江苏省常州市2020年中考数学试题（解析版）

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常州市二。二。年初中学业水平考试

数学试题

注意事项：

1.本试卷共6页,全卷满分120分.考试时间为12。分钟.考生应将答案全部

填写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效.考试结束后，请将本试卷和答

题卡一并交回.考试时不允许使用计算器.

2.答题前，考生务必将自己的姓名、考试证号填写在试卷上，并填写好答题卡

上的考生信息.

3.作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚.

一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题所给出的四个

选项中，只有一项是正确的）

1.2的相反数是（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据相反数的概念解答即可.

【详解】2的相反数是-2,

故选D.

2.计算结果是（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】

直接利用同底数幕除法的运算法则解答即可.

【详解】解：.

故选：B.

【点睛】本题考查了同底数幕除法，掌握公式是解答本题的关键.

3.如图是某几何体的三视图，该几何体是（）

A.圆柱B,三棱柱C.四棱柱D.四棱锥

【答案】C

【解析】

【分析】

通过俯视图为圆得到几何体为柱体，然后通过主视图和左视图可判断几何体为四棱柱.

【详解】解：由图可知：

该几何体是四棱柱.

故选：C.

【点睛】本题考查了由三视图判断几何体：由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据

主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体

形状.熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助.

4.8的立方根是（）

A.2B.±2C.±2D.2

【答案】D

【解析】

【详解】解：根据立方根的定义，由23=8,可得8的立方根是2

故选：D.

【点睛】本题考查立方根.

5.如果，那么下列不等式正确的是（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据不等式的性质对各选项分析判断后利用排除法求解.

【详解】解：A、由x<y可得：，故选项成立；

B、由x<y可得：，故选项不成立；

C、由xVy可得：，故选项不成立；

D、由x<y可得：，故选项不成立：

故选A.

【点睛】本题考查了不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等

号的方向不变.（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.（3）不等式

两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

6.如图，直线“、〃被直线c所截,，，则的度数是（）

A.30°B.4O0C.50°D.60°

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据邻补角相等求得/3,然后再根据两直线平行、内错角相等即可解答.

【详解】解：；/1+/3=180。，

Z3=180°-Zl=180°-l40°=40°

.*.Z2=Z3=40°.

故答案为B.

【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行、内错角相等“是解答本题的关键.

7.如图，是的弦，点C是优弧上的动点（C不与A、8重合），，垂足为H,点〃是的中点.若

的半径是3,则长的最大值是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】

【分析】

根据直角三角形斜边中线定理，斜边上的中线等于斜边的一半可知MH=BC,当BC为直径

时长度最大，即可求解.

【详解】解：：

.•.ZBHC=90°

•.•在RSBHC中，点例是的中点

；.MH=BC

；BC为的弦

...当BC为直径时，MH最大

•••的半径是3

.••MH最大为3.

故选：A.

【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线定理，数形结合是结题关键.

8.如图，点。是内一点，与x轴平行，与），轴平行，.若反比例函数的图像经过A、。两点,

则k的值是（）

A.B.4C.D.6

【答案】D

【解析】

【分析】

作交BD的延长线于点E,作轴于点F,计算出AE长度，证明，得出AF长度，设出点A

的坐标，表示出点D的坐标，使用，可计算出值.

【详解】作交BD的延长线于点E,作轴于点F

为等腰直角三角形

即

；.DE=AE=

：BC=AO,且，

设点A,

解得：

故选：D.

【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，利用点A和点D表示出k的计算是解题

的关键.

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，

请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

9.计算：2|十（兀-1）。=.

【答案】3

【解析】

【分析】

根据绝对值和0次第的性质求解即可.

【详解】原式=2+1=3.

故答案为：3.

【点睛】本题考查了绝对值和0次幕的性质.

10.若代数式有意义，则实数x的取值范围是.

【答案】xg

【解析】

【分析】

分式有意义时，分母x-lr0,据此求得x的取值范围.

【详解】解：依题意得:x-1/O,

解得x#l,

故答案为：x^l.

【点睛】本题考查了分式有意义的条件.（1）分式有意义的条件是分母不等于零.（2）分式

无意义的条件是分母等于零.

11.地球半径大约是，将用科学记数法表示为.

【答案】

【解析】

【分析】

对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成的形式，其中，〃是比原整数位数少1的数.

【详解】6400=.

故答案为：.

【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中

l<|a|<10,〃为整数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.

12.分解因式：-x=.

【答案】X（x+l）（X—1）

【解析】

解：原式

13.若一次函数的函数值y随自变量x增大而增大，则实数%的取值范围是.

【答案】k>0

【解析】

分析】

直角利用一次函数增减性与系数的关系解答即可.

【详解】解：•••一次函数的函数值），随自变量x增大而增大

.,.k>0.

故答案为k>0.

【点睛】本题主要考查了一次函数增减性与系数的关系，当一次函数的一次项系数大于零时,

一次函数的函数值随着自变量x的增大而增大.

14.若关于x的方程有一个根是1,则.

【答案】1

【解析】

【分析】

根据一元二次方程的解的定义，把x=l代入方程得到关于a的一次方程，然后解此一次方程

即可.

【详解】解:把x=l代入方程得l+a-2=0,

解得a=l.

故答案是：1.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一

元二次方程的解.

15.如图，在中，的垂直平分线分别交、于点E、F.若是等边三角形，则。.

【答案】30

【解析】

【分析】

根据垂直平分线的性质得到NB=NBCF,再利用等边三角形的性质得到NAFC=60。，从而可

得/B.

【详解】解：；EF垂直平分BC,

，BF=CF,

ZB=ZBCF,

:△ACF为等边三角形，

，ZAFC-600,

/B=/BCF=30。.

故答案为：30.

【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，外角的性质，解题的关键是利

用垂直平分线的性质得到ZB=NBCF.

16.数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东

西，互相以长补短.在菱形中，.如图，建立平面直角坐标系，使得边在x轴正半轴上，点

。在y轴正半轴上，则点C的坐标是.

【答案】（2,）

【解析】

【分析】

根据菱形的性质可知AD=AB=CD=2,ZOAD=60°,由三角函数即可求出线段OD的长度，

即可得到答案.

【详解】解：：四边形为菱形，

；.AD=AB=CD=2,

在RtADOA中，

.".OD=

二点C的坐标是（2,）.

故答案为：（2,）.

【点睛】本题考查了平面直接坐标系中直角三角形的计算问题，以及菱形的性质，熟练掌握

特殊三角函数值是解题关键.

17.如图，点C在线段上，且，分别以、为边在线段的同侧作正方形、，连接、，则.

【答案】

【解析】

【分析】

设BC=a,贝i]AC=2a,然后利用正方形的性质求得CE、CG的长、ZGCD=ECD=45°,进而

说明△ECG为直角三角形，最后运用正切的定义即可解答.

【详解】解：设BC=a,则AC=2a

•••正方形

；.EC=,ZECD=

同理：CG=,NGCD=

故答案为.

【点睛】本题考查了正方形的性质和正切的定义，根据正方形的性质说明AECG是直角三

角形是解答本题的关键.

18.如图，在中，，D、E分别是、的中点，连接，在直线和直线上分别取点F、G,连接、.若,

且直线与直线互相垂直，则的长为.

【答案】4或2

【解析】

【分析】

分当点F在点D右侧时，当点F在点D左侧时，两种情况，分别画出图形，结合三角函数,

勾股定理以及平行四边形的性质求解即可.

【详解】解：如图，当点F在点D右侧时，

过点F作FM〃DG,交直线BC于点M,过点B作BN_LDE,交直线DE于点N,

VD,E分别是AB和AC中点，AB=,

，DE〃BC,BD=AD=,ZFBM=ZBFD,

四边形DGMF为平行四边形，

贝ijDG=FM,

VDG±BF,BF=3DG,

AZBFM=90°,

tanZFBM==tanZBFD,

••,

VZABC=45°=ZBDN,

AABDN为等腰直角三角形，

ABN=DN=,

/.FN=3BN=9,DF=GM=6,

VBF==,

AFM==,

・・・BM=,

ABG=10-6=4；

当点F在点D左侧时，过点B作BNLDE,交直线DE于N,过点B作BM〃DG,交直线

DE于M,延长FB和DG,交点为H,

可知：ZH=ZFBM=90°,四边形BMDG为平行四边形，

ABG=MD,BM=DG,

VBF=3DG,

tanZBFD=,

同理可得：△BDN为等腰直角三角形，BN=DN=3,

・・・FN=3BN=9,

ABF=,

设MN=x,则MD=3-x,FM=9+x,

在RtABFM和RtABMN中，

有，

即，

解得:x=l,即MN=1,

，BG=MD=ND-MN=2.

综上：BG的值为4或2.

故答案为：4或2.

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，三角函数，平行四边形的判定和性质,

勾股定理，难度较大，解题的关键是根据题意画出图形，分清情况.

三、解答题（本大题共10小题，共84分，请在答题卡指定区域内作答，如无

特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

19.先化简，再求值：，其中.

【答案】；3

【解析】

【分析】

先利用完全平方公式和单项式乘多项式化简，再代入求值即可.

【详解】解:

将x=2代入，

原式=3

【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是正确的化简.

20.解方程和不等式组：

（1）;

（2）

【答案】⑴x=0；（2）-2<x<3

【解析】

【分析】

（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分

式方程的解；

（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的方法部分即可.

【详解】解：（1）

去分母得：

解得x=0,

经检验x=0是分式方程的解；

(2)

由①得：x<3

由②得：x>-2

则不等式组的解集为-2Wx<3.

【点睛】本题考查了解分式方程与解不等式组，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分

式方程转化为整式方程求解.解一元一次不等式组要注意不等号的变化.

21.为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足

球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制

成如下统计图.

（1）本次抽样调查的样本容量是;

（2）补全条形统计图：

（3）该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数.

【答案】（1）100；（2）见解析；（3）300人.

【解析】

【分析】

（1）用条形统计图中最喜爱打排球的人数除以扇形统计图中最喜爱打排球的人数所占百分

比即可求出本次抽样调查的样本容量；

（2）用总人数乘以最喜爱打乒乓球的人数所占百分比即可求出最喜爱打乒乓球的人数，用

总人数减去最喜爱其它三项运动的人数即得最喜爱踢足球的人数，进而可补全条形统计图；

（3）用最喜爱打篮球的人数除以总人数再乘以2000即可求出结果.

【详解】解：（1）本次抽样调查的样本容量是25-25%=100；

故答案为：100;

（2）打乒乓球的人数为100x35%=35人，踢足球的人数为100—25—35—15=25人；

补全条形统计图如图所示：

（3）人；

答：估计该校最喜爱"打篮球''的学生有300人.

【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、样本容量以及利用样本估计总体等知识，属

于基本题型，熟练掌握上述基本知识是解题关键.

22.在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的

盒子中.

（1）搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是;

（2）搅匀后先从中随机抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽

到的2支签上签号的和为奇数的概率.

【答案】（1）;（2）

【解析】

【分析】

（1）由概率公式即可得出答案；

（2）画出树状图，得到所有等可能的情况，再利用概率公式求解即可.

【详解】解：（1）Y共有3个号码，

，抽到1号签的概率是，

故答案为：;

（2）画树状图如下：

所有等可能的情况有6种，其中抽到的2支签上签号的和为奇数的有4种，

，抽到的2支签上签号的和为奇数的概率为：=.

【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之

比.

23.已知：如图，点A、B、C、。在一条直线上，.

（1）求证：；

（2）若，求的度数.

【答案】（1）见解析；（2）60°

【解析】

【分析】

（1）根据已知条件证明△ACE畛48口尸，即可得到结论；

（2）根据全等三角形的性质得到ND=NACE=80。，再利用三角形内角和定理求出结果.

【详解】解：（1）：AE〃BF,

ZA=ZDBF,

VAB=CD,

，AB+BC=CD+BC,即AC=BD,

又：AE=BF,

.,•△ACE^ABDF(SAS),

ZE=ZF；

(2)VAACE^ABDF,

，/D=/ACE=80。，

VZA=40°,

ZE=180°-ZA-ZACE=60°.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质和三角形内角和，解题的关键是找出三角形全

等的条件.

24.某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千

克梨共需22元.

(1)求每千克苹果和每千克梨的售价；

(2)如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？

【答案】(1)每千克苹果售价8元，每千克梨6千克；(2)最多购买5千克苹果

【解析】

【分析】

(1)设每千克苹果售价x元，每千克梨y千克，由题意列出x、y的方程组，解之即可；

(2)设购买苹果a千克，则购买梨(15-a)千克，由题意列出a的不等式，解之即可解答.

【详解】(1)设每千克苹果售价x元，每千克梨y千克，由题意，

得:，

解得：，

答：每千克苹果售价8元，每千克梨6千克，

(2)设购买苹果a千克，则购买梨(15-a)千克，由题意，

得：8a+6(15-a)<100,

解得：a<5,

a最大值为5,

答：最多购买5千克苹果.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答的关键是认真审

题，分析相关信息，正确列出方程组和不等式.

25.如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点.点8为x轴正半轴上一点，过8

作x轴的垂线交反比例函数的图像于点C,交正比例函数的图像于点D.

(1)求。的值及正比例函数的表达式；

(2)若，求的面积.

【答案】(1)a=2；y=2x；(2)

【解析】

【分析】

(1)已知反比例函数解析式，点A在反比例函数图象上，故a可求；求出点A的坐标后，

点A同时在正比例函数图象上，将点A坐标代入正比例函数解析式中，故正比例函数的解

析式可求.

(2)根据题意以及第一问的求解结果，我们可设B点坐标为(b,0),则D点坐标为(b,2b),

根据BD=10,可求b值，然后确认三角形的底和高，最后根据三角形面积公式即可求解.

【详解】(1)已知反比例函数解析式为y=，点A(a,4)在反比例函数图象上，将点A坐标代

入，解得a=2,故A点坐标为(2,4),又•••A点也在正比例函数图象上，设正比例函数解析

为y=kx,将点A(2,4)代入正比例函数解析式中，解得k=2,则正比例函数解析式为y=2x.

故a=2；y=2x.

(2)根据第一问的求解结果，以及BD垂直x轴，我们可以设B点坐标为(b,0),则C点

坐标为(b,)、D点坐标为(b,2b),根据BD=10,则2b=10,解得b=5,故点B的坐标为(5,

0),D点坐标为(5,10),C点坐标为(5,),则在aACD中，=.

故^ACD的面积为.

【点睛】(1)本题主要考查求解正比例函数及反比例函数解析式，掌握求解正比例函数和反

比例函数解析式的方法是解答本题的关键.

(2)本题根据第一问求解的结果以及BD垂直x轴，利用待定系数法，设B、C、D三点坐

标，求出B、C、D三点坐标，是解答本题的关键，同时掌握三角形面积公式，即可求解.

26.如图1,点8在线段上，RtA=RtA,,,.

(1)点F到直线的距离是；

(2)固定△,将△绕点C按顺时针方向旋转30。，使得与重合，并停止旋转.

①请你在图1中用直尺和圆规画出线段经旋转运动所形成的平面图形(用阴影表示，保留画

图痕迹，不要求写画法）该图形的面积为;

②如图2,在旋转过程中，线段与交于点。，当时，求的长.

【答案】（1）1;（2）；（3）

【解析】

【分析】

（1）根据直角三角形的性质和全等三角形的性质可得NACF=/EC『=30。，即C尸是NAC8

的平分线，然后根据角平分线的性质可得点F到直线的距离即为EF的长，于是可得答案；

（2）①易知E点和F点的运动轨迹是分别以CF和CE为半径、圆心角为30。的圆弧，据此

即可画出旋转后的平面图形；在图3中，先解RtACEF求出CF和CE的长，然后根据Sw

影=（5ACEf+5—（SAACG+Sa®C£G）即可求出阴影面积；

②作E//LCF于点”，如图4,先解RtAEFH求出F4和即的长，进而可得C4的长，设

OH=x,则CO和OE2都可以用含x的代数式表示，然后在RSBOC中根据勾股定理即可得

出关于x的方程，解方程即可求出x的值，进一步即可求出结果.

【详解】解：（1）.I,；.ZACB=60°,

・RtA=RtA,

AZECF=ZBAC=30°,EF=BC=1,

：.ZACF=30°f：.ZACF=ZECF=30°,

，C尸是N4cB的平分线，

点尸到直线的距离=EF=1;

故答案为：1;

（2）①线段经旋转运动所形成的平面图形如图3中的阴影所示：

在RtACEF中，NEC尸=30°,EF=\,

：.CF=2,CE=,

由旋转的性质可得：CF^CA=2,CE=CG=,/4CG=NECF=30。，

••S阴影=（SACEF+S或彩ACF）（SAACG"*"S城肪CEG）=SB彩ACFS届彩CEG=;

故答案为：;

②作于点”，如图4,

在RSEFH中，；/F=60。，EF=\,

：.CH=f

设OH=x,则，，

•：OB=OE,工，

在RS30C中，V,・・・，

解得:，

*

•••

【点睛】本题考查了旋转的性质和旋转作图、全等三角形的性质、角平分线的性质、扇形面

积公式、勾股定理和解直角三角形等知识，涉及的知识点多，综合性较强，熟练掌握上述知

识、灵活应用整体思想和方程思想是解题的关键.

27.如图1,。/与直线。相离，过圆心/作直线。的垂线，垂足为H,且交。/于P、。两点

(Q在P、”之间).我们把点尸称为。/关于直线a的“远点”，把的值称为。/关于直线a

的“特征数”.

(1)如图2,在平面直角坐标系中，点E的坐标为，半径为1的。。与两坐标轴交于点A、

B、C、D.

①过点E画垂直于y轴的直线m,则。O关于直线m的“远点”是点(填“A”、"矿、

或"O"),QO关于直线m的“特征数”为；

②若直线n的函数表达式为，求关于直线n的“特征数”；

(2)在平面直角坐标系中，直线/经过点，点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径

作0F.若。尸与直线/相离，点是。/关于直线/的“远点”，且。尸关于直线/的“特征数”

是，求直线/的函数表达式.

【答案】(1)①D；10；②。。关于直线〃的“特征数”为6；(2)直线/的解析式为y=-3x+7

或y=x+

【解析】

【分析】

(1)①根据题干中“远点”及“特征数”的定义直接作答即可；②过圆心O作OHL直线n,垂

足为点H,交。。于点P、Q,首先判断直线n也经过点E(0,4),在RsEOF中，利用

三角函数求出/EFO=60。，进而求出PH的长，再根据“特征数”的定义计算即可；

(2)连接NF并延长，设直线/的解析式为y=kx+bi,用待定系数法得到，再根据两条直线互

相垂直，两个一次函数解析式的系数k互为负倒数的关系可设直线NF的解析式为y=x+b2,

用待定系数法同理可得，消去bi和b2,得到关于m、n的方程组；根据关于直线/的“特

征数''是，得出NA=,再利用两点之间的距离公式列出方程(m+l)2+n2=10,把代入，求出k

的值，便得到m、n的值即点A的坐标，再根据待定系数法求直线/的函数表达式.注意有

两种情况，不要遗漏.

【详解】解：(1)①。。关于直线，〃的“远点”是点D,

。0关于直线m的“特征数''为DB-DE=2x5=10；

②如下图：过圆心0作OHL直线n,垂足为点H,交。。于点P、Q,

•••直线〃的函数表达式为，

当x=0时，y=4；当y=0时，x=,

直线〃经过点E(0,4),点F(,0),

在EOF中，tanZFEO===,

NFEO=30°,

NEFO=60°,

RtAHOF中，VsinZHFO=,

；.HO=sinZHFOFO=2,

.•.PH=HO+OP=3,

，PQ-PH=2x3=6,

，。。关于直线n的“特征数”为6；

(2)如下图，•••点F是圆心，点是“远点”，

连接NF并延长，则直线NFL直线1,设NF与直线1的交点为点A(m,n),

设直线/的解析式为y=kx+bi(k#)),

将点与A(m,n)代入y=kx+bi中，

②-①得：n-4=mk-k,③

又•:直线NFL直线/,

设直线NF的解析式为y=x+b2(k#0),

将点与A(m,n)代入y=x+b2中，

④-⑤得：-n=+,@

联立方程③与方程⑥，得：

解得：，

二点A的坐标为(,)；

又•••。尸关于直线/的“特征数''是，。尸的半径为，

.•.NBNA=,

即2-NA=,

解得:NA=,

A[m-(-l)]2+(n-0)M)2.

即(m+l)2+n2=10,

把代入，解得k=-3或k=；

当k=-3时，m=2,n=l,

•••点A的坐标为(2,1),

把点A(2,1)与点代入丫=1«+1)1中，解得直线/的解析式为y=-3x+7；

当k=时，m=-2,n=3,

二点A的坐标为(-2,3),

把点A(-2,3)与点代入丫=1«+如中，解得直线/的解析式为y=x+.

直线I的解析式为y=-3x+7或y=x+.

【点睛】本题是一次函数与圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系、一次函数的图象和性

质、解直角三角形等，理解“远点”和“特征数”的意义，熟练掌握一次函数的图象和性质、两

点之间距离公式、两条直线互相垂直的两个一次函数解析式中系数k互为负倒数的关系是解

题的关键.

28.如图，二次函数的图像与y轴交于点A,过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B,抛

物线过点，且顶点为。，连接、、、.

(1)填空：;

(2)点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1,直线交直线于点。.若，求点P的坐标；

(3)点E在直线上，点E关于直线对称的点为F,点F关于直线对称的点为G,连接.当

点下在X轴上时，直接写出的长.

【答案】(1)-4；(2)(3,0)或(,);(3)

【解析】

【分析】

(1)根据待定系数法求解即可；

(2)分点Q在CD上方和点Q在CD下方时，两种情况，结合三角函数，勾股定理等知识

求解；

(3)设点C关于BD的对称点为C，，BD中点为点R,直线AC与直线BD交于N，，设C，

(p,q).利用点R到点C和点。的距离相等以及点N，到点C和点C的距离相等，求出点

C的坐标，从而得到CW直线的解析式，从而求出点F坐标，再利用点F和点G关于直线

BC对称，结合BC的表达式可求出点G坐标，最后得到AG的长.

【详解】解：(1)••,抛物线过点C(1,0),

.,.将C(1,0)代入得0=l+b+3,

解得b=-4,

故答案为：-4：

(2)由(1)可得抛物线解析式为：，

当x=0时,y=3,

；.A的坐标为(0,3),

当y=3时得,

解得xi=0,X2=4,

.,.点B的坐标为(4,3),

•,

...顶点D的坐标为(2,-1),

设BD与x轴的交点为M,作CHLAB于H,DGLCM于G,

tanZACH=tanZOAC=,

根据勾股定理可得BC=,CD=,BD=,

ABD=,

.•.ZBCD=90°,

tanZCBD=,

；./ACH=NCBM,

VZHCB=ZBCM=45°,

NACH+NHCB=NCBM+NMCB,

即/ACB=NCMD,

Q在CD上方时：若，则Q与M点重合，

:中，令y=0,解得:x=l或3,

抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3,0）,

即此时P的坐标为（3,0）；

Q在CD下方时：过点Q作QKJ_x轴，过点C作CLLQM于点L,过点A作ANLBC于

点N,

可得：AB=4,BC=,AC=,设CN=X,则BN=-X,

在4ABC中，，

即，解得：x=,

/.cosZACN—,

设直线BD的表达式为：y=mx+n,将B,D代入得：

,解得：，

直线BD的表达式为y=2m-5,

令y=0,则x=,即点M（,0）,

设点Q坐标为（a,2a-5）,

则QK=5-2a,CM=,QM=,

VZACB=ZCMD,ZACB=ZCQD,

NCMD=NCQD,即CQ=CM=,

cosZCQD=cosZACB=,

QL=,QM=,CL=,

在4CQM中，，

即，解得：KQ=,

ACK=

；.Q（,）,

设直线CQ表达式为：y=sx+t,将点C和点Q代入，

,解得:，

则CQ表达式：，联立：

，解得，

即点P坐标为(，)，

综上：点P的坐标为(3,0)或(，)；

(3)设点C关于BD的对称点为C，，BD中点为点R,直线AC与直线BD交于N，,

/.R(3,1),设C'(p,q),

由题意可求得：直线AC表达式为：y=-3x+3,

直线BD表达式为：y=2x-5,

直线BC的表达式为：y=x-l,

令-3x+3=2x-5,解得：x=,贝！|y=,

...点N'(,),

:点C和C关于直线BD对称，

；.CR=CR=BD=,CN，=CN=,

则有,，

即，

①-②得：③，代入①，

解得：或0(舍)，代入③中，得：，

解得：，即点C(,),

VN,(,),

求得直线CN，的表达式为：，

:点F在x轴上,令y=0,则x=7,

.•.点F(7,0),

又：点F和点G关于直线BC对称，BC：y=x-l,连接CG,

可得/BCF=45°=/BCG,

ZFCG=90°,

；.CG=CF=6,

.,.点G的坐标为(1,6),又A(0,3),

；.AG的长为.

【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数解析式，一次函数，三角函数，面积法,

对称的性质，知识点较多，难度较大，解题时要注意分类讨论，画图相应图形，利用数形结

合思想解答.

2020年北京市高级中等学校招生考试

语文试卷

考生须知：

1.本试卷共12页，共五道大题，24道小题，满分100分。考试时间150分钟。

2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。

3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

一、基础•运用（共14分）

2020年“中国水周”的主题是“坚持节水优先，建设幸福河湖”。学校组织同学们参与“中

国水周”的宣传，准备举办“京华水韵”展览。请你完成下列任务。

1.同学们准备从书法作品中搜集单字组成展板标题，对于“水”字的选择产生了争议。请

你依据“字体一致，和谐美观”的原则，选择最恰当的一项。（）

A.B.C.D.

2.一位同学负责拟写并讲解前言。请阅读这段文字，完成各题。

“春湖落日水拖蓝，天影楼台上下涵。十里青山勺画里，双飞白乌似江南。”明代书画

家文徵明曾在诗中生动地描绘了北京的湖光山色【甲】据考证，古都北京既有海淀、南海子

等众多水珍湿地，也有无数水井和泉池；既有宽阔繁忙的运河水道，也有难以计数的古桥闸

口。你也许会想北京是否有过这般“似江南”的水乡泽国之景【乙】让我们开启一段时光之

旅，寻访京城水脉，感受京华水韵。

（1）这位同学对文段中两个加点字的意思和读音，以及【甲】【乙】两处的标点产生了疑问。

请你帮他选出判断正确的一项。（）

A.“行”在诗中是“流通”的意思，应读xing。B.“泊”在此处是“湖”的意思,

应读b6o

C.【甲】处应填入句号，表示陈述语气D.【乙】处应填入问号，表示疑问语

气。

（2）为了向参观者讲解“泽国”的意思，这位同学查阅字典，找到“国”字的三个解释：

①国家：②国都，京城：③地域。请你帮他解释“泽国”在此处的意思。

3.展览内容分三个单元，同学们为这三个单元分别拟写了标题和引言。阅读文段，完成各

题。

第一单元①,碧水润京城

古永定河的冲积与改道，为北京提供了肥沃的土地，留下了大量湖沼和丰富的地下水。

战国时期，蓟运河水系就已开通水路运输。元明清三朝，京杭大运河成为连接南北经济、保

障京城物资榆送的交通大动脉。今天，潮白河水系承担着为北京输送生产生活用水的重任，

是首都的生命线。在北京3000多年的建城史、800多年的建都史上，这些水系发挥了重要

作用，滋养了古老的幽燕大地。

第二单元②,生态治河湖

北京是一座人口超两千万的特大型城市。为保障城市供水，管理者着力建构多水源保障

体系，并努力建设节水型社会。如今，南水北调工程已使上千万人直接受益，北京也连续十

七年保持“全国节水型城市”称号。要保障水资源，也要改善水环境。用生态的办法治理生

态问题，让许多河湖告别了“亚健康”，水生态系统生物多样性明显提高。北京有信心打好

这场碧水保卫战，交出一份出色的答卷。

第三单元人水相亲，古都添画意

①生态补水后的永定河重新焕发青春，绿头鸭、白天鹅逐水而来，给京城增添了勃勃生

机。②经过治理的大运河碧波荡漾，人们可以观赏白鹭在河面翩翩起舞，体会与自然和谐相

处的美好。③遁入地下多年的转河“重见天日”，河水清浅，弱柳扶风，像一幅恢宏壮丽的

画卷，让人们感到别样的清新。④曾经被填埋地下近半个世纪的玉河，如今穿街走巷，波光

粼粼，宛如闹市中的一条玉带，成为人们休憩的好去处。

（1）同学们就第一单元和第二单元标题的拟定展开讨论，你认为下列选填词语最恰当的一

项是（）

A.①源远流长②开源节流B.①源源不断②开源节流

C.①源远流长②细水长流D.①源源不断②细水长流

（2）第三单元引言的四个句子都运用了修辞方法，你认为其中修辞方法运用不恰当的一句

是（）

A.第①句B.第②句C.第③句D.第④句

4.下面这段文字是为展览拟写的结语。根据语境，画线的句子表达欠妥，请你帮助修改。

①“坚持节水优先，建设幸福河湖”，是2020年“中国水周”的主题，也是北京治水

工作的重要内容。②坚持节水优先，并非简单地限制用水，而是合理用水，高效用水。③治

理河湖，也并非单纯地治污补水，还包括用生态的方法解决生态问题，让河湖成为人们的幸

福源泉。④建设幸福河湖，满足百姓美好生活愿景；节约用水，助力首都水资源保障。⑤请

和我们一起节约用水，共绘幸福河湖画卷，让首都北京水韵绵长。

5.通过筹办“京华水韵”展览，同学们对2020年“中国水周”的主题“坚持节水优先，建

设幸福河湖”有了真切的感受。请用“虽然……但是……”的句式，写出你的感受。

【答案】1.B2.(1)C(2)泽国：多水的地域

3.(1)A(2)C

4.节约用水，助力首都水资源保障：建设幸福河湖，满足百姓美好生活愿景。

5.示例1：坚持节水优先虽然可能会带来暂时的不便，但是从长远来看，建设幸福河湖更有

利于可持续发展。

示例2：虽然治理水环境仍然任重而道远，但是我相信通过大家的努力，碧水清韵的北京，

一定会重现。

【解析】

【1题详解】

本题考查书法字体。书法字体，传统讲共有行书字体、草书字体、隶书字体、篆书字体和楷

书字体五种。书法作品中的“京、华、韵”三个字，横平竖直，规矩整齐，是楷体。这四个

“水”分别是A.蚕头雁尾应为隶书、B.楷书、C.行书、D.草书。故本题选B。

【2题详解】

(1)本题考查字词读音、释义，标点符号的用法。

A.“十里青山行画里”意思是在十里青山中，像在画中行走一样，“行”是“行走”的意思,

解释不正确，排除；

B.“水泊湿地”中，“泊”是“湖”的意思，应读p6,读音不正确，排除；

C.“明代书画家文徵明曾在诗中生动地描绘了北京的湖光山色”是陈述句，与前面的描写是

一个完整的句子，此处结束，故【甲】处应填的是句号，正确；

D.“你也许会想北京是否有过这般‘似江南’的水乡泽国之景”，这是一句陈述句，因此句

末【乙】处还是使用句号。选项不正确；

故本题选C。

(2)本题考查字词释义。水乡泽国：这是一个并列式词语，意思是大小湖泊、河川、渠道,

密如蛛网的地域。再根据前文“水井泉池、运河水道、古桥闸口”可以判断，这里的“国”

的含义不在于国家(仅指北京地区)，也不在于强调“首都”，而是指“多水的地域”因此,

“国”的义项应为③地域。泽国：多水的地域。

【3题详解】

（1）本题考查标题的拟定。

源远流长：源头很远，水流很长，比喻历史悠久，根底深厚。从第一单元“战国时期，蓟运

河水系就已开通水路运输”“元明清三朝”“在北京3000多年的建城史、800多年的建都

史上”等句子中，可以看出，水的历史悠久，因此①处选“源远流长”符合内容所写；

开源节流：开发水源，节制水流。比喻增加收入，节省开支。从第二单元“构建多重保障体

系，努力建设节水社会”可以看出，节约用水是这单元前半部分的主要内容，因此②处应填

“开源节流”；故本题选A。

源源不断：形容接连不断、连绵不绝。多用于事物，不用于人。

细水长流：“细水长流”比喻节约使用财物，使经常不缺用。也比喻一点一滴不断地做某件

事，精细安排，长远打算。在此处只对应材料中“节约”，略微片面。

（2）本题考查修辞方法的辨析。③句中描写遁入地下多年的转河，“河水清浅，弱柳扶风”

与后面的比喻“像一幅恢宏壮丽的画卷”不搭，特点不一致。因此本题选C。

【4题详解】

本题考查上下文的连贯性、一致性衔接。从本题第①句“坚持节水优先，建设幸福河湖”可

知，节水应该放在前面，幸福河湖放在后面，所以此句的顺序要调整为：节约用水，助力首

都水资源保障：建设幸福河湖，满足百姓美好生活愿景。

【5题详解】

本题考查例句仿写。用“虽然……但是……”的句式，写出感受。

示例：虽然河水、湖水治理已经初见成效，碧水蓝天已经随处可见，但是任重而道远，水的

治理仍然需要我们坚持不懈地继续努力。

二、古诗文阅读（共17分）

（-）默写。（共4分）

6.（1）其必曰“,后天下之乐而乐”乎！（范仲淹《岳阳楼记》）

（2）,阴阳割昏晓。（杜甫《望岳》

（3）座右铭是用来激励、警醒自己的格言。如果用两句古诗作为你的座右铭，你选用的诗

句是“，二‘。（本试卷中出现的诗句除外。每句诗中允许有一个不会写的字用

拼音替代）

【答案】（1）.先天下之忧而忧（2）.造化钟神秀（3）.千锤万凿出深山（4）.烈

火焚烧若等闲

【解析】

【详解】诗词默写要求：一、不能添字，不能少字；二、字的笔画要准确。注意：造化、千

锤万凿、焚烧。选择座右铭诗句时，符合“激励、警醒自己的格言”这个要求都可，注意不

能是试卷中出现过的诗句。

（二）（共5分）

阅读《己亥杂诗（其五）》，完成下面小题。

己亥杂诗（其五）

龚自珍

浩荡离愁白日斜，吟鞭东指即天涯。

落红不是无情物，化作春泥更护花。

7.近代学者王国维在《人间词话》中说“一切景语皆情语”。这首诗的前两句，诗人写到

了的自然之景，抒发了之情。

8.孟浩然《春晓》中“夜来风雨声，花落知多少”，与本诗“落红不是无情物，化作春泥

更护花”都写到了落花。请简要说明两位诗人分别借“落花”表达了怎样的情感。

【答案】7.（1）.白日西斜，广阔天涯（2）.离愁的无限感慨与豪放洒脱

8.龚诗中“落花”本指脱离花枝的花，但是，并非没有感情，而是即使化做春泥，也甘愿

培育美丽的春花成长，不为独香，而为护花，表现诗人虽然脱离官场，依然关心着国家的命

运，不忘报国之志，以此来表达他至死仍牵挂国家的一腔热情；充分表达诗人的壮怀。孟诗

中“落花”则表达了诗人对春天落花的惋惜之情和春光流逝的淡淡哀愁。

【解析】

【7题详解】

本题考查诗词中的意象。（1）首联翻译：浩浩荡荡的离别愁绪向着日落西斜的远处延伸，离

开北京，马鞭向东一挥，感觉就是人在天涯一般。这里抓住了“白日西斜”“天涯广阔”的

自然景象。（2）“浩荡离愁白日斜”中“浩荡离愁”直接点明了作者对离愁的无限感慨，“吟

鞭东指即天涯”则通过“天涯”这个开阔的意象表现了豪放和洒脱。

【8题详解】

本题考查诗歌主题。（1）龚自珍的诗。翻译：我辞官归乡，有如从枝头上掉下来的落花，但

它却不是无情之物，化成了春天的泥土，还能起着培育下一代的作用。这里采用了比喻的手

法，作者自比为落花，落花从枝头落下，化为肥料，滋养大地，为新花的成长做贡献。作者

虽然离开朝廷，但是依然关心国家的前途和命运，依然坚持对理想的追求，表现了一片拳拳

爱国之情。（2）孟浩然的诗。翻译：春天睡醒不觉天已大亮，到处是鸟儿清脆的叫声。回想

昨夜的阵阵风雨声，吹落了多少芳香的春花。第一联从听觉角度描写了鸟儿清脆的鸣叫，营

造了美好的、充满生机的春天的氛围，表达出对春天的喜爱之情，而第二联则从视觉角度，

运用联想，写春花被吹落到地的景象。写出了对春花凋零的怜惜，作者喜爱春天，可是春天

的花被吹落了，这是否意味着春天的逝去，故表达了对春天落花的惋惜之情和春光流逝的淡

淡哀愁。

（三）（共8分）

阅读《曹刿论战》，完成下面小题。

曹刿论战

《左传》

十年春，齐师伐我。公将战，曹刿请见。其乡人日：“肉食者谋之，又何间焉？”刿目：

“肉食者鄙，未能远谋。”乃入见。问：“何以战？”公目：“衣食所安，弗敢专也，必以

分人。”对目：“小惠未遍，民弗从也。”公曰：“物牲玉帛，弗敢加也，必以信。”对日：

“小信未孚，神弗福也。”公曰：“小大之狱，虽不能察，必以情。"对口：“【甲】忠之

属也。可以一战。战则请从。”

公与之乘，战于长勺。公将鼓之。刿目：“未可。”齐人三鼓。刿日：“可矣。”齐师

败绩。公将驰之。刿目：“未可。”下视其辙，登轼而望之，目：“可矣。”遂逐齐师。

既克，公问其故。对日：“夫战，勇气也。一鼓作气，再而衰，三而竭。彼竭我盈，故

克之。夫大国，难测也，惧有伏焉。【乙】吾视其辙乱，望其旗靡，故逐之。”

9.下列选项中加点字的意思都相同的一项是（）

A.曹刿请见处多识广见义勇为各抒己见

B.小停未孚言而有值杳无音值停手拈来

C.公与之乘，风破浪黍虚而入乘兴而来

D.遂逐齐师出师未捷百万雄师仁义之师

10.翻译文中两处画线语句，并依据上下文对其作出进一步理解，全都正确的一项是

（）

【甲】忠之属也。可以一战。

翻译：（这）是尽职分之类的事情。可凭借（这个条件）打一仗。

理解：曹刿认为鲁庄公能够公正处理百姓的诉讼事件，与“小惠”和“小信”相比，更能赢

得百姓的信任，具备了迎战的条件。

【乙】吾视其辙乱，望其旗靡，故逐之。

翻译：我发现他们的车印混乱，军旗也倒下了，所以才下令追击他们。

理解：曹刿能敏锐地观察战场形势的变化，他根据“辙乱”“旗靡”判断齐师撤走了伏兵，

认为可以追击敌人了。

11.“位卑未敢忘忧国”意思是虽然身份低微，仍然不忘担忧国事。曹刿一介平民，在国家

危难之际，挺身而出，为国解忧。阅读下面两则材料，简要说明“位卑未敢忘忧国”的精神

在弦高和卜式身上是如何体现的。

材料一

秦穆公兴兵袭©郑，过周而东。郑贾人②弦高将西贩牛，道遇秦师于周、郑之间，乃矫③

郑伯之命，犒④以十二牛，宾⑤秦师而却之⑥，以存郑国。

（取材于《淮南子•氾论训》）

材料二

时汉方事⑦匈奴，式⑥上书，愿输⑨家财半助边叫上使使问式：“欲为官乎？”式日：

“自小牧羊，不习仕宦，不愿也。”使者曰：“子何欲？”式日：“天子诛勾奴，愚以为贤

者宜死节，有财者宜输之，如此而匈奴可灭也。”

（取材于《汉书•公孙弘卜式兄宽传》）

注：①［袭］偷袭。②［贾人］商人，在当时社会地位不高。③［矫］假托。④［犒］犒劳。⑤［宾］

以客礼对待。⑥［却之］使秦军撤退。⑦［事］这里指抵抗•⑧［式］卜式。人名。⑨［输］交纳。

⑩［边］边防。

【答案】9.D10.【甲】

11.弦高本是普通商人（位卑），却在面对秦军侵略时挺身而出，以他的智慧和财产令秦军

撤退，保住了郑国。卜式作为普通百姓，虽无为官的才能与意愿，但也愿意捐出一半家产资

助边防事业，为国家贡献自己的力量。

【解析】

【9题详解】

A.觐见/看见/看见/见解；

B.信用/信用/消息/随便，放任；

C.坐（车）/凭借，依仗/利用、趁/利用、趁;

D.都是“军队”的意思；

故选D。

【10题详解】

［乙］“判断齐师撤走了伏兵”错误。原