••丽=(我,2,_々)，屈=(0,1，-或),

(TI•PE=。

(y/2x2+2y2—V2z2=0

ly2-V2^2=o

令Z2=V2»得记=(—A/2,2,V2).

,—»—♦-4V6

cos<m,n>=——i—==——

^1+2-72+4+23

・・•二面角C-PB-E为锐二面角,

••・二面角C-PB-E的余弦值为它.

3

解析：本题考查线面平行的证明，空间向量求二面角的余弦值，难度i般.

(I)利用平面图形性质证出4E1B0,由PD_L平面ABCO,得出4EJ.P。，从而利用线面垂直的判

定定理证出AE1平面PBD.

(H)建立如图空间直角坐标系O-xyz,则C(0,2,0),B(V2,2,0),P(0,0,企)，E(0,l,0),)分别

为平面尸8c和平面PBE的法向量记=(0,1,V2),n=(-72,2,企)，计算得出cos<沆，记>=冬

z

14.答案：解：(1)证明：连结4当，

•••四边形4BB1&为菱形，NB1B4=60。，.•・△ABB1是

等边三角形，

・•・。是线段48的中点，二81。，48,

•••平面488出1平面ABC,平面488出n平面

ABC=AB,

B、0_L平面ABC,

•••Bi。u平面Bi。。，•••平面ABC_L平面B】OC.X

(2)解：连结。C,•••Bi。_L48,AB1B^C,&0门&。=&,

AB_L平面B]OC,•••ABIOC,

以。为原点，OB为x轴，OC为)，轴，。名为z轴，建立空间直角坐标系,

设48=2,贝必(-1,0,0),8(1,0,0),C(0,l,0),C^-2,2,遮)，

AB=(-2,0,0),AC=(1,1.0),宿=(—1,2,6)，

设平面QAC的法向量元=(x,y,z),

n■AC=x+y=0

——.广,取x=遮，得n=(V5,—6,3)，

n-AC=-x+2y+V3z=0

{1

平面ABC的法向量沅=(0,0,1),

设二面角Ci-AC-B的平面角为仇

则cos。=黯=右，sin”小一喘尸=票

二面角G-AC-B的正弦值为手.

解析：(1)连结ZB］，推导出a0J.4B,从而&01平面ABC,由此能证明平面ABC1平面&0C.

(2)连结OC,则AB1OC,以。为原点，。8为x轴，OC为y轴，。8］为z轴，建立空间直角坐标系，

利用向量法能求出二面角G-4C-B的正弦值.

本题考查面面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关

系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

15.答案：(/)证明：在RtaABC中，。为A8的中点，

得4。=CD=DB,又48=30°,得44CD是正三角形,

又E是C。的中点，得AE1CD.(3分)

折起后，AE1CD,EF1CD,

又4EnEF=E,AEu平面AEQ,EFu平面AEF,

故CDL平面AEF,(6分)

又CDu平面CDB,

故平面AEF1平面CBD.(7分)

(〃)解：•••二面角A-CO-B是直二面角,

且4E1CD,：.AEJ_平面C8D.(8分)

连接EB,AB,则乙4BE就是直线48与

平面CB。所成的角.(9分)

设4C=a,在△COB中，

Z.DCB=30°,CE=3，CB=岛,

EB2=CE2+CB2-2CE-CB-cos^DCB=品2又独在Rt△4EB中,taMABE=啜=

42EB

yfl_V21

工r

2

直线AB与平面CBD所成角的正切值为亨,(14分)

解析：(/)由题意知，是正三角形，折起后，AE1CD,EF1CD,故CO_L平面AE尸，从而证

明结论.

(H)AE1^®CBD,N4BE就是直线AB与平面C8。所成的角，解直角三角形ABE,可求N4BE的大

小.

证明2个平面垂直，关键在一个平面内找到一条直线和另一个平面垂直，求线面角，关键是找出线

在平面内的射影.

16.答案：解：(1)因为3/71平面.431，.，1/3(1平面月/?。，所以

因为乙4BC=90°,所以BC1AB.

因为BBiCBC=B,BiBu平面/?「(：平面囱8「，

所以.AB_L平面B13C'.

(口)在三棱柱48。-41当6中，AB//AiBi.

因为ABC平面4B6，4B|C平面4由6,

所以AB〃平面A田

因为ABU平面ABEF,平面4BEFC平面小BiC=EF,

所以EF//AB.

(HI)存在点E,当点E为品。中点时，平面ABE_L平面43|0.

因为BC=BBi，E为BiC的中点,所以BEJLBiC,

因为ABJ.平面BiBC'.BEC平面场3「，所以AB1BE,

因为所以8EJ.4181，

因为nBXC=Bi，A[Bi,BiCC平面4BQ,

所以BE_L平面小3c.

因为BEU平面4BE,所以平面ABE_L平面ABC.

解析：本题考查立体几何的相关定理，考查线面垂直、面面垂直，考查线线平行、线面平行，属于

中档题.

(I)结合题目条件以及线面垂直的判定定理进行证明即可；

(U)利用线面平行的判定定理进行证明；

(ID)证明面面垂直过程中，找到线面垂直是关键，再由线面垂直推出面面垂直.

17.答案：证明：(1)取P8为中点°,连结NQ,QA,

•••点N分别为PC的中点,

QN是中位线，：.QN//BC,

又••・4BCD是平行四边形，AD//BC//QN,

•••点M为AO的中点，[QN=q8C=gAD=4M,

四边形AMNQ为平行四边形，••.MN〃4Q,

乂MN,平面PAB,AQu平面PAB,

MN〃平面PAB.

解：(2)1••PC!_平面ABCD,ABu平面ABCD,：.PC1AB,

又•••P41AB,PCdPA=P,PC、PAu平面PAC,

AABPAC,又ACu平面PAC,•••4B14C,a=2,CDA.AC,

以C为原点，CO为x轴，CA为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，

则4(0,V5,o),B(-l,V3,0),P(0,0,1),£)(1,0,0),

AP=(0,-V3,l)，AB=(-1,0,0),AD=(l,-V3,0).

设平面ABP的法向量访=(x,y,z),

贝您.空=-葭)，取y=l，得记=(0,1，回

设平面APQ的法向量方=(a/,c),

^(n-AD=a-V3b=0,取。=遮,得元=(8/，⑨,

(ji-AP=-V3h+c=0、)

,一一、mn2

・・・

cos<m,n>=|m—|-|n—|=y[7-7=,

•••二面角B-AP-。的正弦值为小_(静=咛.

解析：本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注

意向量法的合理运用.

(1)取PB为中点Q,连结N0,QA,推导出四边形AMNQ为平行四边形，从而MN〃4Q,由此能证

明MN〃平面PAB.

(2)以C为原点，CO为x轴，CA为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面

角B-4P-。的正弦值.

18.答案：解：(1)•••平面P40_L平面"CD,ACLAD,

平面PADn平面力BCD=/W,ACc5pffiABCD,

AC1平面PAD；

(2)取A。的中点O,连接PO,由于△PAD是等边三角形，所以P。1AD,由平面PAD1平面ABC。,

得P。1平面ABCD,PO=V3.

以AP为x轴，AC为)，轴，过A平行于尸。的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则4(0,0,0),D(2,0,0),C(0,l,0),P(l,0,b),

PC=(-1,1,-V3)>=设平面PBC的一个法向量为五=

(%y,z),

则元.PC=—%+y—V5z=0，n-BC=^x+^y=0,

取％=一遮，则y=g，z=2,n=(-V3,V3,2).

平面PAD的一个法向量为沆=(0,1,0),

/11>—TfT'Tl

cos(mfn)=——=

Mil川22210，

lxy](-V3)+V3+(2)

・•・平面.与平面碗所成锐二面角的余弦值为部

(3)假设棱PD上存在一点E,使得AE〃平面PBC,设两=APD(0<A<1).

由⑵丽=(1,0,一遮)，而=(1,0,百)，

AE=AP+^E=AP+ATD=(1+A,0,V3-AV3).

又平面PBC的一个法向量是元(一1,1,平)，

.•.荏.元=-1—4+乎(遮一次⑷=0，解得；1=%

PE_1

PD~3

又AE平面PBC,.••棱尸。上存在一点E,使得4E〃平面P8C,且霁=£