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文档简介

第5章定积分及其应用§5.1定积分的概念§5.2微积分基本定理§5.3定积分的换元积分法和分部积分法§5.4定积分的应用§5.4定积分的应用

一、定积分的微元法

二、平面图形的面积

三、旋转体的体积内容提要

四、平行截面面积已知的立体的体积第一节多元函数MultipleFunction

一、定积分的微元法定积分是求某个不均匀分布的整体量的有力工具.实际中,有不少几何、物理的问题需要用定积分来解决,广泛采用的是将所求量U（总量）表示为定积分的方法¬¬¬微元法，这个方法的主要步骤如下：（1）由分割写出微元。根据具体问题，选取一个积分变量，例如x为积分变量，并确定它的变化区间[a,b]，任取[a,b]的一个区间微元[x

,x+dx]，求出相应于这个区间微元上部分量ΔU的近似值，即求出所求总量U的微元（2）由微元写出积分。

将微元dU

在区间[a,b]上积分（无限累加），即得到所求量的积分表达式这种方法叫做微元法，dU=f(x)dx称为

U的微元。

二、平面图形的面积图5-9例1求由两条抛物线和所围成的图形面积。解所围平面图形如右图所示

y1O1x

y=x2

y2=x解方程组取x

为积分变量，x

的变化范围为[0,1]，则得交点(0,0)及(1,1)。

例2求由抛物线和直线所围成的图形面积。解解方程组取y

为积分变量，y

的变化范围为[–2,4]，则，得交点坐标(2,–2)及(8,4)。

三、旋转体的体积

旋转体就是由一个平面图形绕这个平面内一条直线旋转一周而成的立体，这条直线称为旋转轴.圆柱、圆锥、圆台、球等都可视为旋转体.下面我们给出求旋转体体积的公式.例3求由椭圆

绕x

轴旋转一周形成的旋转体的体积。解由于椭圆是关于x

轴的对称图形，因此这个旋转椭球体可以看作是由上半椭圆

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