高等应用数学 课件 5.1 定积分的概念

第5章定积分及其应用§5.1定积分的概念§5.2微积分基本定理§5.3定积分的换元积分法和分部积分法§5.4定积分的应用§5.1定积分的概念

一、引例

二、定积分的定义

三、定积分的几何意义内容提要

四、定积分的性质定积分在几何学、力学、工程技术以及物理学等领域中都有广泛的应用．虽然随着计算机的高度发展和广泛应用，积分的计算已逐渐被各种程序和软件包所代替．然而，积分学中的基本思想和方法仍是解决实际问题的一种有力工具．本章将从两个实际问题中引出定积分的概念，然后讨论定积分的性质及计算方法，最后介绍定积分的应用．第一节多元函数MultipleFunction

一、引例1.曲边梯形的面积

设函数y=f(x)

在区间[a,b]上连续，且f(x)≥0，则称由直线x=a，x=b，y=0及曲线y=f(x)所围成的平面图形为曲边梯形。

在矩形的面积公式，矩形的高是不变的，而曲边梯形在底边上各点处的高f(x)

在区间[a,b]上是变动的，因此它的面积不能直接计算。但是，由于曲边梯形的高f(x)

在区间[a,b]上是连续变化的，所以在一个很小的区间上它的变化很小，近似于不变。所以可把该曲边梯形沿着轴方向切割成许多窄窄的长条（小曲边梯形）。把每个小曲边梯形近似看作一个小矩形，用小矩形面积作为小曲边梯形面积的近似值。y=f(x)Oyabx所有小矩形面积之和就是曲边梯形面积的近似值。分割越细，误差越小。当所有的小矩形宽度趋于零时，这个阶梯形面积的极限就成为曲边梯形面积的精确值了。Oyabxy=f(x)确定曲边梯形面积的具体步骤如下：（1）分割（化“整”为“零”）abx

y=f(x)yO（2）近似（以“粗”代“精”）abx

y=f(x)yO（3）求和（合“零”为“整”）（4）取极限（去“粗”取“精”）abx

y=f(x)yO2.变速直线运动的路程（1）分割（2）近似（3）求和（4）取极限

从上面两个引例可以看出，虽然两个问题的背景不同，但解决问题的思路和方法是相同的，都是用“分割、近似、求和、取极限”这四步解决，最后都统一为求具有相同结构的一种特定和式的极限.还有许多实际问题也是用这种方法解决，我们抛开这类问题的实际意义，抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括，抽象出下述定积分的概念.

二、定积分的定义

三、定积分的几何意义图5-3图5-3

四、定积分的性质由定积分定义知，定积分是和式的极限，由极限的运算法则，容易推出定积分的一些简单性质．以下假设所给函数在所给出区间上都是可积的．性质1

函数的和（差）的定积分等于它们定积分的和（差），即显然，这个性质可以推广到有限个函数。

性质2

被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即这两个性质是定积分的线性性质。

性质3（积分区间的可加性）如果将积分区间分成两部分，则整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和，即设a<c<b，则

注：值得注意的是不论a，b，c的相对位置如何，上面的等式总成立。

如右图所示，a<c<b

时，等式同样成立。奇偶函数的定积分如果f(x)

在区间[–a,a]上连续且为奇函数，则如果f(x)

在区间[–a,a]上连续且为偶函数，则－aOaxy－aOaxy

性质4

如果在区间[a,b]上f(x)≡1，则y1Oa

b

x

性质5（积分的比较性质）如果在区间[a,b]上f(x)≥g(x)，则

性质6（积分估值定理）设M

与m

分别是f(x)

在区间[a,b]上的最大值与最小值，则yMmOa

b

xy=f(x)

性质8（积分中值定理）如果函数f(x)

在区间[a,b]上连续，则至少存在一点ξ∈[a,b]，使得这个公式称为积分中值公式。积分中值定理的几何意义：曲边梯形的面积等于同一底边而高为f(ξ

)的一个矩形的面积。由积分中值公式所可得这个公