高考数一轮复习 第十章 第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理突破热点题型 文

第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理考点一分类加法计数原理[例1](1)若x，y∈N*，且x＋y≤6，则有序自然数对(x，y)共有________个．(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________．[自主解答](1)因为x，y∈N*，且x＋y≤6.所以当x＝1时，y有5个不同的值；当x＝2时，y有4个不同的值；当x＝3时，y有3个不同的值；当x＝4时，y有2个不同的值；当x＝5时，y有1个不同的值．由分类加法计数原理知，共有5＋4＋3＋2＋1＝15个符合条件的有序自然数对．(2)当个位数为2时，十位数只能取1；当个位数为3时，十位数有2种取法；当个位数取4时，十位数有3种取法；…；当个位数为9时，十位数有8种取法．依分类加法计数原理知：共有1＋2＋…＋8＝36个符合条件的两位数．[答案](1)15(2)36【互动探究】本例(2)中的条件不变，求个位数字小于十位数字的两位数且为偶数的个数．解：当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个；当个位数字是6时，十位数字可取7,8,9，共3个；当个位数字是4时，十位数字可取5,6,7,8,9，共5个．同理可知；当个位数字是2时，共7个；当个位数字是0时，共9个．由分类加法计数原理知，共有1＋3＋5＋7＋9＝25个符合条件的两位数．【方法规律】1．分类加法计数原理的特点(1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准．(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类．2．使用分类加法计数原理遵循的原则有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则．1．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()A．3B．4C．6解析：选D法一：①公比为2时，等比数列可为1,2,4；2,4,8；②公比为3时，等比数列可为1,3,9；③公比为eq\f(3,2)时，等比数列可为4,6,9，又4,2,1和8,4,2；9,3,1；9,6,4也是等比数列，所以共8个．法二：①当q>1时，分别以1,2,4为首项的有1,2,4；1,3,9；2,4,8；4,6,9.②当0<q<1时有4,2,1；9,3,1；8,4,2；9,6,4，共8个．2．(·金华模拟)椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1的焦点在y轴上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆的个数为________．解析：以m的值为标准分类，分为五类．第1类：m＝1时，使n>m，n有6种选择；第2类：m＝2时，使n>m，n有5种选择；第3类：m＝3时，使n>m，n有4种选择；第4类：m＝4时，使n>m，n有3种选择；第5类：m＝5时，使n>m，n有2种选择．由分类加法计数原理，符合条件的椭圆共有20个．答案：20考点二分步乘法计数原理[例2]已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点，则(1)P可表示平面上________个不同的点．(2)P可表示平面上________个第二象限的点．[自主解答](1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：第1步，确定a的值，共有6种确定方法；第2步，确定b的值，也有6种确定方法．根据分步乘法计数原理，得到平面上的点的个数是6×6＝36.(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第1步，确定a，由于a<0，所以有3种确定方法；第2步，确定b，由于b>0，所以有2种确定方法．由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数是3×2＝6.[答案](1)36(2)6【方法规律】利用分步乘法计数原理解决问题时要注意(1)要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件．(3)对完成各步的方法数要准确确定．1．从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成________个不同的二次函数，其中偶函数有________个(用数字作答)．解析：一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有3×3×2＝18个二次函数．若二次函数为偶函数，则b＝0，同上可知共有3×2＝6个偶函数．答案：1862.如图所示，某电子器件由3个电阻串联而成，形成回路，其中有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果焊接点脱落，整个电路就会不通．现发现电路不通了，那么焊接点脱落的可能情况共有________种．解析：电路不通可能是一个或多个焊接点脱落，问题比较复杂．但电路通的情况却只有一种，即各焊接点全未脱落．因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个焊接点脱落，则电路就不通，故共有26－1＝63种可能情况．答案：63高频考点考点三两个计数原理的综合应用1．两个计数原理的应用，是高考命题的一个热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．2．高考对两个计数原理的考查主要有以下几个命题角度：(1)与数字有关的问题；(2)涂色问题．[例3](1)(·福建高考)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A．14B．13C．12(2)(·烟台模拟)如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给该地区的地图涂色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则涂色方法共有________种．[自主解答](1)当a＝0时，关于x的方程为2x＋b＝0，此时有序数对(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)均满足要求；当a≠0时，Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，此时满足要求的有序数对为(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)．综上，共有13个满足要求的有序数对．(2)因为区域1与其他4个区域都相邻，首先考虑区域1，有4种涂法，然后再按区域2,4同色和不同色，分为两类：第1类，区域2,4同色，有3种涂法，此时区域3,5均有2种涂法，共有4×3×2×2＝48种涂法；第2类，区域2,4不同色，先涂区域2，有3种方法，再涂区域4，有2种方法，此时区域3,5都只有1种涂法，共有4×3×2×1×1＝24种涂法．根据分类加法计数原理，共有48＋24＝72种满足条件的涂色方法．[答案](1)B(2)72与两个计数原理有关问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的问题．可分类解决，每类中又可分步完成；也可以直接分步解决；(2)涂色问题．可按颜色的种数分类完成；也可以按不同的区域分步完成．1．(·遵义模拟)某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一个部门；另三名电脑编程人员也不能分给同一个部门．则不同的分配方案有()A．36种B．38种C．108种D．114种解析：选A分两步完成，第一步分组有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,3)种方法；第二步分配到两个部门有Aeq\o\al(2,2)种方法．由分步乘法原理得：共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)＝36种分配方案．2．如图所示，将四棱锥S­ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法共有________种(以数字作答)．解析：由题设，四棱锥S­ABCD的顶点S，A，B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60种染色方法．当S，A，B染好时，不妨设其颜色分别为1,2,3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法．可见，当S，A，B已染好时，C，D还有7种染法，故有60×7＝420种不同的染色方法．答案：420———————————[课堂归纳——通法领悟]————————————2个区别——两个计数原理的区别分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一每类办法都能独立完成这件事．它是独立的、一次的且每次得到的是最后的结果，只需一种方法就完成每一步得到的只是其中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步都不可，只有各步骤都完成了才能完成这件事区别二各类办法之间是互斥的，并列的，独立的各